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IES HISPANIDAD Departamento de Matemáticas

1

LÍMITE DE FUNCIONES LÍMITE DE UNA FUNCIÓN CUANDO +∞→x LÍMITE FINITO. DEFINICIÓN Cuando +∞→x la función puede comportarse de diversas maneras:

lxfx

=+∞→

)(lim

Al aumentar los valores de x, los valores de f(x) se aproximan a un cierto número l.

+∞=+∞→

)(lim xfx

Al aumentar los valores de x, los valores de f(x) crecen cada vez más (toman valores tan grandes como queramos)

−∞=

+∞→

)(lim xfx

Al aumentar los valores de x, los valores de f(x) son cada vez “más negativos” (es decir, negativos y cada vez más grandes en valor absoluto.

)(lim xf

x +∞→

no existe

Los valores de f(x) no siguen ninguno de los comportamientos anteriores.


2

Def.- εδδε <−⇒>>∃>∀⇔=+∞→

LxfxquetalLxfx

)( 0,0)(lim .

Dicho de otra manera, dado ε (arbitrariamente pequeño) podemos encontrar δ (tan grande como sea necesario para que se verifique ε<− Lxf )( . Intuitivamente, podemos conseguir que f(x) esté tan próximo a L como queramos sin más que darle a x valores suficientemente grandes.

OPERACIONES CON LÍMITES FINITOS Si axf

x=

+∞→

)(lim y bxgx

=+∞→

)(lim , entonces se cumplen las siguientes propiedades:

1) [ ] baxgxfxgxfxxx

±=±=±+∞→+∞→+∞→

)()()()( limlimlim

2) [ ] baxgxfxgxfxxx

⋅=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⋅⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=⋅

+∞→+∞→+∞→

)()()()( limlimlim

3) Si 0)(lim ≠=+∞→

bxgx

, ba

xg

xf

xgxf

x

x

x==⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

+∞→

+∞→

+∞→ )(

)(

)()(

limlim

lim

4) Si f(x) >0, [ ] bxg

x

xg

xaxfxf x =⎥⎦

⎤⎢⎣⎡= +∞→

+∞→+∞→

)()(

lim)()( limlim

5) Si 0)( ≥xf , nn

x

n

xaxfxf ==

+∞→+∞→

)()( limlim

6) Si 0>α , f(x) > 0, [ ] ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

+∞→+∞→

)(log)(log limlim xfxfxx

αα

LIMITES INFINITOS. DEFINICIONES Def 1,- εδδε >⇒>>∃>∀⇔+∞=

+∞→

)( 0 0)(lim xfxquetalxfx

Es decir, que dado ε (arbitrariamente grande) podemos encontrar δ (tan grande como sea necesario) que cumple ε>)(xf . Intuitivamente, podemos conseguir que f(x) sea tan grande como queramos sin más que tomar x tan grande como sea necesario. Cuanto más grande sea ε , más grande debemos tomar δ .


3

Análogamente, Def 2,-

ε

ε

−<⇒

>>∃>∀⇔−∞=+∞→

)(

0 0)(limxf

hxquetalhxfx

ALGUNOS LÍMITES INFINITOS Recordemos tres familias de funciones que se hacen infinitas cuando +∞→x

Potencias: Si k>0, ±∞=⋅+∞→

k

xxplim

( )

( ) −∞=−+−

+∞=+−

+∞→

+∞→

132

524

:5

3

lim

lim

xx

xx

Ejm

x

x

Exponenciales: Si a>1, ±∞=⋅+∞→

x

xaplim

−∞=⋅−

+∞=⋅

+∞→

+∞→

x

x

x

xEjm

52

5,13

:

lim

lim

Logarítmicas: Si a>1, ±∞=⋅+∞→

xp ax

loglim−∞=⋅−

+∞=⋅

+∞→

+∞→

x

x

Ejm

x

x

2log2

log3

:

lim

lim

Calcula los siguientes límites:

a. ( ) =−++∞→

32 3lim xxxx

c. ( )=++∞→

3 2 2lim xx

b. ( ) =⋅−+∞→

x

x

225lim d. ( ) =−+∞→

xx

3log2 5lim


4

COMPARACIÓN DE INFINITOS Def.- Si ±∞=

+∞→

)(lim xfx

y ±∞=+∞→

)(lim xgx

se dice que f(x) es un infinito de orden superior

a g(x) si ±∞=+∞→ )(

)(lim xgxf

x, o lo que es lo mismo. 0

)()(lim =

+∞→ xfxg

x.

