PROBABILIDAD DE OSCILACION DE NEUTRINOS Y TEORÍA DE …
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RESUMEN INTRODUCCION ESTADOS DE PONTECORVO ESTADOS DE BOGOLIUBOV REFERENCIAS
PROBABILIDAD DE OSCILACION DENEUTRINOS Y TEORIA DE CAMPOS
Autor: Cesar Alfonso Agon Quintero
TutorDr. Juan Carlos D’Olivo
October 19, 2011
Cesar Alfonso Agon Quintero
OSCILACIONES DE NEUTRINOS
RESUMEN INTRODUCCION ESTADOS DE PONTECORVO ESTADOS DE BOGOLIUBOV REFERENCIAS
TABLA DE CONTENIDO
1 RESUMEN
2 INTRODUCCION
3 ESTADOS DE PONTECORVO
4 ESTADOS DE BOGOLIUBOV
5 REFERENCIAS
Cesar Alfonso Agon Quintero
OSCILACIONES DE NEUTRINOS
RESUMEN INTRODUCCION ESTADOS DE PONTECORVO ESTADOS DE BOGOLIUBOV REFERENCIAS
RESUMEN
En el presente trabajo llevamos a cabo un estudio del fenomeno de lasoscilaciones de neutrinos desde el punto de vista de la teorıa cuantica decampos con el proposito de entender algunos aspectos relativos altratamiento con paquetes de onda en la obtencion de la probabilidad detransicion de sabor entre los neutrinos.
Entre algunos de los puntos tratados, se encuentra
La caracterizacion de los paquetes desde el punto de vista de lanocion de partıculas localizadas
El rol de la teorıa de campos en la correcta definicion de los estadosde sabor
Equivalencia entre las probabilidades de transicion de sabor basadasen la funcion de onda y el valor esperado de la carga de sabor.
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PROBLEMA DE LA MEZCLA
Los neutrinos participan unicamente en las interacciones debiles, de lamanera descrita por el lagrangiano
LI =g
2√
2[W +
µ νe(x)γµ(1− γ5)e(x) + W +µ νµ(x)γµ(1− γ5)µ(x)
+W +µ ντ (x)γµ(1− γ5)τ(x) + h.c .]
− g
4 cos(θW )[νe(x)γµ(1− γ5)νe(x)Zµ + νµ(x)γµ(1− γ5)νµ(x)Zµ
+ντ (x)γµ(1− γ5)ντ (x)Zµ + h.c .]+ (1)
donde g es la constante de acoplamiento, y θW es el angulo deWeimberg.
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A partir de este lagrangiano los unicos procesos posibles a nivel arbol son
W + → e+ + νe , W− → e− + νe , Z → νe + νe ,
W + → µ+ + νµ, W− → µ− + νµ, Z → νµ + νµ,
W + → τ+ + ντ , W− → τ− + ντ , Z → ντ + ντ . (2)
lo cual implica la conservacion del numero leptonico de sabor a este nivel.Sinembargo experimentalmente se ha observado violacion del numeroleptonico con la distancia entre fuente y detector en neutrinos.
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TRATAMIENTO ESTANDAR
Una manera de describir tales efectos esta basada en la suposicion de quelos estados de sabor son combinaciones lineales de los estados masivos
|να(p, s)〉 =∑
i
U∗α,i |νi (p, s)〉 (3)
donde |να〉, representa los autoestados de sabor con α = e, µ, τ , y |νj〉los autoestados de masa con j = 1, 2, 3 y U∗α,i la matriz (Pontecorvo,Maki, Nakagawa, Sakata).La evolucion en el tiempo de los estados de sabor esta determinado por elHamiltoniano libre
|να(t)〉 = e−iHt |να〉 =∑
j
e−iEj tU∗αj |νj〉 , (4)
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Ası la amplitud de probabilidad de que el neutrino α, al tiempo t seencuentre en el estado β, es
Aα→β(t) ≡ 〈νβ |να(t)〉 (5)
luego teniendo en cuenta que los neutrinos son ultrarelativistas, podemoshacer t ≈ L y con ello
Pα→β(L) = |Aα→β(L)|2
=∣∣∣∑
j
U∗αjUβje−iEjL
∣∣∣2=
∑ij
UαiU∗βiU∗αjUβje
i(Ei−Ej )L (6)
Ei =√
p2 + m2i luego E ≈ Ei en el lımite ultrarelativista
Ei − Ej =(Ei − Ej)(Ei + Ej)
(Ei + Ej)∼=
(m2i −m2
j )
2E(7)
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Problemas en la derivacion
Pα→β(L) =∣∣∣∑
i
U∗αieim2
i L/EUβi
∣∣∣2, (8)
Descripcion en autoestados de momento
Definicion de estados de sabor
Ausencia del caracter de espin en la descripcion de los estados
Ausencia de la teorıa de campos en la descripcion
En la literatura se encuentran trabajos que se basan en elementos quevan desde:Mecanica Cuantica NR, R, → Diagramas de Feynman
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En el marco del modelo estandar (con neutrinos masivos), los terminosmasivos asociado a los neutrinos no pueden diagonalizarse al mismotiempo que los terminos de interaccion, lo cual implica que los estados desabor y de masa no coinciden entre sı.
L0 = Ψ(x)(iΓµDµ −M)Ψ(x), (9)
donde
Ψ(x) =
νe(x)νµ(x)ντ (x)
y M =
mee meµ meτ
mµe mµµ mµτ
mτe mτµ mττ
, (10)
Γµ = γµ1, Dµ = 1∂µ, con 1 la identidad en 3 dimensiones.
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La transformacion Ψ ≡ UΨM , hace que el nuevo lagrangiano tome laforma
L0 = ΨM(x)(iΓµDµ − M)ΨM(x), (11)
con
ΨM(x) =
ν1(x)ν2(x)ν3(x)
y M =
m1 0 00 m2 00 0 m3
, (12)
La relacion fundamental es por tanto
Ψα(x) =∑
j
UαjΨj(x) (13)
donde Uα,i son los elementos de la matriz de (Pontecorvo, Maki,Nakagawa, Sakata).
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DESARROLLO DE LOS CAMPOS
Un campo espinorial libre, se puede escribir en cualquier base completade funciones que satisfagan la ecuacion de Dirac libre. Por tanto:
Ψ(x) =
∫d3p
∑s
[Up,s(x)α(p, s) + Vp,s(x)β†(p, s)] , (14)
donde Up,s(x) y Vp,s(x) son ondas planas construidas a partir de lassoluciones de la ecuacion de Dirac en el espacio de momentos defrecuencias positiva u(p, s) y negativa v(p, s) respectivamente
Up,s(x) =1
(2π)3/2u(p, s)e−ipx y Vp,s(x) =
1
(2π)3/2v(p, s)e ipx .
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Estos espinores base se escogen completos y ortogonales lo cual puederesumirse en∑
s
{ua(p, s)u†b(p, s) +va(−p, s)v†b (−p, s)
}= δa,b
u†(p, s)u(p, s) = δs,s′ , v†(p, s)v(p, s) = δs,s′
u†(p, s)v(−p, s) = 0. v†(−p, s)u(p, s) = 0. (15)
para garantizar las siguientes relaciones de anticonmutacion{α(p, s), α†(p′, s ′)
}= δ(p,p′)δs,s′ ,
{β(p, s), β†(p′, s ′)
}= δ(p,p′)δs,s′
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Por otra parte, el campo Ψin(x) se puede desarrollar tambien en terminosde cualquier otro conjunto completo y ortogonal de soluciones de laecuacion de Dirac
Ψ(x) =∑n,s
[fn(x , s)α(n, s) + gn(x , s)β†(n, s)] (16)
donde las paquetes de onda fn(x , s) y gn(x , s) se contruyen a apartir delas ondas planas del anterior desarrollo
fn(x , s) =
∫d3pf (n,p)Up,s(x)
y gn(x , s) =
∫d3pf (n,p)Vp,s(x).
