TE – 1467 Teknik Numerik Sistem...
Transcript of TE – 1467 Teknik Numerik Sistem...
![Page 1: TE – 1467 Teknik Numerik Sistem Linearshare.its.ac.id/pluginfile.php/1445/mod_resource/content/1/LO3... · Trihastuti Agustinah. Bidang Studi Teknik Sistem Pengaturan Jurusan Teknik](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052300/5c89cd5e09d3f2bb5b8bb39d/html5/thumbnails/1.jpg)
Trihastuti Agustinah
Bidang Studi Teknik Sistem PengaturanJurusan Teknik Elektro - FTIInstitut Teknologi Sepuluh Nopember
TE – 1467 Teknik Numerik Sistem Linear
![Page 2: TE – 1467 Teknik Numerik Sistem Linearshare.its.ac.id/pluginfile.php/1445/mod_resource/content/1/LO3... · Trihastuti Agustinah. Bidang Studi Teknik Sistem Pengaturan Jurusan Teknik](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052300/5c89cd5e09d3f2bb5b8bb39d/html5/thumbnails/2.jpg)
OBJEKTIF
TEORI
CONTOH
SIMPULAN
LATIHAN
1
2
3
4
5
O U T L I N E
![Page 3: TE – 1467 Teknik Numerik Sistem Linearshare.its.ac.id/pluginfile.php/1445/mod_resource/content/1/LO3... · Trihastuti Agustinah. Bidang Studi Teknik Sistem Pengaturan Jurusan Teknik](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052300/5c89cd5e09d3f2bb5b8bb39d/html5/thumbnails/3.jpg)
OBJEKTIF Teori Contoh Simpulan Latihan
Mahasiswa mampu:
menghitung determinan matriksmenggunakan metode reduksi baris dan
ekspansi kofaktor
Tujuan Pembelajaran
![Page 4: TE – 1467 Teknik Numerik Sistem Linearshare.its.ac.id/pluginfile.php/1445/mod_resource/content/1/LO3... · Trihastuti Agustinah. Bidang Studi Teknik Sistem Pengaturan Jurusan Teknik](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052300/5c89cd5e09d3f2bb5b8bb39d/html5/thumbnails/4.jpg)
Objektif TEORI Contoh Simpulan Latihan
Pendahuluan
Selain digunakan untuk menghitung inverssuatu matriks, determinan memiliki aplikasi
penting dalam teori sistem linear
![Page 5: TE – 1467 Teknik Numerik Sistem Linearshare.its.ac.id/pluginfile.php/1445/mod_resource/content/1/LO3... · Trihastuti Agustinah. Bidang Studi Teknik Sistem Pengaturan Jurusan Teknik](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052300/5c89cd5e09d3f2bb5b8bb39d/html5/thumbnails/5.jpg)
Objektif TEORI
Determinan Orde Tinggi
Determinan Orde 1, 2 dan 3
Evaluasi Determinan: REDUKSI BARIS
Teorema dan Sifat-sifat
EKSPANSI KOFAKTOR
Aplikasi
Contoh Simpulan Latihan
Definisi dan Notasi
![Page 6: TE – 1467 Teknik Numerik Sistem Linearshare.its.ac.id/pluginfile.php/1445/mod_resource/content/1/LO3... · Trihastuti Agustinah. Bidang Studi Teknik Sistem Pengaturan Jurusan Teknik](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052300/5c89cd5e09d3f2bb5b8bb39d/html5/thumbnails/6.jpg)
Objektif TEORI
• Matriks bujursangkar
• Notasi:
det(A) atau |A| atau
Definisi dan Notasi
nnnn
n
n
aaa
aaaaaa
21
22221
11211
Contoh Simpulan Latihan
