Tema 5 Fuerzas Internas en Vigas

8/10/2019 Tema 5 Fuerzas Internas en Vigas

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FUERZAS INTERNAS O

FUERZAS DE SECCION


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FUERZAS INTERNAS.- FUERZAS DE SECCIN.-

Ejemplo.- Determine las componentes de fuerza x, y, z y el momentoen la seccin C de la tubera. Ignore el peso de los tubos. La carga queacta en (0, 3.5, 3 ) pie es F1= (-24, 0, -10) Ib y M = (0, 0, -30 ) lb.pie yen el punto (0, 3.5, 0 ) pie es F2= (- 80, 0, 0 ) Ib.


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Fx = 0Vcx - 80 - 24 = 0 Vcx = 104 lb Fuerza cortante x

Fy = 0Nc= 0 Fuerza axialFz = 0Vcz- 10 = 0 Vcz = 10.0 lb Fuerza cortante z

Mx = 0Mcx- 10x2 = 0 Mcx = 20.0 lb.pie Momento flector x

My = 0Mcy - 24 x 3 = 0 Mcy = 72.0 lb.pie Momento detorsin

Mz = 0Mcz - 30 + 24 x 2 + 80x 2 = 0 Mcz = - 178 lb.pie Momento flector z

S.-

DCL


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Fuerzas internas.- Mtodo de las secciones.-

Para hallar las fuerzas internas en el cuerpo cargado se usa el mtodode las secciones. El cuerpo cargado de la figura a siguiente, sesecciona mentalmente en dos partes A y B por medio de un plano. Conel fin de que cada una de estas partes se encuentre en equilibrio bajola accin de las cargas externas aplicadas, es necesario sustituir laaccin de la parte cortada por un sistema de fuerzas interiores en laseccin. Estas fuerzas son las fuerzas de interaccin entre las partes Ay B del cuerpo. Las fuerzas interiores que actan en la seccin por ellado de la parte A, de acuerdo con la 3Ley de Newton, son iguales enmagnitud y contrarias en direccin a las fuerzas interiores que actanen la seccin por el lado de la parte B (ver figura b).

Reduciendo las fuerzas internas al centro de gravedad de la seccintendremos en cada lado de la seccin un vector fuerza y un vectormomento (ver figura c). Si se tratase de una barra, sta se cortar, engeneral, por un plano perpendicular al eje.


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Si el eje x es normal a la seccin sta se denomina superficie

o cara x. La orientacin de los ejes y, z en el plano de la

seccin coincide con los ejes principales de inercia de lamisma.

En la figura el primer subndice indica la cara sobre la que

actan las componentes y el segundo la direccin de cada una

de ellas. Por ejemplo, Pxy es la fuerza que acta sobre la cara

x en la direccin de y.

Cada componente representa un efecto distinto de las fuerzasaplicadas sobre el slido en esta seccin x, y recibe el nombre

definido a continuacin:


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Pxx : Fuerza axial o normal. Mide la accin de tirar (o empujar)sobre la seccin. Tirar representa extensin o traccin,alargamiento del slido. Empujar representa fuerza de

compresin que acorta al slido. Se llama tambin P o N.

Pxy, Pxz: Fuerza cortante. Son componentes de la resistencia totalal deslizamiento de la porcin de slido a un lado de laseccin de exploracin respecto de la otra porcin.

Tambin se conoce como V o Q y sus componentes Vy(Qy) y Vz (Qz) identifican sus direcciones.

Mxx: Momento de torsin. Esta componente mide laresistencia a la torsin del slido considerado y se

representa por Mt o T.

Mxy, Mxz: Momentos Flectores. Estas componentes miden laresistencia del cuerpo a curvarse o flexar respecto a losejes y o z, y se conocen como My y Mz,respectivamente.


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Traccin(a)

Compresin(b)

Corte(c)

Torsin

(d)

Flexin

(e)


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VIGA


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VIGA

Pieza o barra

estructural

razonablemente larga

con respecto a sus

dimensiones laterales,

convenientementesoportada y sometida a

fuerzas transversales

aplicadas de modo que

provocan la flexin de

la pieza en un planoaxial. En la figura el

eje de simetra vertical

coincide con el plano

de carga y el eje

longitudinal de la viga.