Las comparaciones más usadas:

Dadas dos potencias de x,. la de mayor exponente es un infinito de orden superior.

+∞=+∞→

3

4

7lim xx

x +∞=

+∞→ xx

x 3

3 5

lim

Dadas dos funciones exponenciales de bases mayores que 1, la de mayor base es un

infinito de orden superior.

+∞=+∞→

x

x

x 5,12lim

Cualquier función exponencial de base mayor que 1 es un infinito superior a cualquier

potencia.

+∞=+∞→

20

2,1lim x

x

x

Tanto las funciones exponenciales de base mayor que 1 como las potencias de x son

infinitos de orden superior a cualquier función logarítmica.

+∞=+∞→ x

xx 3

4

loglim +∞=+∞→ x

x

x log32,1lim

Si en una suma hay varios sumandos infinitos, el orden de la suma es el del sumando de

mayor orden. 534 26 xxx +− es un infinito del mismo orden que 5x , esto es;

02265

534

lim ≠==+−

+∞→

Lx

xxxx

xxx 2523 ⋅+− es un infinito del mismo orden que x2 , esto es;

052

2523

lim ≠==⋅+−

+∞→

Lxxx

x

x

OPERACIONES CON EXPRESIONES INFINITAS Del mismo modo que se manejan las operaciones con límites finitos, hay muchas operaciones en las que intervienen funciones cuyo resultado es también obvio. Por ejemplo:

Si +∞=+∞→

)(lim xfx

y +∞=+∞→

)(lim xgx

, entonces: [ ] +∞=++∞→

)()(lim xgxfx

y se expresa:

( ) ( ) ( )∞+=∞++∞+ . A continuación, ponemos algunos de los resultados de operar con funciones infinitas. Intenta razonarlos con algunos ejemplos y no los memorices.


5

INDETERMINACIONES Def.- Una indeterminación es el reconocimiento de que con solo conocer los límites de las funciones que intervienen, no podemos asignar límite al resultado de la operación. Hay que efectuar una investigación más profunda que nos permita llegar al valor de dicho límite. Las más importantes son:

( ) ( )∞+−∞+ ( )0∞+ ( )00

( ) ( )0⋅∞± ( )( )+∞1 ( )( )∞±∞±

( )( )00

( )( )−∞1

Ahora aprenderemos algunos métodos para resolver los casos más frecuentes de indeterminación.


6

CÁLCULO DE LÍMITES CUANDO +∞→x COCIENTE DE POLINOMIOS

( )( )∞±∞±

( )

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=<>∞±

=+∞→ )()(

)()( 0)()(

)()(lim

xgradoQxgradoPsiLxgradoQxgradoPsixgradoQxgradoPsi

xQxP

x

siendo L el cociente de los coeficientes de los polinomios P(x) y Q(x) de mayor grado. Ejm:

+∞===+−−+

+∞→+∞→+∞→ 53

53

265323 limlimlim 2

3

2

3 xxx

xxxx

xxx

063

63

266323 limlimlim 2

2

23

2

===+−−+

+∞→+∞→+∞→ xxx

xxxx

xxx

53

53

53

265323 limlimlim 3

3

3

23

===+−−+

+∞→+∞→+∞→ xxx xx

xxxx

0142

26432 limlimlim 33

===+−

−

+∞→+∞→+∞→ xxx

xxx

xxx

−∞=−

=−

=+−

−+

+∞→+∞→+∞→ 269

26329 limlimlim

33 xx

xx

xxxxx

31

62

68

26328 limlimlim

3 33 23 −=

−=

−=

+−−+

+∞→+∞→+∞→ xx

xx

xxx

xxx

DIFERENCIA DE EXPRESIONES INFINITAS ( ) ( )∞+−∞+ Estudiaremos tres casos:

I) Cuando se aprecia a simple vista que las expresiones cuya diferencia son infinitos de orden distinto, podemos atribuirle. Directamente, límite ∞+ ó ∞− .

