Teoría Básica de Probabilidad
-
Upload
juliho-castillo -
Category
Education
-
view
971 -
download
1
Transcript of Teoría Básica de Probabilidad
![Page 1: Teoría Básica de Probabilidad](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062905/5a6cf9487f8b9abd418b4b07/html5/thumbnails/1.jpg)
Probabilidad y Estadıstica:Teorıa de la Probabilidad
Dr. Juliho Castillo18 de septiembre de 2017
Universidad LaSalle Oaxaca
1
![Page 2: Teoría Básica de Probabilidad](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062905/5a6cf9487f8b9abd418b4b07/html5/thumbnails/2.jpg)
1 Probabilidad basica
Experimentos aleatorios
El espacio muestral
Eventos
El Concepto de Probabilidad
Los Axiomas de la probabilidad
Algunos teoremas importantes en probabilidad
Asignacion de probabilidades
Ejercicios resueltos
Probabilidad condicional
Teoremas sobre Probabilidad Condicional2
![Page 3: Teoría Básica de Probabilidad](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062905/5a6cf9487f8b9abd418b4b07/html5/thumbnails/3.jpg)
Eventos independientes
2 Analisis combinatorio
Principio fundamental del conteo y diagramas de arbol
Permutaciones
Combinaciones
Ejercicios resueltos
3
![Page 4: Teoría Básica de Probabilidad](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062905/5a6cf9487f8b9abd418b4b07/html5/thumbnails/4.jpg)
Probabilidad basica
4
![Page 5: Teoría Básica de Probabilidad](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062905/5a6cf9487f8b9abd418b4b07/html5/thumbnails/5.jpg)
Probabilidad basica
Experimentos aleatorios
5
![Page 6: Teoría Básica de Probabilidad](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062905/5a6cf9487f8b9abd418b4b07/html5/thumbnails/6.jpg)
Ejemplo 1.1.
Si lanzamos una moneda, el resultado del experimento sera“aguila” (que simbolizaremos por T o 0) o “sol” (simbolizadopor H o 1),es decir, uno de los elementos del conjunto {T,H}(o bien {0, 1} .)
6
![Page 7: Teoría Básica de Probabilidad](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062905/5a6cf9487f8b9abd418b4b07/html5/thumbnails/7.jpg)
Ejemplo 1.2.
Si lanzamos un dado, el resultado del experimento resultara enuno de los numeros del conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6} .
7
![Page 8: Teoría Básica de Probabilidad](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062905/5a6cf9487f8b9abd418b4b07/html5/thumbnails/8.jpg)
Ejemplo 1.3.
Si lanzamos una moneda dos veces, existen cuatro posiblesresultados:
{HH,HT, TH, TT} .
8
![Page 9: Teoría Básica de Probabilidad](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062905/5a6cf9487f8b9abd418b4b07/html5/thumbnails/9.jpg)
Ejemplo 1.4.
Si estamos haciendo tornillos con una maquina, el resultadodel experimento es que un tornillo puede salir defectuoso.Entonces cuando el tornillo este fabricado pertenecera alconjunto
{defectuoso, no defectuoso}
9
![Page 10: Teoría Básica de Probabilidad](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062905/5a6cf9487f8b9abd418b4b07/html5/thumbnails/10.jpg)
Ejemplo 1.5.
Si un experimento consiste en medir la vida util de unabombilla electrica producida por una companıa, entonces elresultado del experimento es tiempo t medido en horas enalgun intervalo
0 ≤ t ≤ T,
donde T es el tiempo de vida maximo de una bombilla.
10
![Page 11: Teoría Básica de Probabilidad](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062905/5a6cf9487f8b9abd418b4b07/html5/thumbnails/11.jpg)
Probabilidad basica
El espacio muestral
11
![Page 12: Teoría Básica de Probabilidad](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062905/5a6cf9487f8b9abd418b4b07/html5/thumbnails/12.jpg)
Un conjunto S que consiste de todos los posibles resultados deun experimento aleatorio es llamado espacio muestral, ycada posible resultado es llamado un punto muestral.
Usualmente existira mas de un espacio muestral que describeun experimento, pero usualmente, solo uno provee la mayorinformacion.
12
![Page 13: Teoría Básica de Probabilidad](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062905/5a6cf9487f8b9abd418b4b07/html5/thumbnails/13.jpg)
Ejemplo 1.6.
