TEMA II

MOVIMIENTO OSCILATORIO

INTRODUCCIÓN• La dinámica estudia la relación que existe entre el movimiento de una masa o un

sistema de partículas, y las causas que lo producen, es decir, las fuerzas. Partiendo de esa relación, el objeto último es encontrar lo que se llama ecuación de movimiento, que es la expresión de la función que relaciona la posición de la masa o sistema de partículas con el tiempo. Derivando esa expresión obtendremos la velocidad, y derivando nuevamente, la aceleración.

• Para poder encontrar la ecuación de movimiento, lo primero que tenemos que hacer es establecer el número de grados de libertad que el sistema tiene, que corresponderá al número de incógnitas, y encontrar un número igual de relaciones linealmente independientes.

• Un sistema completo e integrable se llama “holónomo”.• Vamos a iniciar el estudio de la dinámica por el sistema más simple, el que solo

tiene un grado de libertad, es decir, cuando el movimiento se realiza sobre una recta.

• Para complicar un poco el problema dejamos de lado el movimiento rectilíneo uniforme o uniformemente acelerado, es decir aquellos en los que la aceleración es nula o constante, y vamos a estudiar aquel en el que la posición es proporcional y de signo opuesto a la causa que produce el movimiento, es decir, la fuerza:

F kx

movimiento oscilatorio armónico• Un movimiento oscilatorio puede describirse como un movimiento de

vaivén hacia uno y otro lado de una posición de equilibrio central.• En ocasiones se toman como sinónimos los términos oscilación y

vibración, aunque se refieren a cosas distintas. En una oscilación todo el sistema se desplaza con iguales características, mientras que en una vibración cada parte lo hace con características distintas.

• Una oscilación puede ser:– Libre, cuando solo actúan fuerzas internas – Forzada, cuando la fuerza que genera la oscilación es externa.o Amortiguado, cuando se tiene en cuenta la fuerza de rozamientoo Sin amortiguar, cuando no se tiene en cuenta Lineal, cuando la fuerza es una función lineal de la posición Alineal o no lineal, cuando no lo es.

oscilación vibración

ecuación• Consideremos una masa suspendida de un resorte elástico.• Si el resorte es elástico cumplirá la Ley de Hooke, es decir, la

deformación producida, es proporcional a la causa que la produce:

• El cociente entre la fuerza aplicada y la deformación producida se llama constante recuperadora del resorte.

• Si en este momento soltamos el resorte, se generará en él, por ser elástico, una fuerza igual y de sentido contrario, que obligará al resorte a volver a su posición inicial.

• Cuando la masa alcanza su posición inicial, la fuerza de inercia de la masa oprimirá el resorte hasta que su aceleración se anule que será cuando la masa alcance una posición igual pero de sentido contrario al inicial.

• En ausencia de cualquier fuerza externa el movimiento a uno y otro lado de la posición de equilibrio central, continuará indefinidamente.

m

F

0

x

k

x-

F kx

2; ; /F

k k MT N mx

Aplicando el segundo principio de Newton:

F kx ma mx

La ecuación a resolver será: 0mx kx

resolución de la ecuación• La ecuación a resolver corresponde a una ecuación diferencial lineal con

coeficientes constantes, que se resuelve haciendo un cambio de variable:

• Sustituyendo en la ecuación de partida obtendremos:

• Se llama pulsación del movimiento a: .• Sustituyendo:• Esta ecuación se llama ecuación característica de la ecuación diferencial, y

sus soluciones corresponderán a las soluciones de la ecuación diferencial.

