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Física I. Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica 2015/16 Tema 10Prof.Dr. Emilio Gómez GonzálezDpto. Física Aplicada III, ETS Ingeniería
1
Tema 10: Movimiento
ondulatorio*
Física I
Grado en Ingeniería Electrónica,
Robótica y Mecatrónica (GIERM)
Primer Curso
*Prof.Dr. Joaquín Bernal Méndez y Prof.Dra. Ana Mª Marco Ramírez
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Índice
Introducción
Función de onda
Ondas sinusoidales
Velocidad de las ondas mecánicas lineales
Onda en una cuerda: energía transmitida
Reflexión y transmisión de ondas
Superposición de ondas. Ondas estacionarias
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Introducción: ondas
mecánicas
Onda: perturbación que viaja sin
transferencia de materia
Ondas en el agua, ondas de sonido…
Clasificación según el medio de propagación:
Mecánicas: perturbación de un medio.
Ondas en el agua, ondas sísmicas, de sonido, en una
cuerda…
Electromagnéticas: no requieren un medio.
Luz, rayos X, ondas de radio…
transmiten energía
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Ondas mecánicas
La formación y propagación de una onda mecánica requiere:
Una fuente de perturbación
Ej: Piedra que cae en el agua
Un medio que pueda ser perturbado
Ej: El agua
Mecanismo físico de interacción entre partículas del medio
Ej: Fuerzas de atracción-repulsión entre las moléculas de agua
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Ondas transversales y
longitudinales
Clasificación de las ondas según la dirección del desplazamiento de las partículas del medio:
Transversales: perpendicular a la dirección de propagación (Ej: ondas en cuerdas, ondas en el agua)
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Ondas transversales y
longitudinales
Clasificación de las ondas según la dirección
del desplazamiento de las partículas del
medio:
Transversales: perpendicular a la dirección de
propagación (Ej: ondas en cuerdas, ondas en el
agua)
Longitudinales: paralela a
la dirección de propagación
(Ej: ondas de sonido,
ondas en un muelle)
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Índice
Introducción
Función de onda
Ondas sinusoidales
Velocidad de las ondas mecánicas lineales
Onda en una cuerda: energía transmitida
Reflexión y transmisión de ondas
Superposición de ondas. Ondas estacionarias.
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Función de onda
Pulso que viaja en una cuerda:
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Función de onda
Pulso que viaja en una cuerda:
y
yx
x
0t ( , 0) ( )y x t f x
( , ) ( )y x t f x vt
P v
t
vt
P
Px
P Px x vt ( ) ( )P Pf x vt f x
Función de onda
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Función de onda
Representa el valor de la coordenada y en cualquier punto x en un instante t
El signo positivo indica onda viajando hacia x decreciente (la izquierda en nuestro diagrama)
Para un t0 fijo y(x,t0) forma de onda: función que proporciona la forma geométrica del pulso
( , ) ( )y x t f x vt
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Índice
Introducción
Función de onda
Ondas sinusoidalesDescripción y representación
Ecuación de onda lineal
Velocidad de las ondas mecánicas lineales
Onda en una cuerda: energía transmitida
Reflexión y transmisión de ondas
Superposición de ondas. Ondas estacionarias.
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Ondas sinusoidales
Unimos el extremo de una cuerda a un objeto
que describe un MAS (diapasón):
Tren de ondas sinusoidales o armónicas
Cada partícula de la cuerda describe un MAS
Todas las ondas pueden representarse
como suma de ondas armónicas
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Ondas sinusoidales: longitud
de onda y amplitud
Longitud de onda (l): distancia mínima entre dos puntos con la misma posición (y) y velocidad (vy):
Amplitud (A): máximo desplazamiento de cada partícula respecto a su posición de equilibrio
y
x
A
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Frecuencia (f): frecuencia del MAS de cada
partícula del medio:
Velocidad de la onda: En un tiempo T la onda ha
recorrido una distancia l:
Ondas sinusoidales:
frecuencia y velocidad
y
t
T
1f
T
vT
CUIDADO: No confundir v (letra griega nu)
con v (letra latina uve).