![Page 7: TE – 1467 Teknik Numerik Sistem Linearshare.its.ac.id/pluginfile.php/1445/mod_resource/content/1/LO3... · Trihastuti Agustinah. Bidang Studi Teknik Sistem Pengaturan Jurusan Teknik](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052300/5c89cd5e09d3f2bb5b8bb39d/html5/thumbnails/7.jpg)
Objektif
Determinan orde 1, 2 dan 3 (1)
Orde -1: det(A) = det[a11]=a11
a11 a12
a21 a22det(A) = det = a11a22 – a12a21 Orde -2:
Orde -3:a11 a12
a21 a22det(A) = det
= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32
– a13a22a31 – a12a21a33 – a11a23a32
a13
a23
a31 a32 a33
Contoh Simpulan LatihanTEORI
![Page 8: TE – 1467 Teknik Numerik Sistem Linearshare.its.ac.id/pluginfile.php/1445/mod_resource/content/1/LO3... · Trihastuti Agustinah. Bidang Studi Teknik Sistem Pengaturan Jurusan Teknik](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052300/5c89cd5e09d3f2bb5b8bb39d/html5/thumbnails/8.jpg)
Objektif
Determinan orde 1, 2 dan 3 (2)
Determinan matriks sama denganhasilkali elemen yang terletak pada panah positif dikurangi
hasilkali elemen yang terletak pada panah negatif
+-
a11 a12
a21 a22 Orde -2:
Orde -3:
+-
a11 a12
a21 a22
a13
a23
a31 a32 a33
a12
a22
a32
a13
a23
a33
- - + +
Contoh Simpulan LatihanTEORI
![Page 9: TE – 1467 Teknik Numerik Sistem Linearshare.its.ac.id/pluginfile.php/1445/mod_resource/content/1/LO3... · Trihastuti Agustinah. Bidang Studi Teknik Sistem Pengaturan Jurusan Teknik](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052300/5c89cd5e09d3f2bb5b8bb39d/html5/thumbnails/9.jpg)
Objektif
Determinan Orde Tinggi
Reduksi baris
Ekspansi kofaktor
Contoh Simpulan LatihanTEORI
![Page 10: TE – 1467 Teknik Numerik Sistem Linearshare.its.ac.id/pluginfile.php/1445/mod_resource/content/1/LO3... · Trihastuti Agustinah. Bidang Studi Teknik Sistem Pengaturan Jurusan Teknik](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052300/5c89cd5e09d3f2bb5b8bb39d/html5/thumbnails/10.jpg)
Objektif
Evaluasi Determinan: REDUKSI BARIS (1)
Prosedur determinan melalui reduksi baris
Gunakan operasi baris elementer
Reduksi matriks ke dalam bentuk segitiga
Hitung determinan
Penghitungan menggunakan komputer
sistematis
mudah diprogram
Contoh Simpulan LatihanTEORI
![Page 11: TE – 1467 Teknik Numerik Sistem Linearshare.its.ac.id/pluginfile.php/1445/mod_resource/content/1/LO3... · Trihastuti Agustinah. Bidang Studi Teknik Sistem Pengaturan Jurusan Teknik](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052300/5c89cd5e09d3f2bb5b8bb39d/html5/thumbnails/11.jpg)
Objektif
Efek operasi baris elementer (2)
Perkalian barisdengan k
Pertukaran baris
a11 a12
a21 a22
a13
a23
a31 a32 a33
=
ka11 a12
a21 a22
a13
a23
a31 a32 a33
k k
k
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
a11 a12
a21 a22
a13
a23
a31 a32 a33
= –
det(B) = k det(A)
det(B) = – det(A)
Contoh Simpulan LatihanTEORI
![Page 12: TE – 1467 Teknik Numerik Sistem Linearshare.its.ac.id/pluginfile.php/1445/mod_resource/content/1/LO3... · Trihastuti Agustinah. Bidang Studi Teknik Sistem Pengaturan Jurusan Teknik](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052300/5c89cd5e09d3f2bb5b8bb39d/html5/thumbnails/12.jpg)
