Teknik teknik pengintegralan
-
Upload
azzam-muhammad -
Category
Education
-
view
278 -
download
1
Transcript of Teknik teknik pengintegralan
oleh
Bahan Ajar Kalkulus II
Teknik-Teknik Pengintegralan (disarikan dari buku Purcell, edisi 8)
Muh Hendra S GintingDepertemen Teknik Kimia
Fakultas Teknik USUMedan 2015
Definisi
adalah suatu metode/teknik dalam penyelesaian mencari anti turunan/integrasi
1.Pengintegralan dengan substitusiTeorima A
untuk menentukan ∫ f(x) dx , kita dapat mensubtitusi u = g (x) dengan g fungsi yang dapat diintegralkan. Apabila subtitusi itu mengubah f (x) dx menjadi h(u) du dan apabila H sebuah anti turunan h, maka
Teknik-Teknik Pengintegralan
cugHcuHduuhdxxf )()()(
biasanya digunakan subtitusi fungsi konstanta, fungsi pangkat, eksponen, fungsi trigonometri, dan fungsi invers trigonometri
a.Substitusi konstanta, pangkat
cnxdxxn
n
1.1
1
dxxfkdxxfk )()(.2
Contoh 1
HitunglahPenyelesaian
dxxx 143
misalkan
14 xu)1( 4 xddu
dxxdu 34
34xdudx maka
321
343
41
xduuxdxxx
gunakan aturan konstanta
duudxxx 21
43
411
cudxxx
1
21
43
1211
411
cudxxx 23
43
32
411
cxcudxxx 23
423
43 161
611
gunakan aturan pangkat
b. Substitusi trigonometricxdxx cossin.1
cxdxx sincos.2
cxdxx coslntan.3
cxdxx tansec.4 2
canxdxxec cotcos.5 2
cxdxxx sectansec.6
cecxdxanxecx coscotcos.7
Contoh 2
HitunglahPenyelesaian
dxxx
)(cos 22
misalkan
2xu )( 2xddu
dxxdu 2
xdudx2mak
a
gunakan subs trigonometri
xdu
uxdx
xx
2cos)(cos 222
2cos1
)(cos 222
duu
dxxx
uu
22 sec
cos1catata
nmaka
cudxxx
tan21
)(cos 22
ududuu
dxxx 2
222 sec21
2cos1
)(cos
cxdxxx
)(tan21
)(cos2
22
c. Substitusi fungsi invers (balikan) trigonometri
jika yx tan dyydx 2secydx
dy2sec1
perhatikan segi tiga berikut
y x
1
12 xyx tan
1
1cos2
x
y1
1cos 22
x
y
1sec 22 xy
ydxdy 2sec
ydx
dy2sec1
12
xdxdy
12 xdxdy
12 x
dxdy
12 x
dxy
jika yx tan xxarcy 1tantan
maka cxarcxdx
tan12
jika caxarc
aaxdx
tan122
dimana a, c adalah konstanta
Berikut ini dirangkumkan beberapa rumus integral substitusi fungsi invers (balikan) trigonometri
cax
xa
dx 1
22sin.1
cxa
ac
ax
aaxx
dx
11
22cos1sec1.2
cax
aaxdx
1
22 tan1.3
Contoh 3
HitunglahPenyelesaian
dx
xx 2567
2
16967
2567
22 xxdxdx
xx
16)96(7
2567
22 xxdxdx
xx
16)3(7
2567
22 xdxdx
xx
ingat
3xumisalkan
dxdu
16)3(7
2567
22 xdxdx
xx
222 47
2567
ududx
xx
cax
aaxdx
1
22 tan1
Maka, a = 4
cau
ududx
xx
1
222 tan41.7
47
2567
cxdxxx
4)3(tan
47
2567 1
2
Contoh 4
Hitunglah
dx
x295
3
Penyelesaianmisalkan
xu 3 22 9xu )3( xddu
3dudx
dxdu 3
maka
du
udx
x 2225
1395
3
ingat
cax
xa
dx 1
22sin
35
1395
3222
du
udx
x
255
cxdxx
53sin
95
3 1
2
cudu
udx
x
5sin
5
1
95
3 1
222
d. Substitusi eksponen
cedxe xx
Contoh 5
Hitunglahpenyelesaian
dxxe x
2
/16
misalkan x
u 1
dxxx
ddu 2
1)1(
duxdx 2maka
gunakan subs eksponen
duxxedx
xe ux
222
/1
66
cedxe xx
cecedxxe xu
x
/12
/1
666
maka cedue uu
duedxxe u
x
662
/1
Latihan 1Hitunglah
dxx 5)2(.1
4.2 2x
dx
dxxx
