Techniques quantitatives 2 - Freefamille.fischler.free.fr/analyse2-fascicule.pdf · 2020. 10....

Techniques quantitatives 2

Chimene Fischler 1

L1 Economie-Gestion, 2019-2020

Universite Paris 8, Vincennes - Saint-Denis

Contenu du module :Le cours de Techniques Quantitatives 2 comporte deux parties : Analyse et Statistiques.

Chacune est la suite de la partie correspondante du cours de Techniques Quantitatives 1. Leplan du cours est le suivant :

— Partie I : Analyse— Chapitre 1 : Optimisation des fonctions d’une variable.— Chapitre 2 : Fonctions de plusieurs variables.— Chapitre 3 : Comportements asymptotiques.— Chapitre 4 : Integrales.

— Partie II : Statistiques— Chapitre 1 : Series bivariees.— Chapitre 2 : Regression.

Evaluation :— Controle continu (40% de la note finale) : une epreuve vers debut mars, et une autre

vers fin mars.— Controle terminal (60% de la note finale) : un examen fin avril 2020.

Remarques importantes :1. Les documents, notes de cours et materiels electroniques (telephones por-

tables, . . . ) sont INTERDITS aux examens ;2. L’assiduite aux cours-TD est obligatoire, sauf dispense pour raisons profes-

sionnelles etablie aupres du secretariat ;3. Les changements de groupe ne sont pas autorises.

Bibliographie indicative :— Analyse 1, exercices corriges avec rappels de cours, Jean-Pierre Lecoutre et Philippe

Pilibossian, Dunod.— Analyse mathematique pour economistes, Gabriel Archinard et Bernard

Guerrien, Economica.— Mathematiques pour economistes, Carl P. Simon et Lawrence Blume, De Boeck.— Statistique descriptive. Applications avec Excel et calculatrices, Etienne

Bressoud et Jean-Claude Kahane, Pearson.— Premiers pas en statistique, Yadolah Dodge, Springer.— Statistique descriptive, Maurice Lethielleux, Dunod.— Mathematiques en economie-gestion, Stephane Rossignol, Dunod.

Annales : Des annales sont disponibles sur la page web suivante :http://famille.fischler.free.fr/

1. Adresse email : [email protected]

1

Feuille no I.1 : Optimisation des fonctions d’une variable

Exercice 1 - Trouver les extrema eventuels des fonctions suivantes, et determiner la naturede chacun d’entre eux :

(a) f(x) = x− x2

4(b) g(x) =

1

2x4 − x2 + 1 (c) h(x) = (x− 1)2(x + 1)3

(d) i(x) = xex (e) j(x) = x ln(x)

Exercice 2 - Demontrer que la fonction f : x 7→ |x| est convexe sur R. La fonction g : x 7→ 1x

est-elle convexe sur ]0,+∞[ ?

Exercice 3 - Considerons la fonction f definie par

f(x) = xe2x.

1. Dresser le tableau de variations de f en precisant les limites aux bornes de son ensemblede definition.

2. Etudier la concavite ou la convexite de f .

Exercice 4 - Considerons la fonction f definie par

f(x) = (x + 1)ex

1+x .

1. Determiner l’ensemble de definition de f ; etudier la continuite et la derivabilite de fsur cet ensemble.

2. Determiner le comportement de f(x) quand x tend vers +∞, vers −∞, vers −1.

3. Dresser le tableau de variations de f .

4. Etudier la concavite ou la convexite de f .

5. Calculer l’elasticite de f par rapport a x, et sa valeur en x = 1. On rappelle quel’elasticite d’une fonction f (derivable et qui ne s’annule pas) est donnee par x

f(x)f′(x).

2

Feuille no I.2 : Fonctions de plusieurs variables

Exercice 1 - Demontrer que la fonction f definie par

f(x, y, z) =1

x2 + y2 + z2

tend vers +∞ quand (x, y, z)→ (0, 0, 0).

Exercice 2 - Donner le domaine de definition et calculer les derivees partielles ∂∂x , ∂

∂y , ∂2

∂x2,

∂2

∂y2et ∂2

∂x∂y des fonctions suivantes :

1. f(x, y) = xy ln(x).

2. g(x, y) = ex2y.

3. h(x, y) = x2+y2

xy .

Exercice 3 - Donner le domaine de definition et calculer les derivees partielles d’ordre auplus 2 de la fonction

f(x, y, z) =ez

2

x2 + y2.