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los paquetes satisfacen las propiedades de ortogonalidad y completez∫d3pf ∗(n,p)f (n′,p) = δn,n′ ,
∑n
f ∗(n,p)f (n,p′) = δ(p,p′),
que garantiza las relaciones de conmutacion{α(n, s), α†(n′, s ′)
}= δn,n′δs,s′ ,
{β(n, s), β†(n′, s ′)
}= δn,n′δs,s′ (17)
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PAQUETES DE ONDA Y ESTADOS DE PONTECORVO
Los campos masivos y los campos de sabor, descritos por el ModeloEstandar estan relacionados de la manera siguiente:
Ψα(x) =∑
j
UαjΨj(x) , (18)
donde α = e, µ, τ . Expandiendo el campo en una base de ondas planas, ydefiniendo a los autoestados de sabor y trimomento |να(p, s)〉 de lamanera establecida por Pontecorvo tenemos
|να(p, s)〉 ≡∑
j
U∗αj |νj(p, s)〉 , (19)
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Los operadores de sabor y masa localizados estan relacionados con susrespectivos autoestados de momento por
|ν(l)j (n, s)〉 ≡
∫d3pf
(l)j (n,p)|νj(p, s)〉 . (20)
|ν(l)α (n, s)〉 ≡
∫d3pf (l)
α (n,p)|να(p, s)〉 . (21)
y de estas se obtiene que
|νj(p, s)〉 =∑
n
f ∗j (n,p)|νj(n, s)〉 , (22)
de manera que la relacion de Pontecorvo para estos estados es
|να(n, s)〉 =∑
j
U∗αj
∑n′
∫d3pfα(n,p)f ∗j (n′,p)|νj(n
′, s)〉 . (23)
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AMPLITUD Y PROBABILIDAD DE TRANSICION
A partir del campo libre Ψj(x) en el espacio de coordenadas, la funcionde onda asociada con el estado localizado de una partıcula de masa mj
resulta
ψnj (x)δij = 〈0|Ψj(x)|νi (n, s)〉 = f j
n (x , s)δij , (24)
osea, corresponde a la funcion espinorial que, en el desarrollo del campomasivo, multiplica al operador que crea dicho estado. La ecuacion (24)nos da la amplitud de probabilidad de encontrar un neutrino de masa mi
en la posicion x, al tiempo t.
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Para los estados de sabor, la definicion dada en (24) puede sergeneralizada como sigue
ψnα→β(x) = 〈0|Ψβ(x)|να(n, s)〉 , (25)
donde los ındices α y β, no estan restringidos a ser iguales paragarantizar una amplitud distinta de cero. La funcion de onda definida en(25), representa la amplitud de probabilidad de encontrar un neutrino desabor β, en la posicion x al tiempo t.
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La funcion de onda de sabor obtenida a partir de la definicion anterior es
ψnα→β(x) =
∑i,j
UβiU∗αj
∑n′
∫d3pfα(n,p)f ∗j (n′,p)〈0|Ψi (x)|νj(n
′, s)〉,
=∑
j
UβjU∗αj
∫d3p
(2π)3/2fα(n,p)uj(p, s)e−ipx . (26)
y la probabilidad de transicion
Pnα→β(t) ≡
∫d3x |ψn
α→β(x)|2 (27)
=∑j,i
UβjU∗αjU
∗βiUαi
∫d3p|fα(n,p)|2 Ui,j(p)e−i(ωj−ωi )t
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donde Ui,j(p) = u†i (p, s)uj(p, s).que en la base quiral es
uj(p, s) = χj
(1 + σ·p
mj +ωj
)ξs(
1− σ·pmj +ωj
)ξs
donde χj =
(mj + ωj
4ωj
)1/2
(28)
los ξs son espinores bidimensionales y estan ortonormalizados de lamanera usual como ξ†r ξs = δrs . Ademas
Uj,j(p) = u†j (p, s)uj(p, s) = 1
Ui,j(p) = u†i (p, s)uj(p, s) =1
2
[√1 +
mi
ωi
√1 +
mj
ωj
+
√1− mi
ωi
√1− mj
ωj
].
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0.00 0.01 0.02 0.03 0.04p@eVD
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1U12@eVD
Figure: |U12(p)| como funcion de |p|, en puntos para m1 = 10−2[eV ] ym2 = 10−3[eV ], lınea a trazos m1 = 10−2[eV ] y m2 = 10−4[eV ], lıneacontinua para m1 = 10−2[eV ] y m2 = 0[eV ].
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La probabilidad puede escribirse como
Pnα→β(t) =
∫d3p|fα(n,p)|2Pp
α→β(t) , (29)
Ppα→β(t) representa la probabilidad de transicion de sabor derivada de
una descripcion en terminos de ondas planas:
Ppα→β(t) =
∑j,i
UβjU∗αjU
∗βiUαi Ui,j(p)e−i(ωj−ωi )t . (30)
La probabilidad obtenida por el tratamiento estandar fue
Ppα→β(t) =
∑j,i
UβjU∗αjU
∗βiUαie
−i(ωj−ωi )t . (31)
La normalizacion de la probabilidad se mantiene en el tiempo, en efectosumando sobre los estados finales, dada la normalizacion de los espinores,resulta ∑
β
Ppα→β(t) =
∑j
UαjU∗αj Uj,j(p) = 1. (32)
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Sin embargo, en t = 0,
Ppα→β(0) =
∑i
|U∗βi |2|Uαi |2 +∑i>j
2<{U∗βiUβjUαiU∗αj} Ui,j(p) ,
Ppα→β(0) = δαβ +
∑i>j
2( Ui,j(p)− 1)<{U∗βiUαiUβjU∗αj}. (33)
Si al momento de la producion de los neutrinos, los estadoscorrespondientes son autoestados de sabor entonces es deseable que
Ppα→β(0) = δαβ . (34)
lo cual implica violacion del numero leptonico en el vertice de produccion,conocido como violacion intrinseca de la carga de sabor [Nishi, Phys RevD 78].
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Por otra parte, en el caso estandar∑β
Ppα→β(t) = 1, Pp
α→β(0) = δαβ . (35)
En el regimen ultrarelativista, es decir en el lımite en que mi/ωi � 1, quees caracterıstico de los neutrinos, Ui,j(p) = 1 + O((mi/ωi )
2) y por tanto
Ppα→β(0) = δαβ + O((mi/ωi )
2) . (36)
vemos con ello que el termino de violacion de carga es despreciable. Sinembargo parece tener mayor consistencia el tratamiento estandar.