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VIGA SOLICITADA POR CARGAS VERTICALES

eje longitudinal

carga concentrada carga repartida

viga deflectada cargada

viga

plano de cargas

eje longitudinal

eje de simetra vertical

coincide con el planode cargas


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SECCIONES CON EJE DE SIMETRIA VERTICAL

Rectangular I T con taln T Cajn Circular

Trapecial Triangular Triangular T invertida U Compuesta


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CASOS ESPECIALES

(a) (b) (c) (d)

(e)

(a) El plano de carga no

coincide con el eje desimetra vertical.

(b) La seccin carece deeje de simetra vertical.

(c) El eje de simetra seencuentra inclinado.

(d) El peralte es excesivo(e) Viga curva


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APOYOS

articulado mvil articulado fijo empotramiento

1 21 2

reacciones


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VIGAS ESTATICAMENTE DETERMINADAS

Son vigas en que las condiciones de sustentacin son talesque es posible determinar las reacciones por lasecuaciones de Esttica

(a) viga simplemente apoyada (b) viga en voladizo

(c) viga simplemente apoyada con volado

pasador

pasador


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VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS

Son vigas en que no es posible deducir las reaccionessolamente por las ecuaciones de Esttica.

(a) viga empotrada con voladizo (b) viga continua

(c) viga empotrada

pasador


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CARGAS

Sobre la viga AB actan cuatro tipos de carga: la cargaconcentrada o puntual P, la carga uniforme distribuda w, lacarga distribuida no uniforme q, el momento M.


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Vigas empotradas


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VIGAS INESTABLES


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FUERZAS INTERNAS

Determinar las fuerzas internas de la viga en volado ACB empotrada enel muro B. La viga soporta las cargas puntuales P1y P2. No considerar elpeso propio. Las fuerzas internas se obtendrn por medio del cortetransversal mn y el diagrama de cuerpo libre A mn y del corte transversalst y el diagrama de cuerpo libre A st.


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xPaxPM

axPxPMM

PPQQPPFy

senPNsenPNFx

x

cos

0cos0

cos0cos0

00

12

21

1221

11

S.-


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24

xPMxPMM

PQQPFy

senPNsenPNFx

x

cos0cos0

cos0cos0

00

11

11

11


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FUERZAS INTERNAS

Determinar las fuerzas internas en la viga simplemente apoyada AB. Laviga soporta la carga uniformemente repartida w.

a) Las fuerzas internas se obtendrn por medio del corte transversal mny el diagrama de cuerpo libre A mn. Verificar el valor de las fuerzasinternas con el diagrama de cuerpo libre mnB.

b) Hallar el mximo momento flector y su ubicacin.


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S.-

22

022

0

20

20

00

2wx

xwl

Mxwlx

wxMM

wxwl

QQwxwl

Fy

NFx

cg


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27

22

022

0

20

20

00

2wx

x

wl

M

Mxl

xlwxlwl

M

wxwlQxlwwlQFy

NFx

cg


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b) MMXIMO?

MAXIMOlx M

wl

M

luzdecentrolxwxxwl

dx

d

dx

dM

8

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0

2

2

2


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FUERZA CORTANTE, MOMENTO FLECTOR.

En la figura 2, se asla el tramo A como cuerpo libre. Las fuerzas exteriores P 1, P2, R1sonequilibradas por las fuerzas interiores que el tramo B ejerce sobre el tramo A en la seccincomn mn.

En la figura 1, la viga simplemente apoyada con cargas verticales P1, P2, P3 tiene lasreacciones R1, R2 en los apoyos. A la distancia x del apoyo izquierdo se hace el corte

transversal mn que divide a la viga en los tramos A y B.

acciones deB sobre A

figura 2

figura 1


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En la figura 3, a la izquierda de la seccin mn, los efectos de cada fuerza exterior se reducena una fuerza y un par. El efecto de las fuerzas exteriores aplicadas a un lado de la seccinmn se reduce a un sistema de fuerzas cuya resultante es la fuerza cortante y a un sistema

de pares cuya resultante es el momento flector.Por tanto, el efecto total del sistema de fuerzas a un lado de la seccin se reduce al de unafuerza nica y un par que son, respectivamente, la fuerza cortante y el momento flector endicha seccin.

figura 3

acciones deB sobre A

figura 2


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En la figura 4, para cumplir con el equilibrio Fy = 0, M = 0 en el cuerpolibre A, las acciones de B sobre A originan en la seccin mn:

- la fuerza interna Qr de igual magnitud y sentido contrario a Q;- el par interno Mr de igual magnitud y sentido contrario a M.

figura 4


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ACCIONES INTERNAS EN UNA VIGA SOLICITADAPOR CARGAS

MOMENTO FLECTOR M .-En una seccin cualquiera de una viga,es el momento esttico respecto al centro de gravedad de laseccin de todas las fuerzas exteriores que actan sobre la viga ala izquierda de la seccin considerada.