• Luego la solución de la ecuación diferencial será, la parte real de:

2 2 0

2t t tx e x e x e

2 2 20 ; 0 0t t tk kmx kx m e ke e

m m

2 1 2; ; 2

kT f

m T

1 2;i i

1 2* * * * * *1 2 1 2;t t i t i tx A e A e x A e A e

números complejos• La representación de un número complejo en un

plano se llama “versor”, y tiene las mismas posibilidades de representación que un vector:– Suma de parte real más imaginaria:

– En función del módulo y argumento:

– Mediante las fórmulas de transformación de Euler:

I

R

A

δ

a

iba ib

A cos i sen

iA e A cos i sen

iA e A cos i sen

solución general• Considerando que los coeficientes que multiplican a la función

dependiente del tiempo, son dos complejos conjugados:

• La solución quedará de la forma:

• Aplicando las fórmulas de transformación de Euler quedará por último:

x A cos t

* *1 2;

2 2i iA A

A e A e

*

2 2i t i ti i t i i tA A

x e e e e e e

x cos t i sen t cos t i sen t

representación gráfica

ωt=0 ωt=T/4 ωt=T/2 ωt=3T/2 ωt=T

x A 0 -A 0 A

0 0 0

0 0

x A sen t 2x A cos t

A A2A 2A 2A

o t

x

xT/2T/4 3T/2 T

δT/2π- +

x

energía de un oscilador• Si hubiéramos tratado de integrar la ecuación de partida:• Multiplicando por obtendremos:

• El cálculo del valor de la constante puede hacerse si consideramos que para:

• De donde:

• Intensidad es la energía cinética media en un período:• Utilizando el cambio: • Se obtiene:

,x0mx kx

Energía cinética

Energía potencial

Energía Total

+A-A

Ep

Ec

22 1 2cos t sen t

2 2 2 210

2 2 2 2 2

m k m kCte A x x k A

0x x A

2 22

02

Tm AI sen t dt

T

2 2

4

m AI

2 2 2 20 02 2 2 2

d m k m kx mx x kx x x x x Cte

dt

asociación de resortes

• Asociación en serie:

• Asociación en paralelo:

F kx

m

F

k1

k2

m

F

k1 k2

xx1

x2

F1 F1

x

1 21 2 1 2

1 1 1

E E

F F Fx x x

k k k k k k

1 2 1 2 1 2E EF F F k x k x k x k k k

composición de movimientos• Principio de Superposición: el movimiento

resultante sobre un punto de dos o más movimientos concurrentes, es la suma de cada uno de ellos, considerando que actúan independientemente.

• En la misma dirección e igual frecuencia:

I

R

A1δ1

A2

I

δ2

A

δ

1 2 1 2 1 2; ;f f T T

1 1 2 2

1 1 2 2

( *)

( *)

A sen A senI xtg

R x A cos A cos

2 21 2 1 22A A A A A cos

1 2 1 221 2 1 2

i i i iA Ae A e Ae A e

1*1 1

i tx Ae 2*

2 2i tx A e

1 2* * *1 2 1 2

i ti ix x x Ae A e e

i tx Ae

• De distinta frecuencia:

• Como no son sumables hay que hacer un cambio de variable:

• Haciendo operaciones obtenemos:

1 1*1 1

i tx Ae 2 2*

2 2i tx A e

1 2 1 22 ;2

2x A cos t cos t

T

T

cos t

2A cos t

BATIMIENTO

en direcciones perpendiculares

• Igual frecuencia:

• Sustituyendo:

• Elevando al cuadrado y agrupando términos:

1 2 1 2 1 2; ;f f T T x A cos t

y B cos t B cos t cos sen t sen

2

21

y x xcos sen

B A A

2 22

21

y x xcos sen

B A A

2 2

22 2

2x y

xy cos senA B

+B

= =0

=3/2 δ=π/2

-B

-A +A

x

y

0x y A

y xA B B δ = 0

δ =π

δ = π/2 = 3π/2

2 2

2 21

x y

A B

• De distinta frecuencia:

• No hay sustitución posible.• Las ecuaciones de los movimientos

corresponden a las ecuaciones paramétricas de la trayectoria resultante, que reciben el nombre de figuras de Lissajous.