4.3 2
dxxe x sin..4 cosdxxx
4/
02sin1
cos.5
e. Substitusi fungsi logaritma asli (natural)
cxdxx
ln10x
Jika x menggantikan u
cuduu
ln10u
Contoh 6
Hitunglah
dxx 725
penyelesaianmisalkan
72 xu)72( xddu
dxdu 2
215
725 du
udx
x
2dudx
maka
cuududx
x
ln25
25
725
cxdxx
72ln
25
725
Sifat-sifat logaritma asli 01ln.1
baba lnlnln.2
baba lnln.ln.3
axa x ln.ln.4
Latihan 2Hitunglah
dxx 121.1
dxx 21
1.2
dx
xx
2ln.1.3
f. Fungsi eksponensial berbasis aTinjau aturan diferensial fungsi eksponensialxay
axay x ln.lnln
)ln.()(ln axdyd
dxaydy .ln
yayDdxdy
x .ln xx aayD
dxdy .ln
maka
caa
dxa xx
ln1
sehingga
1a
xaadxdy .ln dxaady x.ln
dxaady xln
adydxa xln
Contoh 7
Hitunglah
dxxx 2.23
penyelesaianmisalkan
3xu
dxxdu 23
23xdudx maka
)( 3xddu
222
32.2
3
xduxdxx ux
222
32.2
3
xduxdxx ux
dudxx ux 231.2 23
cdxxx
x 2ln.32.2
33 2
Contoh 8
Hitunglah
dxx
x
1
2/12
/15
penyelesaianmisalkan x
u 1
makadx
xdu 2
1
1
2/1
22
1
2/12
/1
.55 duxx
dxx
ux
dxxdu 2.
1
2/1
/11
2/1
1
2/12
/1
5ln5
5ln555
x
x
xuu
x
dudxx
)5(55ln1
5ln55 2/11
1
2/1
1
2/12
/1
x
x
xx
dxx
Latihan 3Hitunglah dxx 1510.1
dxx
x
4
1
5.2
2. Integral Subtitusi TrigonometriBila kita mengkombinasikan metode dengan pemakaian kesamaan trigonometri yang tepat, maka kita dapat mengintegralkan banyak bentuk trigonometri, maka integral yang sering muncul adalah :dxxdandxx nn cossin.1
dxxx nn cos.sin.2dxnxxm cos.sin.3 dxnxxm sin.sindxnxxm cos.cos
Jenis 1 dxxdxx nn cos,sintinjaulah kasus apabila n bilangan bulat positip dan ganjil, keluarkan faktor sin x atau cos x.gunakan kesamaan 1cossin 22 xx
Soal no 3 hal 388Hitunglah dxx 3sinpenyelesaian
dxxxdxx sin.sinsin 23
keluarkan faktor sin x
1cossin 22 xxgunakan aturan
xx 22 cos1sin
dxxxdxx sincos1sin 23
xdxdxx coscos1sin 23
xdxxddxx cos.coscossin 23
cxxxdx 33 cos31cossin
Contoh 9
Hitunglah dxx 5sin
penyelesaian
dxxxdxx sin.sinsin 45
keluarkan faktor sin x
gunakan aturan 1cossin 22 xxxx 22 cos1sin
dxxxdxx sincos1sin225
dxxxxdxx sincoscos21sin 425
xdxxdxx coscoscos21sin 425
xdxxdxxddxx cos.coscos.cos2cossin 425
cxxxxdx 535 cos51cos
32cossin
Contoh 10carilah dxx 2sinpenyelesaiangunakan kesamaan setengah sudut
xxx
xxx22
22
sinsin12cos
sincos2cos
22cos1sin 2 xx
dxxdxx
22cos1sin 2
dxxdxdxx 2cos21
21sin 2
dxxdxdxx 2cos21
21sin 2
xdxdxdxx 22cos41
21sin 2
cxxdxx 2sin41
21sin 2
Contoh 11
carilah dxx 4cos
penyelesaian
1cos2cos1cos2cos
sincos2cos222
22
xxxx
xxx
22cos1cos2 xx
dxxdxx
24
22cos1cos
dxxxdxx 2cos2cos2141cos 24
dxxdxxdxdxx 2cos412cos
21
41cos 24
dxxxdxdxdxx 4cos1214122cos
2121
41cos4
24cos12cos2 xx
ingat
xdxdxxdxdxdxx 44cos4181
8122cos
41
41cos4
xdxxdxdxdxx 44cos32122cos
41
83cos4
cxxxdxx 4sin3212sin
41
83cos4
Jenis 2 xdxx nm cossinjika salah satu m atau n bilangan bulat positip ganjil sedangkan eksponen yang satunya bilangan sembarang, kita faktorkan kesamaan 1cossin 22 xx
Contoh 12xdxx 43 cossin m atau n ganjil carilah
penyelesaian