Si lanzamos un dado, un posible espacio muestral esta dadopor {1, 2, 3, 4, 5, 6} , mientras que otro esta dado por{par, impar} .
13
![Page 14: Teoría Básica de Probabilidad](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062905/5a6cf9487f8b9abd418b4b07/html5/thumbnails/14.jpg)
Ejemplo 1.7.
Si lanzamos una moneda dos veces seguidas un posible espaciomuestral esta dado en el ejemplo 1.3, mientras que otro estadado por
{(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)} .
14
![Page 15: Teoría Básica de Probabilidad](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062905/5a6cf9487f8b9abd418b4b07/html5/thumbnails/15.jpg)
15
![Page 16: Teoría Básica de Probabilidad](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062905/5a6cf9487f8b9abd418b4b07/html5/thumbnails/16.jpg)
Tipos de espacio muestral
Finito: tiene un numero finito de puntos.Infinito numerable: Tiene tantos puntos como losnumeros naturales N (es decir, podemos numerar elespacio).Infinito no numerable: Tiene tantos puntos como larecta real R. Por ejemplo, el intervalo 0 < x < 1.
16
![Page 17: Teoría Básica de Probabilidad](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062905/5a6cf9487f8b9abd418b4b07/html5/thumbnails/17.jpg)
Si el espacio muestral es finito o infinito numerable, diremosque es discreto. Si es infinito no numerable, diremos que escontinuo.
17
![Page 18: Teoría Básica de Probabilidad](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062905/5a6cf9487f8b9abd418b4b07/html5/thumbnails/18.jpg)
Probabilidad basica
Eventos
18
![Page 19: Teoría Básica de Probabilidad](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062905/5a6cf9487f8b9abd418b4b07/html5/thumbnails/19.jpg)
Un evento es un subconjunto A de un espacio muestral S, esdecir, un subconjunto de todos los posibles resultados de unexperimento.
Si el resultado es un elemento de A, diremos que A haocurrido.
Un evento que consiste de un unico punto de S es llamado aveces evento elemental o simple.
19
![Page 20: Teoría Básica de Probabilidad](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062905/5a6cf9487f8b9abd418b4b07/html5/thumbnails/20.jpg)
Ejemplo 1.8.
Si lanzamos una moneda dos veces, el evento de queobtengamos exactamente un aguila es un subconjunto delespacio muestral:
20
![Page 21: Teoría Básica de Probabilidad](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062905/5a6cf9487f8b9abd418b4b07/html5/thumbnails/21.jpg)
Como eventos particulares, podemos considerar todo elespacio muestral S como el evento cierto o seguro y elconjunto vacıo ∅ como el evento imposible.
21
![Page 22: Teoría Básica de Probabilidad](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062905/5a6cf9487f8b9abd418b4b07/html5/thumbnails/22.jpg)
Operaciones entre eventos
Supongamos que A,B son dos eventos.
A ∪B es el evento ‘‘ocurre A o B o ambos’’, ytambien es llamado union de A con B.A ∩B es el evento ‘‘ocurre A y B’’, y tambien esllamado interseccion de A con B.A′ es el evento ‘‘no ocurre A’’, y tambien esllamado negacion de A.A−B = A ∩B′ es el evento ‘‘ocurre A pero noB’’, y tambien es llamado diferencia de A menos B.Observe que A′ = S − A.
22
![Page 23: Teoría Básica de Probabilidad](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062905/5a6cf9487f8b9abd418b4b07/html5/thumbnails/23.jpg)
Si A ∩B = ∅, entonces diremos que A y B son disjuntos omutuamente excluyentes.
Definicion 1.1.Si A1, A2, ... es una coleccion de eventos tales queAi ∩ Aj = ∅ siempre que i 6= j, entonces diremos que soneventos mutuamente excluyentes
23
![Page 24: Teoría Básica de Probabilidad](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062905/5a6cf9487f8b9abd418b4b07/html5/thumbnails/24.jpg)
Definicion 1.2.Si A1, A2, ... son eventos mutuamente excluyentes diremos queA1 ∪ A2 ∪ ... es la union disjunta de tales eventos y en esecaso escribiremos
A1 t A2 t ...
Si
S = A1 t A2 t ...
diremos que A1, A2, ... es una particion de S.
