COLEGIO SAN MARTIN DE PORRES, DOLORES, PETENCuarto Bachillerato en Ciencias y Letras con Orientación en Turismo Física

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Tema: Movimiento Parabólico

El movimiento parabólico, también conocido como tiro oblicuo, es un ejemplo de composición de movimientos en docs dimensiones: un m.r.u. en el eje horizontal y un m.r.u.a. en el eje vertical.

Un cuerpo que es lanzado y no tiene la capacidad de propulsión propia recibe el nombre de proyectil.

Trayectoria parabólica

Cuando un proyectil es lanzado con una velocidad inicial y forma un ángulo con el eje horizontal este tiende a seguir una trayectoria parabólica debido a la acción de la fuerza de gravedad.

Por ejemplo:Se presenta en las disciplinas deportivas y en algunas otras actividades cotidianas que se describen a continuación.

El lanzamiento del balón de fútbol americano con un ángulo de inclinación.

Proyectiles lanzados con un cañón desde una acantilado

Lanzamiento de una pelota de golf.Lanzamiento de un baloncesto

Tiro parabólico

Se trata de un “movimiento rectilíneo uniforme” en su desarrollo horizontal y un “movimiento uniformemente variado” en su desarrollo vertical. En el eje vertical se comporta como el movimiento de “Tiro vertical”.

Otro tipo de movimiento sencillo que se observa frecuentemente es el de una pelota que se lanza al aire formando un ángulo con la horizontal. Debido a la gravedad, la pelota experimenta una aceleración constante dirigida hacia abajo que primero reduce la velocidad vertical hacia arriba que tenía al principio y después aumenta su velocidad hacia abajo mientras cae hacia el suelo. Entretanto, la componente horizontal de la velocidad inicial permanece constante (si se prescinde de la resistencia del aire), lo que hace que la pelota se desplace a velocidad constante en dirección horizontal hasta que alcanza el suelo. Las componentes vertical y horizontal del movimiento son independientes, y se pueden analizar por separado. La trayectoria de la pelota resulta ser una parábola.

Es un movimiento cuya velocidad inicial tiene componentes en los ejes "x" e "y", en el eje "y" se comporta como tiro vertical, mientras que en el eje "x" como M.R.U.

Características de las componentes según los ejes:Eje Velocidad Aceleraciónx constante 0y 9,81 m/s² g

Ecuaciones del movimiento según los ejes:Eje "x" (MRU)   Eje "y" (MUV)

v=∆ x∆ t

Ecuación de velocidad

1) y= y0+v0 y t+ 1

2g t2 Ecuación de

posición  2

)v y=v0 y+¿ Ecuación de

velocidad  3

)v f

2=vo2+2 gy  

Ecuaciones de la trayectoria:Posición x = (v0.cos θ).t

y = (v0.sen θ).t - ½.g.t²

 Velocidad vox = v0.cos θ

voy = v0.sen θ - g.t

Altura máxima: como se explicó anteriormente, el comportamiento en el eje “y” es el característico del “Tiro vertical”, por lo tanto, para el cálculo de la altura máxima se emplean las mismas ecuaciones.

1)

y Máxima = y0 + v0.t + ½.g.t²

Ecuación de posición

2)

0 = v0 + g.t Ecuación de velocidad

3)

0 = v0² + 2.g.Δy  

Recordar que el valor de la aceleración de la gravedad depende del paralelo (latitud) en que se determine dicho valor. En el ecuador (latitud = 0) la aceleración es igual a

“9,78049 m/s²”, la aceleración promedio es de 9,80 m/s², es usual usar un valor de 10 m/s² para agilizar la resolución de ejercicios

Ejemplo No. 1

Calcular la distancia, la altura y el tiempo de caída de un tiro parabólico que lleva una velocidad de 30 m/s y forma una ángulo de 60° con la horizontal.

Calculamos las componentes de las velocidades:vox=vo cosθ

vox=(30 m /s)cos60vox=15 m / s

voy=vo sin θvoy=(30 m /s)sin 60

voy=25 .98m / s

Para facilitar el cálculo es necesario conocer eltiempo

El tiempo de vuelo entonces es:

v y=v oy+¿

0=25.98 m /s+(−9.8 m / s2)t−25.98 m /s=−9.8 m/ s2 t

−25.98 m /s−9.8 m / s2 =t

t=2.65 segundos

El tiempo de vuelo es dos veces el tiempo en que alcanza su altura máxima.

