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TEMA 8. LÍMITES Y CONTINUIDAD

1. IDEA DE LÍMITE.

La idea de límite de una función f(x) cuando ésta tiende a un punto a, (se escribe )x(flim

ax® ), es la del valor al que se acerca la función cuando vamos tomando valores

cada vez más próximos al punto a. Ejemplo: Sea la función f(x) = x + 2. Veamos cuál es su límite cuando nos

acercamos al punto 0. Vamos tomando valores cercanos: f(0,1) = 2,1 f(0,01) = 2,01 f(0,001) = 2,001 … y vemos que nos acercamos al punto 2, que es el límite buscado. )x(flim

0x®= )2x(lim

0x+

®=2

Generalmente, para calcular un límite, tan sólo tenemos que sustituir en la función

el valor del punto a. Ejemplo: )2x(lim

0x+

®= 0 + 2 = 2

Pero hay veces que al sustituir nos aparecen operaciones imposibles de realizar o

ambiguas. Estas expresiones se llaman indeterminaciones y son del tipo:

...1,0,00,,1,

01 0 ¥

¥¥

¥

Ejemplo: x1lim

0x® = 01

2. LÍMITES LATERALES Hay ocasiones en las que al acercarnos a un determinado valor a por la derecha

(valores menores que a) y por la izquierda (valores mayores que a), no obtenemos los mismos resultados. Es el caso de las funciones definidas a trozos y de algunos casos de indeterminación. Es por ello que necesitamos definir los límites laterales.

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Llamamos límite por la izquierda ( )x(flim

ax -®) al valor al que tiende la función

cuando nos acercamos al punto con valores menores que él. Llamamos límite por la derecha ( )x(flim

ax +®) al valor al que tiende la función

cuando nos acercamos al punto con valores mayores que él.

Ejemplo: Sea la función f(x) = îíì

³<+3x43x2x

Para calcular )x(flim3x®

no se puede sustituir directamente, ya que si

tomamos valores mayores que 3 obtenemos un resultado distinto que si tomamos valores menores que 3. Es por ello que hace falta calcular los límites laterales:

)x(flim3x +®

= 4 y )x(flim3x -®

= 3

Cuando no coinciden los límites laterales, diremos que no existe el límite de la

función en ese punto.

3. LÍMITES INFINITOS Una función se dice que es divergente en un punto cuando su límite es +¥ o -¥.

±¥=®

)x(flimax

Ejemplo: En el estudio del 20x x1lim

®, si estudiamos el valor de la función cuando x

se acerca progresivamente a 0, nos damos cuenta que el valor de la función se hace cada vez más grande.

1001,012 =

1000001,012 =

1000000001,01

2 =

Por lo que podemos afirmar que 20x x1lim

®= +¥

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4. LÍMITES EN EL INFINITO

Se trata de ver a qué tiende la función cuando los valores de x se hacen muy grandes o muy pequeños.

)x(flim

x +¥® o )x(flim

x -¥®

Ejemplo: En el estudio del 1xxlim

x -+¥®, si calculamos el valor de la función cuando

x es progresivamente más grande, vemos:

01,11100

100=

-

001,111000

1000=

-

0001,1110000

10000=

-

Por lo que podemos afirmar que 1xxlim

x -+¥®= 1

5. LÍMITES INFINITOS EN EL INFINITO Se trata de estudiar los casos en los que )x(flim

x +¥®= ± ¥

Ejemplo: En el estudio del 2

xxlim

+¥®, vemos que cuando x se hace muy grande, la

función también lo hace. Por lo que +¥=+¥®

2

xxlim

6. CÁLCULO DE LÍMITES

Como ya vimos, en general se sustituye el valor del punto en la función, y el número obtenido es el límite. Pero hay casos en los que nos topamos con indeterminaciones o con infinitos.

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN POLINÓMICA EN EL INFINITO El límite de una función polinómica en el infinito es +¥ o -¥, dependiendo del

grado y del signo del coeficiente principal del polinomio.