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Ondas sinusoidales:
representación matemática
x
y
( ,0) seny x A kx
2k
Número de onda (m-1)
Constante de fase
• En t=0:
Función sinusoidal de amplitud A que se
repite cada l y cuyo valor en x=0 es Asen(d)
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Ondas sinusoidales:
representación matemática
En un instante t:
Signo +: onda que viaja hacia x decreciente
Signo -: onda que viaja hacia x creciente
Donde:
Entonces:
( , ) ( ,0)y x t y x vt senA kx kvt
2 2kv
T T
Frecuencia angular
( , ) sen( )y x t A kx t
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Ondas sinusoidales: resumen
( , ) sen( )y x t A kx t
• Amplitud:
• Longitud de onda:
• Frecuencia:
•Velocidad de la onda:
1f
T
A
v fT
2k
22 f
T
frecuencia angular
k
número de onda
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Ecuación de onda lineal
( , ) sen( )y x t A kx t
cos( )y
yv A kx t
t
22
2sen( )y
ya A kx t
t
cos( )y
kA kx tx
2
2
2sen( )
yk A kx t
x
2 2
2 2 2 2
1 1y y
k x t
2 2 2
2 2 2
y k y
x t
2 2
2 2 2
1y y
x v t
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Ecuación de onda lineal
Ecuación diferencial que cumple una
perturbación que se propaga como una onda
lineal
Ondas armónicas son una posible solución
Solución general: onda viajera
2 2
2 2 2
1y y
x v t
( , ) ( )y x t f x vt
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Es solución de la ecuación de ondas
lineal
Ecuación de onda lineal
2 2
2 2 2
1y y
x v t
2 2 2
2 2 2
y f f
x x
( , ) ( )y x t f x vt
y f f
x x
• Demostración: x vt Fase:
y f fv
t t
2 2 22
2 2 2
y f fv v
t t
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Índice
Introducción
Función de onda
Ondas sinusoidales
Velocidad de las ondas mecánicas linealesOnda en una cuerda
Onda de sonido
Onda en una cuerda: energía transmitida
Reflexión y transmisión de ondas
Superposición de ondas. Ondas estacionarias.
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Velocidad de las ondas
Las ondas mecánicas con amplitudes
pequeñas frente a l pueden considerarse
lineales: cumplen ecuación de ondas lineal.
Ondas mecánicas lineales:
Su velocidad depende solamente de las
propiedades del medio a través del que se
mueven
Ondas de diferente frecuencia se propagan con la
misma velocidad
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Velocidad de las ondas: onda
en una cuerda
Si aumentamos la fuerza de restitución (tensión de la cuerda, ) la onda viaja a mayor velocidad
Si usamos una cuerda con mayor densidad de masa la onda viaja más lenta
Para una cuerda homogénea:
tF
tFv
dm
dL densidad de masa lineal
m
L
L
m
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Velocidad de las ondas:
ondas sonoras
Bv
Módulo de compresibilidad:
Densidad de masa
PB
V V
Para muchos tipos de ondas mecánicas se
cumple:
Ondas de sonido en un fluido
v (propiedad elástica del medio)
(propiedad inercial del medio)
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Velocidad de las ondas:
ondas sonoras
Bv
Medio v (m/s)
Hidrógeno (0º C) 1286
Aire (20º C) 343
Aire (0º C) 331
Agua (20ºC) 1482
Agua (0º C) 1402
BT
En un gas:
Aplicación: Calculo aproximado de la distancia un relámpago
83 10 m/s >> c v Desprecio el retraso de la luz
0.33 km/sv 0.333
km s km
s
xd vt x t
t
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Velocidad de las ondas:
observaciones
La frecuencia de la onda la determina el
agente causante de la misma
La velocidad de la onda depende del medio
La longitud de onda se obtiene de:v
f
Ejemplo: sonar de los delfines 510 Hzf
5
14821.5
10
m/s cm
1/s
v
f
Agua a 20º C
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27
Índice
Introducción
Función de onda
Ondas sinusoidales
Velocidad de las ondas mecánicas lineales
Onda en una cuerda: energía transmitida
Reflexión y transmisión de ondas
Superposición de ondas. Ondas estacionarias.
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Onda en una cuerda: energía
transmitida
Una onda que se propaga en un medio transporta energía:
Un trozo de corcho sube y baja en el agua
Un pulso en una cuerda puede levantar una masa
Vamos a suponer una onda sinusoidal en una cuerda
Vamos a calcular el trabajo realizado por la fuerza que un segmento de cuerda realiza sobre el vecino
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Onda en una cuerda: energía
transmitida
sent t t tP F v Fv
Potencia:
Ondas lineales A<<l sen tan
tant t t
y yP Fv F
t x
Válido para cualquier
forma de onda
( , ) sen( )y x t A kx t
cos( ) cos( )tP F kA kx t A kx t
2 2 2( , ) cos ( )P x t v A kx t 2v v
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30
Onda en una cuerda: energía
transmitida
Potencia promedio:
Es la mitad de la potencia instantánea máxima
: general para ondas sinusoidales
2 2 2
0 0
1
2
1 1( , ) cos ( )
T T
mP P x t dt v A kx t dtT T
2 21
2mP v A
2 2,mP A
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Onda en una cuerda: energía
transmitida
Energía media que fluye por un punto en un
intervalo de tiempo:
m m m
xE P t P
v
2 21
2mE A x
La energía viaja a la
velocidad de la onda
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Índice
Introducción
Función de onda
Ondas sinusoidales
Velocidad de las ondas mecánicas lineales
Onda en una cuerda: energía transmitida
Reflexión y transmisión de ondasReflexión total
Transmisión
Superposición de ondas. Ondas estacionarias
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33
Reflexión y transmisión de
ondas
Hasta ahora hemos estudiado la transmisión de ondas en un medio infinito
Vamos a analizar lo que ocurre cuando una onda alcanza la frontera entre dos medios.