Objektif
Efek operasi baris elementer (3)
Penambahan baris pada baris lain
a11 a12
a21 a22
a13
a23
a31 a32 a33
=
a11 a12
a21 a22
a13
a23
a31 a32 a33
ka23 +ka22 +ka21 +
det(B) = det(A)
Contoh 1
Contoh Simpulan LatihanTEORI
![Page 13: TE – 1467 Teknik Numerik Sistem Linearshare.its.ac.id/pluginfile.php/1445/mod_resource/content/1/LO3... · Trihastuti Agustinah. Bidang Studi Teknik Sistem Pengaturan Jurusan Teknik](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052300/5c89cd5e09d3f2bb5b8bb39d/html5/thumbnails/13.jpg)
Objektif
Teorema: (1)
A matriks bujursangkar
det(A)=det(AT)
Jika A memiliki baris atau kolom nol, maka det(A)=0
lower triangular
det(A) = a11a22 ∙∙∙ ann
A matriks segitiga:
upper triangular
diagonal
Contoh Simpulan LatihanTEORI
![Page 14: TE – 1467 Teknik Numerik Sistem Linearshare.its.ac.id/pluginfile.php/1445/mod_resource/content/1/LO3... · Trihastuti Agustinah. Bidang Studi Teknik Sistem Pengaturan Jurusan Teknik](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052300/5c89cd5e09d3f2bb5b8bb39d/html5/thumbnails/14.jpg)
Objektif
Sifat-sifat: (2)
A dan B matriks bujursangkar dengan ukuran sama
det(A-1) = 1/det(A)
Jika A memiliki invers
det(AB) = det(A)det(B)
Contoh 2
Contoh Simpulan LatihanTEORI
![Page 15: TE – 1467 Teknik Numerik Sistem Linearshare.its.ac.id/pluginfile.php/1445/mod_resource/content/1/LO3... · Trihastuti Agustinah. Bidang Studi Teknik Sistem Pengaturan Jurusan Teknik](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052300/5c89cd5e09d3f2bb5b8bb39d/html5/thumbnails/15.jpg)
Objektif
EKSPANSI KOFAKTOR: notasi (1)
Matriks bujursangkar A
Minor entri aij: determinan submatriks setelah baris ke-i dan kolom
ke-j dihapus dari A
Notasi: Mij
Kofaktor entri aij
Cij=(-1)i+jMij
Cij= ± Mij
+ – ···
···
··· ··· ······
+ –
+– +–
+ – ···+ –
···+– +–
Contoh Simpulan LatihanTEORI
![Page 16: TE – 1467 Teknik Numerik Sistem Linearshare.its.ac.id/pluginfile.php/1445/mod_resource/content/1/LO3... · Trihastuti Agustinah. Bidang Studi Teknik Sistem Pengaturan Jurusan Teknik](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052300/5c89cd5e09d3f2bb5b8bb39d/html5/thumbnails/16.jpg)
Objektif
Matriks bujursangkar A3x3
det(A) =
EKSPANSI KOFAKTOR: determinan (2)
det(A) = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – a13a22a31 – a12a21a33 – a11a23a32
= a11
a11C11 + a21C21 + a31 C31
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
A =
(a22a33 – a23a32 ) + a21(a13a32 – a12a33) + a31 (a12a23– a13a22)
Contoh Simpulan LatihanTEORI
![Page 17: TE – 1467 Teknik Numerik Sistem Linearshare.its.ac.id/pluginfile.php/1445/mod_resource/content/1/LO3... · Trihastuti Agustinah. Bidang Studi Teknik Sistem Pengaturan Jurusan Teknik](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052300/5c89cd5e09d3f2bb5b8bb39d/html5/thumbnails/17.jpg)