• Son trayectorias cerradas que se repiten cada período T, cuyo valor será:

• Las operaciones a realizar serán:• Fijación del 0• División circunferencia de radio A• División circunferencia de radio B• Unión de puntos comunes

1 2 1 2 1 2; ;f f T T 1 1x A cos t

2 2y B cos t

1 1 2 2T nT n T

x

y

1t

2 21

t

2 3 / 4x cos t

3 2 / 6y cos t

0

0

0

movimiento amortiguado• La fuerza de rozamiento es siempre opuesta al

movimiento y proporcional a la velocidad, por lo que la aplicación del segundo principio de Newton conduce a la expresión:

• Dividiendo por m, y haciendo los cambios:

• Cambiando la variable:

• Obtenemos como ecuación característica:

• Cuyas raíces son:• Cuyas soluciones pueden ser:• Dos raíces reales: Si • Una raíz real:• Dos raíces imaginarias:

m

0

x

k

x-

β

0RF F mx kx x mx mx x kx

2t t tx e x e x e

21;2

k

m m

2 21 02 0

2 2 2 21 1 1 0 2 1 1 0;

1 0 1 1 2 1;

1 0 1 2 1

1 0 1 1 2 1;i i

A. FuerteA. Crítico

A. Débil

amortiguamiento fuerte y crítico

• Al ser en ambos casos raíces reales, el movimiento resultante vendrá dado por una función exponencial decreciente.

• Es decir, el movimiento resultante consiste simplemente en que la masa vuelva a su posición de equilibrio no traspasándola nunca.

t

t

x

0

, 0tx f e para t x

amortiguamiento débil• La solución general será:

• Operando para obtener la parte real de la ecuación:

• De donde su parte real será:

• Propiedades:• 1. Es un movimiento pseudoperiódico (ζ

= 2π/ω)• 2. Este pseudoperíodo es mayor que el

período sin amortiguar• 3. El cociente entre dos máximos

consecutivos es una cantidad constante.

1 1* *1 2* i t i tx A e A e

1* *1 2* ti t i tx A e A e e

* *1 2;

2 2i iA A

A e A e

1*2

i t t i t t tAx e e e

1i tx Ae cos t

t

x

0

HH1

1

1

1 1)( ( )

i t

i t

x t Ae cos tp e

x t Ae cos t

ζ

Si tomamos logaritmos neperianos, obtenemos lo que recibe el nombre de decremento logarítmico (θ):

1 1 2 2 20 1

2

2

mln pkm m

Si el amortiguamiento es muy débil ( ω1<<<ω0), el decremento logarítmico toma el valor:

11 1 2

00

22ln p

km

oscilaciones forzadas• Si sobre un oscilador aplicamos una fuerza

que varía periódicamente con el tiempo, estamos forzando una oscilación. Aplicando el principio de Newton, la ecuación diferencial a integrar se llama “completa”.

• La solución de la ecuación completa se construirá encontrando la solución general de la ecuación homogénea y añadiéndole una solución particular de la ecuación completa:

0 'mx x kx F cos t m

F = F0cos ω’t

0

x

k

x-

β

( , , , ) ( , , ) ( , , , )GC H CX x x x t X x x x x x x x t

( 0) 0HX mx x kx Estados estacionarios

* * '( , , , ) i tCx x x x t A e

• Sustituyendo la función propuesta y sus derivadas, en la ecuación de partida, se calcula el valor de A*, para que la solución propuesta cumpla la ecuación, obteniéndose:

* '0

2 '20 12 '

i tfx e

i

Racionalizando y operando para obtener la solución real:

0

2 22 '20 1

'2 '

fx cos t

Ecuación de un movimiento oscilatorio:

0

2 22 '20 12 '

fA

1

2 '20

2 'sentg

cos

resonancia• Derivando el valor de la amplitud para averiguar cual es el valor máximo que puede

alcanzar, obtenemos:

2 '2 2 '2 2 20 0 1 0 12 2 ' 8 ' 0 2

dAf

dt

• Derivando por segunda vez se obtendría un valor negativo por lo que sería un máximo.

0

2 21 0 12

MAX

fA

resonancia característicaCuando el movimiento amortiguado es muy débil, o se aplica la fuerza con un frecuencia igual a la propia del sistema, se llama entonces resonancia característica:

' 00

1 02rc rC

fA

'2 2 20 12r

La frecuencia con que se aplica la fuerza recibe entonces el nombre de frecuencia de resonancia:

Periodo de excitación

Amplitud del resonador

Amortiguamiento

Muy grande

Débil

Muy débil

Nulo

∞

Periodo de excitación

Periodo de excitación

Periodo de excitación