T A L E Sz Miletu

Opracowała: Magdalena Pęska

Publiczne Gimnazjum Samorządowe

w Kazimierzy Wielkiej

Pokaz programu PowerPoint XP

Dowód twierdzenia

Źródło tła: http://eduseek.interklasa.pl/pictures/artykuly/a_24/6w.jpg

Jak najłatwiej znieść nieszczęśliwy los?

Odpowiedział:

Jeśli się widzi, że wrogowie są w jeszcze gorszym położeniu od nas.

Zapytano Talesa:

VI wiek p.n.e.

Źródło fotografii: http://www-users.mat.uni.torun.pl/~k2011/matematycy/tales.jpg

Tales z Miletu uważany jest za jednego z "siedmiu mędrców" czasów antycznych i za ojca

nauki greckiej. Talesowi przypisuje się autorstwo następujących twierdzeń geometrycznych:

• Dowód, że średnica dzieli koło na połowy.

• Odkrycie twierdzenia, że kąty przy podstawie w trójkącie równoramiennym są równe.• Twierdzenie o równości kątów wierzchołkowych.

• Twierdzenie o przystawaniu trójkątów o równym boku i przyległych dwóch kątach.

Jeżeli dwie proste przecięte są kilkoma prostymi równoległymi, to stosunek dowolnych dwóch odcinków jednej prostej równa się stosunkowi odpowiednich odcinków drugiej prostej.

Tales sformułował ważne twierdzenie o odcinkach proporcjonalnych.

Znane są różne wersje tego twierdzenia. Oto jedna z nich.

lA

B

C

D Ek

l, k – proste równoległe

k

l, k – proste równoległe

l

a

b

c

d

Założenie:

Teza: a

c=

b

d

Długości odcinków oznaczmy małymi literami.

A

B

C

D E

a

b

c

d

h1

Trójkąty ADB i DEB mają wspólną wysokość h1.

PΔADB =½ b h1

PΔDEB =½ d h1

PΔADB

PΔDEB

=½ b h1

½ d h1

= b

d

PΔADB

PΔDEB

= b

d

l k

l, k – proste równoległe

Stosunek pól tych trójkątów wynosi:

A

B

C

D E

a

b

c

d

h2

Trójkąty ADB i DCB mają wspólną wysokość h2.

PΔADB =½ a h2

PΔDCB =½ c h2

PΔADB

PΔDCB

=½ a h2

½ c h2

= a

c

PΔADB

PΔDCB

= a

c

l k

Analogicznie:

Stosunek pól tych trójkątów wynosi:

l, k – proste równoległe

A

B

C

D E

Trójkąty DEB i DCB

l

k

i równe wysokości,

więc ich pola są równe.

PΔDEB = PΔDCB

mają wspólną podstawę

l, k – proste równoległe

Zauważmy, że:

Łącząc w jeden zapis otrzymujemy:

PΔADB

PΔDEB

= b

d

PΔADB

PΔDCB

= a

cPΔDEB = PΔDCB

A

B

C

D E

l k

l, k – proste równoległe

PΔADB

PΔDCB

= a

c=

PΔADB

PΔDEB

= b

d

a

c

b d

a

c=

b

d

Uzasadniliśmy, że

wobec czego

co należało dowieść.

, i

Można udowodnić, że z twierdzenia Talesa wynikają też inne proporcje, często wykorzystywane przy rozwiązywaniu zadań:

l, k – proste równoległe

kl

a

b

c

d

a

c=

b

d

a

b=

c

d

a

b=

a+c

b+d

a+c

a=

b+d

b

Założenie:

Teza:

xy

x

b=

y

b+d

x

a=

y

a+c