TE230 - Predavanje 2
description
Transcript of TE230 - Predavanje 2
-
1S. Vujevi - Predavanja iz predmeta Teorijska elektrotehnika - Predavanje 2
Poyntingov teorem za harmonijsko EM polje (1)
U sluaju harmonijskog polja u linearnom i izotropnom sredstvu, Poyntingov teorem u integralnom obliku glasi:
{ ( )4444 34444 2143421321
rr
VvolumenaunutarQsnagaJalovaV
22
VunutarPsnagaRadna
V
2
Vizizlazi koja snaga
prividna Kompleksna
S
izvorasnagaprividnakompleksna
pi dVEHjdVESdS ++=
gdje je kompleksni Poyntingov vektor, a * oznaava konjugiranje kompleksnog broja (fazora vektora).
= HE rrr
2
S. Vujevi - Predavanja iz predmeta Teorijska elektrotehnika - Predavanje 2
Dakle, za harmonijsko polje u linearnom i izotropnom sredstvu vrijedi da je:
QjPSSSd ppiS
+==+ rr
gdje je ukupna kompleksna prividna snaga koju volumen V dobiva od nezavisnog izvora i iz okolnog prostora kroz plohu S. Sva se ta snaga troi unutar volumena V. P je snaga gubitaka, odnosno radna snaga koja se troi unutar volumena V, dok je Q jalova snaga elektromagnetskog polja unutar volumena V.
pS
Poyntingov teorem za harmonijsko EM polje (2)
-
3S. Vujevi - Predavanja iz predmeta Teorijska elektrotehnika - Predavanje 2
Nadalje, vrijedi da je:
( ) W W2j PQj P S emp +=+=
dVE dVEE dVJE P 2
VVV
=== rrrr
dVH21 dVHH
21 W
V
2
Vm === rr
dVE21 dVEE
21 W
V
2
Ve === rr
Poyntingov teorem za harmonijsko EM polje (3)
4
S. Vujevi - Predavanja iz predmeta Teorijska elektrotehnika - Predavanje 2
Poyntingov teorem za harmonijsko EM polje (4) Za harmonijsko polje u linearnom i izotropnom sredstvu unutar kojeg nema nezavisnih izvora, vrijedi da je:
( )empS
W W2j PQjPSSd +=+== rr
gdje je kompleksna prividna snaga koju u volumen V ulazi kroz plohu S. Sva se ta snaga troi unutar volumena V. P je snaga gubitaka, odnosno radna snaga koja se troi unutar volumena V, dok je Q jalova snaga EM polja unutar volumena V.
pS
-
5S. Vujevi - Predavanja iz predmeta Teorijska elektrotehnika - Predavanje 2
Prijenos energije od izvora do troila (1) Neka su izvor i troilo povezani dvoinim supravodljivim vodom.
+
Er
Er
Hr
Hr
r
r
Er
Er
Hr
Hr
r
r
I
I
Troilo
Unutar supravodia nema polja pa time ni energije. Energija se okolnim prostorom prenosi od izvora prema troilu. Isto vrijedi i kad je izvor izmjenini.
6
S. Vujevi - Predavanja iz predmeta Teorijska elektrotehnika - Predavanje 2
Prijenos energije od izvora do troila (2)
Neka su izvor i troilo povezani dvoinim vodom konane vodljivosti.
Tada osim normalne (poprene) komponente jakosti elektrinog polja koja osigurava prijenos elektrine energije okolnim dielektrikom od izvora do troila postoji i tangencijalna (uzduna) komponenta jakosti elektrinog polja koja daje komponentu Poyntingovog vektora koja je okomita na vanjsku plohu vodia i ulazi u vodi. Ona daje Joulove gubitke i EM energiju akumuliranu u vodiu.
U dobrim je vodiima akumulirana elektrina energija zanemarivog iznosa, a ni akumulirana magnetska energija nema znaajan iznos u odnosu na Jouleove gubitke.
-
7S. Vujevi - Predavanja iz predmeta Teorijska elektrotehnika - Predavanje 2
Prijenos energije od izvora do troila (3)
tEr
Hr
Hr
nr
tEr
nr
i i
Dakle, elektrina se energija od izvora do troila prenosi okolnim izolatorom (dielektrkom), a vodii u kojima se stvaraju Jouleovi gubici i akumulira mala koliina EM energije slue samo za usmjeravanje energije od izvora prema troilu.