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DEPENDENCIA ESPACIAL DE LAS OSCILACIONES
La dependencia de la probabilidad de transicion en la distancia recorridadebe extraerse del comportamiento de la funcion de onda de sabor, paraello partimos de
ψnα→β(x) =
∑j
UβjU∗αj
∫d3p
(2π)3/2|fα(n,p)|uj(p, s)e−ipxe iΦ(l)
α (n,p) ,
La maxima contribucion a esta integral representara las posiciones masprobables de las partıculas que se propagan xj(t) lo cual sucede cuando la
fase total es estacionaria en el punto en que la amplitud |fα(n,p)| esmaxima. Es decir
∇p(−ωj t + p·x + Φ(l)α (n,p))|Pn
= 0 , en x = xj(t) , (37)
de donde se deduce que
xj(t) = ∇p(ωj t − Φ(l)α (n,p))|Pn
,
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Haciendo una aproximacion lineal de la fase total se obtiene
ψnα→β(x) ∼= e iΦ(l)
α (n,P)∑
j
UβjU∗αje−iPjxj
×∫
d3p
(2π)3/2|fα(n,p)|uj(p, s) e ip·(x−xj (t)), (38)
siendoxj(t) =
Pt
ωPj−∇pΦ(l)
α (n,p)∣∣∣P
=Pt
ωPj+ x0 .
Es decir, la funcion de onda es una superposicion de paquetes de ondamasivos, que se propagan a distintas velocidades de grupo vj = P/ωPj
casi degeneradas cada uno compuesto por una onda plana con momentoigual al momento central del paquete.
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En la region en que es valido pensar en oscilaciones, es decir en la regionen que los paquetes estan suficientemente cercanos, por ejemplo
-4 -2 0 2 4x
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
jΑΒ HxL
podemos definir la posicion de la partıcula de sabor de forma semiclasicapromediando las posiciones de los paquetes masivos con las energıas deestos estados
L ≡∑
i ωPiLi∑j ωPj
(39)
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Sin embargo, el lımite semiclasico de partıculas con mezcla no seentiende aun dado que estas partıculas surgen de un fenomenopuramente cuantico. Para las partıculas masivas tenemos
〈x(t)〉 = 〈x(0)〉+⟨pt
E
⟩(40)
la cual coincide con su equivalente clasico cambiando simplemente devalores esperados a cantidades clasicas.
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VALOR ESPERADO Y MEZCLA
Teniendo en cuenta que a partir de la funcion de onda de sabor se tiene∑β
∫d3x |ψα→β(x)|2 = 1, (41)
Podemos proponer como valor esperado del operador de posicion de estapartıcula
〈x〉 ≡∑β
∫d3xψ∗nα→β(x) xψn
α→β(x) , (42)
=∑
j
|Uαj |2∫
d3xψ∗nj,α(x) xψnj,α(x) . (43)
donde hemos definido a
ψnj,α(x) ≡
∫d3p
(2π)3/2fα(n,p)uj(p, s)e−ipx (44)
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con ello tenemos
〈x〉 =∑
j
|Uαj |2〈x〉j , (45)
Esta definicion es mas fiel a la figura anterior, y ademas en el lımite enque θ → 0, Le → L1 y Lµ → L2. Sin embargo, la diferencia entre estasdos definiciones afecta tan poco los datos observables que serıanindistinguibles.A partir de nuestra primera definicion tenemos
t =ωP|L||P|
, , ωP ≡∑
j
ωPj
N, (46)
pero dado que este tratamiento no reprodujo las propiedades requeridaslo dejaremos hasta este punto.
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CASO DE DOS NEUTRINOS
Consideramos el caso mas sencillo de mezcla entre dos neutrinos, que enel tratamiento estandar da lugar a las siguientes probabilidades detransicion
Pe→µ(L) = sin2 2θ[1− cos
((m2
2 −m21)L
2E
)].
Pe→e(L) = 1− sin2 2θ[1− cos
((m2
2 −m21)L
2E
)],
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Suponiendo que las funciones gaussianas aproximan suficientemente biena alguna eleccion de paquetes ortogonales y completos, tendremos
PPe→µ(L)∼=
sin2(2θ)
2
(1− |U12(P)| cos(2πL/λ)e−L2/L2
coh
),
PPe→e(L)∼= 1− sin2(2θ)
2
(1− |U12(P)| cos(2πL/λ)e−L2/L2
coh
), (47)
donde
|fe(n,p)|2 =1
(2πσ2)3/2e−
(p−P)2
2σ2 , (48)
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σ representa la incertidumbre en el momento central, λ la longitud deonda del termino oscilante de las probabilidades de transicion y Lcoh sulongitud de coherencia.
σp �(m2
1 −m22)
2π|P|, σx �
λ
2π. (49)
Estas cantidades estan dadas por
λ =4π|P|
(m21 −m2
2), Lcoh =
2√
2ωP1ωP2
σ(m21 −m2
2). (50)
Tomando como datos para sin2θ23 =0.5, sin2θ12 =0.3, m1 = 0.,m2 = 10−2 y m3 = 5 · 10−1, graficamos la probabilidad de transicionentre neutrinos del electron y neutrinos del muon.
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0.000 0.002 0.004 0.006 0.008 0.010 0.012L@mD
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Pe®ΜP HLL
Figure: PPe→µ(L) para σ = 0.01[eV ] y P = 0.1[eV ].
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0.002 0.004 0.006 0.008L@mD
-0.001
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
De®ΜP-EHLL, Re®Μ
P-EHLL
0.002 0.004 0.006 0.008L@mD
-0.0006
-0.0004
-0.0002
0.0002
0.0004
0.0006
De®ΜP-EHLL, Re®Μ
P-EHLL
Figure: DP−Ee→µ (L) en lınea continua y RP−E
e→µ (L) en lınea a trazos, conσ = 0.01[eV ] y P = 0.1[eV ]. Cada grafica tiene distinto rango.
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ESTADOS DE BOGOLIUBOV
Partiendo de la relacion entre los campos(Ψe(x)Ψµ(x)
)=
(cos θ sin θ− sin θ cos θ
)(Ψ1(x)Ψ2(x)
),
es posible construir un operador unitario tal que(Ψe(x)Ψµ(x)
)= G−1
θ (t)
(Ψ1(x)Ψ2(x)
)Gθ(t) (51)
donde
Gθ(t) = exp
[θ
∫d3x(Ψ†1(x)Ψ2(x)−Ψ†2(x)Ψ1(x))
]. (52)
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Expresamos los campos en terminos de las soluciones de ondas planas dela ecuacion de Dirac con condiciones periodicas en una cajaarbitrariamente grande tenemos.
Ψi (x) =1√V
∑k,r
[ur
k,iαrk,i (t) + v r
−k,iβr†−k,i (t)
]e ik·x, i = 1, 2 (53)
donde αrk,i (t) = e−iωi tαr
k,i , y βrk,i (t) = e iωi tβr
k,i operadores deaniquilacion de partıcula y antipartıcula.
Ψi (x) =∑n,r
[f rn,i (x)αr
n,i (t) + g rn,i (x)βr†
n,i (t)], i = 1, 2 , (54)
siendo
f rn,i (x) =
∑k
f in,k
urk,i√V
e ik·x g rn,i (x) =
∑k
f in,k
v r−k,i√V
e ik·x . (55)
Cesar Alfonso Agon Quintero
OSCILACIONES DE NEUTRINOS
RESUMEN INTRODUCCION ESTADOS DE PONTECORVO ESTADOS DE BOGOLIUBOV REFERENCIAS
De manera equivalente escribimos a los campos de sabor
Ψσ(x) =∑n,r
[f rn,σ(x)αr
n,σ(t) + g rn,σ(x)βr†
n,σ(t)], σ = e, µ ,
donde f rn,σ(x) y g r
n,σ(x) son soluciones de la ecuacion de Dirac para unparametro de masa arbitrario mσ.Las cantidades observables derivadas de estos campos no deben dependerdel parametro de masa.