xdxxxxdxx 4243 cossin.sincossin
xxxx 2222 cos1sin1cossin
dxxxdxx 4243 cossin.sincossin
dxxxxdxx sincos.cos1cossin 4243
dxxxxdxx sin.coscoscossin 2443
xdxxdxx coscoscoscossin 2443
cxxdxx
121443 cos
121cos
141cossin
cxxdxx 1343 coscos31cossin
cxxdxx secsec31cossin 343
jika m atau n bilangan bulat positip genap maka kita menggunakan kesamaan setengah sudut untuk memperkecil derajat imigran
Contoh 13m atau n keduanya genap carilah dxxx 42 cossinpenyelesaian
2
222
22cos1cos
22cos1cos
xxxx
22cos1sin 2 xx
2
4
22cos1cos
xx
dxxxdxx2
42
22cos1
22cos1cossin
dxxxxdxx 2cos2cos212cos181cossin 242
xxx
xxxxx
2cos2cos22cos
2cos2cos212cos2cos212cos132
22
xxxxxx 2cos2cos2cos12cos2cos212cos1 322
dxxxxdxx 2cos2cos2cos181cossin 3242
24cos12cos2 xx
dxxxxdxx
2cos4cos1
212cos1
81cossin 342
dxxxxxdxx
2cos2cos4cos1
212cos1
81cossin 242
dxxxxxdxx
2cos2sin14cos1
212cos1
81cossin 242
dxxxxxxdxx
2sin.2cos2cos4cos1
212cos1
81cossin 242
dxxxxxxdxx
2sin.2cos2cos4cos
21
212cos1
81cossin 242
dxxxxxxdxx
2sin.2cos2cos4cos
21
212cos1
81cossin 242
dxxxxdxx
2sin.2cos4cos
21
21
81cossin 242
xdxxxdxdxx 2sin2sin
2144cos
81
21
81cossin 242
cxxxdxx
2sin
614sin
81
21
81cossin 342
Jenis 3 dxnxxm cossin dxnxxm sinsindxnxxm coscos
integral jenis ini muncul dalam teori arus bolak-balik, masalah perpindahan panas, dan masalah terapan lainnya. Untuk menangani integral-integral ini kita gunakan kesamaan hasil kali
nmxnmnxmx sinsin21cos.sin.1
nmxnmnxmx coscos21sin.sin.2
nmxnmnxmx coscos21cos.cos.3
Contoh 14
carilah dxxx 3cos2sinpenyelesaian
terapkan rumus no 1
nmxnmnxmx sinsin21cos.sin.1
dxxx 3cos2sin 3,2 nm
dxxxdxxx 32sin32sin213cos2sin
dxxxdxxx sin5sin213cos2sin
dxxdxxdxxx sin215sin
213cos2sin
dxxxdxdxxx sin2155sin
51213cos2sin
cxxdxxx cos215cos
1013cos2sin
Contoh 15jika m dan n bilangan bulat positip, perlihatkan
mnjika
mnjikadxnxxm
0sinsin
jika m≠n
dxxnmxnmdxnxxm )(cos)(cos21sinsin
xnmdxnmnm
xnmdxnmnm
dxnxxm
)(cos)(
121)(cos
)(1
21sinsin
x
x
xnmnm
xnmnm
dxnxxm )(sin)(
1)(sin)(
121sinsin
terapkan rumus no 2
nmxnmnxmx coscos21sin.sin
penyelesaian
)(sin)(
1)(sin)(
121
)(sin)(
1)(sin)(
121sinsin
nmnm
nmnm
nmnm
nmnm
dxnxxm
)(sin)(
121)(sin
)(1
21
)(sin)(
121)(sin
)(1
21sinsin
nmnm
nmnm
nmnm
nmnm
dxnxxm
0sinsin
dxnxxm
jika m = n
dxxnmxnmdxnxxm )(cos)(cos21sinsin
dxxmdxnxxm 0cos)2(cos21sinsin
dxxmdxnxxm 1)2(cos21sinsin
dxdxxmdxnxxm21)2(cos
21sinsin
dxmxdxmm
dxnxxm212)2(cos
21
21sinsin
x
x
xxmm
dxnxxm21)2sin(
41sinsin
dxnxxm sinsin
Latihan 4Hitunglah dxx6sin.1 4
x3cos.2
3. Subtitusi yang merasionalkan
Integral yang melibatkan n bax jika n bax
muncul dalam suatu integral subtitusi n baxu
akan menghilangkan akar
Contoh 16
carilah xxdx
penyelesaian
misalkan xu xu 2
dxud 2 dxudu 2
? xxdx
duuuu
uuudu
xxdx
122
2
1ln2
112
u
uud
xxdx
cxxx
dx
1ln2
Contoh 17
carilah dxxx 3 4.penyelesaian
misalkan 3 4 xu
43 xu
43 xddu dxduu 23
duuuudxxx 233 3.44.