8
S. Vujevi - Predavanja iz predmeta Teorijska elektrotehnika - Predavanje 2
Punjenje ploastog kondenzatora
Kod punjenja kondenzatora, elektrina energija struji iz okolnog prostora u dielektrik izmeu obloga kondenzatora. U ploama kondenzatora nema akumulirane energije.
i i
Hr
Err
Er
Hr
r+++++++
-
9S. Vujevi - Predavanja iz predmeta Teorijska elektrotehnika - Predavanje 2
Pranjenje ploastog kondenzatora
Kod pranjenja kondenzatora, elektrina energija struji iz dielektrik izmeu obloga kondenzatora u okolni prostor.
i
Hr
Er
r
Er
Hr
r
+++++++
i
10
S. Vujevi - Predavanja iz predmeta Teorijska elektrotehnika - Predavanje 2
Akumulirana EM energija - integracija po poljuKao to je ve pokazano, akumuliranu EM energiju moe se izraunati integracijom po polju koritenjem sljedeeg izraza:
+=V
B
0V
D
0
dVBHdVDEWrrrr
Za linearno sredstvo akumulirana EM energija je:
( ) dVBHDE21W
V
+= rrrrZa linearno i izotropno sredstvo akumulirana EM energija je:
( ) ( ) dVHE21dVBHDE
21W
V
22
V
+=+=
-
11
S. Vujevi - Predavanja iz predmeta Teorijska elektrotehnika - Predavanje 2
Akumulirana EM energija - integracija po izvorima (1)Akumuliranu EM energiju moemo izraziti pomou potencijala te pomou gustoe nezavisnih izvora Vrijedi da je:
Air
.Jir
SddttAH
tDdVdt
tAJ
tW
S
t
0V
t
0
rrrrrr
+
+
= pa je:
SdAHDdVAJWS
A
0
D
0V
A
00
rrrrrr
+
+=
12
S. Vujevi - Predavanja iz predmeta Teorijska elektrotehnika - Predavanje 2
Akumulirana EM energija - integracija po izvorima (2)
U sluaju neogranienog sredstva, ploni integral iezava pa je ukupna (totalna) EM energija neogranienog nelinearnog sredstva:
+=
V
A
00t dVAJW
rr
Slijedi da je akumulirana EM energija linearnog sredstva:
( ) ( ) SdAHD21dVAJ
21W
SV
rrrrrr ++=
-
13
S. Vujevi - Predavanja iz predmeta Teorijska elektrotehnika - Predavanje 2
Akumulirana EM energija - integracija po izvorima (3)
U sluaju neogranienog sredstva, ploni integral iezava pa je ukupna (totalna) EM energija neogranienog linearnog sredstva:
( ) +=V
dVAJ21W
rr
Dakle, umjesto da integriramo po polju, odnosno po cjelokupnom razmatranom volumenu, EM energija se moe izraunati integracijom po izvorima i po plohi koja zatvara razmatrani volumen.
U sluaju neogranienog sredstva, izraun ukupne EM energije svodi se na integraciju po izvorima.
14
S. Vujevi - Predavanja iz predmeta Teorijska elektrotehnika - Predavanje 2
Elektrostatiko polje (1)Statiko elektrino polje ili krae elektrostatiko polje je polje mirnih elektrinih naboja.
Diferencijalne jednadbe elektrostatikog polja slijede iz Maxwellovih jednadbi za mirujue sredstvo tako da se lanovi s parcijalnim vremenskim derivacijama nuluju.
Jednadbe elektrostatikog polja u diferencijalnom obliku glase:
0EErot == rr
== DDdiv rr
-
15
S. Vujevi - Predavanja iz predmeta Teorijska elektrotehnika - Predavanje 2
Elektrostatiko polje (2)Jednadbe elektrostatikog polja u integralnom obliku glase:
obVS
QdVSdD == rr0sdE
K = rr
Nadalje vrijedi da je:
== gradEr
16
S. Vujevi - Predavanja iz predmeta Teorijska elektrotehnika - Predavanje 2
Elektrostatiko polje (3)Raspodjela potencijala opisana je Poissonovom diferencijalnom jednadbom:
=
Ope rjeenje Poissonove jednadbe jednako je sumi opeg rjeenja Laplaceove jednadbe (homogene Poissonove jednadbe) i partikularnog rjeenje Poissonove diferencijalnom jednadbe koje glasi:
gdje je r udaljenost izmeu toke izvora i toke promatranja.
= V rdV
41
-
17
S. Vujevi - Predavanja iz predmeta Teorijska elektrotehnika - Predavanje 2
Elektrostatiko polje (4)Za tokasti naboj Q vrijedi da je:
)r(Qr=
r4Q
=
)r(Q r=
gdje je Diracova delta funkcija pridruena toki u ishoditu sfernog koordinatnog sustava.