αsn,σ(t) =
∫d3xf s†
n,σ(x)Ψσ(x), βs†n,σ(t) =
∫d3xg s†
n,σ(x)Ψσ(x) ,
y Ψσ(x) = G−1θ (t)Ψj(x)Gθ(t),(
αsn,σ(t)βs†
n,σ(t)
)= G−1
θ (t)
{∫d3x
(f s†n,σ(x)
g s†n,σ(x)
)Ψj(x)
}Gθ(t) .
Cesar Alfonso Agon Quintero
OSCILACIONES DE NEUTRINOS
RESUMEN INTRODUCCION ESTADOS DE PONTECORVO ESTADOS DE BOGOLIUBOV REFERENCIAS
si se usan bases para los espinores ur , v r† y us , v s†, ortogonales para r 6= s∫d3xf s†
n,σ(x)Ψj(x) =∑
k
f σ∗n,k [us†k,σu
sk,jα
sk,j(t) + us†
k,σvs−k,jβ
s†−k,j(t)] ,∫
d3xg s†n,σ(x)Ψj(x) =
∑k
f σ∗n,k [v s†−k,σu
sk,jα
sk,j(t) + v s†
−k,σvs−k,jβ
s†−k,j(t)] ,
e identificamos a cos(χj) = |k|/ωj y cos(χσ) = |k|/ωσ, podemos escribir
us†k,σu
sk,j = v s†
−k,σvs−k,j = ρσ,j = cos
(χσ − χj
2
), (56)
us†k,σv
s−k,j = v s†
−k,σusk,j = iλσ,j = i sin
(χσ − χj
2
). (57)
Cesar Alfonso Agon Quintero
OSCILACIONES DE NEUTRINOS
RESUMEN INTRODUCCION ESTADOS DE PONTECORVO ESTADOS DE BOGOLIUBOV REFERENCIAS
Con ello la relacion entre operadores de creacion se vuelve(αs
k,σ(t)
βs†−k,σ(t)
)= G−1
θ (t)
(ρσ,j iλσ,jiλσ,j ρσ,j
)(αs
k,j(t)
βs†−k,j(t)
)Gθ(t) .
esta rotacion puede igualmente generarse a traves de un operadorunitario I (t)(
ρσ,j iλσ,jiλσ,j ρσ,j
)(αs
k,j(t)
βs†−k,j(t)
)= I−1(t)
(αs
k,j(t)
βs†−k,j(t)
)I (t) , (58)
con I (t) dado por [Fuji, et al, Phys. Rev. D 59, (1999), Phys. Rev. D64(2001)]
I (t) = exp
{i∑k′s′
∑(σ,j)
ζσ,j(k′)[αs′†
k′,j(t)βs′†−k′,j(t) + βs′
−k′,j(t)αs′
k′,j(t)]
},
Cesar Alfonso Agon Quintero
OSCILACIONES DE NEUTRINOS
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Los operadores de sabor quedan relacionados con los operadores de masapor (
αsk,σ(t)
βs†−k,σ(t)
)= K−1(t)
(αs
k,j(t)
βs†−k,j(t)
)K (t) , (59)
con K (t) = I (t)Gθ(t). Esta es la transformacion de Bogoliubov entre losoperadores de sabor y los operadores de masa.Interpretando a αs
k,σ(t) y βs−k,σ(t), a t = 0, como los operadores de
aniquilacion de sabor
αsk,σ(0)K−1(0)|0〉1,2 = K−1(0)αs
k,j |0〉1,2 = 0 ,
βs−k,σ(0)K−1(0)|0〉1,2 = K−1(0)βs
−k,j |0〉1,2 = 0 , (60)
de allı concluımos que el vacıo aniquilado por los operadores de sabor es
|0〉e,µ ≡ K−1(0)|0〉1,2 . (61)
Cesar Alfonso Agon Quintero
OSCILACIONES DE NEUTRINOS
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Los estados que describen los neutrinos del electron y del muon son
|νe(k, s)〉 ≡ αs†k,e(0)|0〉e,µ ,
|νµ(k, s)〉 ≡ αs†k,µ(0)|0〉e,µ . (62)
debido a la arbitrariedad en la masa escogemos para los campos de saborlos parametros mj , con ello(
αsk,σ(t)
βs†−k,σ(t)
)= G−1
θ (t)
(αs
k,j(t)
βs†−k,j(t)
)Gθ(t)
(αs
k,e(t)
βs†−k,e(t)
)=
∫d3x
∑n
f 1n,k
(f s†n,1(x)
g s†n,1(x)
)G−1θ (t)Ψ1(x)Gθ(t),
Cesar Alfonso Agon Quintero
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reabsorbiendo las fases de los operadores masivos provenientes de suevolucion temporal, la evaluacion resultante es
αrk,e(t) = cos θ αr
k,1 + sin θ(U∗k (t) αr
k,2 + εr Vk(t) βr†−k,2
)αr
k,µ(t) = cos θ αrk,2 − sin θ
(Uk(t) αr
k,1 − εr Vk(t) βr†−k,1
)βr−k,e(t) = cos θ βr
−k,1 + sin θ(U∗k (t) βr
−k,2 − εr Vk(t) αr†k,2
)βr−k,µ(t) = cos θ βr
−k,2 − sin θ(Uk(t) βr
−k,1 + εr Vk(t) αr†k,1
)donde εr = (−1)r
Cesar Alfonso Agon Quintero
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Uk(t) ≡ ur†k,2(t)ur
k,1(t) = v r†−k,1(t)v r
−k,2(t) = |Uk| e i(ω2−ω1)t
Vk(t) ≡ εr ur†k,1(t)v r
−k,2(t) = −εr ur†k,2(t)v r
−k,1(t) = |Vk| e i(ω2+ω1)t
|Uk| =|k|2 + (ω1 + m1)(ω2 + m2)
2√ω1ω2(ω1 + m1)(ω2 + m2)
|Vk| =(ω1 + m1)− (ω2 + m2)
2√ω1ω2(ω1 + m1)(ω2 + m2)
|k|
|Uk|2 + |Vk|2 = 1.
Cesar Alfonso Agon Quintero
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Utilizando la definicion de funcion de onda de sabor, asi como los estadosde Bogoliubov, obtenemos
ψnρ→σ(x) = 〈0|Ψσ(x)|νρ(n, s)〉 ,
=∑kk′,r
f jn,k
urk′,i√V
e ik′·x〈0|αrk′,σ(t)αs†
k,ρ(0)|0〉
+∑kk′,r
f jn,k
v r−k′,i√
Ve ik′·x〈0|βr†
−k′,σ(t)αs†k,ρ(0)|0〉 ,
=∑
k
f jn,k
e ik·x√
V
[us
k,i
{αs
k,σ(t), αs†k,ρ(0)
}+ v s−k,i
{βs†−k,σ(t), αs†
k,ρ(0)}]
.