43 ux
duuudxxx 363 434.
cuudxxx 473 3734.
cxxdxxx 3/43/73 434734.
Contoh 18carilah dxxx 5 21.
penyelesaian 5/11 xu
15 xu 15 ux
15 xddu dxduu 45
5/22 1 xu
duuuudxxx 4255 2 5.11.
duuudxxx 6115 2 51.
cuudxxx 7125 2
75
1251.
cxxdxxx 5/75/125 2 1751
1251.
Soal no 3 hal 393
?43
ttdt
penyelesaian
43 tu 432 tu342
ut
432 tdud
dtudu 32 32ududt
u
uduu
ttdt 3
234
43
2
duuduu
ttdt 82
91
32
34
432
2
cuuttdt
9
8272
433
43 tu 2/33 43 tu
cttttdt
43
9843
272
432/3
Integral yang melibatkan ;22 xa ;22 xa 22 ax untuk merasionalkan tiga persamaan ini kita membuat subtitusi trigonometri berikut
subtitusiakar pembatasan pada t22.1 xa tax sin 2/2/ t
22.2 xa tax tan 2/2/ t
22.3 ax tax sec 2/,0 tt
penyederhanaan yang dicapai oleh subtitusi ini adalah
tatataaxa 222222222 cossin1sin.1
taxa cos.1 22
tatataaxa 222222222 sectan1tan.2
taxa sec.2 22
tataataax 222222222 tan1secsec.3
taax tan.3 22
Contoh 19
carilah dxxa 22 penyelesaian
gunakan subtitusi tax sin 2/2/ t dttataddx cossin
taxa cos22
sehingga
dttatadxxa cos..cos22
dttatadxxa cos..cos22
dttadxxa 2222 cos
ingat
22cos1cos2 tt
dttadxxa 2cos12
222
cttadxxa
2sin
21
2
222
ctttadxxa cos.sin2
222
tax sin 2/2/ tpada selang
tax sin tax sin
tx
22 xa
a
tax sin
sehingga fungsi balikan
tax sin
ax
axt 1sinarcsin
dari segi tiga siku-siku?cos t
ax
axt 1sinarcsin
2222
2
21 11sincoscos xa
aaxa
ax
axt
maka
cxaaa
xaxadxxa
221
222 1.sin
2ax
ax
xaxaxadxxa
221
222 .
2sin
2
hitunglah integral tentu berikut yang menggambarkan luas daerah setengah lingkaran seperti pada gambar
y
x
22 xay
aaA
luas yang diarsir, A
dxxaAa
a
22
Penggunaan
ax
ax
a
a
xaxaxadxxaA
221
222 .
2sin
2
ax
ax
a
a
xaxaxadxxa
221
222 .