t v=2∗2.65=5.3 segundos

Ahora calculamos la altura máxima. Alcance máximo

y= y0+v0 y t+ 12

g t2

y=(25.98 ms )(2.65 s)+0.5 (−9.8m /s2)(2.65 s)2

y=68.85m−34.41my=34.44 metros

x=vox t v

x=(15 m /s ) (5.3 s )x=79.5metros

Respuestas:La distancia que recorre es de 79.5 metros La altura que alcanza es de 34.44 metros El tiempo de caída es de 5.3 segundos

Ejemplo No. 2

Se lanza un proyectil con una velocidad de 20 m/s que forma un angulo de 37° con la horizontal. Calcula la altura máxima y el alcance del proyectil. (g=10 m/s2)

Calculamos las componentes de las velocidades:vox=vo cosθ

vox=(20 m /s)cos37vox=16 m /s

voy=vo sin θvoy=(20 m /s )sin 37

voy=12.04 m /s

Para facilitar el cálculo es necesario conocer eltiempo

El tiempo de vuelo entonces es:

v y=v oy+¿

0=12.04 m /s+(−10 m / s2)t−12.04 m /s=−10 m/ s2 t

−12.04 m /s−10 m / s2 =t

t=1.204 segundos

El tiempo de vuelo es dos veces el tiempo en que alcanza su altura máxima.

t v=2∗1.204=2.41 segundos

Ahora calculamos la altura máxima. Alcance máximo

y= y0+v0 y t+ 12

g t2

y=(12.04 ms )(1.204 s)+0.5(−10 m /s2)(1.204 s)2

y=14.5m−7.25 my=7.25 metros

x=vox t v

x=(16 m /s ) (2.41 s )x=38.56 metros

Respuestas:La distancia que recorre es de 38.56 metros La altura que alcanza es de 7.25 metros

=866 m

Ejemplo No. 3

Un objeto es lanzado con un ángulo de elevación de 30° y consigue llegar a una distancia horizontal de 866 metros. Calcular:

a) La velocidad del lanzamiento.b) El tiempo necesario para alcanzar los 866 m.c) La altura máxima que alcanza el objeto.

Calculamos la velocidad del lanzamiento

x=v0

2 sin 2θg

866m=v0

2 sin 2 (30 )9.8 m /s2

(866 m )(9.8 ms2 )=v0

2sin 2 (30 )

8486.8 m2

s2 =v02sin 2 (30 )

8486.8 m2

s2

sin (60 )=v0

2 v02=9799.71 m2

s2 vo=√9799.71 m2

s2 =99m /s

Calculamos las componentes de las velocidades:

vox=vo cosθvox=(99 m /s )cos30

vox=85.74 m /s

voy=vo sin θvoy=(99m /s )sin 30

voy=49.5 m /s

Para facilitar el cálculo es necesario conocer eltiempo

El tiempo de vuelo entonces es:

v y=v oy+¿

0=49.5 m /s+(−9.8 m /s2) t−49.5m / s=−9.8 m /s2t

−49.5 m /s−9.8 m /s2 =t

t=5.05 segundos

El tiempo de vuelo es dos veces el tiempo en que alcanza su altura máxima.

t v=2∗5.05=10.10 segundos

Ahora calculamos la altura máxima.

y= y0+v0 y t+ 12

g t2 Respuestas:La velocidad del lanzamiento es 99 m/s

y=(85.74 ms )(5.05 s )+0.5(−9.8 m / s2)(5.05 s)2

y=433 m−125 my=308metros

El tiempo necesario para alcanzar 866 m es 10.10 seg. La altura máxima es de 308 metros.

Ejemplo No. 4

Un cañón está situado en lo alto de una colina cuya altura es de 300 m. La bala es lanzada a una velocidad de 45 m/s y con una inclinación de 30º. ¿A qué distancia colisionará la bala con el suelo? ¿Qué velocidad llevará la bala cuando se produzca la colisión?

Calculamos las componentes de las velocidades:

vox=vo cosθvox=(45m/ s)cos30

vox=38.97 m /s

voy=vo sin θvoy=(45 m/ s)sin30

voy=22.5 m/ s

Para facilitar el cálculo es necesario conocer el tiempo de subida.

El tiempo de vuelo entonces es:

v y=v oy+¿

0=22.5 m /s+(−9.8 m / s2)t−22.5 m /s=−9.8m/ s2 t

−22.5 m /s−9.8 m / s2 =t

t=2.3 segundos

y= y0+v0 y t+ 12

g t2

325.83 m=0.5(9.8 ms2 ) t 2

325.83 m

4.9 ms2

=t 2

t=√66.5 s2

t=8.15 segundostiempo decaida .