Cesar Alfonso Agon Quintero
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La probabilidad sera el cuadrado de esta cantidad integrada sobre todo elespacio, es decir
Pnρ→σ(t) =
∫d3x |Ψn
ρ→σ(x)|2 =∑
k
|f jn,k|
2Pkρ→σ(t)
donde Pkρ→σ(t) =
∣∣∣{αsk,σ(t), αs†
k,ρ(0)}∣∣∣2 +
∣∣∣{βs†k,σ(t), αs†
k,ρ(0)}∣∣∣2. (63)
Cesar Alfonso Agon Quintero
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{αr
k′,e(t), αs†k,e(0)
}= δrsδk′k
[cos2 θ + sin2 θe iω1t(|Uk|2e−iω2t + |Vk|2e iω2t)
],{
βr†k′,e(t), αs†
k,e(0)}
= δrsδk′k[2iεs |Uk||Vk| sin2 θ sin(ω2t)e−iω1t
],{
αrk′,µ(t), αs†
k,e(0)}
= δrsδk′k[sin θ cos θ|Uk|e−iω1t(e iω1t − e iω2t)
],{
βr†k′,µ(t), αs†
k,e(0)}
= δrsδk′k[εs sin θ cos θ|Vk|e−iω1t(e iω1t − e−iω2t)
].
y con ello se tiene
Pke→e(t) = 1 − sin2(2θ)
[|Uk|2 sin2
(ω2 − ω1
2t
)+ |Vk|2 sin2
(ω2 + ω1
2t
)],
Pke→µ(t) = sin2(2θ)
[|Uk|2 sin2
(ω2 − ω1
2t
)+ |Vk|2 sin2
(ω2 + ω1
2t
)],
Cesar Alfonso Agon Quintero
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la cual esta claramente normalizada, es decir, para todo t, se cumple que
Pke→e(t) + Pk
e→µ(t) = 1. (64)
al igual que para los estados de paquetes de onda
Pne→e(t) + Pn
e→µ(t) =∑
k
|f 1n,k|2
(Pk
e→e(t) + Pke→e(t)
)= 1 . (65)
y satisface la condicion inicial de sabor
Pne→e(0) = 1 ,
Pne→µ(0) = 0 , (66)
es decir, nuestros estados de neutrino son correctos autoestados de sabor.
Cesar Alfonso Agon Quintero
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CARGA DE SABOR Y PROBABILIDAD DE TRANSICION
Blasone y Vitiello , definen la probabilidad de transicion de un neutrinode un sabor α a otro de sabor β, como el valor esperado del operador decarga al tiempo t respecto al estado inicial del neutrino a tiempo t = 0,es decir
Pkα→β(t) ≡ 〈να|Qβ(t)|να〉 , (67)
donde Qβ(t), es el operador de carga de sabor al tiempo t, el cual estadado por
Qβ(t) =
∫d3x : Ψ†β(x)Ψβ(x) : , (68)
luego la probabilidad es
Pkα→β(t) =
∫d3x〈να| : Ψ†β(x)Ψβ(x) : |να〉 . (69)
Cesar Alfonso Agon Quintero
OSCILACIONES DE NEUTRINOS
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El operador de carga en la base de ondas planas tiene la misma formaque en la base de paquetes de onda y por tanto los estados de sabor ymomento definido son autoestados de este operador a t = 0.
Qσ(t) =∑k,r
(αr†
k,σ(t)αrk,σ(t) − βr†
−k,σ(t)βr−k,σ(t)
). (70)
en terminos de los operadores de creacion y aniquilacion deducidos deltratamiento anterior se tiene
Pnα→β(t) =
∑k
|f en,k|2Qk,β(t) donde
Pkα→β(t) =
∣∣∣{αsk,β(t), αs†
k,α(0)}∣∣∣2 +
∣∣∣{βs†−k,β(t), αs†
k,α(0)}∣∣∣2 + 〈0|Qσ(t)|0〉
=∣∣∣{αs
k,β(t), αs†k,α(0)
}∣∣∣2 +∣∣∣{βs†−k,β(t), αs†
k,α(0)}∣∣∣2
Cesar Alfonso Agon Quintero
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Nuestra expresion para la probabilidad de transicion de sabor
Pkα→β(t) =
∫d3x〈να|Ψ†β(x)|0〉〈0|Ψβ(x)|να〉, (71)
cuando se evalua es igual a la anterior como se mostro antes.Dado que las probabilidades son iguales resulta de interes ver si ladensidad de probabilidad de transicion tambien coincide con la derivadadel formalısmo de la carga de sabor. Es decir si la expresion anteriorcoincide con
Pkα→β(t) =
∫d3x〈να| : Ψ†β(x)Ψβ(x) : |να〉 . (72)
antes de integrar en x
Cesar Alfonso Agon Quintero
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EQUIVALENCIA ENTRE DENSIDADES
La densidad de probabilidad obtenida en el marco de la funcion de ondade sabor, para un neutrino que es inicialmente del electron es
〈νe |Ψ†σ(x)|0〉〈0|Ψσ(x)|νe〉 , (73)
En funcion de un completo de estados de neutrinos de sabor.
I = |0〉〈0|+∑α
∫d3k|να〉〈να|+
1
2
∑α,β
∫d3kd3k ′|νανβ〉〈νανβ |+ · · · , (74)
donde α, β son ındices que representan tanto a partıculas como aantipartıculas de sabor. Del segundo termino en adelante podemosescribir sus contribuciones en funcion de los estados de masa como
I = |0〉〈0| +∑
i
∫d3k G−1
θ (0)|νi 〉〈νi |Gθ(0)
+1
2
∑i ,j
∫d3kd3k ′ G−1
θ (0)|νiνj〉〈νiνj |Gθ(0) + · · · (75)
Cesar Alfonso Agon Quintero
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Insertamos el operador |0〉〈0|, tomado de la ecuacion (75) en la ecuacion(73)
〈νe |Ψ†σ(x)|0〉 〈0|Ψσ(x)|νe〉 = 〈νe |Ψ†σ(x)I Ψσ(x)|νe〉
−∑
i
∫d3k 〈νe |Ψ†σ(x)G−1
θ (0)|νi 〉〈νi |Gθ(0)Ψσ(x)|νe〉
− 1
2
∑i ,j
∫d3kd3k ′ 〈νe |Ψ†σ(x)G−1
θ (0)|νiνj〉〈νiνj |Gθ(0)Ψσ(x)|νe〉
− · · · (76)
Cesar Alfonso Agon Quintero
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Con el calculo detallado se llega a la relacion
〈νe |Ψ†σ(x)|0〉〈0|Ψσ(x)|νe〉 = 〈νe |Ψ†σ(x)Ψσ(x)|νe〉 −∑
s
[δ(0)]2 ,
pero la densidad de probabilidad se define en orden normal, y estacandirar , esta relacionado con su valor esperado sin orden normal por
〈νe |Ψ†σ(x)Ψσ(x)|νe〉 = 〈νe | : Ψ†σ(x)Ψσ(x) : |νe〉+∑
s
[δ(0)]2 .
Considerando estos dos resultados se deduce que en efecto lasdensidades de probabilidad definidas con la densidad de carga ycon la funcion de onda coinciden entre sı,
〈νe |Ψ†σ(x)|0〉〈0|Ψνσ(x)|νe〉 = 〈νe | : Ψ†σ(x)Ψσ(x) : |νe〉 .
Cesar Alfonso Agon Quintero
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Usando un paquete gausiano para la localizacion de los estados,obtenemos
PBe→µ(L)∼=
sin2(2θ)
2
(1− |UP|2 cos(2πL/λ)e−L2/L2
coh
−|VP|2 cos(2πL/λ)e−L2/L2coh
), (77)
donde
|UP|2 ∼= 1− (m2 −m1)2
4|P|+ O((mi/|P|)4)
|VP|2 ∼=(m2 −m1)2
4|P|+ O((mi/|P|)4) . (78)
Cesar Alfonso Agon Quintero
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0.00 0.01 0.02 0.03 0.04p@eVD
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1UP
2@eVD
0.00 0.01 0.02 0.03 0.04p@eVD
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6VP
2@eVD
Figure: |Up|2 y |Up|2 como funcion de |p|, en puntos para m2 = 10−2[eV ]y m1 = 10−3[eV ], lınea a trazos para m2 = 10−2[eV ] y m1 = 10−4[eV ],lınea continua para m2 = 10−2[eV ] y m1 = 0[eV ].