2sin
2
2212
2212
22
.2
sin2
.2
sin2
aaaaaa
aaaaaadxxa
a
a
1sin
21sin
21
21
222 aadxxa
a
a
2
222 adxxa
Contoh 20
carilah29 x
dx
penyelesaian
misalkan
tx tan3 2/2/ tpada selang
tdttddx 2sec3tan3
taxa sec22
tx sec33 22
dttdttt
x
dx secsec3sec3
9
2
2
cttx
dx
tansecln9 2
tx tan33
tan xt
t3
x29 x
29
3cosx
t
dari aturan segitiga
39sec
2xt
cttx
dx
tansecln9 2
cxx
x
dx
339ln
9
2
2
cxx
x
dx
39ln
9
2
2
cxxx
dx
3ln9ln9
2
2
Kxxx
dx
2
29ln
9
Contoh 21
carilah dxxx 262
12
penyelesaian
2512262 22 xxxx222 512262 xxxx
222 51262 xxx
1xu
222 5262 uxx
dxdu
25262
122
u
dudxxx
misalkan tu tan5 pada selang 2/2/ t
tddu tan5 dttdu 2sec5
25tan2525 22 tu
ttu sec51tan2525 22
dttt
u
dusec5sec5
25
2
2
dttdttt
u
du sec5sec5sec5
25
2
2
cttu
du
tansecln252
tu tan55
tan ut
tu sec5252 525sec
2 ut
cuu
u
du
55
25ln25
2
2
cuu
u
du
525ln
25
2
2
cuuu
du
5ln25ln25
2
2
Kuuu
du
25ln25
2
2
Kxxxu
du
1262ln25
2
2
4.Pengintegralan ParsialPendahuluan vuy .jika dimana u dan v fungsi
dari xmaka ).( vuddy vdudvudy .vdudydvu .
bila persamaan diintegrasi
vdudydvu .
vduydvu .
vduvudvu ..
hal yang harus diperhatikanpemilihan u dan dv, fungsi u harus lebih sederhana dari dv
Contoh 22
HitunglahPenyelesaian
dxxx cos.
misalkan
xu dxdu
dxxdv cos
maka
dxxdv cos
xv sin
duvvudxxx .cos.
dxxxxdxxx sinsin.cos.
cxxxdxxx )cos(sin.cos.
Jika pemilihan u dan dv tidak tepat akan menghasilkan integral yang lebih rumitdari contoh 7 dxxx cos.
misalkan
xu cos dxxdu sinxdxdv
xdxdv
2
21 xv
dxxdv
maka
duvvudxxx .cos.
dxxxxxdxxx sin
21
21.coscos. 22
Jika pemilihan u dan dv tidak tepat akan menghasilkan integral yang lebih rumit
Contoh 23
HitunglahPenyelesaian
2
1
ln dxx
misalkan
xu ln
dxx
xddu 1)(ln
dxdv
maka
dxdv
xv
duvvudxx .ln2
1
dxx
xxxdxx x
x
2
1
2
1
2
1
1.lnln
2
1
2
1
2
1
.lnln
x
x
x
xxxxdxx
12ln2]12[]1ln1)2ln(2[ln2
1
dxx
2
1
2
1
2
1
.lnln dxxxdxx x
x
12ln2]12[)]0(1)2ln(2[ln2
1
dxx
Contoh 24
HitunglahPenyelesaian
dxxx sin.2
misalkan
2xu dxxdu 2dxxdv sin
maka
dxxdv sin
xv cos
duvvudxxx .sin.2
dxxxxxdxxx 2coscossin. 22
dxxxxxdxxx cos2cossin. 22
dxxxxxdxxx cos2cossin. 22
dari contoh 9 cxxxdxxx cossin.cos.