Exercice 4 - Calculer le gradient des fonctions suivantes :

1. f(x1, x2, x3) = x1 + x22 + x33.

2. g(x1, x2, x3, x4) = x1x22x

33x

44.

3. h(x1, x2, x3, x4, x5) = x2ex21 + x3 ln(x4)

x5.

Exercice 5 - Calculer la jacobienne de la fonction

f(x1, x2, x3, x4) = (ex1x2 , x21x23, ln(x3 + x4)).

Exercice 6 - Determiner et discuter les points critiques de la fonction f(x, y) = x3+y3−3xy.

Exercice 7 - Determiner les extrema de la fonction

f(x, y, z) = x3z + y3 − 3x2y − 2z2.

3

Feuille no I.3 : Comportements asymptotiques

Exercice 1 - Demontrer que, lorsque x tend vers 0 :

(a) x2 ln(x) = o(x); (b) sin(x) = O(x).

Exercice 2 - Donner un equivalent simple de chacune des fonctions suivantes :

(a) f(x) =2x3 − 4x + 2

x2 + 1, x→ +∞; (b) g(x) =

√x2 − x + 1, x→ +∞;

(c) h(x) = ex − 1, x→ 0; (d) j(x) = x ln(1 + x), x→ 0.

Exercice 3 - Donner le developpement de Taylor-Young en 0 de chacune des fonctionssuivantes :

(a) f(x) = sin(2x) a l’ordre 2 ; (b) g(x) = cos(x2) a l’ordre 3 ;

(c) h(x) =√

x2 + 1 a l’ordre 2 ; (d) j(x) =1

2 + xa l’ordre 3.

Exercice 4 - Donner le developpement de Taylor-Lagrange de chacune des fonctions sui-vantes :

(a) f(x) = ln(x) en 1, a l’ordre 3 ; (b) g(x) = e3x en 0, a l’ordre 4 ;

(c) h(x) =3x + 2

2x + 1en 0, a l’ordre 2.

Exercice 5 - Donner le developpement de Taylor-Lagrange de la fonction ex en 0 a l’ordre 4,et en deduire une valeur approchee de e0,1.

4

Feuille no I.4 : Integrales

Exercice 1 - Determiner des primitives des fonctions suivantes : xx2+5

; xex2

; x2√x3+2

.

Exercice 2 - Calculer les integrales suivantes, en utilisant (une ou plusieurs fois) la formuled’integration par parties :

(a)

∫ b

aln(x)xndx avec a, b > 0 et n entier, n ≥ 0; (b)

∫ e

1

ln(x)

x2dx; (c)

∫ 5

2xexdx;

(d)

∫ 4

−3x2exdx; (e)

∫ π/2

−π/2x sin(x)dx; (f)

∫ 1

0ex sin(2x)dx.

Exercice 3 - Calculer les integrales suivantes, en utilisant un changement de variables :

(a)

∫ 8

2

(ln(t))4

tdt; (b)

∫ π/4

−π/6tan(x)dx (on posera u = cos(x)); (c)

∫ 2

1t3 ln(t)dt;

(d)

∫ √2/20

x√1− x2

dx (on posera x = sin(t)); (e)

∫ 1

0

dx

1 + x2(on posera x = tan(t)).

Exercice 4 - Soient x0 un nombre reel et n un entier. Calculer une primitive de la fonction1

(x−x0)n , en distinguant selon que n est egal a 1 ou pas, et si necessaire selon le signe de x−x0.

En ecrivant que 1x2−1 = 1

2( 1x−1 −

1x+1), en deduire la valeur de l’integrale suivante :

∫ 1/20

dxx2−1 .

Exercice 5 - Notons f la fonction definie sur R par f(x) = x1+x2

, et g celle definie par

g(x) = x3

1+x2. On pose I1 =

∫ 10 f(x)dx et I2 =

∫ 10 g(x)dx. Calculer I1 et I1 + I2 ; en deduire la

valeur de I2.

Exercice 6 - Soit a un nombre reel tel que a < 3.

1. Determiner deux nombres reels p et q tels que

t

3− t= p +

q

3− t.

2. En deduire la valeur de l’integrale∫ a0

t3−tdt.

3. Calculer∫ a0 ln(1− t

3)dt en utilisant une integration par parties.

Exercice 7 - Calculer l’integrale suivante :∫ 1−1(2 + x)e−xdx.

5

Exercice 8 - Etudier si les integrales generalisees suivantes convergent ou non, et quandelles convergent donner leur valeur.