+∞=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−+−−

+∞→ xxxxxx

x 22342 3

55lim

orden 25

orden 2

( )−∞=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅−

−−

+∞→

x

x xx 5,13

15

2

4

lim

orden 2 exponencial siempre orden superior a 2x


7

II) Cuando puede efectuarse la operación.

( )

113

113

6252

332

3522

352

limlim

limlim22

22

−=+

−=

+−−−

=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++⋅

−+−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

+−

+∞→+∞→

+∞→+∞→

xx

xxxxx

xxx

xxxx

xxx

xx

xx

III) Cuando hay radicales, entonces multiplicamos y dividimos por el conjugado:

[ ] ( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )

11122

2

2

2

2

2

2

2

222

2

22

22

2

222

2

222

lim

limlimlim

limlim

−=+−

=+

−=

=+−

−=

+−

−−=

+−

−−=

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+−

+−⋅−−=−−

+∞→

+∞→+∞→+∞→

+∞→+∞→

xx

xxxx

x

xxx

xxx

xxx

xxx

xxx

xxxxxxxxx

x

xxx

xx

Hemos aplicado la identidad notable, suma por diferencia igual a diferencia de cuadrados, esto es; ( ) ( ) 22 bababa −=+⋅−

LÍMITE DE UNA POTENCIA Sabiendo que el límite de una potencia, en muchos casos, se puede calcular sin más que conocer los limites de la base y el exponente.

Si Lxfx

=+∞→

)(lim y +∞=+∞→

)(lim xgx

, se cumple:

[ ]⎪⎩

⎪⎨

⎧

=>∞+<<

=+∞→ 1mindet

1 10 0

)( )(limLadoerInL

Lxf xg

x


8

Ejm: ( ) +∞=+−

+∞→

32 1lim x

xx ( ) +∞==⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ + ∞+

+

+∞→

212 2

limx

x xx

( )

031

153

2

2

2

lim =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

∞++

+∞→

xx

x xxx

Si Lxfx

=+∞→

)(lim y −∞=+∞→

)(lim xgx

, se cumple:

[ ]⎪⎩

⎪⎨

⎧

=><<∞+

=+∞→ 1mindet

1 010

)( )(limLadoerInL

Lxf xg

x

Ejm: ( )( )

( )( ) 01)( 32lim =∞+

=∞+=− ∞+∞−−

+∞→

x

xxx

( )( ) 0

21212 2

lim ===⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

∞+∞−

+−

+∞→

x

x xx

( ) ( )

+∞=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

∞+∞−+−

+∞→ 13

31

153

2

2

2

limxx

x xxx

REGLA PRÁCTICA DE EXPRESIONES ( )( )+∞1

( )( )+∞1 Si 1)(lim =+∞→

xfx

y +∞=+∞→

)(lim xfx

, entonces: [ ][ ] )(1)(

)( lim)(lim

xgxfxg

x

xexf⋅−

+∞→

+∞→=


9

Ejm:

( )( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( ) 01limlim

limlim1

15

1545

1515

15151

152

2

2

23

2

2

22

222

2

22

lim

=====

====⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

∞+∞−−+

+−−

−+

+⋅+−

+⋅⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−+

−+−+⋅

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

−+∞++

+∞→

+∞→+∞→

+∞→+∞→

eeee

eexx

x

xxxxx

xxxxx

xxxx

xxxxxxx

xxx

x

xx

xx

5. Resuelve, aplicando la regla anterior:

a. 35

1353lim

−

+∞→⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+ x

x xx

b. 42

23

3 23lim−

+∞→⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+−x

x xxxx

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN CUANDO −∞→x DEFINICIONES

⇔=−∞→

lxfx

)(lim Dado 0>ε , existe un h (suficientemente grande) tal que si hx −< ,

entonces ε<− lxf )( . Intuitivamente, podemos conseguir que f(x) esté tan próximo a l como queramos, sin más que darle a x valores suficientemente “grandes y positivos”.