FUERZA DE CORTE Q (o V ).-En una seccin cualquiera de unaviga, es la proyeccin sobre dicha seccin de la resultante de lasfuerzas exteriores que actan sobre la viga a la izquierda de laseccin considerada.

FUERZA NORMAL N.- En una seccin cualquiera de una viga, es

la proyeccin sobre la tangente al eje de la viga, trazada por elcentro de gravedad de la seccin, de la resultante de las fuerzasexteriores que actan sobre la viga a la izquierda de la seccinconsiderada.


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Convencin de Signos

flexinmomento flector positivo

M+

flexinmomento flector negativo

M-


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resbalar, cortar, deslizarfuerza cortante positiva

Q+

resbalar, cortar, deslizarfuerza cortante negativa

Q-

alargarfuerza normal positiva

N+

encogerfuerza normal negativa

N-


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RELACIN ENTRE MOMENTO FLECTOR, FUERZACORTANTE Y CARGA

dx

dMQ

QdxMdMMMcg

00

a) No vara Q pero vara M


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dx

dMQ

dxwdxQdxMdMMM

wdx

dQdQQwdxQFy

cg

02

0

00

b) Varan Q y M


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PQQ

QPQFy

'

0'0

c) Carga P entre 2 secciones cercanas


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Ejemplo.- Para la viga, sin considerar su peso propio, hallar:

a) ecuaciones de fuerza cortante y momentos flectores;b) diagrama de fuerza cortante ( DFC ) y diagrama de momentos

flectores (DMF);c) deformada;d) diagrama de tracciones ( DT ).Dibujar a escala y uno debajo del otro diagrama de cargas, DFC, DMF,deformada, DT.


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Reacciones.-

Verificacin.-

630043005.71000100

6700143005.21000100

00

AyAyM

CyCyM

AxFx

C

A

00030010006706300 Fy

S.-


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DFC, DMF x Q M

tramo AB 0 < x < 5 0 630 0

Q = 630200x 1 530

M = 630x - 200 3.15 0 992.255 -370 650

2

2x

Tramo BC 5 < x < 10 5 -370 650

Q = 6301000 = -370 6.756 0(Pl)

M = 630x1000 (x2.5) 10 -370 -1200

M = -370x + 2500

Tramo CD 10


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Diagrama de cargas

DFC (kgf)

DFC (kgf.m)

Deformada

DT


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Ejemplo.- Para la viga, sin considerar el peso propio, hallar:a) ecuaciones de fuerza cortante y momentos flectores;b) diagrama de fuerzas cortantes ( DFC ) y diagrama de momentos

flectores ( DMF );c) deformada;d) diagrama de tracciones ( DT ).

Dibujar a escala uno debajo del otro diagrama de cargas, DFC, DMF,deformada, DT.


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Reacciones.-

Verificacin.-

210002.110005.136001.2100030

350002.410005.136009.0100030

00

AyAyM

CyCyM

AxFx

C

A

00

0100036001000350021000

Fy

S.-


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DFC, DMF

m

x

Kgf

Q

Kgf. m

M

tramo AB 0 < x < 0.9 0 2100 0Q = 21001200x 0.9 1020 1404

M = 2100x -2

1200 2x

Tramo BC 0.9 < x < 3 0.9 20 1404

Q = 210010001200x 0.9167 0 1404.2

Q = 11001200x 2.4465 0(P1)

M = 2100x1000 (x-0.9) 3 -2500 -1200

-1200 x2/2

M = 900 + 1100 x600x2

Tramo DC 0 < x < 1.2 x Q M

Q = 1000 0 1000 0

Q = -1000 x 1.2 1000 -1200


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Ejemplo.- Para la viga, sin considerar el peso propio, hallar:a) ecuaciones de fuerza cortante y momentos flectores;b) diagrama de fuerzas cortantes ( DFC ) y diagrama de momentos


Dibujar a escala uno debajo del otro diagrama de cargas, DFC, DMF,deformada, DT.