Cesar Alfonso Agon Quintero
OSCILACIONES DE NEUTRINOS
RESUMEN INTRODUCCION ESTADOS DE PONTECORVO ESTADOS DE BOGOLIUBOV REFERENCIAS
0.000 0.002 0.004 0.006 0.008 0.010 0.012L@mD
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Pe®ΜB HLL
Figure: PBe→µ(L) con σ = 0.01[eV ], m2 = 10−2[eV ], m1 = 0[eV ] y
P = 0.1[eV ].
Cesar Alfonso Agon Quintero
OSCILACIONES DE NEUTRINOS
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0.002 0.004 0.006 0.008L@mD
0.002
0.004
0.006
0.008
0.010
0.012
De®ΜB-EHLL, Re®Μ
B-EHLL
0.002 0.004 0.006 0.008L@mD
-0.0015
-0.0010
-0.0005
0.0005
0.0010
De®ΜB-EHLL, Re®Μ
B-EHLL
Figure: DB−Ee→µ (L) en lınea continua , RB−E
e→µ (L) en lınea a trazos, con
m2 = 10−2[eV ], m1 = 0[eV ] y P = 0.1[eV ].
Cesar Alfonso Agon Quintero
OSCILACIONES DE NEUTRINOS
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0 5. ´ 10-6 0.00001 0.000015 0.00002 0.000025 0.00003L@mD
100
200
300
400
De®ΜB-EHLL, Re®Μ
B-EHLL
0 5. ´ 10-6 0.00001 0.000015 0.00002 0.000025 0.00003L@mD
0.0005
0.0010
0.0015
0.0020
De®ΜB-EHLL, Re®Μ
B-EHLL
Figure: DB−Ee→µ (L) en lınea continua , RB−E
e→µ (L) en lınea a trazos, con
m2 = 10−2[eV ], m1 = 0[eV ] y P = 0.1[eV ].
Cesar Alfonso Agon Quintero
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RESUMEN INTRODUCCION ESTADOS DE PONTECORVO ESTADOS DE BOGOLIUBOV REFERENCIAS
CONCLUSIONES Y TRABAJO FUTURO
Se realizo un estudio detallado de las oscilaciones de neutrinostomando como punto de partida la funcion de onda definida a partirde la teorıa cuantica de campos
Estudiamos dos posibles definiciones para los estados de sabor de locual concluımos que para la consistencia de nuestro tratamiento serequieren estados de Bogoliubov
Presentamos dos distintos metodos de transformacion tiempo adistancia.
Establecimos una prescripcion para el calculo de valores esperadosde observables fısicos a partir de la funcion de onda de sabor.
Demostramos la equivalencia entre las probabilidad de transicionbasadas en nuestro formalismo y aquel del valor esperado deloperador de carga de sabor.
Cesar Alfonso Agon Quintero
OSCILACIONES DE NEUTRINOS
RESUMEN INTRODUCCION ESTADOS DE PONTECORVO ESTADOS DE BOGOLIUBOV REFERENCIAS
Poner en un marco de funciones de onda el fenomeno de oscilacion desabor incluyendo la estructura no trivial de el vacıo de sabor tiene comoventajas:
Posibilidad de tratar a los neutrinos de Mayorana en este mismoformalısmo (Blasone utiliza valor esperado de momento)
Facilmente generalizable a tres neutrinos en cuyo caso abre laposibilidad del estudio de la violacion de CP
Posibilidad de obtencion de la probabilidad de transicion en medios
Otros posibles estudios de las oscilaciones de neutrinos en los cualescabrıa la posibilidad de un aumento en los efectos propios de esteformalısmo.
Cesar Alfonso Agon Quintero
OSCILACIONES DE NEUTRINOS
RESUMEN INTRODUCCION ESTADOS DE PONTECORVO ESTADOS DE BOGOLIUBOV REFERENCIAS
BLOQUE DE PREGUNTAS
Agradecimientos:
Instituto de Ciencias Nucleares Universidad Nacional Autonoma
de Mexico
Cesar Alfonso Agon Quintero
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RESUMEN INTRODUCCION ESTADOS DE PONTECORVO ESTADOS DE BOGOLIUBOV REFERENCIAS
En la ecuacion anterior los terminos adicionales al termino de la ecuacion(73) que proviene del termino |0〉〈0| del desarrollo de la identidad. Y laparte adicional de la identidad la denotaremos como [· · · |0〉〈0| · · · ],sepuede escribir los campos de sabor en terminos de los campos de masa ylos estados de neutrino del electron en terminos del neutrino ν1.
1
n!
Xi,...,in
Zd3k...d3kn 〈νe |Ψ†σ(x)G−1
θ (0)[· · · |0〉〈0| · · · ]Gθ(0)Ψσ(x)|νe〉
=1
n!
Xi,...,in
Zd3k...d3kn |Uσ,j 〈0| · · · ]Gθ(0)Ψj (x)G−1
θ (0)|ν1〉|2
El valor esperado
〈0| · · · ]Gθ(0)Ψj (x)G−1θ (0)|ν1〉 =
Xs
Zd3k
(2π)3/2e ikxus
k,j (t)〈0| · · · ]Gθ(0)αsk,jG
−1θ (0)αr†
p,1|0〉
+X
s
Zd3k
(2π)3/2e ikxv s
−k,j (t)〈0| · · · ]Gθ(0)βs†−k,jG
−1θ (0)αr†
p,1|0〉
(79)
Cesar Alfonso Agon Quintero
OSCILACIONES DE NEUTRINOS
RESUMEN INTRODUCCION ESTADOS DE PONTECORVO ESTADOS DE BOGOLIUBOV REFERENCIAS
Dado que que G−1θ (0) = G−θ(0) y que αr
p,σ(0) = G−1θ (0)αr
p,jGθ(0),apartir de
αrk,e(t) = cos θ αr
k,1 + sin θ“U∗k (t) αr
k,2 + εr Vk(t) βr†−k,2
”αr
k,µ(t) = cos θ αrk,2 − sin θ
“Uk(t) αr
k,1 − εr Vk(t) βr†−k,1
”βr†−k,e(t) = cos θ βr†
−k,1 + sin θ“Uk(t) βr†
−k,2 − εr V∗k (t) αrk,2
”βr†−k,µ(t) = cos θ βr†
−k,2 − sin θ“U∗k (t) βr†
−k,1 + εr V∗k (t) αrk,1
”(80)
Se obtiene el resultado de G al actuar sobre los operadores de creacion yaniquilacion (79),
Gθ(0)αrk,1G
−1θ (0) = cos θ αr
k,1 − sin θ“|Uk| αr
k,2 + εr |Vk| βr†−k,2
”Gθ(0)αr
k,2G−1θ (0) = cos θ αr
k,2 + sin θ“|Uk| αr
k,1 − εr |Vk| βr†−k,1
”Gθ(0)βr†
−k,1G−1θ (0) = cos θ βr†
−k,1 − sin θ“|Uk| βr†
−k,2 − εr |Vk| αrk,2
”Gθ(0)βr†
−k,2G−1θ (0) = cos θ βr†
−k,2 + sin θ“|Uk| βr†
−k,1 + εr |Vk| αrk,1
”(81)
Cesar Alfonso Agon Quintero