(a)

∫ +∞

0

x dx

x2 + 4

(b)

∫ +∞

0x sin(2x)dx

(c)

∫ +∞

0te−t

2dt

(d)

∫ +∞

0x2e−xdx.

Exercice 9 - Etudier la convergence de chacune des integrales generalisees suivantes, enprecisant ou se situe(nt) le(s) point(s) a probleme. Meme en cas de convergence, on ne de-mande pas de calculer la valeur de l’integrale.

(a)

∫ +∞

1

dt

t√t2 + 2

(b)

∫ +∞

0

sin2 t

t3 + 1dt

(c)

∫ 1

0

sin t√t3 − t5

dt

(d)

∫ +∞

0

t3

et − 1dt

(e)

∫ +∞

0

√t + 1

√t +√t5dt

6

Feuille no II.1 : Series bivariees

Exercice 1 - Le tableau ci-dessous, issu du recensement de 2009, presente les effectifs dela population active agee de 15 ans ou plus par categorie socio-professionnelle (CSP) et parsexe. Les donnees (legerement approchees) correspondent a des milliers d’individus.

CSP Hommes Femmes Total

Agriculteurs 365 145 510

Artisans 1238 494 1732

Cadres 2750 1746 4496

Professions intermediaires 3443 3781 7224

Employes 2037 6700 8737

Ouvriers 5719 1365 7084

Total 15552 14231 29783

1. Calculer les frequences partielles fij . Interpreter au moins une valeur.

2. Calculer les frequences marginales fi+ de la variable CSP (notee X), puis celles f+jde la variable sexe (notee Y ). Interpreter.

3. Calculer les frequences conditionnelles fX=xi|Y=yj de la CSP sachant le sexe. In-terpreter au moins une valeur.

4. Calculer les frequences conditionnellesfY=yj |X=xi du sexe sachant la CSP.

5. Conclure sur l’existence ou non d’une liaison entre ces deux criteres.

Exercice 2 - Cet exercice porte sur une enquete realisee sur un echantillon de 1000 personnesa propos de l’impact de la publicite diffusee a la television sur l’achat d’un produit. La tablede contingence est la suivante :

Achat | Publicite Oui Non Total

Oui n11 n12 n1+

Non n21 n22 n2+

Total n+1 n+2 1000

On dispose des informations suivantes :• 25% des personnes interrogees ont achete le produit.• Parmi les personnes ayant vu la publicite, une sur trois a achete le produit.• Parmi les gens ayant achete le produit, 60% n’ont pas vu la publicite.

1. Completer la table de contingence a l’aide des informations ci-dessus.

2. Peut-on dire que la publicite a un impact sur l’achat de ce produit ?

7

Exercice 3 - Une etude sur les prets a la consommation accordes a des jeunes de 18-25 ansdans un certain organisme bancaire au cours d’une annee a permis d’obtenir la repartitionsuivante des prets selon le montant X et le type d’achat Y :

Montant | Type Vehicule Mobilier Tresorerie Divers Total

[1000, 10000[ 41 14 24 22 101

[10000, 25000[ 123 33 15 18 189

[25000, 50000[ 78 13 1 4 96

[50000, 100000[ 20 1 1 2 24

Total 262 61 41 46 410

1. Donner n12, n3+ et n+4.

2. Calculer fX=x1|Y=y3 .

3. Calculer la moyenne marginale, la variance marginale et l’ecart-type marginal de X.

4. Calculer la moyenne conditionnelle, la variance conditionnelle et l’ecart-type condi-tionnel de X.

Exercice 4 - On a interroge 318 etudiants sur leurs achats de jeux video neufs et d’occasionau cours de la derniere annee. Le tableau suivant croise le nombre de jeux achetes neufs (X)avec le nombre de jeux achetes d’occasion (Y ).

Neuf (X) | D’occasion (Y ) 0 1 [2 ;4[

0 157 8 5

1 55 8 8

[2 ;4[ 49 9 19

1. Calculer la moyenne marginale x et la variance V (x).

2. Calculer la moyenne marginale y et la variance V (y).

3. Calculer la covariance entre X et Y . Conclure sur la dependance entre X et Y .

4. Effectuer un test du khi2 au seuil de signification de 5%. Conclure sur la dependanceentre X et Y .

Exercice 5 - On veut etudier la liaison entre les caracteres : � etre fumeur � (plus de 20cigarettes par jour, pendant 10 ans) et � avoir un cancer de la gorge �, sur une population de1000 personnes, dont 500 sont atteintes d’un cancer de la gorge. Voici les resultats observes :

Cancer Non cancer Total

Fumeur 342 258 600

Non fumeur 158 242 400

Total 500 500 1000

Effectuer un test du khi2 au seuil de signification de 1‰.

