TEMA4 FUNCIONES ELEMENTALES
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TEMA 4 FUNCIONES ELEMENTALES 4.1. CONCEPTO DE FUNCIÓN Las funciones que habitualmente utilizamos son funciones reales de variable real. f es una función de ℜ en ℜ si a cada número real Domx∈ , le hace corresponder otro número real, f(x).
ℜ⊂Dom )( xfx
Dom
⎯→⎯
ℜ⎯→⎯
El conjunto Dom de los valores que puede tomar la variable independiente, x, se llama dominio de la función. El conjunto de los valores que toma la función se llama recorrido. Destaquemos que a cada valor de Domx∈ , la función le asigna un único valor f(x):
f(x) es único para cada Domx∈ Puesto que tanto la variable x como la función f(x) toman valores reales, estas funciones se llaman funciones reales de variable real.
De las dos siguientes gráficas, la de la izquierda es una función porque a cada valor de x le corresponde uno (o ninguno) de y. Sin embargo, la gráfica de la derecha no es una función, pues hay valores de x a los que corresponden más de un valor de y.
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Cuando queremos estudiar funciones algunas curvas como la que tenemos más abajo, las descompondremos en dos, de modo que cada una de ellas cumpla la condición requerida: a cada valor de x le corresponde un único valor de y.
4.2. DOMINIO DE DEFINICIÓN DE UNA FUNCIÓN Se llama dominio de definición de una función f, y se designa Dom(f) o, simplemente, Dom, al conjunto de valores de x para los cuales existe la función, es decir, para los que hay un f(x). Razones por las que el dominio de definición puede restringirse
• Imposibilidad de realizar alguna operación con ciertos valores de x, por ejemplo:
Denominadores que se anulan. Raíces cuadradas de números negativos.
• Contexto real del que se ha extraído la función. • Por voluntad de quien propone la función.
Ejm 1: Calcula el dominio de la siguiente función: 65
2)( 2 ++−
=xxxxf
Igualamos a cero el denominador:
215
224255
1216455065
22
±−=
−±−=
=⋅
⋅⋅−±−=⇒=++ xxx
Por tanto, para 2−=x y 3−=x , la función no toma ningún valor; esto es;
( ) ( )( ) ( ) 0
46104
226252
222 2 =+−
+=
+−⋅+−−−
=−f
( ) ( )( ) ( ) 0
56159
326353
323 2 =+−
+=
+−⋅+−−−
=−f
Porque 04
y 05
no existen.
En definitiva, ( ) }{ 3,2 −−−ℜ=fDom . Ejm 2: Consideramos la función 42)( 3 +−= xxxf para ( )6,2∈x
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Ejm 3: Calcula el dominio de la siguiente función: 1)( 2 −+= xxf La raíz cuadrada solo se puede calcular para valores positivos, entonces se debe cumplir
012 ≥−x Si resolvemos esta inecuación, igualamos a cero la ecuación de segundo grado. 012 =−x . Y obtenemos dos soluciones 1−=x y 1=x .
-1 1 ( ) ( ) 0314121, 2 >=−=−−⇒−∞− ( ) 01101,1 2 <−=−⇒− ( ) 031412,1 2 >=−=−⇒+∞ Por tanto, el dominio de la función es: ( ) ( ) ( )+∞∪−∞−= ,11,fDom Ejm 4: El área de un cuadrado es una función real de variable real; 2)( xxf = , es evidente, que los valores que puede tomar el lado de un cuadrado serán siempre positivos, luego
( ) ( )+∞= ,0fDom Ejercicios.- Calcula el dominio de las siguientes funciones:
a. 1)( 2 ++= xxf d. 1
1)(−+
=x
xf g. 72)( 2 +−= xxxf
b. xxf −+= 1)( e. 4
1)(2 −+
=x
xf h. x
xf 1)( =
c. 29)( xxf −−= f. 165)( 2 −
+=
xxxf i.
231)( 2 +−
−=
xxxxf
4.3. FUNCIONES LINEALES La función polinómica de primer grado o función lineal nmxxf +=)( ó nmxy += , se representa mediante una recta de pendiente m que pasa por el punto (0, n), la n se llama ordenada en el origen. Pendiente de una recta es la variación (aumento o disminución) que se produce en la variable dependiente y cuando la variable independiente x aumenta. En una ecuación lineal, la pendiente de la recta es el coeficiente que acompaña a la x cuando se despeja la y. Si conocemos las coordenadas de dos puntos de la recta, ( )11, yxP , ),( 22 yxQ , para hallar la pendiente procedemos así:
12
12
xxyym
−−
= xla de variaciónla es y la de variaciónla es
12
12
xxyy
−−
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IMPORTANTE: Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente. Ejm 1: Escribe la ecuación de la recta que pasa por (0, 5) y tiene pendiente -2.