Fenómenos relacionados:
Reflexión: onda que regresa
Ejemplo: eco
Transmisión: onda se propaga a través del nuevo medio
Ejemplo: luz en el agua
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Reflexión y transmisión de
ondas
Reflexión total: onda en una cuerda
Cuerda con extremo fijo
Pulso reflejado con la misma forma que el pulso
incidente, pero invertido
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Reflexión y transmisión de
ondas
Reflexión total: onda en una cuerda
Cuerda con extremo libre
Pulso reflejado con la misma forma que el incidente
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Reflexión y transmisión de
ondas
Reflexión-transmisión: onda en una cuerda
Cuerda pesada
unida a otra más
ligera
Cuerda ligera
unida a otra más
pesada
Onda reflejada
no se invierte
Onda reflejada es
invertida
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Reflexión y transmisión de
ondas
Una onda se verá parcialmente transmitida y parcialmente reflejada en la superficie de separación entre dos medios en los cuales su velocidad sea diferente
Si las velocidades son parecidas: transmisión es dominante
Ejemplo: oído interno de los peces
Si las velocidades son muy diferentes: reflexión es dominante
Ejemplo: radiocomunicación
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38
Índice
Introducción
Función de onda
Ondas sinusoidales
Velocidad de las ondas mecánicas lineales
Onda en una cuerda: energía transmitida
Ondas de sonido
Efecto Doppler
Reflexión y transmisión de ondas
Superposición de ondasPrincipio de superposición
Interferencia de ondas armónicas
Ondas estacionarias
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Superposición de ondas
En un medio puede propagarse varias perturbaciones simultáneamente
Ejemplo: varias personas hablando a la vez
Principio de superposición:
Se deduce de la linealidad de la ecuación de ondas
Cuando dos o más ondas se combinan en
un determinado punto la perturbación
resultante es la suma de las perturbaciones
provocadas por cada onda
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41
Superposición de ondas
Consecuencia del Principio de Superposición: dos
ondas pueden pasar la una a través de la otra sin
ser destruidas ni modificadas
Interferencia: fenómeno ondulatorio que se presenta
cuando dos o más ondas se superponen
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• Onda resultante con la misma f y l
• La amplitud depende de d (diferencia de fase)
Superposición de ondas:
interferencia de ondas armónicas
1
2
sen( )
sen( )
y A kx t
y A kx t
1 2 2 22 cos( )sen( )y y A kx t
2 2sen sen 2cos( )sen( ) )a b a ba b ( Donde hemos usado:
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Onda 1
Onda 2 Onda resultante
Superposición de ondas:
interferencia de ondas armónicas
Si d=0, cos(d/2)=1 y A’=2A;
interferencia constructiva
Si d=p, cos(d/2)=0 y A’=0;
interferencia destructiva
1 2 2 22 cos( )sen( )y y A kx t
Onda 2
Onda 1
Onda resultanteA
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Dos ondas sinusoidales de la misma amplitud y frecuencia,
viajando por una cuerda tensa en direcciones opuestas:
Nodos:
Vientres:
Superposición de ondas:
Ondas estacionarias (I)
2 2sen sen 2cos( )sen( ) )a b a ba b ( De nuevo, usamos:
1
2
sen( )
sen( )
y A kx t
y A kx t
1 2 2 sen( )cos( )y y y A kx t
sen( ) 02
kx kx n x n
1 1sen( ) 1
2 2 2kx kx n x n
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Calculemos la potencia promedio transmitida por la onda
estacionaria en un periodo completo:
Superposición de ondas:
Ondas estacionarias (II)
2
0 0
sen(2 ) sen(2 )1 1
( , )t
T T
m F kA kx tP P x t dt dtT T
( 2 sen( )sen( ))( 2 cos( )cos( ))t t
y yP F F A kx t k A kx t
t x
2sen(2 )sen(2 )
tP F kA kx t
2sen(2 )
1sen(4 ) sen(0) 0
tm F kA kxPT
No se propaga