24
![Page 25: Teoría Básica de Probabilidad](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062905/5a6cf9487f8b9abd418b4b07/html5/thumbnails/25.jpg)
Ejemplo 1.9.
Respecto al experimentos de lanzar una moneda dos veces,consideremos el evento A que consiste en obtener al menosun sol, mientras que el evento B consiste en que el segundolanzamiento sea un aguila.
Entonces A = {TH,HT,HH} ,B = {HT, TT} y por tanto
(a) A ∪B ={HT, TH,HH, TT} = S
(b) A ∩B ={HT}(c) A′ ={TT}(d) A−B ={TH,HH}
25
![Page 26: Teoría Básica de Probabilidad](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062905/5a6cf9487f8b9abd418b4b07/html5/thumbnails/26.jpg)
Probabilidad basica
El Concepto de Probabilidad
26
![Page 27: Teoría Básica de Probabilidad](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062905/5a6cf9487f8b9abd418b4b07/html5/thumbnails/27.jpg)
A cualquier evento en un espacio muestral se le puede asignarun numero entre 0 = 0 % y 1 = 100 % que representa suprobabilidad de ocurrir.
27
![Page 28: Teoría Básica de Probabilidad](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062905/5a6cf9487f8b9abd418b4b07/html5/thumbnails/28.jpg)
Enfoque clasico
Si un evento puede ocurrir en h diferentes maneras de un totalde n posibles resultados, todos igualmente plausibles, entoncesla probabilidad del evento es h/n.
28
![Page 29: Teoría Básica de Probabilidad](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062905/5a6cf9487f8b9abd418b4b07/html5/thumbnails/29.jpg)
Ejemplo 1.10.
Supongamos que queremos conocer la probabilidad de que unsol aparezca en un solo volado. Desde que hay dos manerasdiferentes igualmente probables en que la moneda caiga, yde esas dos maneras un sol solo puede hacerlo de una manera,razonamos que su probabilidad es 1/2.
Observacion: Aquı suponemos que la moneda no estacargada.
29
![Page 30: Teoría Básica de Probabilidad](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062905/5a6cf9487f8b9abd418b4b07/html5/thumbnails/30.jpg)
Enfoque frecuencial
Si despues de n repeticiones de un experimento, donde n essuficientemente grande, se observa que un evento ocurre en hocasiones, entonces diremos que la probabilidad del evento esh/n. Esta es tambien llamada probabilidad empırica delevento.
30
![Page 31: Teoría Básica de Probabilidad](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062905/5a6cf9487f8b9abd418b4b07/html5/thumbnails/31.jpg)
Ejemplo 1.11.
Si lanzamos una moneda 1000 veces y obtenemos sol 532veces, estimamos que la probabilidad resultantes es532/1000 = 0.532.
31
![Page 32: Teoría Básica de Probabilidad](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062905/5a6cf9487f8b9abd418b4b07/html5/thumbnails/32.jpg)
Observacion: Ambos enfoque tienen sus inconvenientes:
(a) En el caso clasico, la expresion “igualmenteprobable” es vaga;
(b) mientras que en el enfoque frecuencial, “un numeromuy grande” no es preciso.
Por estas razones, los matematicos han desarrollado unenfoque axiomatico de la probabilidad.
32
![Page 33: Teoría Básica de Probabilidad](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062905/5a6cf9487f8b9abd418b4b07/html5/thumbnails/33.jpg)
Probabilidad basica
Los Axiomas de la probabilidad
33
![Page 34: Teoría Básica de Probabilidad](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062905/5a6cf9487f8b9abd418b4b07/html5/thumbnails/34.jpg)
Supongamos que tenemos un espacio muestral S. Supongamosque C es la coleccion de todos los eventos en S. Diremos queP : C → R es una funcion de probabilidad si satisface lassiguientes propiedades:
34
![Page 35: Teoría Básica de Probabilidad](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062905/5a6cf9487f8b9abd418b4b07/html5/thumbnails/35.jpg)
Axioma.Para cada evento A, se tiene que
P (A) ≥ 0. (1.1)
35
![Page 36: Teoría Básica de Probabilidad](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062905/5a6cf9487f8b9abd418b4b07/html5/thumbnails/36.jpg)
Axioma.La probabilidad del evento cierto S es
P (S) = 1. (1.2)
36
![Page 37: Teoría Básica de Probabilidad](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062905/5a6cf9487f8b9abd418b4b07/html5/thumbnails/37.jpg)
Axioma.Para cualquier cantidad numerable de eventos mutuamenteexcluyentes A1, A2, ... tenemos que
P (A1 t A2 t ...) = P (A1) + P (A2) + ... (1.3)
En particular, para dos eventos mutuamente excluyentesA1, A2,
P (A1 t A2) = P (A1) + P (A2) (1.4)
37
![Page 38: Teoría Básica de Probabilidad](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062905/5a6cf9487f8b9abd418b4b07/html5/thumbnails/38.jpg)
Probabilidad basica
Algunos teoremas importantes enprobabilidad
38
![Page 39: Teoría Básica de Probabilidad](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062905/5a6cf9487f8b9abd418b4b07/html5/thumbnails/39.jpg)
Teorema 1.1.