)r(r
18
S. Vujevi - Predavanja iz predmeta Teorijska elektrotehnika - Predavanje 2
Elektrostatiko polje (5)U opem sluaju, raspored naboja moe biti takav da ga ima u prostoru (prostorni naboj - volumne gustoe ), na plohama (ploni naboj - plone gustoe ), na krivuljama (linijski naboj - linijske gustoe ) ili je pak tokasti. Sukladno tome, opa integralna jednadba potencijala glasi:
=+
+
+=
n
1i i
i
K
SV
rQ
41
rds
41
rdS
41
rdV
41
-
19
S. Vujevi - Predavanja iz predmeta Teorijska elektrotehnika - Predavanje 2
Vodi u elektrostatikom polju Vodi u elektrostatikom polju ima konstantan potencijal, dok je jakost elektrinog polja unutar vodia jednaka nuli. Sav naboj se nalazi na povrini vodia.Neka se neutralno metalno tijelo (vodi) unese u elektrino polje. Poddjelovanjem polja dolazi do preraspodjele naboja na vodiu.
elektrina influencija.Ta pojava se zove:
- - + +
-----
-
-
+++
++++
Er 0E =
.konst=
20
S. Vujevi - Predavanja iz predmeta Teorijska elektrotehnika - Predavanje 2
Coulombov zakon (1)
Neka se dva osamljena tokasta naboja Q1 i Q2 nalaze se u zraku na udaljenosti r. Neka su oba naboja pozitivna.
2112 FFrr =
Charles Augustin de Coulomb formulirao zakon eksperimentalno 1785. godine.
21Fr
12Fr
1Q 2Qr
-
21
S. Vujevi - Predavanja iz predmeta Teorijska elektrotehnika - Predavanje 2
Coulombov zakon (2)
Konstanta k opisana je izrazom:
ro41
41 k ==
Istoimeni naboji se odbijaju, a raznoimeni privlae.
Iznos sile izmeu naboja:
221
2112 r QQ
kFFF===
22
S. Vujevi - Predavanja iz predmeta Teorijska elektrotehnika - Predavanje 2
Coulombov zakon (3)
Izraz za silu koja djeluje na naboj Q2 moe se opisati i izrazom:
o221
21 12rr QQ kF r
r =
Pitanje: Jesu li naboji istoimeni?
Odgovor: Da.
o12rr
gdje je jedinini vektor usmjeren od naboja Q1 prema naboju Q2.
21Fr
o12rr
1Q 2Qr
-
23
S. Vujevi - Predavanja iz predmeta Teorijska elektrotehnika - Predavanje 2
Jakost elektrinog polja (1)
Jakost elektrinog polja je svojstvo prostora.
gdje je:Er
- jakost elektrinog polja,
q - probni tokasti naboj,
Fr
- sila na probni tokasti naboj.
qFlimE
0q
rr=
Definicija:
24
S. Vujevi - Predavanja iz predmeta Teorijska elektrotehnika - Predavanje 2
Jakost elektrinog polja (2)
Silnica linija u ijem smjeru djeluje sila.
Silnice osamljenih toastih naboja u homogenom i neogranienom sredstvu
-
25
S. Vujevi - Predavanja iz predmeta Teorijska elektrotehnika - Predavanje 2
Jakost elektrinog polja (3)Silnice dvaju raznoimenih tokastih naboja istog iznosa: +q i -q
Openito: Jakost elektrinog polja je tangencijalna s obzirom na silnicu.
Er
26
S. Vujevi - Predavanja iz predmeta Teorijska elektrotehnika - Predavanje 2
Jakost elektrinog polja (4)Silnice dvaju raznoimenih tokastih naboja istog iznosa: +q i +q
-
27
S. Vujevi - Predavanja iz predmeta Teorijska elektrotehnika - Predavanje 2
Jakost elektrinog polja (5)
http://eskola.hfd.hr/inter_fizika/proba/elefi_e/index.htm
Animacija: Silnice dvaju tokastih naboja
28
S. Vujevi - Predavanja iz predmeta Teorijska elektrotehnika - Predavanje 2
Gaussov zakon - definicija
Gaussov zakon glasi: Tok vektora elektrinog pomaka koji izlazi iz volumena V kroz zatvorenu plohu S jednak je koliini naboja obuhvaenog tom plohom.
U sluaju osne ili centralne simetrije, pomou Gaussovog zakona moe se odrediti pripadni izraz za jakost elektrinog polja.
obS
QSdD == rr
Qob obuhvaeni naboj, tj. nabojkoji se nalazi unutar volumena V koji je zatvrorenplohom S.