cxxxxxdxxx cossin.2cossin. 22
Kxxxxxdxxx cos2sin.2cossin. 22
LATIHAN 5Hitunglah
dxex x ..1
dxxx 3sin..2
5. Integrasi fungsi rasionalDefenisi fungsi rasionalFungsi rasional adalah hasil bagi dua fungsi polinomial, fungsi rasional di bagi dua1. Fungsi rasional sejati
yaitu derajat pembilang lebih kecil dari penyebut
misal
8422
2
xx
xxf
2. Fungsi rasional tak sejatiyaitu derajat pembilang lebih besar dari penyebut
misal
xxxxxxh
512
3
35
Contoh 24
Carilah
dxx 312
penyelesaian
dx
x 312
misalkan 1xu dxdu
duudu
udx
x3
33 2212
cudx
x
2
3 221
12
c
udx
x
23
112
c
xdx
x
23 11
12
Contoh 25
Carilah dxxx
x84
222
penyelesaian
84642
8422
22
xxxdx
xxx
dxxx
dxxx
xdxxx
x84
684
4284
22222
?84
422
dxxx
x
misalkan 842 xxu dxxdu 42
uudu
xdu
uxdx
xxx ln
4242
8442
2
42
xdudx
84ln84
42 22
xxdxxx
x
?84
62
dxxx
dx
xdx
xx 222 2216
846
sehingga
cax
aaxdx
1
22 tan1
dx
xdx
xx 222 2216
846
22arctan3
22arctan
216
846
2
xxdxxx
ingat
Kxxxdxxx
x
22arctan384ln
8422 2
2
Dekomposisi pecahan parsial (faktor linear)Latihan menjumlahkan pecahan parsial
?13
12
xx
11
131213
12
xx
xxxx
yang menarik adalah proses kebalikannya yaitu dekomposisi suatu pecahan menjadi suatu jumlah pecahan yang lebih sederhana
Contoh 26 (faktor linear yang berbeda)dekomposisikan pecahan parsial berikut dan carilah integrasinya
?613
2 xxx
323213
613
2
xB
xA
xxx
xxx
32
23613
2
xxxBxA
xxx
2313 xBxAx
2313 xBxAx
37;
58 AB
BBxAAxx 2313
BAxBAx 2313
)(3 aBA
)(123 aBA
eliminasi pers (a) dan (b)
233313.33 BAx
5858 BB
22231232 BAx
atau
2313 xBxAx
7557 AA
35/8
27/5
3213
613
2
xxxxx
xxx
dx
xdx
xdx
xxx
31
58
21
75
613
2
cxxdxxxx
3ln582ln
75
613
2
Contoh 27 (faktor linear yang berbeda)
Carilah ?32
3523
dxxxx
x
penyelesaian
dxxxxxdx
xxxx
3135
323523
313135
xC
xB
xA
xxxx
3
11331
3135
xxCx
xxBx
xxxA
xxxx
133135 xCxxBxxxAx 133.333.33133.53 CBxAx
23120018 CC
133135 xCxxBxxxAx 11)1.(31)1.(31113151 CBAx
21402 BB
133135 xCxxBxxxAx
10)0.(30)0.(30103050 CBAx
10033 AA
32/3
12/11
3135
xxxxxxx
323
1211
3135
xdx
xdxdx
xdx
xxxx
cxxxdxxxx
x
3ln231ln
21ln
3135
faktor linear yang berulanguntuk tiap faktor linear (ax+b) yang muncul k kali dalam penyebut suatu pecahan rasional yang baik terdapat suatu penjumlahan k buah pecahan parsial berbentuk
kk
baxA
baxA
baxA
)()()( 221
misal
?
1 4
xx
maka dekomposisi pecahan parsial dibuat
4324 11111
xD
xC
xB
xA
xx
Contoh 28 (faktor linear yang berulang)
Carilah ?
3 2 dxxx
penyelesaian
22 333
xB
xA
xx
222 33
33
x
BxxA
xx
BxAx 3
BAx 23333
3333 2 BBA BxAx 23
1330 AA
330 Ax
22 333
xB
xA
xx
22 33
31
3
xxxx
22 33
33 xdx
xdxdx
xx
22 33
33 xdx
xdxdx
xx
cxxdx
xx
3
33ln3 2
Contoh 29 (beberapa faktor linear berbeda dan ada yang berulang)
Carilah
?1313832
2
dxxxxx
penyelesaian
22
2
11331383
xC
xB
xA
xxx
22
2
2
133131
31383
xxxCxxBxA
xxx
31311383 22 xCxxBxAxx
31113111131.8)1(31 22 CBAx
24008 CC
31311383 22 xCxxBxAxx
3313331313)3.(8)3(33 22 CBAx
0016132427 A46416 AA