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RESUMEN INTRODUCCION ESTADOS DE PONTECORVO ESTADOS DE BOGOLIUBOV REFERENCIAS
De todos los terminos representados por 〈0| · · · ] solo contribuiran los quetienen dos operadores; para identificar el conjunto de estados quecontribuyen en cada caso, desarrollamos cada termino por separado
〈0| · · · ]Gθ(0)αsk,1G
−1θ (0)αr†
p,1|0〉 = cos θ 〈0| · · · ]αsk,1 α
r†p,1|0〉
− sin θ“|Uk| 〈0| · · · ]αs
k,2 αr†p,1|0〉
+ εs |Vk| 〈0| · · · ]βs†−k,2α
r†p,1|0〉
”,
= −εs sin θ |Vk| 〈0| · · · ]βs†−k,2α
r†p,1|0〉 ,
〈0| · · · ]Gθ(0)βs†−k,1G
−1θ (0)αr†
p,1|0〉 = cos θ 〈0| · · · ]βs†−k,1 α
r†p,1|0〉
− sin θ |Uk| 〈0| · · · ]|βs−k,2 α
r†p,1|0〉 ,
〈0| · · · ]Gθ(0)αsk,2G
−1θ (0)αr†
p,1|0〉 = −εs sin θ |Vk| 〈0| · · · ]βs†−k,1α
r†p,1|0〉 ,
〈0| · · · ]Gθ(0)βs†−k,2G
−1θ (0)αr†
p,1|0〉 = cos θ 〈0| · · · ]βs†−k,2 α
r†p,1|0〉
+ sin θ |Uk| 〈0| · · · ]βs†−k,1 α
r†p,1|0〉 , (82)
Cesar Alfonso Agon Quintero
OSCILACIONES DE NEUTRINOS
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definimos la amplitud
Aσ ≡ Uσ,j 〈0| · · · ]Gθ(0)Ψj (x)G−1θ (0)|ν1〉
= Uσ,1〈0| · · · ]Gθ(0)Ψ1(x))G−1θ (0)|ν1〉+ Uσ,2〈0| · · · ]Gθ(0)Ψ2(x)G−1
θ (0)|ν1〉
y desarrollando los campos
Aσ =X
s
Zd3k
(2π)3/2e ikx
hUσ2 cos θv s
−k,2(t)− Uσ1 sin θ(εs |Vk|usk,1(t) + |Uk|v s
−k,1(t))i
×〈0| · · · ]βs†−k,2 α
r†p,1|0〉
+X
s
Zd3k
(2π)3/2e ikx
hUσ1 cos θv s
−k,1(t)− Uσ2 sin θ(εs |Vk|usk,2(t)− |Uk|v s
−k,2(t))i
×〈0| · · · ]βs†−k,1 α
r†p,1|0〉 (83)
Escrito de esta forma el cuadrado de esta amplitud se parte en dospartes, dado que los estados 〈0| · · · ] seleccionan solo una de las dospartes de la amplitud.
Cesar Alfonso Agon Quintero
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De esta forma se puede computar el termino de interes, que consiste decontribuciones de dos estados que son 〈0|αr
k′,1βs−k′′,2 y 〈0|αr
k′,1βs−k′′,1
respectivamente y se obtiene
1
2
Xi ,j
Zd3k ′d3k ′′ 〈νe |Ψ†σ(x)G−1
θ (0)|νiνj 〉〈νiνj |Gθ(0)Ψσ(x)|νe〉 =X
s
[δ(0)]2. (84)
Apartir de la cual se deriva la relacion
〈νe |Ψ†σ(x)|0〉〈0|Ψσ(x)|νe〉 = 〈νe |Ψ†σ(x)Ψσ(x)|νe〉 −X
s
[δ(0)]2 , (85)
pero la densidad de probabilidad Blasone y Vitiello, se define su ordennormal, el cual, esta relacionado con su valor esperado sin orden normalpor
〈νe |Ψ†σ(x)Ψσ(x)|νe〉 = 〈νe | : Ψ†σ(x)Ψσ(x) : |νe〉+X
s
[δ(0)]2 , (86)
Cesar Alfonso Agon Quintero
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Considerando estos dos resultados se deduce que en efecto lasdensidades de probabilidad definida con la densidad de carga y conla funcion de onda coinciden entre sı,
〈νe |Ψ†σ(x)|0〉〈0|Ψνσ(x)|νe〉 = 〈νe | : Ψ†σ(x)Ψσ(x) : |νe〉 .(87)
Cesar Alfonso Agon Quintero
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REFERENCIAS
1 M. Gell-Mann and A. Pais, “Behavior of neutral particles undercharge conjugation,”Phys. Rev. 97 (1955) 1387.
2 A. Pais and O. Piccioni,“Note on the decay and absorption of the θ0
,”Phys. Rev. 100 (1955) 1487.
3 B. Pontecorvo, J.Exptl. Theoret. Phys. 33 (1957) 549 [Sov. Phys.JETP 6 (1958) 429]. 16
4 B. Pontecorvo, J.Exptl. Theoret. Phys. 34 (1958) 247 [Sov. Phys.JETP 7 (1958) 172].
5 B. Pontecorvo,“Neutrino experiments and the problem ofconservation of leptonic charge,”Sov. Phys. JETP 26 (1968) 984[Zh. Eksp. Teor. Fiz. 53 (1967) 1717].
Cesar Alfonso Agon Quintero
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6 V. N. Gribov and B. Pontecorvo, “Neutrino astronomy and leptoncharge,”Phys. Lett. 28B (1969) 493.
7 Super-Kamiokande Collaboration, S. Fukuda et al., Phys. Rev. Lett.81, 1562 (1998); S. Fukuda et al., Phys. Rev. Lett. 82, 2644(1999); S. Fukuda et al., Phys. Rev. Lett. 85, 3999-4003 (2000).E. Kearns.
8 SNO collaboration, Q.R. Ahmad et al., Phys. Rev. Lett. 87, 071301(2001) Phys.Rev.Lett. 89, 011301 (2002); nucl-ex/0204008.Phys.Rev.Lett 89, 011302 (2002); nucl-ex/0204009.nucl-ex/0309004.
9 KamLAND Collaboration, T. Araki et al hep-ex/0406035, submittedto Phys.Rev.Lett.
10 B. T. Cleveland et al., Astrophys. J. 496 (1998) 505.
Cesar Alfonso Agon Quintero
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11 GALLEX Collaboration, W. Hampel et al., Phys. Lett. B 447(1999)127; GNO Collaboration, M. Altmann et al., Phys. Lett. B490 (2000)16; Nucl.Phys.Proc.Suppl. 91 (2001) 44.
12 SAGE Collaboration, J. N. Abdurashitov et al.,Phys. Rev. C 60(1999) 055801 ; Nucl.Phys.Proc.Suppl. 110 (2002) 315;
13 Super-Kamiokande Collaboration, S. Fukuda et al., Phys. Rev. Lett.86 (2001) 5651;
14 Soudan 2 Collaboration, W.W.M.Allison et al., Physics Letters B449 (1999) 137;
15 MACRO Collaboration, M.Ambrosio et al. hep-ex/0106049; Phys.Lett. B517 (2001) 59 M. Ambrosio et al. NATO AdvancedResearch Work-shop on Cosmic Radiations, Oujda (Morocco), 21-23March, 2001.
Cesar Alfonso Agon Quintero
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16 K2K Collaboration, T. Nakaya, Proceedings of 21th InternationalConference on Neutrino Physics and Astrophysics (Neutrino 2004),13-19 June 2004, Paris, France.