Entonces el tiempo de vuelo es 2.3 seg + 8.15

seg= 10.45 segundos

Ahora calculamos la altura máxima. Alcance máximo

y= y0+v0 y t+ 12

g t2

y=300m+(22.5 ms )(2.3 s)+0.5(−9.8 m /s2)(2.3 s )2

y=300 m+51.75 m−25.92 my=325.83 metros

x=vox t v

x=(38.97 ms ) (10.45 s )

x=407.24m

Velocidad en y Velocidad del impacto vy=voy+¿

vy=22.5 ms

+(−9.8 ms2 ) (10.45 s )=−79.91 m /s

v f=√( vox )2+ (voy )2

v f=√(38.97 m / s)2+(−79.91 m /s )2=88.91 m/ s

Repuesta: la bala colisionará a una distancia de 407.24 metros y llegara con una velocidad de 88.91 m/s

Ejemplo No. 5

Un piloto, volando horizontalmente a 500 m de altura y 1080 km/h, lanza una bomba. Calcular:a) ¿Cuánto tarda en oír la explosión?b) ¿A qué distancia se encontraba el objetivo?

Se recuerda que en tiro parabólico y tiro oblicuo el movimiento en el eje "x" es rectilíneo uniforme, mientras en el eje "y" es uniformemente variado (asociar con tiro vertical y caída libre).

Donde no se indica se emplea g = 10 m/s².Datos:

vx=300 m /s g=10m/ s2 v0 y=0 m /s y=500 m

Ecuaciones:1) v y=v oy+¿ 2) y=voy t +1

2g t 2 3) vx=

∆ x∆ t

El gráfico es:

El tiempo que tarda en caer la bomba lo calculamos de la ecuación (2):

y=voy t +12

g t 2

500 m=0.5(10m / s2)t 2

500 m=(5m/ s2)t 2

500 m5m/ s2 =t 2

800 ft1700 ft

400 ft

t=√100 s2

t=10 segundos

La distancia recorrida por la bomba a lo largo del eje "x" será:x=vx .t

x=(300 ms ) (10 s )=3000 m

x = 3000 mEs la respuesta al punto (b).

En el mismo instante que la bomba toca el suelo el avión pasa sobre ella, es decir 500 m sobre la explosión.Si la velocidad del sonido es 330 m/s:

vx=xt

v x=500 m

330 m /s=1.52 segundos

La respuesta al punto (a) es:t = 10 s + 1,52 st = 11,52 s es el tiempo en que se oirá la explosión

Ejemplo No. 6Dos edificios tiene una altura de 1700 pies de altura y se encuentran a 400 pies uno del otro. Se desea introducir un proyectil en una de las ventanas del segundo edificio que esta (la ventana) a 800 pies sobre el nivel del suelo. ¿Con que velocidad se debe lanzar para que entre por la ventana? ¿Con que velocidad llegará y cuanto tiempo tardará el recorrido?

Nota: Tome en cuenta que la voy es igual a cero

Calculamos la velocidad en y Calculamos el tiempo del recorrido v y

2=v oy2 +2 gy

v y2=v oy

2 +2 gy

v y2=2 (32.2 ft /s2 ) (900 ft )

v y=√57960 ft 2

s2 =240.75 ft /s

vy=voy+¿

240.75 fts=(32.2 ft /s2) t

t=240.75 ft

s32.2 ft / s2 =7.5 segundos

Calculamos la velocidad inicial en xvox=

∆ x∆ t

vox=400 ft7.5s

=53.33 ft / s

Respuestas:

Se debe lanzar con una velocidad de 53.33 ft/sEl recorrido lo realizara en 7.5 segundos y llegará con una velocidad de 240 ft/s.

Ejercicios para practicar

Ejercicio No. 1Un futbolista lanza un disparo con una velocidad de 40 km/h alcanzando un ángulo de 38° con respecto a la horizontal. ¿Qué altura alcanzará el balón? ¿Qué tan lejos llegara el disparo?

Ejercicio No. 2

Un cañón, situado en la cima de una montaña de 200 m de altura forma un ángulo de 80º con la vertical y dispara una bala de 2kg a una velocidad de 900 km/h. ¿A qué altura máxima sube? ¿Con qué velocidad llega al suelo? ¿Cuánto tarda en caer? ¿A qué distancia horizontal?

Ejercicio No. 3Un objeto es lanzado con un ángulo de elevación de 60° con una velocidad de 25 m/s. a una distancia horizontal de 48 metros hay un muro ¿a qué distancia de dicho muro chocara el objeto?

Ejercicio No. 4

Desde la azotea de un edificio se lanza una piedra hacia arriba con un ángulo de 30° con la horizontal y con una rapidez inicial de 20 m/s. si la altura del edificio es de 45 m.

a) Cuánto tarda la piedra en caer al piso.b) Cuál es la velocidad de la piedra justo antes de golpear al suelo.c) A qué distancia de la base del edificio golpea la piedra.