CÁLCULO DE LÍMITES Para calcular este tipo de límites, tendremos en cuenta:

)()( limlim xfxfxx

−=+∞→−∞→

y aplicaremos lo anterior: Ejm:

( ) ( ) +∞=++=+−⋅−−=+−+∞→+∞→−∞→

353535 222 limlimlim xxxxxxxxx

( ) ( ) ( ) −∞=−−−=−⋅+−⋅−−=+−

+∞→+∞→−∞→

xxxxxxxxxxxx

353535 232323 limlimlim


10

012122 limlimlim =

∞+===

+∞→

−

+∞→−∞→x

x

x

x

x

x

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO LÍMITES LATERALES INFINITOS

KxfentoncescxcsiquetalKxfcx

><<−>∃>∀⇔+∞=−→

)( , 0,0)(lim δδ .

Intuitivamente, diremos que el límite de f(x) cuando x tiende a c por la izquierda es ∞+ , si al acercarse x a c tomando valores menores que c, f(x) toma valores tan grandes como se quiera.

Análogamente: KxfentoncescxcsiquetalKxf

cx

>+<<>∃>∀⇔+∞=+→

)( , 0,0)(lim δδ .

Kxfentonces

cxcsiquetalKxfcx

−<

<<−>∃>∀⇔−∞=−→

)(

, 0,0)(lim δδ.

Kxfentonces

cxcsiquetalKxfcx

−<

+<<>∃>∀⇔−∞=−+→

)(

, 0,0)(lim δδ.


11

LÍMITES LATERALES FINITOS POR LA IZQUIERDA

εδδε <<<−>∃>∀⇔=−→

l-f(x)entoncescxcsiquetallxfcx

, 0,0)(lim

Intuitivamente, si queremos que f(x) sea muy próximo a l (es decir,

ε<− lxf )( ), bastará con darle a x valores suficientemente próximos a c inferiores a c.

POR LA DERECHA εδδε <+<<>∃>∀⇔=

+→


, 0,0)(lim

LÍMITE FINITO EN UN PUNTO En los límites laterales nos hemos acercado a c por un lado o por el otro. Ahora vamos a hacerlo indistintamente por uno u otro lado.

εδδδε <+<<−>∃>∀⇔=→


, 0,0)(lim

Esto es; si queremos que f(x) sea muy próximo a l, podremos conseguirlo sin más que darle a x valores tan próximos a c como sea necesario. Además, esta definición engloba las dos definiciones de límites laterales. Por tanto,

)()( )( limlimlim xfxfcoincidenylateraleslímitesloslxfcxcxcx +−+ →→→

=∃⇔=

CÁLCULO DE LÍMITES CUANDO ax → CASOS INMEDIATOS Recordemos que en las funciones elementales se verifica siempre que, si f(x) está definida en x = c, entonces

)()(lim cfxfcx

=→

Ejm:

14

)(lim4

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

→

ππ

tgxtgx

( ) ( ) 2433121 512·313

2lim ==+=+ −−

→

x

xx

Con los resultados operativos vale aquí toda la casuística que hemos visto en los límites cuando +∞→x (en las páginas 2 y 5).


12

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∞+=∞++∞+=+∞+=+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−∞+−

→

55055

12 0

1

11

31

lim x

x x

INDETERMINACIONES

Cociente de polinomios: )()(lim xQ

xPcx→

. Pueden darse dos casos:

0)( ≠cP , entonces el límite es ∞± . Puede ser distinto el límite a la izquierda y a la derecha de c. Para averiguarlo, se recomienda obtener con la calculadora el resultado del cociente para valores de x próximos a c por uno y otro lado.