Si A1 ⊂ A2, entonces P (A1) ≤ P (A2) y
P (A2 − A1) = P (A2)− P (A1).
39
![Page 40: Teoría Básica de Probabilidad](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062905/5a6cf9487f8b9abd418b4b07/html5/thumbnails/40.jpg)
Teorema 1.2.
Para cada evento A,
0 ≤ P (A) ≤ 1, (1.5)
es decir, la probabilidad siempre se encuentra entre 0 % y100 %.
40
![Page 41: Teoría Básica de Probabilidad](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062905/5a6cf9487f8b9abd418b4b07/html5/thumbnails/41.jpg)
Teorema 1.3.
El evento imposible tiene probabilidad cero, es decir,
P (∅) = 0. (1.6)
41
![Page 42: Teoría Básica de Probabilidad](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062905/5a6cf9487f8b9abd418b4b07/html5/thumbnails/42.jpg)
Teorema 1.4.
La probabilidad de un evento complementarios esta dada por
P (A′) = 1− P (A) (1.7)
42
![Page 43: Teoría Básica de Probabilidad](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062905/5a6cf9487f8b9abd418b4b07/html5/thumbnails/43.jpg)
Teorema 1.5.
Si A = A1 t ... t AN es la union disjunta de eventosmutuamente excluyentes entonces
P (A) = P (A1) + ...+ P (AN). (1.8)
En particular, si S = A1 t ... t AN entonces
P (A1) + ...+ P (AN) = 1. (1.9)
43
![Page 44: Teoría Básica de Probabilidad](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062905/5a6cf9487f8b9abd418b4b07/html5/thumbnails/44.jpg)
Teorema 1.6.
Si A,B,C son dos eventos no necesariamente excluyentes,entonces
P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B). (1.10)
P (A ∪B ∪ C) = P (A) + P (B) + P (C) (1.11)− P (A ∩B)− P (B ∩ C)− P (C ∩ A)+ P (A ∪B ∪ C).
44
![Page 45: Teoría Básica de Probabilidad](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062905/5a6cf9487f8b9abd418b4b07/html5/thumbnails/45.jpg)
Teorema 1.7.
Para cualesquiera eventos A,B,
P (A) = P (A ∩B) + P (A ∩B′). (1.12)
45
![Page 46: Teoría Básica de Probabilidad](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062905/5a6cf9487f8b9abd418b4b07/html5/thumbnails/46.jpg)
Teorema 1.8.
Si A1, A2, ..., AN es una particion del espacio muestral S, esdecir, S = A1tA2t ...tAN entonces para cualquier evento A
P (A) = P (A ∩ A1) + P (A ∩ A2) + ...+ P (A ∩ AN). (1.13)
46
![Page 47: Teoría Básica de Probabilidad](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062905/5a6cf9487f8b9abd418b4b07/html5/thumbnails/47.jpg)
Probabilidad basica
Asignacion de probabilidades
47
![Page 48: Teoría Básica de Probabilidad](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062905/5a6cf9487f8b9abd418b4b07/html5/thumbnails/48.jpg)
Si un espacio muestral consiste en una cantidad finita deposibles resultados a1, ..., aN , entonces por el teorema 1.5,
P (A1) + ...+ P (An) = 1 (1.14)
donde A1, ..., An son conjuntos elementales o eventossimples dados por Ai = {ai} .
48
![Page 49: Teoría Básica de Probabilidad](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062905/5a6cf9487f8b9abd418b4b07/html5/thumbnails/49.jpg)
Se sigue que uno puede escoger de manera arbitrariacualesquiera numeros no negativos como probabilidades deestos eventos simples, siempre que se satisfaga (1.14).