Ejercicio No. 5

Messi realiza un lanzamiento en tiro libre, aplica una velocidad de 26 m/s alcanzando un ángulo de 25°. Si la meta está a 28 metros desde donde está el balón.¿Anotará gol? Y si no, diga que tan lejos o cerca pasara el balón desde la meta.

Ejercicio No. 6

Hallar a qué velocidad hay que realizar un tiro parabólico para que llegue a una altura máxima de 100 m si el ángulo de tiro es de 30°.

40⁰

Vo= 30m/s 12m

Ejercicio No. 7

Una catapulta dispara proyectiles con una velocidad de 30m/s y ángulo 40⁰ sobre la horizontal contra una muralla. Esta tiene 12m de altura y está situada a 50m.a) ¿Pasarán los proyectiles por encima de la muralla?b) ¿A qué distancia de la base de la muralla caerán?

50 m m

Ejercicio No. 8Un jugador de fútbol lanza el balón en una falta con una velocidad de 10m/s, formando 45⁰ con el suelo. Si la barrera, situada a 9.15m tiene una altura de 1.8m, ¿logrará superar la barrera?

30⁰

Vo= ¿?m/s

Ejercicio No. 9Un objeto es lanzado con un ángulo de elevación de 30.0⁰ y consigue llegar a una distancia horizontal de 866 m. ¿Con qué velocidad fue lanzado?

866m

Ejercicio No. 10

Desde el suelo se lanza un objeto con una velocidad de 25m/s y con un ángulo de elevación de 60⁰. A una distancia horizontal de 48m hay un muro. ¿A qué distancia de dicho muro chocará el objeto?

48m

Tarea para entregar al profesor.

1) Un doble de películas que conduce una motocicleta aumenta horizontalmente la rapidez y sale disparado de un risco de 50.0 m de alto. ¿A qué velocidad debe dejar el risco la motocicleta para aterrizar al nivel del suelo a 90.0 m de la base del risco, donde se encuentran las cámaras? Ignora la resistencia del aire.

2) Un bateador golpea una pelota de beisbol de modo que esta sale del bate a una rapidez Vo= 37.0 m/s con un ángulo 53.1°, en un lugar donde g= 9.80 m/s2. a) Calcule la posición de la pelota y la magnitud y dirección de su velocidad cuando t=2.0 s. b) Determine cuando la pelota alcanza el punto más alto y su altura h en ese punto. c) Obtenga el alcance horizontal R, es decir, la distancia horizontal desde el punto de partida hasta donde la pelota cae al suelo.

3) Un libro de física que se desliza sobre una mesa horizontal a 1.10 m/s cae al piso en 0.35 segundos. Ignore la resistencia del aire. Calcule: a) La altura de la mesa. R// 0.60 mb) La distancia horizontal del borde de la mesa al punto donde cae el libro. R/ 0.385 mc) La dirección y velocidad antes de chocar contra el piso. R/ 72.2° Vf= 3.60m/s

4) Un chico patea una pelota contra un arco con una velocidad inicial de 13 m/s y con un ángulo de 45° respecto del campo, el arco se encuentra a 13 m. Determinar:a) ¿Qué tiempo transcurre desde que patea hasta que la pelota llega al arco? R/ 1.41 seg.b) ¿Convierte el gol?, ¿por qué? R/ Noc) ¿A qué distancia del arco picaría por primera vez? R/ 17.18

5) Una moto de agua que va a 60 km/h salta con un ángulo de 15° sobre el mar.a) ¿Qué distancia saltara?b) ¿Qué altura máxima alcanzara la moto sobre el mar?

6) Desde una ventana de una casa que está a 15 m de altura lanzamos un chorro de agua a 20 m/s y con un ángulo de 40° sobre la horizontal. Despreciando el rozamiento con el aire, calcula:1) Distancia de la base de la casa a que caera el agua. Resultado: x=52.7 m2) Velocidad a que el agua llegara al suelo. Resultado: (26.5 m/s)

7) Se dispara un proyectil con un cañón que forma un ángulo de 60° con respecto a la horizontal, si la velocidad del proyectil al momento de dejar la boca del cañón es de 400 m/s. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza el proyectil? (g = 10 m/s²) R/ 6000 m

8) En un partido de fútbol, un futbolista comunica a una pelota la velocidad de 10 m/s con un ángulo de 37º con la horizontal. Si se encuentra en ese instante a 8 m de distancia del arco contrario, ¿hay posibilidades de gol? La altura del arco es de 2,5 m. (g= 10 m/s2)