17 S. Bergmann, Y. Grosmann, and D.M. Pierce,“Can lepton flavorviolating interactions explain the atmospheric neutrinoproblem?”Phys. Rev. D 61 , (2000) 053005
18 M.M. Guzzo, A. Masiero, and S.T. Petcov, “On the MSW effectwith massless neutrinos and no mixing in the vacuum”Phys. Lett.B260, 154 (1991); S.Bergmann, M.M. Guzzo, P.C. de Holanda, P.I.Krastev, and H. Nunokawa,“Status of the solution to the solarneutrino problem based on nonstandard neutrino interactions ”Phys.Rev. D62, (2000) 073001
19 E. K. Akhmedov and A. Y. Smirnov, “Paradoxes of neutrinooscillations ”(2009), [hep-ph/09051903]
Cesar Alfonso Agon Quintero
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RESUMEN INTRODUCCION ESTADOS DE PONTECORVO ESTADOS DE BOGOLIUBOV REFERENCIAS
20 B. Kayser,“On quantum mechanics of neutrino oscillation ”Phys.Rev D 24, (1981)
21 C.C. Nishi,“Intrinsic flavor violation for massive neutrinos ”Phys.Rev D 78, (2008) 113007
22 C.C. Nishi, “Intrinsic flavor violation in neutrinos produced throughdecays”. (2010) [hep-ph/10065634]
23 J. Kopp, M. Linder, T. Ota, and J. Sato,“Nonstandard neutrinointeractions in reactor and superbeam experiments”Phys. Rev. D77 (2008) 013007
24 C. Giunti, “Neutrino Flavor States and the Quantum Theory ofNeutrino Oscillations ”(2006), [hep-ph/0608070]
Cesar Alfonso Agon Quintero
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RESUMEN INTRODUCCION ESTADOS DE PONTECORVO ESTADOS DE BOGOLIUBOV REFERENCIAS
25 E. Akhmedov and J. Kopp,“Neutrino oscillations: Quantummechanics vs. quantum field theory”(2010) [hep-ph/1001.4815]
26 J. Davis, D. S. Harmer and K. C. Hoffmann,“Search for Neutrinosfrom the Sun ”Phys. Rev. Lett. 20 (1968) 1205. M. Koshiba, in ”Erice 1998, From the Planck length to the Hubble radius” , 170; S.Fukuda et al. [Super-Kamiokande collaboration], Phys. Rev. Lett.86 (2001) 5656. Q. R. Ahmad et al. [SNO collaboration] Phys.Rev. Lett. 87 (2001) 071301; Phys. Rev. Lett. 89 (2002) 011301.K. Eguchi et al. [KamLAND Collaboration], Phys. Rev. Lett. 90(2003) 021802 M. H. Ahn et al. [K2K Collaboration], Phys. Rev.Lett. 90 (2003) 041801
27 F. Ardellier et al.,[DoubleChooz Collaboration],[arXiv:hep-ex/0606025].
Cesar Alfonso Agon Quintero
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28 M. Blasone, A. Capolupo, F. Terranova, and G. Vitiello “On flavorviolation for massive and mixed neutrinos ”Phys. Rev D 72 (2005)013003
29 M. Blasone and G. Vitiello, “Quantum field theory of fermionmixing”Annals Phys. 244 (1995) 283-313 [Erratum-ibid. 249 (1995)363].
30 M. Blasone, P. A. Henning and G. Vitiello, “M.Greco Ed. ”LaThuile 1996, Results and perspectives in particle physics”in, INFNFrascati 1996, p.139-152 [hep-ph/9605335]. M. Blasone, P. A.Henning and G. Vitiello, “The exact formula for neutrino oscillations”Phys. Lett. B 451 (1999) 140-145;
31 M. Blasone, in A.Zichichi Ed. “Erice 1998, From the Planck lengthto the Hubble radius”(World Scientific) p.584, [hep-ph/9810329].
Cesar Alfonso Agon Quintero
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32 M. Binger and C. R. Ji, “Quantum Field Theory of Meson Mixing”Phys. Rev. D 60 (1999) 056005. C. R. Ji and Y. Mishchenko,“Nonperturbative Vacuum Effect in the Quantum Field Theory ofMeson Mixing”Phys. Rev. D 64 (2001) 076004; Phys. Rev. D 65(2002) 096015.
33 K. Fuji, C. Habe and T. Yabuki, “Note on the field theory ofneutrino mixing”Phys. Rev. D 59 (1999) 113003 [Erratum-ibid. D60 (1999) 099903];“Remarks on flavor-neutrino propagators andoscillation formulas”Phys. Rev. D 64 (2001) 013011.
34 K. C. Hannabuss and D. C. Latimer, “Fermion mixing in quasifreestates ”J. Phys. A 36 (2003)
Cesar Alfonso Agon Quintero
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35 M. Blasone and Blasone y G. Vitiello, “Remarks on the neutrinooscillation formula”Phys. Rev D 60 (1999) 111302
36 M. Blasone, P. Jizba and G. Vitiello,“Currents and charges formixed fields”Phys. Lett. B 517 (2001) 471.
37 M. Blasone, A. Capolupo and G. Vitiello, in Yue-Liang Wu,editor,“Flavor Physics”, 425-433. World Scientific, Singapore 2002.[hep-th/0107125];
38 M. Blasone, A. Capolupo, O. Romei and G. Vitiello, “QuantumField Theory of boson mixing”Phys. Rev. D 63 (2001) 125015.
39 M. Blasone, A. Capolupo and G. Vitiello,“Quantum field theory ofthree flavor neutrino mixing and oscillations with CP violation”Phys.Rev. D 66 (2002) 025033;
Cesar Alfonso Agon Quintero
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RESUMEN INTRODUCCION ESTADOS DE PONTECORVO ESTADOS DE BOGOLIUBOV REFERENCIAS
40 M. Blasone and J. S. Palmer,“Mixing and oscillations of neutralparticles in Quantum Field Theory”[hep-ph/0305257]
41 M. Blasone, P. P. Pacheco and H. W. Tseung, “Neutrino oscillationsfrom relativistic flavor currents ”Phys. Rev. D 67 (2003) 073011.
42 M. Blasone, P. Jizba and G. Vitiello, “Observables in the QuantumField Theory of neutrino mixing and oscillations”[hep-ph/0308009].
43 H. J. Lipkin, “Quantum theory of neutrino oscillations forpedestrians: simple answers to confusing questions ”Physics LettersB 642 (2006).
44 C. Itzykson and J.B Zuber, “Quantum Field Theory ”(McGraw-Hill,New York. 1980). N.N. Bogoliubov, A.A. Logunov, A. I. Osak, yI.T. Todorov, “General Principles of Quantum Field Theory”,(Klumer Academic Publishers, Dordrecht, 1990).
Cesar Alfonso Agon Quintero
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45 C. Itzykson and J.B Zuber, “Quantum Field Theory ”(McGraw-Hill,New York. 1980). N.N. Bogoliubov, A.A. Logunov, A. I. Osak, yI.T. Todorov, “General Principles of Quantum Field Theory”,(Klumer Academic Publishers, Dordrecht, 1990).
46 C. Giunti and C. W. Kim, “Fundamentals of Neutrino Physics andAstrophysics ”(Oxford University Press 2007)
47 A. E. Bernardini and S. De Leo, “Flavor and chiral oscillations withDirac wave packets ”Phys. Rev D 71 (2005) 076008
48 A. E. Bernardini, M. M. Guzo and C.C. Nishi,“Quantum flavoroscillations extended to the Dirac theory”[hep-ph/1004.0734v3]
Cesar Alfonso Agon Quintero
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