En particular, si suponemos probabilidades iguales paratodos los eventos, entonces
P (Ak) = 1n, k = 1, 2, ..., n, (1.15)
y si A es un evento formado por la union disjunta de h eventossimples, entonces
P (A) = h
n. (1.16)
49
![Page 50: Teoría Básica de Probabilidad](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062905/5a6cf9487f8b9abd418b4b07/html5/thumbnails/50.jpg)
Observacion: Esto es equivalente al enfoque clasico.Pero podemos usar el enfoque frecuencial para asignardichas probabilidades.
50
![Page 51: Teoría Básica de Probabilidad](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062905/5a6cf9487f8b9abd418b4b07/html5/thumbnails/51.jpg)
Ejemplo 1.12.
Un solo dado se lanza. Encuentre la probabilidad de queobtengamos un 2 o un 5.
51
![Page 52: Teoría Básica de Probabilidad](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062905/5a6cf9487f8b9abd418b4b07/html5/thumbnails/52.jpg)
Probabilidad basica
Ejercicios resueltos
52
![Page 53: Teoría Básica de Probabilidad](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062905/5a6cf9487f8b9abd418b4b07/html5/thumbnails/53.jpg)
La baraja inglesa
La baraja esta dividida en cuatro palos (en ingles: suit), dos decolor rojo y dos de color negro:
Espadas (conocidas como picas) ♠,Corazones ♥,Rombos (conocidos como diamantes, oros o cocos) ♦,Treboles (conocidos como flores) ♣
Cada palo esta formado por 13 cartas, de las cuales 9 cartasson numerales y 4 literales. Se ordenan de menor a mayorrango”de la siguiente forma: A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Qy K.
53
![Page 54: Teoría Básica de Probabilidad](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062905/5a6cf9487f8b9abd418b4b07/html5/thumbnails/54.jpg)
Figura 1.1: Baraja inglesa
54
![Page 55: Teoría Básica de Probabilidad](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062905/5a6cf9487f8b9abd418b4b07/html5/thumbnails/55.jpg)
Problema Resuelto 1.1.
Una carta se obtiene al azar de una baraja inglesa. Describa elespacio muestral si se consideran los palos.
55
![Page 56: Teoría Básica de Probabilidad](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062905/5a6cf9487f8b9abd418b4b07/html5/thumbnails/56.jpg)
Supongamos que A es el evento ‘‘se obtiene un rey’’ osimplemente {K} , mientras que B es ‘‘se obtiene untrebol o simplemente {♣} .
56
![Page 57: Teoría Básica de Probabilidad](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062905/5a6cf9487f8b9abd418b4b07/html5/thumbnails/57.jpg)
Problema Resuelto 1.2.
Sean A = {K} , B = {♣} . Describa los siguiente eventos:
(a) A ∪B(b) A ∩B(c) A ∪B′
(d) A′ ∪B′
(e) A−B
(f) A′ −B′
(g) (A ∩B) ∪ (A ∩B′) 57
![Page 58: Teoría Básica de Probabilidad](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062905/5a6cf9487f8b9abd418b4b07/html5/thumbnails/58.jpg)
Problema Resuelto 1.3.
De una baraja inglesa se extraen 2 cartas. Encuentre laprobabilidad de que las dos sean ases si la primera carta
(a) se devuelve a la baraja(b) no se devuelve a la baraja.
58
![Page 59: Teoría Básica de Probabilidad](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062905/5a6cf9487f8b9abd418b4b07/html5/thumbnails/59.jpg)
Problema Resuelto 1.4.
En un contenedor hay 6 pelotas rojas, 4 blancas y 5 azules. Seextraen sucesivamente 3 pelotas. Encuentrese la probabilidadde que se extraigan en el orden roja, blanca y azul si
1 cada pelota se devuelve a la caja2 no se devuelve.
59
![Page 60: Teoría Básica de Probabilidad](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062905/5a6cf9487f8b9abd418b4b07/html5/thumbnails/60.jpg)
Problema Resuelto 1.5.
Encuentrese la probabilidad de que en dos lanzamientos de undado se obtengan por lo menos un 4.
60
![Page 61: Teoría Básica de Probabilidad](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062905/5a6cf9487f8b9abd418b4b07/html5/thumbnails/61.jpg)
Problema Resuelto 1.6.