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Ejemplos:

+¥=+¥=+-+¥®

22

x)()1xx(lim

-¥=-¥=+--+¥®

323

x)1xx2(lim

+¥=-¥=+--¥®

22

x)()1xx(lim

+¥=-¥-=+---¥®

323

x)()1xx2(lim

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN RACIONAL EN EL INFINITO

El límite de funciones racionales cuando x → ± ¥, es igual al límite del cociente de los términos de mayor grado del numerador y del denominador. Distinguiremos tres casos:

- Si grado(numerador) = grado(denominador), el límite es el cociente de los coeficientes de mayor grado.

- Si grado(numerador) < grado(denominador), el límite es 0.

- Si grado(numerador) > grado(denominador), el límite es ± ¥, dependiendo de los signos que resulten de los cocientes de los términos principales.

Ejemplos:

o 5x2xx2lim

2

x +-+

+¥® =

xx2lim2

x +¥® =

1x2lim

x +¥® = + ¥

o 5x2x2lim 3x +

--¥®

= 3x xx2lim

-¥® = 0

o 5x2xx2lim 2

2

x +-+

+¥® =

2

2

x xx2lim

+¥® = 12 = 2

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN RACIONAL EN UN PUNTO

Tan sólo hemos de sustituir:

)a(Q)a(P

)x(Q)x(Plim

ax=

®

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Pero pueden darse algunos casos de indeterminadas:

0k : En este caso, el resultado siempre es infinito. Para mayor precisión, hemos de

calcular los límites laterales. Si estos no coinciden, diremos que no existe el límite.

Ejemplo:

01

2x1lim

2x=

-®

Estudiamos los límites laterales:

+¥==- +® + 0

12x1lim

2x -¥==

- -® - 01

2x1lim

2x

En este caso no existe el límite ya que los laterales no coinciden.

00 : En este caso hemos de simplificar la expresión fraccionaria y calcular el límite de la

expresión resultante.

Ejemplo:

00

2xx1xlim 2

2

1x=

-+-

®

Descomponiendo factorialmente los polinomios del numerador y del denominador, obtenemos:

x2 – 1 = (x + 1)·(x – 1) x2 + x – 2 = (x – 1)·(x + 2)

Y simplificando:

32

2x1xlim

)2x)(1x()1x)(1x(lim

2xx1xlim

1x1x2

2

1x=

++

=+--+

=-+

-®®®

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7. CONTINUIDAD

La idea intuitiva de función continua es la de una función que e puede trazar sin necesidad de levantar el lápiz del papel.

Más formalmente, diremos que una función es continua en un punto si los valores

de la función e las proximidades del punto son muy cercanos al valor de la función en ese punto. Para ello se tiene que cumplir que exista los límites laterales y que éstos coincidan con el valor de la función.

Es decir, una función f(x) es continua en un punto a si se cumple:

a) Existe f(a) → a pertenece al dominio de la función

b) )x(flimax -®

= )x(flimax +®

→ Existe el límite de la función en a

c) )x(flim

ax® = f(a) → Ambos valores coinciden.

Si alguna de estas condiciones no se cumple, diremos que la función es

discontinua en el punto a. Diremos que una función es continua cuando lo es en todos los puntos de su

dominio. Ejemplo 1: Veamos si f(x) = x3 – 2x2 – 1 es continua en x = 5. Como existe f(5) = 74, y el )x(flim

5x®= 74, ambos coinciden y la función es continua.

Ejemplo 2:

Veamos si f(x) = îíì

>£1xx1xx3 es continua en x = 1.

Existe f(1) = 3, pero no existe el límite, ya que los límites laterales no existen, luego la función es discontinua en el punto 1. Ejemplo 3:

Veamos si f(x) = îíì

><1x31xx3 es continua en x = 1.

Como no existe f(1), es discontinua.

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Ejemplo 4:

Veamos si f(x) = îíì

=¹1x01xx3

es continua en x = 1.