8

Exercice 6 - Un editeur de presse cherche a etablir un lien entre les ventes de trois quotidiensA, B, C et le niveau social des acheteurs. Une enquete sur 300 lecteurs montre comment lesniveaux sociaux professionnels se repartissent selon chaque quotidien. On obtient le tableausuivant.

A B C

Salaries 31 11 12

Fonctionnaires 49 59 51

Cadres moyens 18 26 31

Cadres superieurs 2 4 6

En suivant la methode du khi2, jusqu’a quel seuil d’erreur peut-on rejeter l’hypothese quele quotidien choisi ne depend pas du niveau social du lecteur ?

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Feuille no II.2 : Regression

Exercice 1 - Le tableau suivant montre l’evolution, pour chaque annee i entre 2005 et 2014,du prix moyen (note xi) d’un panier d’actions et de celui (note yi) d’un panier d’obligations.

Annee i Actions xi Obligations yi

2005 352 1024

2006 360 998

2007 358 980

2008 361 970

2009 366 982

2010 382 972

2011 398 935

2012 406 902

2013 450 895

2014 445 900

1. Calculer x, y, V (x), V (y) et Cov(x, y).

2. Calculer le coefficient de correlation r, et interpreter le resultat obtenu.

3. (a) En utilisant la methode MCO, calculer les coefficients a et b de la droite deregression de Y selon x.

(b) Si en 2015 le prix moyen du panier d’actions est de 420, a combien peut-on estimercelui du panier d’obligations ?

Exercice 2 - Une etude a ete lancee pour comparer, individu par individu, le temps consacrea telecharger des contenus musicaux sur un site internet donne et les depenses effectuees pourl’achat de disques (CD). 62 personnes ont ete interrogees ; on note xi le nombre d’heures detelechargement effectuees en un mois par l’individu numero i, et yi ses depenses en achats dedisques (en euros). Voici un extrait des informations recueillies :

Individu numero i Temps de telechargement xi Depenses yi xiyi x2i y2i1 101 130 13130 10201 16900

2 14 120 1680 196 14400...

......

......

...

61 29 610 17690 841 372100

62 128 601 76928 16384 361201

Total 6225 18213 2372404 785425 7691039




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(b) Un individu a passe 128 heures a telecharger de la musique sur ce site. Donner uneestimation du montant de ses achats de disques.

(c) En realite cet individu a depense 184 euros en achats de disques. Pourquoi cemontant differe-t-il de celui calcule a la question precedente ?

4. Effectuer le test du coefficient de correlation lineaire de Student au seuil de significationde 5 %.

5. Calculer des intervalles de confiance de a et b au seuil de signification de 5 %.

6. Retrouver le resultat de la question 4 en effectuant un test de Fisher au seuil designification de 5 %.

Exercice 3 - Le responsable d’une chaıne locale de magasins de bricolage pense qu’il y aune relation entre le nombre de personnes qui s’installent dans la region et le chiffre d’affairesde ses magasins. Pour chaque annee t entre 2005 et 2014, il a note le nombre xt de personnesayant demenage pour s’intaller dans la region (en milliers de personnes), et aussi le chiffred’affaire cumule yt de l’ensemble de ses magasins (en millions d’euros) :

Annee t xt yt

2005 5.2 25.85

2006 4.6 28.30

2007 7.3 31.68

2008 8.2 36.98

2009 6.4 31.89

2010 7.8 34.59

2011 3.6 24.14

2012 4.9 23.11

2013 2.6 18.60

2014 3.7 24.72




(b) En 2015 les services statistiques de la region prevoient que 4900 personnes vont s’yinstaller. Quel chiffre d’affaires cumule le responsable est-il en droit d’attendre ?

(c) Comparer le resultat de la question (b) avec la situation de 2012 : pourquoin’obtient-on pas la meme valeur ?