Encuentre la probabilidad de no obtener 7 u 11 puntos entotal al lanzar dos dados.
61
![Page 62: Teoría Básica de Probabilidad](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062905/5a6cf9487f8b9abd418b4b07/html5/thumbnails/62.jpg)
Probabilidad basica
Probabilidad condicional
62
![Page 63: Teoría Básica de Probabilidad](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062905/5a6cf9487f8b9abd418b4b07/html5/thumbnails/63.jpg)
Sean A,B dos eventos tales que P (A) > 0.
Denotaremos por P (B|A) la probabilidad de B dado que Ahaya ocurrido y diremos que es la probabilidad condicionalde B dado A.
63
![Page 64: Teoría Básica de Probabilidad](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062905/5a6cf9487f8b9abd418b4b07/html5/thumbnails/64.jpg)
Definicion 1.3 (Probabilidad condicional).
P (B|A) = P (A ∩B)P (A) (1.17)
P (A ∩B) = P (A)P (B|A) (1.18)
64
![Page 65: Teoría Básica de Probabilidad](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062905/5a6cf9487f8b9abd418b4b07/html5/thumbnails/65.jpg)
Observacion: La probabilidad condicional satisfacetodos los axiomas de una funcion de probabilidad.Podemos pensar P (·|A) como la funcion de probabilidadque se obtiene al reemplazar el espacio muestral S por A.
65
![Page 66: Teoría Básica de Probabilidad](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062905/5a6cf9487f8b9abd418b4b07/html5/thumbnails/66.jpg)
Ejemplo 1.13.
Encontrar la probabilidad de que una solo lanzamiento de undado resulte en un numero menor que 4 si
(a) no hay mas informacion;(b) se sabe que el lanzamiento resulto en un numero impar.
66
![Page 67: Teoría Básica de Probabilidad](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062905/5a6cf9487f8b9abd418b4b07/html5/thumbnails/67.jpg)
Probabilidad basica
Teoremas sobre ProbabilidadCondicional
67
![Page 68: Teoría Básica de Probabilidad](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062905/5a6cf9487f8b9abd418b4b07/html5/thumbnails/68.jpg)
Teorema 1.9.
Para cualesquiera tres eventos A1, A2, A3, tenemos que
P (A1 ∩ A2 ∩ A3) = P (A1)P (A2|A1)P (A3|A1 ∩ A2) (1.19)
68
![Page 69: Teoría Básica de Probabilidad](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062905/5a6cf9487f8b9abd418b4b07/html5/thumbnails/69.jpg)
Teorema 1.10.
Si S = A1 t ... t AN , entonces
P (A) = P (A1)P (A|A1) + ...+ P (AN)P (A|AN) (1.20)
69
![Page 70: Teoría Básica de Probabilidad](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062905/5a6cf9487f8b9abd418b4b07/html5/thumbnails/70.jpg)
Probabilidad basica
Eventos independientes
70
![Page 71: Teoría Básica de Probabilidad](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062905/5a6cf9487f8b9abd418b4b07/html5/thumbnails/71.jpg)
Si P (B|A) = P (B), i.e., la probabilidad de que B ocurra noesta afectada por la ocurrencia de A, entonces diremos que Ay B son independientes.
Definicion 1.4.A y B son eventos independientes si y solo si
P (A ∩B) = P (A)P (B). (1.21)
71
![Page 72: Teoría Básica de Probabilidad](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062905/5a6cf9487f8b9abd418b4b07/html5/thumbnails/72.jpg)
La definicion se puede generalizar a mas de dos eventos. Porejemplo, diremos que A1, A2, A3 son eventos independientes si
k 6= j ⇒ P (Aj ∩ Ak) = P (Aj)P (Ak), j, k = 1, 2, 3 (1.22)P (A1 ∩ A2 ∩ A3) = P (A1)P (A2)P (A3). (1.23)
72
![Page 73: Teoría Básica de Probabilidad](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062905/5a6cf9487f8b9abd418b4b07/html5/thumbnails/73.jpg)
Teorema 1.11 (Teorema de Bayes).Si S = A1 t A2 t ... t AN , entonces
P (Ak|A) = P (Ak)P (A|Ak)∑j P (Aj)P (A|Aj)
(1.24)
73
![Page 74: Teoría Básica de Probabilidad](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062905/5a6cf9487f8b9abd418b4b07/html5/thumbnails/74.jpg)
Problema Resuelto 1.7.