31311383 22 xCxxBxAxx
3010301013)0.(8)0(30 22 CBAx
CBA 3313
163413 BB
22
2
12
11
34
31383
xxxxxx
22
2
12
11
34
31383
xxxxxx
dx
xdx
xdx
xdx
xxx
22
2
112
11
314
31383
cx
xxdxxxx
121ln3ln4
31383
2
2
Dekomposisi pecahan parsial (faktor kuadratik)Dalam memfaktorkan penyebut suatu pecahan, jika kita mungkin mendapatkan beberapa faktor kuadrat, misalnya seperti (x2 +1), yang tak dapat lagi diuraikan menjadi faktor-faktor linier tanpa mengenalkan bilangan kompleks, maka dekomposisi pecahan parsial di buat
)( 2 cbxaxBAx
Contoh 30 (faktor kuadrat tunggal)
dekomposisikan pecahan parsial dan cari integrasinya
?)1(14136
2
2
xxxx
)1(14)1(14136
22
2
xCBx
xA
xxxx
)1(1414).()1(
)1(14136
2
2
2
2
xxxCBxxA
xxxx
)1(1414).()1(
)1(14136
2
2
2
2
xxxCBxxA
xxxx
14).()1(136 22 xCBxxAxx
1)4/1.(4).4/1.(11611
413
416
41 2
CBAx
21617
1616
1612
166
AA
14).()1(136 22 xCBxxAxx
10).0()10(210 Cx
10).0()10(21 C 1C
14).()1(136 22 xCBxxAxx
3).1(112113161 2 Bx
133410 BB
)1(14)1(14136
22
2
xCBx
xA
xxxx
)1(1
142
)1(14136
22
2
xx
xxxxx
dx
xxdx
xdx
xxxx
)1(1
1412
)1(14136
22
2
dx
xdx
xxdx
xdx
xxxx
)1(1
)1(1412
)1(14136
222
2
dx
xdx
xx
xdxdx
xxxx
)1(1
)1(2
21
144
21
)1(14136
222
2
cxarcxxdxxxxx
tan)1ln(2114ln
21
)1(14136 2
2
2
faktor kuadrat berulanguntuk tiap faktor kuadratik yang tak dapat direduksi ax2+bx+c yang muncul m kali dalam penyebut pecahan rasional yang baik maka dekomposisi pecahan mempunyai bentuk
mmm
cbxaxBxA
cbxaxBxA
cbxaxBAx
)()()( 22211
2
misal
?)1(136
32
2
xxx pecahan parsialnya
3222232
2
)1()1()1()1(136
xFEx
xDCx
xBAx
xxx
Contoh 31cari integrasinya
dxxxxx
22
2
)2(322156
penyelesaian
22222
2
)2()2(3)2(322156
xEDx
xCBx
xA
xxxx
22
222
22
2
)2(333)2()2(
)2(322156
xxxEDxxxCBxxA
xxxx
33)2()2(22156 2222 xEDxxxCBxxAxx
00)29(2245543 2 Ax
1121121 AA
ECAx 36422)0(15)0(60 2
)1(1836 EC
13441212922)1(15)1(61 2 EDCBAx
)2(4441212 EDCB
134412121.9 EDCB
30030)20(0)20(221560 22 ECAxxx
33)2()2(22156 2222 xEDxxxCBxxAxx
33)2()2(22156 2222 xEDxxxCBxxAxx
3131)21()21(221561 22 EDCBAxxx
DEBCA 2266943
33)2()2(22156 2222 xEDxxxCBxxAxx
3131)21()21(221561 22 EDCBAxxx
)3(342266 EDCB
eliminasi (2)(3)
)2(4441212 EDCB
)3(342266 EDCB 21xx
4441212 EDCB68441212 EDCB
)4(72824 EC
eliminasi (1)(4))1(1836 EC
)4(72824 EC 14xx
721224 EC
72824 EC
004 EE
)1(180.36 C
3186 CC
33)2()2(22156 2222 xEDxxxCBxxAxx
33333)29(3)29(221563 22 EDCBAxxx EDCB 618661981.12131
9061866198 EDCB
90183.66198 DB
)5(28818198 DB
dari pers (3) sub C = 3, E= 0
)3(1626 DB
eliminasi (5)(3)
)5(28818198 DB
)3(1626 DB 94xx
28818198 DB
1441854 DB 1144144 BB
dari (3) sub B = -1 )3(1626 DB
5102 DD
dxx
xdxxxdx
xdx
xxxx
22222
2
)2(5
)2(3
31
)2(322156
dxxxdx
xxdx
xdx
xxxx
22222
2
)2(5
)2(3
31
)2(322156
dxxx
xdx
xdxx
xdxdx
xxxx
222222
2
)2(2
25
)2(3
)2(.2
21
3)2(322156
cx
xarcxxdxxxxx
)2(1
25
2tan
23)2ln(
213ln
)2(322156
22
22
2
LATIHAN 6Hitunglah
dxxxxx
9123632.1 2
2
dxxxxxx
32312327.2
2