Objektif
Determinan dari matriks A dapat dihitung melaluiekspansi kofaktor pada baris atau kolom
det(A) = ai1Ci1 + ai2Ci2 + ∙∙∙ + ainCin
det(A) = a1jC1j + a2jC2j + ∙∙∙ + anjCnj
EKSPANSI KOFAKTOR: determinan (3)
Contoh Simpulan LatihanTEORI
Contoh 3
![Page 18: TE – 1467 Teknik Numerik Sistem Linearshare.its.ac.id/pluginfile.php/1445/mod_resource/content/1/LO3... · Trihastuti Agustinah. Bidang Studi Teknik Sistem Pengaturan Jurusan Teknik](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052300/5c89cd5e09d3f2bb5b8bb39d/html5/thumbnails/18.jpg)
Objektif
Aplikasi
Sistem linear
m persaman
n variabel
det(λI-A) = 0
Sistem memiliki solusi jika
A x = λ x
skalar(eigenvalue)
eigenvector
Contoh 4
Contoh Simpulan LatihanTEORI
![Page 19: TE – 1467 Teknik Numerik Sistem Linearshare.its.ac.id/pluginfile.php/1445/mod_resource/content/1/LO3... · Trihastuti Agustinah. Bidang Studi Teknik Sistem Pengaturan Jurusan Teknik](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052300/5c89cd5e09d3f2bb5b8bb39d/html5/thumbnails/19.jpg)
Objektif Teori CONTOH Simpulan Latihan
Contoh 1Contoh 2Contoh 3Contoh 4
![Page 20: TE – 1467 Teknik Numerik Sistem Linearshare.its.ac.id/pluginfile.php/1445/mod_resource/content/1/LO3... · Trihastuti Agustinah. Bidang Studi Teknik Sistem Pengaturan Jurusan Teknik](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052300/5c89cd5e09d3f2bb5b8bb39d/html5/thumbnails/20.jpg)
Objektif Teori CONTOH
Contoh 1• Dapatkan determinan dari matriks elementer berikut:
1000010000300001
= 3
1000000100101000
= –1
1000010000100501
Baris kedua dari I4 dikalikan 3
Baris pertama ditukar dengan baris ketiga
= 1 5 kali baris ketiga ditambahkan pada barispertama
Simpulan Latihan
![Page 21: TE – 1467 Teknik Numerik Sistem Linearshare.its.ac.id/pluginfile.php/1445/mod_resource/content/1/LO3... · Trihastuti Agustinah. Bidang Studi Teknik Sistem Pengaturan Jurusan Teknik](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052300/5c89cd5e09d3f2bb5b8bb39d/html5/thumbnails/21.jpg)
Objektif Teori CONTOH
Contoh 2
Dapatkan determinan matriks berikut menggunakan operasibaris:
−=
162963510
A
Jawab
Simpulan Latihan
![Page 22: TE – 1467 Teknik Numerik Sistem Linearshare.its.ac.id/pluginfile.php/1445/mod_resource/content/1/LO3... · Trihastuti Agustinah. Bidang Studi Teknik Sistem Pengaturan Jurusan Teknik](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052300/5c89cd5e09d3f2bb5b8bb39d/html5/thumbnails/22.jpg)
Objektif Teori CONTOH
Contoh 2
Tukarkan baris pertamadengan baris kedua:
0 1 5
3 –6 9
2 6 1
= 0 1 5
3 –6 9
2 6 1
–det(A) =
Keluarkan faktor bersama (3) dari baris 1: = 0 1 5
1 –2 3
2 6 1
–3
Tambahkan –2 kali barispertama pada baris ketiga: = 0 1 5
1 –2 3
0 10 –5
–3
Simpulan Latihan