Demuestre el teorema de Bayes.
74
![Page 75: Teoría Básica de Probabilidad](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062905/5a6cf9487f8b9abd418b4b07/html5/thumbnails/75.jpg)
Problema Resuelto 1.8.
La caja I contiene 3 canicas rojas y 2 azules, mientras que lacaja II contiene 8 canicas rojas y 8 azules. Una moneda selanza: Si cae un sol, se escoge una moneda de la caja I y sicae aguila, de la caja II. Encuentre la probabilidad de obteneruna canica roja.
75
![Page 76: Teoría Básica de Probabilidad](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062905/5a6cf9487f8b9abd418b4b07/html5/thumbnails/76.jpg)
Problema Resuelto 1.9.
Supongamos que en el problema anterior, quien lanza lamoneda no revela si ha caıdo aguila o sol (de manera que lacaja de la que se obtiene la canica no se revela) pero revelaque una canica roja se ha obtenido.¿Cual es la probabilidad dehaber obtenido un sol?
76
![Page 77: Teoría Básica de Probabilidad](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062905/5a6cf9487f8b9abd418b4b07/html5/thumbnails/77.jpg)
Analisis combinatorio
77
![Page 78: Teoría Básica de Probabilidad](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062905/5a6cf9487f8b9abd418b4b07/html5/thumbnails/78.jpg)
El analisis combinatorio es una manera sofisticada de contar.
78
![Page 79: Teoría Básica de Probabilidad](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062905/5a6cf9487f8b9abd418b4b07/html5/thumbnails/79.jpg)
Analisis combinatorio
Principio fundamental del conteo ydiagramas de arbol
79
![Page 80: Teoría Básica de Probabilidad](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062905/5a6cf9487f8b9abd418b4b07/html5/thumbnails/80.jpg)
Si una tarea se puede realizar en n formas diferentes y otra enm formas diferentes, entonces las dos tareas se pueden realizaren n×m formas diferentes.
80
![Page 81: Teoría Básica de Probabilidad](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062905/5a6cf9487f8b9abd418b4b07/html5/thumbnails/81.jpg)
Ejemplo 2.1.
1 Si una persona tiene 2 camisas y 4 corbatas, ¿de cuantasformas puede combinarlas?
2 Construya un diagrama de arbol para representar todasestas opciones.
81
![Page 82: Teoría Básica de Probabilidad](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062905/5a6cf9487f8b9abd418b4b07/html5/thumbnails/82.jpg)
Analisis combinatorio
Permutaciones
82
![Page 83: Teoría Básica de Probabilidad](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062905/5a6cf9487f8b9abd418b4b07/html5/thumbnails/83.jpg)
Si tenemos n objetos distintos y queremos ordenarlostendremos
n× (n− 1)× ...2× 1
formas diferentes de hacerlo.
83
![Page 84: Teoría Básica de Probabilidad](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062905/5a6cf9487f8b9abd418b4b07/html5/thumbnails/84.jpg)
Definicion 2.1 (n factorial).
n! =
1 n = 0n× (n− 1)! n > 0
(2.1)
84
![Page 85: Teoría Básica de Probabilidad](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062905/5a6cf9487f8b9abd418b4b07/html5/thumbnails/85.jpg)
Si tenemos n objetos distintos y queremos arreglar r de estosen una linea, entonces tendremos una permutacion de n en rdada por
P nr = n× (n− 1)× ... (n− r + 1) (2.2)
o de manera equivalente
P nr = n!
(n− r)! (2.3)
85
![Page 86: Teoría Básica de Probabilidad](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062905/5a6cf9487f8b9abd418b4b07/html5/thumbnails/86.jpg)
Ejemplo 2.2.
¿Cuantas permutaciones de longitud 3 se pueden formar conlas letras A,B,C,D,E, F,G?
86
![Page 87: Teoría Básica de Probabilidad](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062905/5a6cf9487f8b9abd418b4b07/html5/thumbnails/87.jpg)
Ejemplo 2.3.
Encuentre el numero de permutaciones diferentes de las 11letras de la palabra MISSISSIPPI.