Existe f(1) = 0. Existe )x(flim

1x®= 3, ya que coinciden los límites laterales. Pero no

coinciden ambos valores, por lo tanto, la función es discontinua. CONTINUIDAD DE FUNCIONES ELEMENTALES

- Las funciones polinómicas y exponenciales son continuas en todos los números reales.

- Las funciones racionales f(x) = )x(Q)x(P son continuas excepto en los puntos que

anulan el denominador.

- Las funciones logarítmicas son continuas en todo su dominio. 8. TIPOS DE DISCONTINUIDADES

Dependiendo de qué condición no se cumpla, los puntos de discontinuidad se pueden clasificar en evitables e inevitables.

Discontinuidad Evitable → Existe el límite de la función en el punto, pero éste no coincide con el valor de ésta (bien porque no exista o porque sea diferente)

Discontinuidad no Evitable:

Salto finito → Existen los límites laterales, son finitos, pero no coinciden. Por lo tanto, no hay límite.

Ejemplo:

f(x) = îíì

>-£-1x1x21x1x2

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Salto infinito → Alguno de los límites laterales es infinito.

Ejemplo:

f(x) = x1

EJERCICIOS 1) Calcula los límites de las siguientes funciones:

a) f(x) = îíì

=¹3x103xx2 cuando x tiende a 3

b) f(x) = îíì

>-<4x2x4x2

cuando x tiende a 4

c) f(x) = îíì

>-<-1x3x1x1x2 cuando x tiende a 1

2) Calcula los siguientes límites:

a) =-+

® 1x1x3lim

1x

b) =-

++¥® 1x

1x2x3lim3

x

c) =-

++¥® 1x

1x2x3lim 3

3

x

d) =-+--

® 7x2x51x2x3lim 3

3

1x

e) =--

® 4x16xlim

2

4x

f) =-+

® 2x1xlim

2x

g) ( )

=-® 2

3

1x 1xxlim

h) =-++-

® 10x3x6x5xlim 2

2

2x

i) =-+-

+-® 12x16x7x

x6x5xlim 23

23

3x

j) =-+-

+-® 12x16x7x

x6x5xlim 23

23

2x

k) =++-¥+®

)5x3x(lim 2

x

l) =++¥+®

)1x2x5(lim 2

x

m) =+--¥-®

)1x2x(lim 3

x

n) =+-

¥+® 5x3x2lim 2

2

x

o) =++-

¥+® 5x31x3xlim

2

x

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p) =+-

¥+® 5x3xlim 3

2

x

q) =-+

-¥+® 2x5x5

x3x2lim 3

3

x

r) =+-

+® 4x4x

1x2lim 22x

s) =+--

¥+® 5x3x2lim 3

2

x

t) =+

+--¥-® 5x

1x3xlim 2

3

x

u) =+-++--

® 3x5xx2x2x2x2lim 23

235

2x

v) =++-

¥-® 5x21x3x5lim 3

3

x

w) =--

® 1x1xlim

2

1x

x) =++

-® 2x1xlim 2

3

1x

y) =-+

-® 4x2xlim 22x

z) =---

® 2x2xxlim

2

2x

aa) =++

+-® 3x4x

3xlim 23x

bb) =--

® 1x1xlim 2

4

1x

3. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones:

a) f(x) = 2x1x3

-+

b) f(x) = îíì

>-£1xx1xx2

c) f(x) = îíì

><1x21xx2

d) f(x) = 16x4x3

2

3

-+

e) f(x) = 2x4x2

--

f) f(x) = 25x37x

2

3

+-

g) f(x) = ïî

ïí

ì

>££-

<

6x66x0x0xx

h) f(x) = ïî

ïí

ì

³<<

<

4xx4x0x0xx2

2

i) f(x) = 2x6xx2

--+

j) f(x) = 3x3-

4. Encontrar el valor de a para el cual la función f(x) = îíì

>-£-1xax1x2ax

2 es continua.