![Page 23: TE – 1467 Teknik Numerik Sistem Linearshare.its.ac.id/pluginfile.php/1445/mod_resource/content/1/LO3... · Trihastuti Agustinah. Bidang Studi Teknik Sistem Pengaturan Jurusan Teknik](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052300/5c89cd5e09d3f2bb5b8bb39d/html5/thumbnails/23.jpg)
CONTOH
Contoh 2
Tambahkan –10 baris keduapada baris ketiga: det(A)
Keluarkan faktor bersama (–55) dari baris ketiga: = 0 1 5
1 –2 3
0 0 1
–3(–55)
= 0 1 5
1 –2 3
0 0 –55
–3
det(A) = –3(–55)(1) = 165
Simpulan LatihanObjektif Teori
![Page 24: TE – 1467 Teknik Numerik Sistem Linearshare.its.ac.id/pluginfile.php/1445/mod_resource/content/1/LO3... · Trihastuti Agustinah. Bidang Studi Teknik Sistem Pengaturan Jurusan Teknik](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052300/5c89cd5e09d3f2bb5b8bb39d/html5/thumbnails/24.jpg)
CONTOH
Contoh 3
Dapatkan determinanmatriks A melalui ekspansikofaktor:
−−−=
245342013
A
Ekspansi kofaktor: kolom ke-3
det(A)= a13C13+ a23C23+ a33C33
C13 = +M13 =
C23 = –M23 =
C33 = +M33 =
5 4
–2 –4 = 12
3 1–2 –4
= –10
= 0(12)+3(–7)+(–2)(–10)= –1
5 4
3 1 = –7–
Simpulan LatihanObjektif Teori
![Page 25: TE – 1467 Teknik Numerik Sistem Linearshare.its.ac.id/pluginfile.php/1445/mod_resource/content/1/LO3... · Trihastuti Agustinah. Bidang Studi Teknik Sistem Pengaturan Jurusan Teknik](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052300/5c89cd5e09d3f2bb5b8bb39d/html5/thumbnails/25.jpg)
CONTOH
Contoh 4
Dapatkan eigenvaluematriks:
=
2431
A
Persamaan karakteristik
024
31)det( =
−−−−
=−λ
λλ AI
0)5)(2( =−+ λλ
Eigenvalue A:
λ= −2 dan λ=5
Simpulan LatihanObjektif Teori
![Page 26: TE – 1467 Teknik Numerik Sistem Linearshare.its.ac.id/pluginfile.php/1445/mod_resource/content/1/LO3... · Trihastuti Agustinah. Bidang Studi Teknik Sistem Pengaturan Jurusan Teknik](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052300/5c89cd5e09d3f2bb5b8bb39d/html5/thumbnails/26.jpg)
Contoh SIMPULAN
Determinan
• Determinan dapat dihitung dengan menggunakandua cara, yaitu
reduksi baris
ekspansi kofaktor
LatihanObjektif Teori
![Page 27: TE – 1467 Teknik Numerik Sistem Linearshare.its.ac.id/pluginfile.php/1445/mod_resource/content/1/LO3... · Trihastuti Agustinah. Bidang Studi Teknik Sistem Pengaturan Jurusan Teknik](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052300/5c89cd5e09d3f2bb5b8bb39d/html5/thumbnails/27.jpg)
Simpulan LATIHAN
Soal:
• Hitung determinan matriks berikut:
ContohObjektif Teori
−−
−=
510272963
A
![Page 28: TE – 1467 Teknik Numerik Sistem Linearshare.its.ac.id/pluginfile.php/1445/mod_resource/content/1/LO3... · Trihastuti Agustinah. Bidang Studi Teknik Sistem Pengaturan Jurusan Teknik](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052300/5c89cd5e09d3f2bb5b8bb39d/html5/thumbnails/28.jpg)
Simpulan LATIHAN
Solusi Latihan:
Determinan dihitung dengan menggunakan ekspansikofaktor pada baris ke-3:
ContohObjektif Teori
C31 = +M31 =
C32 = –M32 =
C33 = +M33 =
7 –2
–6 9 = –51
3 –6–2 7
= 9
–2 –2
3 9 = –12–
det(A)= a31C31+ a32C32+ a33C33 = 0(–51)+1(–12)+(5)(9)= 33