-
29
S. Vujevi - Predavanja iz predmeta Teorijska elektrotehnika - Predavanje 2
Primjena Gaussovog zakona - tokasti naboj (1)
U ovom sluaju vrijedi da je:
qQSD ob ===
Jakost elektrinog polja tokastog naboja
Centralna simetrija
SqD = 22 r
qk r4
q S
q E ===
30
S. Vujevi - Predavanja iz predmeta Teorijska elektrotehnika - Predavanje 2
Primjena Gaussovog zakona - tokasti naboj (2)
Ovisnost jakosti elektrinog polja o udaljenosti r od tokastog naboja
-
31
S. Vujevi - Predavanja iz predmeta Teorijska elektrotehnika - Predavanje 2
Primjena Gaussovog zakona - osamljena metalna kugla (1)
Dr
0SD ==
0E =
QSD ==
SQD = 22 r
Qkr4
QS
QE ===
Rr
32
S. Vujevi - Predavanja iz predmeta Teorijska elektrotehnika - Predavanje 2
Primjena Gaussovog zakona - osamljena metalna kugla (2)
Ovisnost jakosti elektrinog polja o udaljenosti od sredita kugle r
-
33
S. Vujevi - Predavanja iz predmeta Teorijska elektrotehnika - Predavanje 2
Primjena Gaussovog zakona - pravocrtni vodi (1)Neka vrijede sljedee pretpostavke:
Beskonano dugi pravocrtni vodi nabijen je pozitivnim nabojem konstantne linijske gustoe ( = konst.),
Vodi se nalazi u zraku.
Iz uvedenih pretpostavki slijedi:
Osna simetrija D = konst. po platu suosnog cilindra, Vektor elektrinog pomaka okomit na plat suosnog cilindra, Vektor elektrinog pomaka lei u bazama suosnog cilindra.
34
S. Vujevi - Predavanja iz predmeta Teorijska elektrotehnika - Predavanje 2
Primjena Gaussovog zakona - pravocrtni vodi (2)
hQSD obplata ==
hhr2Eo =
r2 EE
or
==
obS
QSdD == rr
-
35
S. Vujevi - Predavanja iz predmeta Teorijska elektrotehnika - Predavanje 2
Primjena Gaussovog zakona - beskonano dugimetalni cilindar
0E =
r2 E
o =
Rr
0
36
S. Vujevi - Predavanja iz predmeta Teorijska elektrotehnika - Predavanje 2
Primjena Gaussovog zakona - nabijena ravnina (1)Pretpostavka: Plona gustoa naboja (s obje strane ravnine) = konst.
bazeobbaze SQSD2 ===
konst. 2
Eo
==
= E2 ooo
.konst=
a a
-
37
S. Vujevi - Predavanja iz predmeta Teorijska elektrotehnika - Predavanje 2
Primjena Gaussovog zakona - nabijena ravnina (2)
konst. 2
Eo
==
Er
Er
.konst=
0 0
38
S. Vujevi - Predavanja iz predmeta Teorijska elektrotehnika - Predavanje 2
Primjena Gaussovog zakona - nabijena ravnina (3)
Vrijedi zakon superpozicije
Er E
r
0 00
0E =
Eo= E o
=
++
-
39
S. Vujevi - Predavanja iz predmeta Teorijska elektrotehnika - Predavanje 2
Primjena Gaussovog zakona - nabijena ravnina (4)
Vrijedi zakon superpozicije
+
0 00
Er
0E =0E =
Eo=
40
S. Vujevi - Predavanja iz predmeta Teorijska elektrotehnika - Predavanje 2
Elektrini napon i potencijal (1)Definicija: Elektrini napon izmeu toaka A i B jednak je radu koji izvri elektrina sila pri premjetanju pozitivnog jedininog tokastog naboja q (q = 1 C) iz toke A u toku B.
F E q= r r
Elektrini napon U = UAB u zadanom elektrinom polju ne ovisi o putu integracije, ve samo o poloaju toaka A i B.
===K
ABAB sdEq
WUU rr
-
41
S. Vujevi - Predavanja iz predmeta Teorijska elektrotehnika - Predavanje 2
Elektrini napon i potencijal (2)
Najee se uzima da je referentna toka dovoljno daleka toka, odnosno toka u beskonanosti. Potencijal toke A jednak je naponu te toke u odnosu na referentnu toku:
Definicija: Referentna toka R je toka koja je proizvoljno odabrana i u kojoj je po pretpostavci elektrini potencijal V. 0R ==
===R
AARA sdEU
rr
Napon izmeu toaka A i B jednak je razlici potencijala tih toaka:
==B
ABAAB sdEU
rr
42
S. Vujevi - Predavanja iz predmeta Teorijska elektrotehnika - Predavanje 2
Potencijal osamljenog tokastog naboja (1)
Pretpostavka:
Q r T 2rQkE === r za 0
====
r2
r
R
TT r
drQkdrEsdE rr
r4Q
rQk
r1 Qk
rT ==
==
-
43
S. Vujevi - Predavanja iz predmeta Teorijska elektrotehnika - Predavanje 2
Potencijal osamljenog tokastog naboja (2)
U elektrostatikom polju, ekvipotencijalne linije i silnicesu uvijek meusobno okomite.
44
S. Vujevi - Predavanja iz predmeta Teorijska elektrotehnika - Predavanje 2
Potencijal osamljene metalne kugle (1)
Rr >
2rQkE =
rQkdrE
r
==
Rr