52 +−= xy Ejm 2: Calcula la pendiente, la ordenada en el origen o la ecuación de la recta en los siguientes casos:
a. 35 −= xy b. Recta que pasa por (5, 2) y (6, 4). c. Recta que pasa por (1, 5) y tiene pendiente -2.
a. La pendiente vale 5 y la ordenada en el origen -3.
b. 25624=
−−
=m , la pendiente vale 2. La ecuación de la recta sería y = 2x + n,
sustituimos en cualquiera de los dos puntos que por pertenecer a la recta verifican su ecuación, esto es; (5, 2) x = 5, y = 2,
2 = 2 · 5 + n; 2 = 10 + n; despejando n = 2 – 10 = - 8 Por tanto, la ecuación de la recta es 82 −= xy .
c. La ecuación de la recta sería y = -2x + n, sustituimos en el punto (1, 5); esto es, x = 1, y = 5
n+⋅−= 1·25 ; 725 =⇒+−= nn Por tanto, la ecuación de la recta sería 72 +−= xy .
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Ejm 3: ¿Cómo se representa la función [ ]5,1 ,53)( ∈−= xxxf ? Calculamos los valores de la función en los extremos del intervalo, es decir,
253513)1( −=−=−⋅=f ; 10515553)5( =−=−⋅=f
02468
1012
-3 -2 -1 0 1 2
Ejm 4: Escribir la ecuación de las rectas representadas en la gráfica
• La recta a pasa por los puntos (0, 4) y (2, 5). Los dos puntos deben satisfacer la ecuación de la recta nmxy += ; esto es,
2121245425
254
2504
=⇒⋅=⇒⋅=−⇒+⋅=⇒
⎭⎬⎫
+⋅==
⎭⎬⎫
+⋅=+⋅=
mmmm
nmn
linealesecuacionesdesistemaelresolvemosnmnm
Por tanto, la función lineal será 421)( += xxf .
• La recta b pasa por los puntos (0, 0) y (3, 2). Al `pasar por el origen de
coordenadas la función lineal tiene la expresión mxxf =)( ; como el punto pertenece a la recta verifica su ecuación, y, por tanto,
3232 =⇒⋅= mm
Luego la ecuación de la función lineal será xxf32)( = .
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• La recta c pasa por los puntos (5, 3) y (2, 7). Teniendo dos puntos podemos
calcular la pendiente de la recta, de manera que:
34
34
5237 −
=−
=−−
=m
Por tanto, la ecuación de la recta será nxy +−
=34
, sustituyendo cualquiera de
los dos puntos que verifican dicha ecuación, de manera que
338338
329932093
3320
395
343
=⇒=⇒
=+⇒+−=⇒+−
=⇒+⋅−
=
nn
nnnn
En definitiva, la ecuación vendrá dada por 3
3834)( +
−= xxf .
Ejercicios.-
1. Di cuál es la pendiente de cada una de las funciones lineales: a. 52)( −= xxf c. 12)( += xxf b. 05 =−+ yx d. 5)( =xf
2. Escribe las ecuaciones de las siguientes rectas:
a. Pasa por (1, – 5) y (10, 11) b. Pasa por (– 7, 2) y su pendiente es 0,75. c. Corta a los ejes en los puntos (3’5, 0) y (0, – 5). d. Es paralela a la recta 013 =+− yx y pasa por (– 2, – 3).
3. Elige dos puntos en cada una de estas rectas y escribe su ecuación:
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4.4. FUNCIONES CUADRÁTICAS Las funciones polinómicas de segundo grado o funciones cuadráticas, cbxaxxf ++= 2)( ,
0≠a , se representan mediante parábolas. Tienen sus ejes paralelos al eje Y. Las formas de esas parábolas (que sus ramas estén hacia arriba o hacia abajo, que sean
más o menos anchas…) dependen, exclusivamente, del valor de a. o Si dos funciones cuadráticas tienen el mismo valor de a (el mismo coeficiente
de 2x ), las parábolas correspondientes son idénticas, aunque estén situadas en posiciones distintas.
o Si 0>a , las ramas hacia arriba, y si 0<a , hacia abajo. o Cuanto mayor sea el valor absoluto de a, a , más estilizada es la parábola.