4. Effectuer le test du coefficient de correlation lineaire de Student au seuil de significationde 1 %.

5. Calculer des intervalles de confiance de a et b au seuil de signification de 1 %.

6. Retrouver le resultat de la question 4 en effectuant un test de Fisher au seuil designification de 1 %.

11

7

Annexesloi de Student P(X > f) = p; on lit , dqns lo toble et p figure sur lo première ligne

Loi de Khi-2 P(x > r)

2

4

678

101J12't3141516-t7

18192A2122

24

26272A29303'l32

34

13,82 10,60 9,21 7.3A 5,99 4,61 0,21 0,10 o,o5 o,o2 o,ot 0,oo-16,27 12,a4 11,35 9,35 7,A2 6,25 0,58 0,35 O,22 O,.t2 O,O7 O,O2-ts,47 14,86 13,28 11,',t4 S,49 7,78 1,06 0,71 0,48 O,3O O,21 O,O920,52 16,75 15,æ 12,83 11,07 9,24 1,61 1,.15 0,83 0,55 0,4.t O,2122,46 18,55 16,81 t4,45 12,59 10,65 2,20 1,64 1,24 O,87 0,68 0,3824,32 20,2A 18,48 16,01 14,07 12,02 2,93 2,.17 1,69 1,24 0,99 0,6026,12 21,98 20,09 17,54 15,51 .19,36 3,49 2,73 2,.tA 1,65 1,34 0,8627,88 23,59 21,67 19,02 16,92 14.68 4,17 3,33 210 2,09 1,74 1,1529,59 25!'t9 23,2't 20,48 't8,31 15,99 4,87 3,94 3,25 2,56 2,16 1,4A31,26 26,76 24,73 21,92 19,68 17,28 5,58 4,58 3,82 3,05 2,60 .t,8332,91 28,30 26,22 23,34 2'1,03 18,55 6,30 5,23 4,4O 3,57 3,07 2,2134,53 29,82 27Ê9 24,74 22,36 19,81 7,04 5,89 5,0.t 4,11 3,57 2,6236!12 31,32 29,14 26,12 23,69 21,A6 7,79 6,57 5,63 4,6ô 4,08 3,0437,70 32,A0 30,58 27,49 25,00 22,31 8,s5 7,26 6,26 5,23 4,60 3,4839,25 34,27 32,00 28,8s 26,30 23,54 9,31 7,96 6,91 5,81 5,14 3,9440,79 35,72 33,41 30,19 27,59 24,77 10,09 8,67 7,56 6,41 5,70 4,4242,31 37,'t6 34,81 31,53 2A,87 25,99 10,87 9,S9 8,23 7,02 6,27 4,9143,82 38,58 36,19 32,85 30,14 27,20 11,65 10,.t2 8,91 7,63 6,84 5,4145,31 40,00 37,57 34,17 31,41 28,4't 12,44 10,85 9,59 8,26 7,43 5,9246,80 4r,40 39,93 35,48 32,67 29,62 13,24 1't,59 't0,28 8,90 8,03 6,454e,27 42,A0 40,29 36,78 33,92 30,81 14,04 12,34 .t0,98 9,54 8,64 6,9849,73 44,18 41,64 38,09 35,17 32,01 14,85 13,09 11,69 10,20 9,26 7,5351,18 45,56 42,98 3S,36 36,42 33,20 15,66 13,85 12,40 10,86 9,89 8,OS52,62 46,93 44,3'1 40,65 37,65 34,39 16!47 14,6.1 13.12 11,52.10,52 8,6554,05 48,29 45,64 41,92 38,89 35,56 17,29.t5,38 19,A4 12,20 11,16 9,22ss,48 49,65 46,96 43,20 40,11 36,74 18,11 16,.15 .14,57 12,88 11,8.1 9,8056,89 50,99 48,28 44,48 41,34 37,92.t8,94 16,93.t5,3.t 13,57 12,46 10,3S59,30 52,34 49,59 4s,72 42,56 39,09 19,77 17,71.16,05 14,26 13,12 10,9959,70 53,67 50,89 46,S8 43,77 40,26 20,60 18,49 16,79 14,95 13,79.t.t,5961,10 55,00 52,19 48,23 44,99 41,42 21,43 19,28 17,54 15,66 14,46 12,2062,49 56,33 53,49 49,48 46,19 42,59 22,27 20,07 18,29 16,36 1s,13 12,8.163,87 57,65 54,78 50,73 47,40 43.75 23,11 20,97 19,05 17,07 '15,82 13,4365,25 58,96 56,06 51,97 48,60 44,90 23,95 2.1,66 19,81 .t7,79

'6,50 14,06

244 Stotistique descri ptive

Annexes : tables statistiques

Table du khi2

12

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Table de Student

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Table de Fisher au seuil de 1%

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Table de Fisher au seuil de 5%

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