0)( =cP , indeterminación del tipo ( )( )00

. Entonces la fracción puede simplificarse

dividiendo numerador y denominador por cx − . Ejm1:

( )( )

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

+∞=+−

+

−∞=+−

+

==+−

+

+

−

→

→

→

453

453

019

453

2

2

4

2

2

4

2

2

4

lim

limlim

xxx

xxx

xxx

x

x

x

La calculadora me determina el signo del ∞

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

==+⋅−

+

−=−

=+⋅−

+

9,6331,081,19

41,451,431,4

79,6229,021,18

49,359,339,3

2

2

2

2

Ejm2: ( )( )

( ) ( )( ) ( ) 4

3222

32

3222

00

654 limlimlim

222

2

2−=

−+

=−+

=−⋅−+⋅−

==+−

−

→→→ xx

xxxx

xxx

xxx

R=

−

021422401

( ) ( )2242 +⋅−=− xxx

R=−−

−

031622

651( ) ( )32652 −⋅−=+− xxxx

Ejm3:

( )( )

( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) 2

111

11

111

111

111

11111

00

11

limlim

limlimlimlim

11

1

22

111

−=

+−

=+−

=+⋅−−−

=

=+⋅−

−=

+⋅−−

=+⋅−+⋅−

==−

−

→→

→→→→

xxxx

xxx

xxx

xxxx

xx

xx

xxxx


13

Ejm4:

( )( )

( )( )

( )[ ]( ) ( )[ ]

( )( )

( )( )

0490

61111

61

611

6500

65

662

3

62

3

1

62

3

16 22

6 32

13 2

2

1

lim

limlimlim

==+−⋅

=+

−⋅=

=+⋅−

−⋅=

−+

−==

−+

−

→

→→→

xxx

xxxx

xx

xx

xxxx

x

xxx

R=

−

061611651

( ) ( )61652 +⋅−=++ xxxx

Del tipo ( ) ( )∞+−∞+ En este caso, la mejor forma de deshacer estas indeterminaciones es efectuar la resta y estudiar la expresión resultante.

Del tipò ( )( )+∞1 La regla que obtuvimos con anterioridad es también válida para los límites cuando cx → (pág 8). Ejm1:

( )( )( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )( )

( )

( )⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−∞=−

−

+∞=−

−

=−

=−

−=

−−−

=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−−−

=∞+−∞+=−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−−−

+

−

→

→

→→

→→

231

231

05

231

241

24

21

04

01

24

21

lim

lim

limlim

limlim

2

2

22

22

xxx

xxx

xxx

xxxx

xxx

xxx

xxxx

x

x

xx

xx

Calculadora ( )

( )⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−=−

=−⋅−

=−−

=−⋅−

24,2521,0

3,521,21,21,231

74,2419,07,4

29,19,19,131


14

Ejm2:

( )( )

eeeee

eex

xx

xx

xxx

xxxxx

xxx

xxx

xxxx

x

x

xxx

xx

=====

====⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++

+⋅

+⋅

+⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−−++

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++

−+++

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+++

∞+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

→

→→→

→→

101

11

11

111

111

1111

11

011

2

0

limlimlim

limlim1

11

11

0

2

0

2

0

2

0

2

0lim

1) Calcula los siguientes límites:

a. 76

5222

23

1lim −−

++−

−→ xxxxx

x c.

xxxxx

x 3215

23

3

4lim −+

+−

→

b. 3 23

2

3 332lim

xxxx

x +

−+

−→

d. 22

4 3

1lim

−+

−

→ xxxx

x

2) Calcula los siguientes límites:

a. ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+++

−+

+−

→ xxxx

xxxx

x3

3

2

2

0

122

25lim

b. 71

2

7 347lim

−+

→⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+− xx

x xxx

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