La abscisa del vértice de la parábola es abx
20−
= .
Los puntos de corte con los ejes son: o (0, c) el punto de corte con el eje Y o Los puntos de corte con el eje X son las soluciones de la ecuación de segundo
grado f(x) = 0; esto es, 02 =++ cbxax
Ejm1: Representar las siguientes parábolas: a) 64)( 2 +−= xxxf b) 482)( 2 −+−= xxxf a) a = 1, b = – 4 y c = 6
Como a > 0, la parábola está orientada hacia arriba.
La abscisa del vértice es 212
40 =
⋅=x , y, su ordenada será
26846242)2()( 20 =+−=+⋅−== fxf .Por tanto, las coordenadas del
vértice son (2, 2). El punto de corte con el eje Y es (0, 6) y los puntos de corte del eje X son las soluciones de la ecuación de segundo grado,
( )2
842
2416412
61444064
22 −±
=−±
=⋅
⋅⋅−−±=⇒=+− xxx
No tiene solución real, luego no tiene puntos de corte con el eje X. Como solo tenemos dos puntos y una parábola se determina con tres, entonces calculamos un tercer valor, por ejemplo:
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8
6616166444)4( 2 =+−=+⋅−=f
626420
yx
01234567
0 1 2 3 4 5
b) a = – 2, b = 8 y c = – 4
Como a < 0, la parábola está orientada hacia abajo.
La abscisa del vértice es ( ) 222
80 =
−⋅−
=x , y, su ordenada será
( ) ( ) 12416842822)2()( 20 −=−−=−−⋅+−⋅−== fxf .Por tanto, las
coordenadas del vértice son (2, – 12). El punto de corte con el eje Y es (0, – 4 ) y los puntos de corte del eje X son las soluciones de la ecuación de segundo grado,
( ) ( )( )
45,44798,17
4798,98
45,04
798,14
798,98
4798,98
4968
432648
2242488
04822
2
=−
−=
−−−
−=−
=−+−
=−±−
=−±−
=
=−
+±−=
−⋅−⋅−⋅−±−
=⇒=−+− xxx
Luego los puntos de corte con el eje X, son (– 0,45, 0) y (4,45, 0)
0124045,42045,0
−−−
yx
-14-12-10-8-6-4-20
-1 0 1 2 3 4 5
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Ejm2: Representa la función [ )5,2 ,16)( 2 ∈+−= xxxxf Como a > 0, la parábola está orientada hacia arriba.
La abscisa del vértice es 312
60 =
⋅=x , y, su ordenada será
811891363)3()( 20 −=+−=+⋅−⋅== fxf .Por tanto, las coordenadas del
vértice son (3, – 8). Y calculamos los valores de la parábola en los extremos del intervalo; esto es,
4130251565)5(711241262)2(
2
2
−=+−=+⋅−=
−=+−=+⋅−=
ff
487532−−−y
x
-10
-8
-6
-4
-2
00 1 2 3 4 5 6
Ejm3: Los costes de producción (en euros) de una empresa vienen dados por
22040000)( xxxf ++= (x unidades producidas). El precio de venta de cada unidad es de 520 €.
a) Expresa en función de x el beneficio de la empresa y represéntalo gráficamente. b) ¿Cuántas unidades hay que producir para que el beneficio sea máximo?
a) 400005002040000520)(520)( 22 −+−=−−−=−= xxxxxxfxxB - Como es una función cuadrática, y el coeficiente a = – 1 < 0, la parábola esta orientada hacia abajo - Calculamos su vértice
( ) 25012
5000 =
−⋅−
=x y la ordenada =−⋅+−= 40000250500250)250( 2f
225001025001250004000012500062500 =−=−+−= Por tanto, las coordenadas del vértice son (250, 22500) - El punto de corte con el eje Y es (0, – 40000), y los puntos de corte con el eje X son las soluciones a la ecuación de segundo grado:
( ) ( )( )
4002
300500
1002
300500
2300500
290000500
2160000250000500
124000014500500
0400005002
2
=−−−
=−+−
=−±−
=−±−
=−
−±−=
=−⋅
−⋅−⋅−±−=⇒=−+− xxx
Los puntos de corte serán (100, 0) y (400, 0).