87
![Page 88: Teoría Básica de Probabilidad](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062905/5a6cf9487f8b9abd418b4b07/html5/thumbnails/88.jpg)
Analisis combinatorio
Combinaciones
88
![Page 89: Teoría Básica de Probabilidad](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062905/5a6cf9487f8b9abd418b4b07/html5/thumbnails/89.jpg)
En una permutacion, uno esta interesado en el orden de losobjetos. Ası abc y bca son permutaciones diferentes. Pero enalgunos problemas, uno esta interesado solo en elegir objetossin importar su orden. Tales selecciones se llamancombinaciones. Por ejemplo, abc y bca representan la mismacombinacion.
89
![Page 90: Teoría Básica de Probabilidad](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062905/5a6cf9487f8b9abd418b4b07/html5/thumbnails/90.jpg)
El numero de combinacion Cnr al elegir r objetos de una
coleccion de n diferentes esta dada por el numerocombinatorio
Cnr =
nr
= n!r! (n− r)! (2.4)
90
![Page 91: Teoría Básica de Probabilidad](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062905/5a6cf9487f8b9abd418b4b07/html5/thumbnails/91.jpg)
Algunas formulas combinatorias
nr
= P (n, r)r! (2.5)
nr
= n
n− r
(2.6)nr
=n− 1r − 1
+n− 1
r
(2.7)
91
![Page 92: Teoría Básica de Probabilidad](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062905/5a6cf9487f8b9abd418b4b07/html5/thumbnails/92.jpg)
Ejemplo 2.4.
En una baraja inglesa, ¿cuantas formas hay de escoger doscartas del mismo palo?
92
![Page 93: Teoría Básica de Probabilidad](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062905/5a6cf9487f8b9abd418b4b07/html5/thumbnails/93.jpg)
Teorema 2.1 (Teorema del binomio).
(x+ y)n =n∑
r=0
nr
xryn−r (2.8)
93
![Page 94: Teoría Básica de Probabilidad](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062905/5a6cf9487f8b9abd418b4b07/html5/thumbnails/94.jpg)
Aproximacion de Stirling
n! ≈√
2πn(nne−n
)(2.9)
94
![Page 95: Teoría Básica de Probabilidad](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062905/5a6cf9487f8b9abd418b4b07/html5/thumbnails/95.jpg)
Analisis combinatorio
Ejercicios resueltos
95
![Page 96: Teoría Básica de Probabilidad](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062905/5a6cf9487f8b9abd418b4b07/html5/thumbnails/96.jpg)
Problema Resuelto 2.1.
Se requiere sentar a 5 hombres y 4 mujeres en una fila, demanera que esten alternados. ¿Cuantas manera hay de hacertal arreglo?
96
![Page 97: Teoría Básica de Probabilidad](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062905/5a6cf9487f8b9abd418b4b07/html5/thumbnails/97.jpg)
Problema Resuelto 2.2.
¿De cuantas manera podemos formar un equipo de 11personas de un total de 23?
97
![Page 98: Teoría Básica de Probabilidad](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062905/5a6cf9487f8b9abd418b4b07/html5/thumbnails/98.jpg)
Problema Resuelto 2.3.
Una caja contiene 8 canicas rojas, 3 blancas y 9 azules. Si 3canicas son obtenidas al azar sin reemplazarse, determine laprobabilidad de que
(a) las tres sean rojas;(b) las tres sean blancas;(c) dos sean rojas y una blanca;(d) al menos una sea blanca;(e) una sea de cada color;(f) sean obtenidas en el siguiente orden: rojo, blanco y azul.
98
![Page 99: Teoría Básica de Probabilidad](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062905/5a6cf9487f8b9abd418b4b07/html5/thumbnails/99.jpg)
Problema Resuelto 2.4.
En un juego de poker, 5 cartas se obtienen al azar de unabaraja inglesa. Encuentre la probabilidad de que
(a) 4 sean A;(b) 4 sean A y una sea K;(c) 3 sean 10 y dos sean J ;(d) 9, 10, J,Q,K en cualquier order;(e) 3 de un palo dado y 2 de otro palo;(f) al menos un A obtenido.
99
![Page 100: Teoría Básica de Probabilidad](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062905/5a6cf9487f8b9abd418b4b07/html5/thumbnails/100.jpg)
Problema Resuelto 2.5.
Determine la probabilidad de obtener tres 6 en cincolanzamientos de un dado.
100