TEORIA DA PARTILHA EQUILIBRADA TEORIA DA PARTILHA EQUILIBRADA.
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Teoria da Partilha Equlilbrada
Teoria da Partilha Equilibrada-Apresentação-
Teoria da Partilha
Equilibrada
Divisão Justa
Divisão Proporcional
Maria Manuel: Método do
Divisor – Selector.
Método do Divisor Único.
Método do Selector Único.
Ana: Método do
Último a Diminuir.
Método das Licitações Fechadas.
Método dos Marcadores.
Lúcia:
•Método de Hamilton.
Susana:
•Método de Jefferson.
•Métodoo de Adams.
•Método de Webster.
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Teoria da Partilha Equlilbrada
PARTILHAPARTILHA
-Acto ou efeito de partilhar
-Acto destinado a fazer cessar a indivisão de um património
-Divisão de bens de uma herança
-Repartição
-Quinhão
-Dote
-Atributo
(do Latim partícula-, dim de parte-, “parte”)
EQUILIBRADAEQUILIBRADA
-Que está em equilíbrio
-Sensata
-Ponderada
( Latim aequilibrátu-, “id.”)
Tirado da “Diciopédia 2003”
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Teoria da Partilha Equlilbrada
Divisão JustaProblemas e Esquemas de Divisão Justa:
Um problema de Divisão Justa é um “jogo” com N jogadores e um conjunto de objectos S;
Um esquema de Divisão Justa é um processo sistemático para a resolução de um problema de Divisão Justa.
Por essa razão, necessita que as seguintes condições sejam satisfeitas:
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Divisão Justa
• Deve ser decisivo;
• Deve ser interno;
• Os “jogadores” não devem ter conhecimento das preferências dos restantes;
• Assume-se que os “jogadores” são racionais.
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Divisão Justa
• Contínuo
• Discreto
• Misto
• Somas de dinheiro, bolos, cerveja...
• Casas, peças de arte, barcos...
• Heranças...
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Divisão Justa
Caso contínuo: • Método do Divisor-Selector;
• Método do Divisor Único;
• Método do Selector Único;
• Método do Último a Diminuir.
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Divisão Justa
• Caso discreto: • Método das Licitações Fechadas;
• Método dos Marcadores.
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Teoria da Partilha Equlilbrada
Método do Divisor-Selector
Este método envolve, geralmente, dois “jogadores” e consiste em, basicamente “tu cortas – eu escolho”.
Note-se ainda que este método pode ser aplicado a mais do que dois “jogadores”. Se tivermos 4 jogadores, o esquema desdobra-se em duas etapas:
• Começam-se por agrupar os jogadores em dois grupos, com dois jogadores cada um. Um dos grupos divide e o outro escolhe;
• Numa segunda etapa, repete-se o processo em cada um dos grupos.
O método pode funciona para potências de base dois.
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Método do Divisor-SelectorV alor da P izza = 18€
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Método do Divisor-Selector
Visão da Sónia
9€
9€
Visão da Sandra
0€
18€
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Método do Divisor-Selector
D iv isor: S ónia
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Teoria da Partilha Equlilbrada
Método do Divisor-Selector
Visão da Sónia
9€
Visão da Sandra
16€
E se fosse a Sandra o divisor?
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Teoria da Partilha Equlilbrada
Método do Divisor ÚnicoPasso 1: DIVISÃO – O divisor corta a pizza em 3 pedaços.
Passo 2: LICITAÇÕES – Cada selector declara quais dos pedaços considera aceitável.
Passo 3: DISTRIBUIÇÃO – Pode-se dar 3 casos:
1. Ambos os selectores declaram uma só peça e distintas. Óbvia!!!!
2. Um dos selectores declara mais do que um pedaço.
3. Ambos os selectores declaram o mesmo pedaço.
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Teoria da Partilha EqulilbradaTeoria da Partilha Equlilbrada
Método do Divisor Único
AzeitonasQueijo
Fiambre
AQ
F
AQ
F
AQ
F
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Teoria da Partilha Equlilbrada
Método do Selector ÚnicoPasso 1: PRIMEIRA DIVISÃO – Os dois divisores cortam a pizza pelo Método do Divisor-Selector.