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-50000-40000-30000-20000-10000
0100002000030000
0 100 200 300 400 500
b)El máximo valor, al ser una parábola, se alcanza en el vértice. Por tanto, el beneficio máximo serán 22500€ y se alcanza cuando se producen 250 unidades. Ejercicios:-
1. Representa las siguientes funciones cuadráticas, hallando previamente el vértice, los puntos de corte con los ejes y algún punto próximo al vértice:
a. 35,0)( 2 −= xxf c. 3)( 2 +−= xxf
b. 12)( 2 ++= xxxf d. 633
)(2
++= xxxf
2. Los gastos fijos de una empresa por la fabricación de x televisores siguen la función
xxG 252000)( += , en euros, y los ingresos mensuales son 201,060 xxI −= , también en euros. ¿Cuántos televisores deben fabricarse para que el beneficio (ingresos menos gastos) sea máximo?
3. Una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba desde lo alto de un edificio. La altura
viene dada por la función 2166480)( xxxf −+= (x en segundos y f(x) en metros) a. Dibuja la gráfica en el intervalo [0, 5]. b. Halla la altura del edificio en el instante x = 2 sg. c. ¿En qué instante alcanza la máxima altura?
4. El coste de producción de x unidades de un producto es igual a 25354
)(2
++= xxxC
euros y el precio de venta de una unidad es 4
50)( xxP −= .
a. Escribe la función que nos da el beneficio total si se venden las x unidades producidas.
b. Halla el número de unidades que deben venderse para que el beneficio sea máximo.
Nota.- Los ingresos por la venta de x unidades son ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅
450 xx
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4.5. FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD INVERSA
Se llaman funciones de proporcionalidad inversa a aquellas cuya ecuación es xkxf =)( . Sus
gráficas son hipérbolas. Su dominio de definición es { } ( ) ( )+∞∪∞−−ℜ ,00, 0 ó .
Recordemos que cada hipérbola “se ciñe” a un par de rectas llamadas asíntotas. Pues bien, en las funciones de proporcionalidad inversa las asíntotas son los ejes de coordenadas, esto es; x = 0 e y = 0.
También son hipérbolas las gráficas de las funciones dcxbaxxf
++
=)( .
4.6. FUNCIONES RADICALES La función xxf +=)( . Su dominio de definición es [ )+∞,0 y para representarla tenemos en cuenta que pasa por (0, 0); (1, 1); (4, 2); (9, 3); (16, 4);… Las siguientes funciones son de la misma familia:
Ejercicios.-
1. Dos de estas gráficas no son funciones. Di cuáles son y asocia a cada una de las otras cuatro la expresión analítica que ele corresponda.
a. xxf 2)( += c. 225,0)( xxh −=
b. 4
1)(−
=x
xg d. 2)( 2 −= xxj
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2. Asocia a cada de las gráficas una de las siguientes expresiones analíticas:
a. 21)( +=x
xf c. 3
1)(+
=x
xh
b. ( )23)( += xxg d. 2)( ++= xxj
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3. Representa las siguientes funciones:
a. 1
3)(−
=x
xf c. xxf −+= 1)(
b. 3
2)(+
=x
xf d. 2)( +−= xxf
4.6. FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS Las expresiones analíticas de la siguiente función son muy peculiares:
⎩⎨⎧
>≤
=212
)(xxx
xf
Requieren de varias “fórmulas”, cada una de las cuales rige el comportamiento de la función en un cierto tramo.
Para representar la primera, procedemos del siguiente modo:
a) Representamos la función xxf =)(1 hasta la abscisa x = 2.
b) Representamos la función 1)(2 =xf desde x = 2 en adelante.
c) Tenemos en cuenta que en x = 2 solo es válido el punto correspondiente a la primera rama (el signo igual de la expresión 2≤x sirve para incluir dicho valor). Por tanto, excluimos con un
circulito el punto de la otra rama. En definitiva, las representaciones de las funciones definidas “a trozos” son fáciles si sabemos representar cada uno de los tramos y se presta atención a su comportamiento en los puntos de empalme.
Ejm: Representar la siguiente función: ⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥−<<
≤++=
43401
012)(
2
xxx
xxxxf
a) Representamos 12)( 2
1 ++= xxxf y nos quedamos con el trozo que hay hasta x = 0. Dado que es una parábola, necesitaremos tres valores para determinar su gráfica:
401310
yx −−
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b) Representamos 1)(2 =xf entre 0 y 4, pero como las desigualdades son estrictas en los dos extremos, pondremos un circulito en ambos puntos.
