Teodre ma de moivre (3)
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ESCUELA DE INGENIERIA MECANICA
TRIGONOMETRIA Temas:
UNIDAD IMAGINARIANUMERO COMPLEJO
TEOREMA DE DE MOIVRE Nivel:
- Primero “A” Docente:
- Ing. VICTOR VASCONEZ Periodo:
2009 - 2010
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IMAGINARIOS
COMPLEJOS
REALES
NÚMEROS
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UNIDAD IMAGINARIA La unidad imaginaria es el número y se designa por
la letra i.
Potencias de unidad imaginaria i0 = 1 i1 = i i2 = −1 i3 = −i i4 = 1 Los resultados de las potencias de la unidad imaginaria
se repiten de cuatro en cuatro. Para saber cuánto vale una determinada potencia de i, se
divide el exponente entre 4, y el resto es el exponente de la potencia equivalente a la dada.
i22
i22 = (i4)5 · i2 = − 1
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NÚMEROS IMAGINARIOS
Un número imaginario se denota por bi, donde :b =es un número reali =es la unidad imaginariaCon los números imaginarios podemos calcular raíces con índice par y radicando negativo.
x2 + 9 = 0
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NUMERO COMPLEJO•Al número a + bi le llamamos número complejo en forma binómica
. • El número a se llama parte real del número complejo
. • El número b se llama parte imaginaria del número complejo.
•Si b = 0 el número complejo se reduce a un número real ya que a + 0i = a.
•Si a = 0 el número complejo se reduce a bi, y se dice que es un número imaginario puro.
•El conjunto de todos números complejos se designa por:
•Los números complejos a + bi y −a − bi se llaman opuestos.
•Dos números complejos son iguales cuando tienen la misma componente real y la misma componente imaginaria.
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REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DE NUMEROS COMPLEJOS
- •Los números complejos no se pueden representar como puntos de una recta.
- •Para representarlos geométricamente se procede a asociarlos biunívocamente con los puntos del plano .
- • Medimos la parte real a de a + bi a lo largo del eje horizontal (eje real)
- • La parte imaginaria b a lo largo del eje vertical (eje imaginario)
- •Este proceso es el mismo q para representar un par ordenado (a,b)
- •Así se establece la correspondencia biunívoca entre los números complejos y los puntos del plano
- •En l a figura el vector ŌĀ se puede admitir como la representación geométrica de numero complejo
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FORMA TRIGONOMÉTRICA DE NUMERO COMPLEJO
Para representarlo en forma trigonométrica ,es necesario conocer el radio vector (r) y el ángulo o (φ)argumento.
El radio vector r=Geométricamente el módulo o valor absoluto
es la longitud del vector ŌĀ es decir │a+bi │=
a+bi=r(cosφ+isenφ)
= a+bi
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TEOREMA DE MOIVRE
- •Esta fórmula es importante porque conecta a los números complejos) con la trigonometría. La expresión "cos φ + i senφ " a veces se abrevia como cis x.
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• Si z es un numero complejo y n es un entero positivo entonces un numero complejo w es una raíz n- ésimas de z si wⁿ=z se demostrara q todo número complejo distinto de cero tiene n raíces n- ésimas distintas.
- •Como R-reales- están contenidos en C-complejos- se concluye que todo numero real distinto de cero tiene n raíces n-ésimas (complejas) distintas
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Potencia y raíz de un numero complejo
POTENCIA. (FÓRMULA DE MOIVRE) Si z=(m) se verifica que: zⁿ = [(m)]ⁿ= (mⁿ)n
Expresión que escrita en forma trigonométrica:
se denomina FÓRMULA DE MOIVRE
[m(cosφ+isen φ)]ⁿ= mⁿ(cosn φ +isenn φ)
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Uso del teorema de moivre
Representar (1+i)20
Forma trigonométrica
1+i=√2 (cosπ/4 + isenπ/4)
Aplicando el teorema de moivre(1+i)20=(21/2)20[cos(20 . π/4)+i sen (20. π/4)]
= 210
(cos5 π+isen5 π)
=210
(-1)
=-1024
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Teorema sobre raíces n-simas Si z=r(cosφ+isenφ) es cualquier número
complejo de cero y si n es cualquier entero positivo, entonces z tiene exactamente n raíces n- ésimas distintas ,w0,w1,w2,….wn-1
Esas raíces cuando φ esta radianes son:
Para φ en grados sexagesimales:
Donde k=0,1,…..n-1
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CALCULAR LAS CUATRO RAÍCES CUARTAS DE -8-8√3i
Representación geométrica
Forma trigonométrica-8 -8√3i=16(cos de 240 +isen 240)
Aplicando el teorema sobre raíces n-esimas con n=4 y teniendo en cuenta que √16=2,tenemos:
Para k=0,1,2,3, esta fórmula se puede escribir como:W k=2[ cos(60o+90ok) + i sen(60o+90ok)]
Sustituyendo 0,1,2,3 en lugar de k en (60o+90ok) :W0=2(cos60o+isen60o) =1+√3i
W1=2(cos150o+isen150o) =-√3+i
W2=2(cos240o+isen240o) =-1-√3i
W3=2(cos330o+isen330o) =√3-i