Passo 2: SEGUNDA DIVISÃO – Cada divisor divide agora a sua parte por três partes que consideram de igual valor.
Passo 3: SELECÇÃO – O selector escolhe uma parte de cada um dos divisores, e cada divisor fica com o que restou da sua parte.
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Teoria da Partilha Equlilbrada
Método do Selector Único
Visão da Sónia
9€
9€
Visão da Sandra
0€
18€
Visão da Maria
13.5€
4,5€
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Teoria da Partilha Equlilbrada
Método do Selector Único
D iv isor: S ónia
Visão da M aria
10,5€
7,5€
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Teoria da Partilha Equlilbrada
Método do Selector Único
JOGADORES Sandra Sónia Maria
Parte 18/54 F e 4/54 C
9/54 F e 9/54 C 14/54 C
Valor para a Sandra
12 Є 6 Є 0 Є
Valor para a Sónia
7.33 Є 6 Є 4.67 Є
Valor para a Maria
5 Є 6 Є 7 Є
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Teoria da Partilha Equlilbrada
Como dividir um bolo em N partes?
Método do Último a Diminuir
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Método de Último a DiminuirConsideremos (C1, C2, ... , Cn) os candidatos às fatias do bolo. Durante todo o método é mantida esta ordem,organizada aleatoriamente.
A divisão do bolo é feita por etapas. Em cada etapa todos os candidatos em jogo têm oportunidade de intervir ou não na divisão do bolo. Sendo considerado,respectivamente , Reclamantes ou Não-Reclamantes.
No fim de cada etapa sai um candidato com uma fatiade bolo. Pelo que,na etapa seguinte teremos o restante bolo para dividir pelos N-1 candidatos.
Vamos considerar um exemplo com 4 candidatos.
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Teoria da Partilha Equlilbrada
1ª Etapa:Consideremos o seguinte bolo:
O Candidato C1 corta uma fatia que lhe pareça justa,Isto é, 1/4 do bolo.
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Candidato C2:
Não joga: Acha que a fatia cortada por C1 é justa.Ficando no grupo dos Não- Reclamantes.
Joga: Acha que a fatia é grande e portanto opta por diminuí-la. Passa a ser o novo Reclamante.
Suponhamos que o Candidato C2 joga:
C2 diminui a fatiacortada por C1.
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Candidato C3
Não Joga: Acha que a fatia cortada por C2 é justa. Fica no grupo dos Não- Reclamantes.
Joga: Acha que a fatia cortada por C2 é grande pelo que, opta por diminuí-la. Passa a ser Reclamante.
Suponhamos que C3 não joga:
Continuamos a ter o bolo:
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Teoria da Partilha Equlilbrada
Candidato C4
Não joga: Acha que a fatia cortada por C2 é justa,continuando no grupo dos Não-Reclamantes.
Joga: Acha que a fatia cortada por C2
é grande pelo que, opta por diminuí-la. Passa a ser o novo Reclamante.
Suponhamos que C4 joga:
C4 diminui a fatia Cortada por C2.
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Teoria da Partilha Equlilbrada
Conclusão da 1ª Etapa:
O último Reclamante,isto é, o último que diminuiua fatia sai do jogo com a respectiva fatia.
No nosso exemplo sai C4 com a fatia verde.
Passamos a ter 3 candidatos: C1, C2, e C3.
O bolo a dividir pelos 3 candidatos restantes é:
2ª Etapa:
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Teoria da Partilha Equlilbrada
2ª Etapa:Continuação.
O processo é análogo ao da 1ª etapa.Suponhamos que nesta etapa sai o candidato C1. O que quer dizer que C2 e C3 concordaram com a fatia cortada por C1.
3ª Etapa:Nesta etapa só temos dois candidatos: C2 e C3.
Neste caso, aplica-se o método do divisor-selector.
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Teoria da Partilha Equlilbrada
Num testamento temos um carro, um barco e uma casa para dividir de forma justa por quatro herdeiros. Como fazê-lo?
Método das Licitações Fechadas
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Teoria da Partilha Equlilbrada
É pedido a cada um dos herdeiros que faça uma oferta em dinheiro por
cada um dos bens.