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6

5

6

5 xq

x

qtg

kipByAy

BxFx

402

50215

00

S.- Reacciones

(simetra)


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DFC, DMF

pie

x

kip

Q

kip.pie

M

tramo CA: 0 < x < 6 0 0 -15Q = - 5x2/ 12 3 -3.75 -18.75

M = -15Px/3 6 -15 -45

M = -155x3/36

Tramo AB: 6 < x < 16 6 25 -45

Q = -15 - 5 (x - 6) + 40 8.354 0(PI)

Q = 555x 11 0 17.5

M = -1515 (x4) 13.645 0(PI)

+40 (x-6)5(x-6)2 / 2 16 -25 -45

M = -285 + 55 x - 2.5x2

Tramo DB: 0 < x < 6 x Q M

Q = P = 5 x2/ 12 0 0 -15

M = -15 - P x / 3 3 3.75 -18.75

M = -155x3/ 36 6 15 -45


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Ejemplo.- Para la viga quebrada, hallar:a) ecuaciones de fuerza normal, fuerza cortante y momentos

flectores;

b) diagrama de fuerzas normales (DFN), diagrama de fuerzascortantes (DFC) y diagrama de momentos flectores (DMF);c) deformada;d) diagrama de tracciones (DT).

Dibujar a escala uno debajo del otro diagrama de cargas, DFN, DFC,DMF, deformada, DT.

S -


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Reacciones.- figura 1:

Verificacin.-

PBy

lPlPlByMA

PAy

PllPlAyMB

PBxPBxFx

560.1

0707.0707.0707.3707.020

853.0

0707.0707.0707.1707.0)2(0

707.00707.00

Figura 1

Figura 2

000707.056.1853.00 PPPFy

S.


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DFN, DFC, DMF x N Q M

Tramo AB: 0 < x < 2l 0 0 -0,853P 0N = 0 2l 0 -0.853P -1.706 Pl

Q = -0.853 P

M= -0.853 Px

Tramo BC: 2l < x < 3l 2l -0.707P -0.707P -1.076Pl

N = -0.707P 3l -0.707P -0.707P -Pl

Q = -0.853P + 1.56 P

Q = 0.707P

M = -0.853 Px + 1.56P (x-2l)

M = 0.707 Px3.12 Pl

Tramo DC: 0 < x < l x N Q M

N = 0 0 0 P 0

Q = P l 0 P -Pl

M = -P x


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Ejemplo Para la viga con articulacin interna en C sin considerar su


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Ejemplo.- Para la viga con articulacin interna en C, sin considerar supeso propio, hallar:

a) ecuaciones de fuerza cortante y momentos flectores;b) diagrama de fuerzas cortantes ( DFC ) y diagrama de momentos


Dibujar a escala y uno debajo del otro diagrama de cargas, DFC, DMF,deformada, DT.

S


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S.-

Reacciones.- DCL CD

DCL ABC

2/0

2/0

0

PCyM

PDyM

CxDxFx

D

C

PPAyPllAyM

PByPllByM

CxFx

B

A

5.05.005.00

05.020

00


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DFC, DMF x Q M

Tramo AB: 0 < x < l 0 -P/2 0

Q = -0.5 P L -P/2 -Pl/2M = -0.5 Px

Tramo BC: l < x < 2l l P/2 -Pl/2

Q = -0.5 P + P = 0.5P 2l P/2 0

M = -0.5 Px + P (xl)

M = 0.5 Px - Pl

Tramo CE: 2l < x < 2.5l 2l P/2 0

Q = -0.5 P + P = 0.5P 2.5l P/2 Pl/4

M = -0.5 Px + P (xl)

M = 0.5 Px - Pl

Tramo DE: 0 < x < l/2 x Q M

Q = -0.5P 0 -P/2 0

M = 0.5P x l/2 -P/2 Pl/4


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Observaciones:

1. La lnea de fuerzas cortantes no se afecta por la presencia de laarticulacin interna.

2. La lnea de momentos flectores tiene un punto cero en la articulacininterna.

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