1140
yx
c) Representamos 3)(3 −= xxf desde x = 4. Como es una función lineal, solo debemos
calcular dos valores, incluyendo siempre el extremo inferior del intervalo, es decir, 4.
31464x
d) Finalmente, observamos los puntos de empalme. En ese caso, cada dos tramos empalman de forma continua. Quedando la curva de la siguiente forma:
Ejercicios.- Representa gráficamente las siguientes funciones:
a. ⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥<≤−
<−=
42402
02)(
xsixsix
xsixf
b. ⎩⎨⎧
−>+−−<+
=13162
)(xsixxsix
xf
c. ⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥−<<−−
−≤−−=
111122
11)( 2
xsixxsix
xsixxf
d. ⎪⎩
⎪⎨⎧
≥−
<+−=13
122)(
2
xsix
xsixxf
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FUNCIONES EXPONENCIALES Sea a un número real positivo no nulo y distinto de 1. Se llama función exponencial real de base a, a la función
xaxfxf
=⎯→⎯ℜ⎯→⎯ℜ
)( :
Las funciones exponenciales más importantes, son aquéllas que tienen como base: a = 10, a = e. Se escribe entonces, xxf 10)( = ó xexf =)( . Propiedades
1. )()()( xfxfxxf ′⋅=′+ ; esto es, xxxx aaa ′′+ ⋅= 2. 1)0( =f 3. af =)1( 4. 0)( >xf , es decir, la función exponencial es siempre positiva y esto es
consecuencia de la definición de potencia de exponente real. 5. La función exponencial real es siempre estrictamente creciente o decreciente.
a. Si 0 < a < 1 la función es estrictamente decreciente b. Si a > 1 la función es estrictamente creciente
6. Si consideramos la convergencia se tiene a.
⎩⎨⎧
>∞+<<
=+∞→ 1
100)(lim
aa
xfn
b.
⎩⎨⎧
><<∞+
=−∞→ 10
10)(lim
aa
xfn
De aquí se deduce que la función exponencial no está acotada superiormente, pero sí inferiormente por 0 que es su extremo inferior.
7. La función exponencial es continua en todo ℜ. 8. El dominio de la función exponencial es ℜ, y su recorrido (0, +∞ )
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FUNCIONES LOGARÍTMICAS Sea a un número real positivo tal que a > 1. Se llama función logarítmica real de base a, a la función
xxfxf
alog)(
:=⎯→⎯
ℜ⎯→⎯ℜ
La función xay = , a > 1 es la función recíproca de la función logarítmica, dado que yayx x
a=⇔= log
Que es precisamente la relación que define el logaritmo de un número. Si cambiamos las variables, como se hace normalmente para obtener la función recíproca, se tiene que:
xaxy y
a=⇔= log
Esta equivalencia traduce toda propiedad logarítmica a propiedades exponenciales y, recíprocamente. Las gráficas de estas funciones son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante.
Por otra parte, dada la igualdad
xxa
a
loglog1
−=
Tenemos que estas dos funciones son opuestas, de manera que conocida la gráfica de xy
alog= , la gráfica de xy
a1
log= es simétrica respecto del eje OX. También
podemos considerar esta función como recíproca de la función exponencial x
ay ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
1 .
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Propiedades
1. ( ) xxxxaaa′+=′⋅ logloglog
2. 01log =a
3. 1log =a
a
4. Si 0 < a < 1 entonces
⎩⎨⎧
><<>
1 0log1 0log
xparaxxparax
a
a
Si a > 1 entonces
⎩⎨⎧
>><<
1 0log1 0log
xparaxxparax
a
a
5. Si 0 < a < 1 entonces la función es estrictamente decreciente Si a > 1 entonces la función es estrictamente creciente
6. La función logarítmica no está acotada ni superior ni inferiormente. 7. La función logarítmica es continua en todo su dominio. 8. En cuanto a la convergencia, se tiene:
0 < a < 1
⎩⎨⎧
−∞=+∞=
+∞→
→ +
xx
ax
ax
loglog
lim
lim0
a > 1
⎩⎨⎧
+∞=−∞=
+∞→
→ +
xx
ax
ax
loglog
lim
lim0
9. El dominio de la función logarítmica es (0, +∞ ), y su recorrido ℜ.