Cada herdeiro entrega a sua licitação num envelope fechado
As Licitações
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Teoria da Partilha Equlilbrada
João Ana André Inês
220€ 250€ 211€ 198€
40€ 30€ 47€ 52€
280€ 240€ 234€ 190€
Tabela das Licitações
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Teoria da Partilha Equlilbrada
Tabela da Distribuição
João
Ana
André
Inês
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Teoria da Partilha Equlilbrada
Cálculo das partes justas
Somar as licitações de cada herdeiro
Dividir essa soma pelo númerototal de herdeiros
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Teoria da Partilha Equlilbrada
João Ana André Inês
220€ 250€ 211€ 198€
40€ 30€ 47€ 52€
280€ 240€ 234€ 190€
540€ 520€ 492€ 440€
135€ 130€ 123€ 110€
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Teoria da Partilha Equlilbrada
João
280€
135€ 280€-135€=145€O João tem de pagar
145€.
Ana
250€
130€ 250€-130€=120€A Ana tem de pagar
120€.
André 123€ O André tem a
receber 123€
Inês52€
120€ 120€-52€=68€A Inês tem a receber
68€
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Teoria da Partilha Equlilbrada
Divisão do excesso
Havia em jogo 265€ para serem pagos e 191€ para serem recebidos,pelo que, sobram 68€!!!
Portanto,nada mais justo que dividir este excesso igualmente por cada herdeiro,acrescentando 17€ à sua herança!
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Teoria da Partilha Equlilbrada
Como dividir vinte chocolates por quatro crianças utilizando o Método dos Marcadores?
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Teoria da Partilha Equlilbrada
Consideremos quatro crianças: Ana, Beatriz, Catarina e Diana. (A,B,C,D).
Os chocolates são organizadas aleatoriamente no Array seguinte:
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Teoria da Partilha Equlilbrada
As Licitações
Cada criança escreve num papel onde quer que sejam colocados os seus três marcadores.
As Licitações são abertase os resultados mostradosna figura seguinte.
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Teoria da Partilha Equlilbrada
Resultado das Licitações
1º conjunto demarcadores
2º conjunto de marcadores
3º conjunto de marcadores
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Teoria da Partilha Equlilbrada
A Distribuição
Examinamos o array,daesquerda para a direita,atéencontrar o primeiromarcador de alguém.
No nosso exemplo é o marcadorda Beatriz,pelo que lhe é entregueo seu segmento.
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Teoria da Partilha Equlilbrada
Para aBeatriz
Resultado da Distribuição
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Teoria da Partilha Equlilbrada
A Beatriz acabou de receber uma parte justa dos chocolates.
Os seus marcadores sãoretirados e continuamosa examinar o array.
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Teoria da Partilha Equlilbrada
2º conjunto deMarcadores.
Procuramos agora o 1º marcador do 2º conjunto de marcadores.
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Teoria da Partilha Equlilbrada
Para aCatarina
O marcador encontrado é o da Catarina pelo que lhe é entregue um segmento de chocolates.
De seguida são retirados os seus marcadores.
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Teoria da Partilha Equlilbrada
Para aAna
Procuramos agora o 1º marcador do 3º conjunto de marcadores.
O marcador encontrado é o da Ana pelo que recebe um segmento de chocolates.
Em seguida os seus marcadores são retirados.
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Teoria da Partilha Equlilbrada
Para aDiana
Continuamos a examinar o array da esquerda para a direita eencontramos ainda o marcador D3 que pertence à Diana que,recebe o seu segmento.
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Teoria da Partilha Equlilbrada
Cada criança recebeu um segmento de chocolates.No entanto,sobram chocolates!!!
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Teoria da Partilha Equlilbrada
Divisão do excesso
Estipulamos aleatoriamente umaordem entre as crianças.Cada uma vai escolhendo um chocolate até acabarem.
Consideremos a seguinte ordem:Catarina,Diana,Beatriz e Ana.Que escolhem respectivamente:
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Teoria da Partilha Equlilbrada
A Catarina escolhe a peça 11:
A Diana escolhe a peça 5 :
A Beatriz escolhe a peça 6:
A Ana fica com a peça 10: