SZAKDOLGOZAT Diszkrétmaximum-elvvégeselem-módszerre...
Transcript of SZAKDOLGOZAT Diszkrétmaximum-elvvégeselem-módszerre...
Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem
Matematika Intézet
SZAKDOLGOZAT
Diszkrét maximum-elv végeselem-módszerre
elliptikus parciális differenciálegyenleteken
Balla Réka
Konzulens: Karátson Jánosegyetemi tanár,ELTE TTK, Alkalmazott Analízis
és Számításmatematika Tanszék,
BME, Analízis Tanszék
2017
Kivonat
A parciális differenciálegyenletekkel leírható folyamatokhoz kapcsolódó legfonto-
sabb kvalitatív tulajdonságok a maximum-elvek, illetve ezek egyik következménye,
a nemnegativitási tulajdonság. Mivel a legtöbb differenciálegyenlet csak numeriku-
san oldható meg, a numerikus modellektől is elvárjuk a folytonos modell kvalitatív
tulajdonságaival ekvivalens tulajdonságok teljesülését. A dolgozatban a lineáris má-
sodrendű elliptikus feladatokkal foglalkozunk, Dirichlet-peremfeltétel mellett. Elő-
ször ismertetjük a Dirichlet-feladat végeselemes diszkretizációjának elméleti alapjait,
ezután rátérünk a vizsgált elliptikus feladatokra igazolható maximum-elvekre. Be-
mutatjuk a folytonos maximum-elvet, és annak következményeit, majd definiáljuk a
klasszikus diszkrét maximum-elvet, ami lineáris végeselemes közelítésekre alkalmaz-
ható, azonban magasabbrendű közelítésekre nem terjeszthető ki. Ezután kimondjuk
az általánosított diszkrét maximum-elvet, illetve annak egy speciális változatát, a
nemnegativitási elvet, homogén Dirichlet-peremmel adott 1D Poisson-egyenlet vé-
geselemes megoldására, és elégséges feltételt mutatunk a magasabbrendű végesele-
mes approximáció esetére. Végül néhány példán keresztül szemléltetjük a nemnega-
tivitási tulajdonságot lineáris végeselemes közelítésre.
Tartalomjegyzék
Bevezetés 1
1. Elméleti alapok 4
1.1. Elliptikus feladatok megoldhatósága . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1. Szoboljev-terek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2. Gyenge feladat és megoldhatósága . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2. A végeselem-módszer elméleti alapjai . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1. A Galjorkin-módszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.2. Végeselem-terek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2. Folytonos és diszkrét maximum-elvek elliptikus feladatra 17
2.1. Folytonos maximum-elv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2. Klasszikus diszkrét maximum-elv szakaszonként lineáris elemekre . . 19
2.2.1. Mátrix maximum-elv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.2. A lineáris végeslemekre tett elégséges kikötések . . . . . . . . 22
2.3. Általánosított diszkrét maximum-elv magasabbrendű elemekre . . . . 26
2.3.1. Ellenpélda a klasszikus diszkrét maximum-elv kiterjesztésére
magasabbrendű közelítésre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3.2. Általánosított diszkrét maximum-elv . . . . . . . . . . . . . . 29
3. Számítógépes vizsgálatok 33
3.1. A feladat leírása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2. Az eredmények értékelése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Összefoglalás 37
Köszönetnyilvánítás 38
i
Függelék 39
A futtatásokhoz tartozó MATLAB fájlok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
ii
BevezetésValós folyamatok matematikai modellezésekor szeretnénk a valóságot minél job-
ban megközelíteni. A modell és modellezett folyamat közötti különbségeket általában
két szempont szerint szokás vizsgálni: a kvantitatív (mennyiségi) vizsgálat a valós
folyamat és a modell eredménye közötti eltérésre kíváncsi, a kvalitatív (minőségi)
vizsgálat pedig a valós folyamatra jellemző tulajdonságok (pl. nemnegativitás vagy
folytonosság) megmaradását ellenőrzi. Ebben a dolgozatban az utóbbiról lesz szó.
A parciális differenciálegyenletekkel leírható folyamatokhoz kapcsolódó legfonto-
sabb kvalitatív tulajdonságok a maximum-elvek, illetve azok következményei. Ezek
közül is leglényegesebb a nemnegativitási tulajdonság, ugyanis sok olyan fizikai
mennyiség van, ami nem vehet fel negatív értéket (pl. hőmérséklet Kelvinben, sűrű-
ség), és ezt a tulajdonságot szeretnénk a folytonos matematikai modellre is átörökí-
teni. Mivel a legtöbb differenciálegyenlet csak numerikusan oldható meg, a numeri-
kus modellektől is elvárjuk a folytonos modell kvalitatív tulajdonságaival ekvivalens
tulajdonságok teljesülését.
A természetben előforduló fizikai jelenségek matematikai modelljei sok esetben
vezetnek elliptikus parciális differenciálegyenletekre. Ilyenek például az energia tí-
pusú mennyiségek minimalizálási feladatai, vagy a folytonos közeg áramlását leíró
egyensúlyi egyenletek. Ezeknek fontos jellemzőjük, hogy időfüggetlenek, így a nume-
rikus megoldási módszereik alapvetően különböznek a parabolikus vagy hiperbolikus
parciális differenciálegyenletekre alkalmazható numerikus módszerektől.
A dolgozatban a lineáris másodrendű elliptikus feladatokkal foglalkozunk,
Dirichlet-peremfeltétel mellett. Tekintsük Ω korlátos tartományon az
Lu = − div (p∇u) + qu
operátort, ahol p ∈ C1(Ω), q ∈ C(Ω), 0 < p(x) és 0 ≤ q(x) teljesül (∀x ∈ Ω). A
Dirichlet-feladat ekkor g ∈ C(∂Ω) esetén: keressük azt u ∈ C2(Ω)⋂C(Ω) függvényt,
1
amelyre: Lu = f Ω-ban,
u = g ∂Ω-n.
Az 1. fejezetben ismertetjük a fentebb definiált Dirichlet-feladat végeselemes
diszkretizációjának elméleti alapjait. Ehhez megfogalmazzuk a H1(Ω) Szoboljev-
téren a gyenge feladatot, és összefoglaljuk a feladat megoldhatóságához kapcsolódó
eredményeket. Ezután rátérünk a gyenge feladat végeselemes közelítésére, és bemu-
tatjuk a Garjorkin-módszerrel egy Wh ⊂ H1(Ω) véges dimenziós altérre redukált
feladatot. A redukált feladatban az eredeti feladat megoldásának azt az uh ∈ Wh
közelítését keressük, amelyre∫Ω
(p∇uh · ∇ vh + quhvh) =∫
Ωfvh, (∀vh ∈ Vh),
uh − gh ∈ Vh,
ahol Vh = Wh ∩ H10 (Ω) és g|∂Ω = g nyom értelemben, és gh a g függvény Wh-beli
közelítése. Végül ismertetjük a végeselem-terekhez kapcsolódó fontosabb alapfogal-
makat.
Ezután a 2. fejezetben rátérünk a maximum-elvekre. Először a folytonos
maximum-elvet mutatom be annak következményeivel, majd kimondom a klasszi-
kus diszkrét maximum-elvet, ami nempozitív f ∈ L2(Ω) forrásfüggvények esetén a
következő tulajdonságokat feltételezi az uh közelítő megoldásra:
maxΩ
uh ≤ max0,max∂Ω
gh,
emellett, ha q ≡ 0, akkor
maxΩ
uh = max∂Ω
gh,
ahol gh a g peremfeltételWh-beli polinomiális interpolációja. Ezután mutatunk a vé-
geselemes rácsra vonatkozó elégséges tulajdonságot a klasszikus diszkrét maximum-
elv teljesülésére lineáris végeselemes approximáció esetén. Az utolsó szakaszban az 1
dimenziós Poisson-egyenletet vizsgáljuk homogén Dirichlet-peremmel, és mutatunk
2
ellenpéldát a klasszikus diszkrét maximum-elv kiterjesztésére a magasabbrendű kö-
zelítések esetére. A példát elemezve megfogalmazzuk az általános diszkrét maximum-
elvet a vizsgált feladatra. Ennek lényege, hogy az f forrásfüggvény nempozitivitása
helyett az fh ∈ Vh nempozitivitását tesszük fel, ahol fh az f függvény Vh végeselemes
altérre vett L2-vetülete. A dolgozatban az általános diszkrét maximum-elvet csak
a speciális alakú nempozitivitási, illetve nemnegativitási elvként fogalmazzuk meg:
∀fh ≤ 0 esetén az uh ∈ Vh ⊂ H10 (Ω) közelítő megoldásra
maxΩ
uh ≤ 0
teljesül. Az általános diszkrét maximum-elv teljesülésére mutatható elégséges feltétel
magasabbrendű végeselemes közelítésekre is.
Végezetül a 3. fejezetben egy konkrét példán keresztül mutatom be a klasszikus
diszkrét maximum-elv teljesülését, és megvizgálom, hogy a forrásfüggvény változta-
tása hogyan befolyásolja az uh megoldás 0-tól való eltérését.
3
1. Elméleti alapokA dolgozatban másodrendű lineáris egyenletekkel foglalkozunk, a feladatokban
Dirichlet-peremfeltételt alkamazva. Ebben a fejezetben az 1.1. részben ismertetjük
az elliptikus feladatok megoldásához kapcsolódó alapfogalmakat, majd az 1.2. sza-
kaszban rátérünk a végeselemes közelítés elméleti alapjaira.
1.1. Elliptikus feladatok megoldhatósága
A végeselem-módszer elméleti alapjainál a gyenge megoldás fogalmára és a
Szoboljev-térbeli becslésekre támaszkodunk, ezért ebben a részben röviden ismer-
tetjük a Szoboljev-tereket, majd rátérünk a gyenge feladat fogalmára, és igazoljuk
ennek megoldhatóságát bizonyos feltételek mellett. Az itt leírtak legtöbbször az [1, 3]
jegyzeteket követik.
Legyen L a következő Ω korlátos tartományon értelmezett lineáris másodrendű
elliptikus operátor:
Lu = − div (p∇u) + qu, (1.1)
ahol p ∈ C1(Ω), q ∈ C(Ω), 0 < p(x) és 0 ≤ q(x) teljesül (∀x ∈ Ω), és u megfelelően
sima függvény. A továbbiakban feltesszük, hogy Ω ⊂ Rd, d ≥ 2 és a ∂Ω perem
szakaszonként sima és Lipschitz-folytonos.
Az L operátorra megfogalmazható a Dirichlet-feladat:
1. Definíció. Legyen g ∈ C(∂Ω). Keressük azt u ∈ C2(Ω)⋂C(Ω) függvényt, amely-
re: Lu = f Ω-ban,
u = g ∂Ω-n.(1.2)
Ha g ≡ 0 az Ω tartományon, akkor a feladatot homogénnek nevezzük, különben
inhomogén feladatról beszélünk.
4
1.1.1. Szoboljev-terek
Először definiáljuk a H1(Ω) és H10 (Ω) Szoboljev-tereket, majd röviden ismertet-
jük a később felhasznált állításokat, bizonyítások nélkül. Az állítások bizonyításai és
a Szoboljev-terek részletesebb bemutatása megtalálhatók a [3] könyvben.
2. Definíció. Azt mondjuk, hogy u ∈ H1(Ω), ha u ∈ L2(Ω), és ha léteznek olyan
g1, . . . , gd ∈ L2(Ω) függvények, hogy∫
Ωu ∂iϕ = −
∫Ωgi ϕ,
minden ϕ ∈ C∞0 (Ω) és i = 1, . . . , d esetén. Ekkor az u általánosított első parciális
deriváltjait és gradiensét definiálhatjuk a következő képletekkel:
∂iu := gi, ∇u := (∂iu, . . . , ∂i).
A H1(Ω) téren a skalárszorzat és az indukált norma:
〈u, v〉H1(Ω) :=∫
Ωuv +∇u · ∇ v, ‖u‖2
H1(Ω) :=∫
Ωu2 + | ∇u|2.
3. Definíció. Jelölje H10 (Ω) a H1 tér megfelelő homogén peremfeltételt teljesítő al-
terét:
H10 :=
u ∈ H1(Ω) : u|∂Ω = 0
,
ahol u|∂Ω nyom-értelemben tekintendő. Ennek skalárszorzata a H1(Ω)-ból öröklődik.
4. Állítás. A H1(Ω) és H10 (Ω) terek a megadott skalárszorzatra nézve Hilbert-terek.
A Szoboljev-terek egyik alapvető becslése a következő egyenlőtlenség:
5. Állítás (Poincaré-Friedrichs-egyenlőtlenség). Van olyan CΩ > 0 konstans, hogy
‖u‖L2(Ω) ≤ CΩ‖∇u‖L2(Ω) (∀u ∈ H10 (Ω)),
azaz ∫Ωu2 ≤ CΩ
∫Ω| ∇u|2.
5
6. Következmény. Az egyenlőtlenségből adódóan H10 (Ω)-n a H1(Ω)-ból öröklöttel
ekvivalens normát definiálhatunk:
‖u‖2H1
0 (Ω) := ‖∇u‖2L2(Ω) =
∫Ω| ∇u|2.
Az ehhez tartozó skaláris szorzat:
〈u, v〉H10 (Ω) :=
∫Ω∇u · ∇ v.
A normák ekvivalenciája miatt H10 (Ω) az új skalárszorzatra nézve is Hilbert-tér.
1.1.2. Gyenge feladat és megoldhatósága
A gyenge megoldás fogalmához tekintsük az (1.2) feladat homogén esetét. Ala-
kítsuk át a feladatot úgy, hogy az Lu = f egyenletet szorozzuk egy v ∈ (H10 (Ω)
függvénnyel, és vegyük az integrálját Ω-n, a kapott egyenletre pedig alkalmazzuk
a Green-formulát. Az így kapott feladat értelmes akkor is, ha H10 (Ω)-n keressük a
megoldást. Ezek alapján megfogalmazható a gyenge homogén Dirichlet-feladat:
7. Definíció. Azt mondjuk, hogy az (1.2) Dirichlet-feladat homogén esetének gyenge
megoldása az u ∈ H10 (Ω) függvény, ha teljesül a következő egyenlőség:∫
Ω(p∇u · ∇ v + quv) =
∫Ωfv (∀v ∈ H1
0 (Ω)). (1.3)
8. Megjegyzés. Az inhomogén eset visszavezethető homogén esetre. Tekintsük
az (1.2) inhomogén Dirichlet-feladatot és legyen g ∈ H1(Ω), melyre g|∂Ω = g nyom
értelemben. Ekkor a homogén segédfeladat gyenge alakja felírható a z := u− g függ-
vényre, ahol u az eredeti inhomogén feladat gyenge megoldása:∫Ω
(p∇ z · ∇ v + qzv) =∫
Ω(fv − p∇ g · ∇ v − qgv) (∀v ∈ H1
0 (Ω)).
Ha ebben a jobb oldali g-os tagokat balra rendezzük, megkapjuk az (1.2) inhomo-
gén Dirichlet-feladat szokásos gyenge alakját: keressük azt az u ∈ H1(Ω) függvényt,
amelyre ∫Ω
(p∇u · ∇ v + quv) =∫
Ωfv (∀v ∈ H1
0 (Ω)),
6
és u|∂Ω = g nyom értelemben, azaz u− g ∈ H10 (Ω). A tesztfüggvények itt is homogén
peremfeltételt teljesítenek, mint a homogén feladat esetében.
A gyenge megoldás létezése és egyértelműsége a Hilbert-térbeli bilineáris for-
mák segítségével a Lax-Milgram elmélettel igazolható. A következő tétel bizonyítása
megtalálható a [10] jegyzet II.7.2. részében.
9. Tétel (Lax-Milgram-lemma). Legyen H valós Hilbert-tér, a : H×H → R korlátos
(folytonos), koercív bilineáris forma, azaz tegyük fel, hogy ∃M > 0 és m > 0, melyre
|a(u, v)| ≤ M‖u‖‖v‖ és a(u, u) ≥ m‖u‖2 (∀u, v ∈ H). Ekkor bármely l : H → R
korlátos lineáris funkcionálhoz létezik egyetlen olyan u ∈ H, melyre
a(u, v) = l(v) (∀v ∈ H). (1.4)
Az (1.3) gyenge alakú feladat az (1.4) egyenlőség speciális esete:
a(u, v) :=∫
Ω(p∇u · ∇ v + quv), l(v) :=
∫Ωfv, u, v ∈ H1
0 (Ω). (1.5)
Ha p és q függvények korlátosak, akkor az a(u, v) bilineáris forma koercivitása és
korlátossága a p és q függvények tulajdonságaiból adódnak.
10. Állítás. Legyen p ∈ L∞(Ω), q ∈ L∞(Ω) és f ∈ L2(Ω). Ekkor az (1.3) gyenge
feladatnak létezik egyértelmű megoldása.
Bizonyítás. Az (1.5)-ben definiált a(u, v) formára teljesülnek a 9 Lax-Milgram-
lemma feltételei:
• H10 (Ω) valós Hilbert-tér.
• A bilinearitás az integrálás tulajdonságaiból következik.
• A korlátosság p és q korlátosságából, az 5. Poincaré-Friedrichs-
egynlőtlenségből, valamint a Cauchy–Bunyakovszkij–Schwarz-
7
egyenlőtlenségből adódik:
|a(u, v)| =∣∣∣∣∫
Ω(p∇u · ∇ v + quv)
∣∣∣∣ ≤ ∣∣∣∣∫Ωp∇u · ∇ v
∣∣∣∣+ ∣∣∣∣∫Ωquv
∣∣∣∣ ≤≤ ‖p‖L∞(Ω)‖∇u‖L2(Ω)‖∇ v‖L2(Ω) + ‖q‖L∞(Ω) ‖u‖L2(Ω)‖v‖L2(Ω)︸ ︷︷ ︸
≤C2Ω‖∇u‖L2(Ω)‖∇ v‖L2(Ω)
≤
≤ (‖p‖L∞(Ω) + ‖q‖L∞(Ω)C2Ω)︸ ︷︷ ︸
M
‖∇u‖H10 (Ω)‖∇ v‖H1
0 (Ω),
ahol CΩ Poincaré-Friedrichs konstans.
• A koercivitás p pozitivitása és q nemnegativitása miatt teljesül. Mivel p > 0,
és Ω korlátos, ezért ∃m > 0, amelyre p ≥ m. Ekkor:
a(u, u) =∫
Ω(p| ∇u|2 + qu2) ≥ m
∫Ω| ∇u|2 = m · ‖u‖2
H10 (Ω).
Továbbá az f ∈ L2(Ω) feltételből következik, hogy l korlátos lineáris funkcionál.
11. Megjegyzés. A 9. tétel alkalmazható akkor is, ha a H10 (Ω) Hilbert-tér helyett
annak alterét tekintjük. Ezért ha az (1.3) gyenge feladatot megszorítjuk H10 (Ω) egy
alterére, akkor is létezik egyértelmű megoldás, hiszen a tétel kritériumai igazak min-
den u, v ∈ H10 (Ω) függvényre, így az altérbeli u és v függvényekre is.
12. Megjegyzés. Az (1.5)-ben definiált a(u, v) bilineáris forma szimmetrikus is,
szintén az integrálás tulajdonságai miatt. Ez nem feltétele a Lax-Milgram-lemma
teljesülésének, ezért a gyenge feladat nemszimmetrikus esetben is megoldható lenne.
1.2. A végeselem-módszer elméleti alapjai
A végeselem-módszer elméleti alapja a Galjorkin módszer. Ennek alapelve az,
hogy az (1.3) gyenge feladatot nem az egész H10 (Ω) téren próbáljuk megoldani,
hanem ennek egy véges dimenziós alterén. Ezt a közelítő megoldást az altér egy
bázisának segítségével írjuk fel. Ha az alteret és annak bázisát úgy választjuk, hogy
8
a báziselemek kis tartójú függvények legyenek, akkor a módszer megvalósítása lé-
nyegesen egyszerűbb lesz. További egyszerűsítés végett az alteret és annak bázisát
legtöbbször úgy célszerű választani, hogy a bázisfüggvények szakaszonként polino-
miálisak legyenek. Ekkor beszélhetünk végeselem-módszerről.
1.2.1. A Galjorkin-módszer
Legyen Vh a H10 (Ω) Hilbert-tér egy n dimenziós altere. Az alsó indexben szereplő
h > 0 paraméter a végeselem-módszernél a felosztás finomságát jellemzi majd. Ha
az (1.3) gyenge feladat megoldását a uh ∈ Vh függvények között keressük Vh-beli
tesztfüggvények mellett, akkor a vetületi egyenlet:
a(uh, vh) = l(vh) (∀v ∈ Vh). (1.6)
Az egyenletre a 11. megjegyzés szerint alkalmazható a Lax-Milgram-lemma, tehát
van egyértelmű uh ∈ Vh megoldása.
Az uh elemet a Vh tér egy meghatározott ϕ1, . . . , ϕn báziselemeinek lineáris
kombinációjaként keressük:
uh =n∑
j=1cjϕj. (1.7)
Az (1.6) vetületi egyenletben válasszuk tesztfüggvényeknek a ϕi (i = 1, . . . , n) bázis-
függvényeket. Megmutatjuk, hogy így egyértelműen meghatározhatjuk a cj együtt-
hatókat. Az egyenlet tehát:
a(uh, ϕi) = l(ϕi) (i = 1, . . . , n).
Az a(uh, ϕi) bilineáris formában uh helyére (1.7) kifejezést helyettesítve a bilinearitás
miatt kiemelhetjük a szummát és a cj együtthatókat:n∑
j=1a(ϕj, ϕi)cj = l(ϕi) (i = 1, . . . , n).
Ez egy n× n méretű lineáris egyenletrendszer. Vezessük be az
(Ah)ij := a(ϕj, ϕi) (i, j = 1, . . . , n),
bh := (l(ϕ1), . . . , l(ϕn))T ,
ch := (c1, . . . , cn)T
(1.8)
9
jelöléseket. Ekkor az egyenletrendszer mátrixos alakban:
Ahch = bh. (1.9)
13. Állítás. Az (1.9) lineáris egyenletrendszerben az Ah mátrix szimmetrikus és
pozitív definit.
Bizonyítás. A szimmetria az a(., .) bilineáris forma szimmetriájából (12 megjegyzés)
közvetlenül következik.
Legyenek uh és vh tetszőleges Vh -beli elemek. Írjuk fel ezeket a ϕ1, . . . , ϕn
báziselemek lieáris kombinációjaként:
uh =n∑
j=1cjϕj, vh =
n∑j=1
djϕj,
és jelölje c,d ∈ Rn rendre a cj és dj együtthatók vektorait. Ekkor
a(uh, vh) = a
n∑j=1
cjϕj,n∑
j=1djϕj
=n∑
i,j=1a(ϕj, ϕi)cjdi = Ahc · d.
Ebböl uh = vh esetben az a(., .) bilineáris forma koercivitása miatt:
Ahc · c = a(uh, uh) > 0,
tehát Ah pozitív definit.
14. Következmény. Az (1.9) lineáris egyenletrendszernek egyértelműen létezik
ch ∈ Rn megoldása.
Tehát az (1.2) feladat homogén változatának közelítő megoldása Galjorkin-
módszerrel az így kapott (1.9) egyenletrendszer megoldása. Az Ah mátrix szoká-
sos elnevezése merevségi mátrix (angolul ’stiffness matrix’), a jobb oldalon álló bh
vektoré pedig tehervektor (angolul ’load vector’). A Galjorkin-módszer alkalmaz-
ható lenne akkor is, ha az a bilineáris forma, és így merevségi mátrix nem lenne
szimmetrikus.
10
Az egyenletrendszer merevségi mátrixának és tehervektorának elemei tehát a
következő képletekkel számíthatók:
(Ah)ij = a(ϕj, ϕi) =∫
Ω(p∇ϕj · ∇ϕi + qϕjϕi), (i, j = 1, . . . , n),
(bh)i = l(ϕi) =∫
Ωfϕi, (i = 1, . . . , n).
Ha a Vh altér ϕ1, . . . , ϕn bázisát úgy választjuk meg, hogy a bázisfüggvények kis
tartójúak legyenek, akkor a ϕj, ϕi függvények tartói között kevés az átfedés, így
az a(ϕj, ϕi) elemek között sok nulla lesz. A bázisfüggvények sorrendjének alkalmas
megválasztásával az Ah mátrix sokszor sávmátrix lesz, ezért az (1.9) egyenletrend-
szer megoldása lényegesen egyszerűbbé válik. Ha ezen felül a bázisfüggvények még
szakaszonként polinomiálisak is, akkor az a(ϕj, ϕi) és l(ϕi) értékek kiszámítása lesz
könnyebb.
Az inhomogén Dirichlet-feladat esetén a Vh altér bázisát kell kibővítenünk. A 8.
megjegyzésben láttuk az inhomogén feladat gyenge alakját: keressük azt az u ∈
H1(Ω) függvényt, amelyre∫Ω
(p∇u · ∇ v + quv) =∫
Ωfv (∀v ∈ H1
0 (Ω)),
és u-ra teljesül továbbá, hogy
u|∂Ω = g nyom értelemben ⇐⇒ u− g ∈ H10 (Ω).
A v tesztfüggvények itt is homogén peremfeltételűek.
A Galjorkin-módszerben az u függvényt a Wh ⊂ H1(Ω) altéren közelítjük. A
tesztfüggvények tere legyen Vh := v ∈ Wh : v ∈ H10 (Ω) altér. A 8. megjegyzésben
bevezetett g függvény Wh-beli közelítését jelölje gh, a z = u − g függvény Vh-beli
vetületét pedig jelölje zh. A korábban bevezetett (1.5) formákkal a Galjorkin-feladat:
keressük azt az uh ∈ Wh függvényt a gh ∈ Wh vetületi peremfeltétel mellett, amelyre
teljesül az inhomogén vetületi egyenlet:
a(uh, vh) = l(vh) (∀v ∈ Vh),
uh − gh ∈ Vh
(1.10)
11
A Wh altérhez olyan bázist kell választanunk, amely homogén és inhomogén
peremfeltételű tagokat is tartalmaz. A korábban bevezetett ϕ1, . . . , ϕn jelölést
megtartjuk a Vh-beli báziselemekre, és ehhez hozzávesszük a ϕn+1, . . . , ϕn+m in-
homogén peremfeltételű,Wh-beli báziselemeket a perem közelítésére. Így az új bázis:
ϕ1, . . . , ϕn, ϕn+1, . . . , ϕn+m,
és a közelítő megoldást a következő alakban keressük:
uh =n∑
j=1cjϕj︸ ︷︷ ︸zh
+n+m∑
j=n+1cjϕj︸ ︷︷ ︸
gh
.
Általában a ϕn+1, . . . , ϕn+m inhomogén peremfeltételű báziselemeket úgy
válsztjuk, hogy tartójuk a perempontok egy kis környezete legyen, így a szumma
második része a g peremfeltétel közelítésének tekinthető a peremen. Ekkor nincs
szükség gh kiszámítására, a cn+1, . . . , cn+m együtthatók ismertnek tekinthetők, ezért
ezekre bevezetjük rendre a g1, . . . , gm jelöléseket.
A mátrixos alak felírásához legyen
(Ah)i,j := a(ϕn+j, ϕi) (i = 1, . . . , n, j = 1, . . . ,m),
gh := (cn+1, . . . , cn+m)T = (g1, . . . , gm)T ,(1.11)
és legyen Ah, ch és bh ugyanaz, mint az (1.8) pontban, homogén esetben. Ekkor az
inhomogén feladatra az n× n méretű lineáris egyenletrendszer mátrixos alakja:
Ahch + Ahgh = bh, (1.12)
ahol az ismeretlen ch ∈ Rn vektort keressük továbbra is. Az Ah mátrixra továbbra
is érvényes a 13. állítás, ezért létezik egyértelmű megoldás. Az egyenletrendszert
átrendezhetjük egy (n+m)× (n+m) méretű bővített egyenletrendszerré. Vezessük
be a következő jelöléseket:
Ah :=
Ah Ah
0 I
, ch :=
ch
gh
, bh :=
bh
gh
, (1.13)
ahol 0 az m × n méretű nullmátrix, I pedig az m × m méretű egységmátrix. A
kibővített egyenletrendszer:
Ahch = bh. (1.14)
12
1.2.2. Végeselem-terek
Láttuk, hogy a Galjorkin-módszer tényleges megvalósítása függ attól, hogy
milyen Vh, vagy inhomogén esetben Wh alteret, és milyen bázist választunk. A
végeselem-módszerben ezek a bázisfüggvények általában „szakaszonként” polino-
mok, kis tartóval, a résztartományok d dimenziós poliéderek, és a közelítő megoldást
folytonosnak konstruáljuk az egész tartományon.
Feltesszük, hogy Ω egy Rd-beli poliéder, ekkor a tartomány felbontását a követ-
kezőképpen értelmezzük:
15. Definíció. Az Ω tartomány triangulációjának nevezzük a
Th := T1, . . . , TM
halmazt, ahol
(i) ∀Tk ∈ Th az Ω zárt részhalmaza, a belseje, Tk nemüres, és a peremen Lipschitz-
folytonos. A dolgozatban feltesszük, hogy ezek poliéderek.
(ii)M⋃
k=1Tk = Ω,
(iii) Ti⋂Tj = ∅, ha i 6= j,
(iv) a felbontás konform, azaz Ti⋂Tj (i 6= j) üres, vagy a közös, alacsonyabb, de
azonos dimenziós lapja a Ti, Tj elemeknek.
16. Definíció. A Th trianguláció finomsága a fellépő legnagyobb átmérő:
h := max1≤k≤M
diam(Tk).
AWh (vagy homogén esetben Vh) altér legyen olyan, hogy elemei „szakaszonként”
polinomok és folytonosak az egész tartományon:
Wh ⊂u ∈ C(Ω) : u|Tk
∈ P lk ,∀Tk ∈ Th
,
ahol P lk jelöli a legfeljebb lk-adfokú polinomok Tk-ra való megszorításainak halma-
zát.
Általában Wh-ra teljesülnek a következő tulajdonságok is:
13
• A Tk halmazok azonos típusúak pl. csak nem elfajuló d-szimplexek.
• lk ≡ l, vagyis minden résztartományok azonos fokú polinomokat tekintünk.
• Előfordulhat, hogy Wh-ban u|Tknem az összes legfeljebb lk-adfokú polinomot
veheti fel.
• Az l-edfokú polinomokat Tk-ban kijelölt csomóponti értékek határozzák meg.
Ezek függvényértékek vagy deriváltértékek lehetnek. Amikor a csomóponti ér-
tékek csak függvényértékek, akkor a bázis olyan polinomokból áll, melyek egy
adott csomópontban 1-et, a többiben 0-t vesznek fel, azaz, ha x1, . . . , xr jelöli
a csomópontokat, akkor
ϕ(xi) = δij,
ahol δij a Kronecker-szimbólum.
17. Példa. 1D-ben a legegyszerűbbWh altér a folytonos, szakaszonként lineáris függ-
vények tere, melynek bázisát a ϕi(xj) = δi,j kalapfüggévnyek alkotják (lásd 1.1 ábra).
18. Példa. 2D-ben a leggyakrabban használt trianguláció Tk elemei nem elfajuló há-
romszögek, u|Tkfolytonos, szakaszonként lineáris függvény, és a csomóponti értékek
a háromszög csúcsaiban vett függvényértékek. A Wh altér:
Wh =u ∈ C(Ω) : u|Tk
∈ P 1,∀Tk ∈ Th
.
Ezeknek a végeselemeknek szokásos elnevezése a T3 vagy Courant-elem. A Wh al-
tér bázisát (a síkbeli csomópontokat most (xi, yj)-vel jelölve) a ϕij(xk, yl) = δik · δjl
feltétel alapján meghatározott sátorfüggvények alkotják. A megoldás alakját és a bá-
ziselemeket a 1.2 ábra szemlélteti.
19. Példa. A fentiek általánosítása az Ω ∈ Rd poliéder tartományon a Tdd+1 elem,
ahol
Tk : nem elfajuló d-szimplex, u|Tk: lineáris függvény, (∀Tk ∈ Th).
14
1.1. ábra. A 17. példa Wh altere a [0, 1] intervallumon: uh szakaszonként lineáris
(felső ábra), a báziselemek a φi(xj) = δi,j kalapfüggvények (alsó ábra)
A csomópontok a szimplexek csúcsai, ezekből d + 1 darab van. A csúcsokban felvett
értékek egyértelműen meghatározzák u|Tk-t, ∀Tk ∈ Th. Emellett u a d-szimplex d −
1 dimenziós lapjai mentén is értelmes, folytonos függvény, mivel két szomszédos
d-szimplex d − 1 dimenziós közös lapján a csúcsbeli függvényértékek egyértelműen
meghatározzák a közös lapon vett lineáris függvényt. Az altér tehát
Wh =u ∈ C(Ω) : u|Tk
∈ P 1,∀Tk ∈ Th
.
További példák találhatók végeselemekre az [1, 9] jegyzetekben.
15
1.2. ábra. A 17. példaWh altere a [0, 1]2 intervallumon: u|Tkfolytonos, szakaszonként
lineáris függvény (felső ábra), báziselemek a φij(xk, yl) = δik · δjl sátorfüggvények
(alsó ábra)
16
2. Folytonos és diszkrét maximum-elvek
elliptikus feladatraEbben a fejezetben először a folytonos maximum-elvet mutatjuk be az 1. fejezet-
ben definiált L operátorra, és annak következményeit az operátor segítségével megfo-
galmazható Dirichlet-peremértékfeladatra. Ezután a 2.2. részben rátérünk a feladat
végeselemes approximációjára, és megfogalmazzuk a klasszikus diszkrét maximum-
elvet, ami a szakaszonként lineáris közelítésre igazolható. Végül 2.3. pontban ismer-
tetjük az általánosított diszkrét maximum-elv ötletét magasabbrendű közelítésekre.
2.1. Folytonos maximum-elv
Az itt bemutatott maximum-elvnél erősebb állítás is megfogalmazható az L ope-
rátorra, azonban a végeselemes-módszerre ez a változat terjeszthető ki. A folytonos
maximu-elvekkel bővebben foglalkozik pl. [7].
Az (1.1) L operátorra teljesül a következő tétel:
20. Tétel (Maximum-elv az L operátorra). Legyen u ∈ C2(Ω) ∩ C(Ω), melyre
Lu = f az Ω tartományon. Ha f ≤ 0, akkor
maxΩ
u ≤ max0,max∂Ω
u, (2.1)
és ha emellett q ≡ 0, akkor
maxΩ
u = max∂Ω
u. (2.2)
Bizonyítás. [2] Legyen v ∈ C1(Ω) és v|∂Ω = 0. Az Lu kifejezést szorozzuk v-vel, és ve-
gyük az integrálját Ω-n. A Green-formula alkalmazásával az L operátor divergencia-
formáját kapjuk: ∫Ω
(p∇u · ∇ v + quv) =∫
Ωfv (2.3)
17
LegyenM := max0,max∂Ω u, és definiáljuk v-t a következőképp: v := maxu−
M, 0. Ekkor v definíció szerint szakaszonként C2-beli, v ≥ 0 és v|∂Ω = 0. Mivel
f ≤ 0, a (2.3) integrál jobb oldala:∫
Ω fv ≤ 0. Jelölje Ω+ := x ∈ Ω : v(x) > 0
halmazt. Ekkor az integrál Ω \ Ω+-on 0, Ω+-on pedig u = v +M adódik, így
0 ≥∫
Ωfv =
∫∂Ω
(p∇u · ∇ v + quv) =∫
Ω+
(p| ∇ v|2 + q(v +M)v
)≥ 0.
Ebből v konstans, és mivel v|∂Ω = 0, így v ≡ 0, amiből u ≤M adódik Ω-n.
Most tegyük fel, hogy q = 0. Mivel az integrálban ekkor a q-t tartalmazó tagok
kiesnek, nem kell feltennünk, hogy M ≥ 0. Legyen M := max∂Ω u, v pedig ugyanaz,
mint az előző esetben. Ekkor a korábbiakhoz hasonlóan:
0 ≥∫
Ωfv =
∫∂Ωp∇u · ∇ v =
∫Ω+p| ∇ v|2 ≥ 0,
amiből v ≡ 0 és u ≤M , így maxΩ u = max∂Ω u.
21. Következmény (Maximum-elv Dirichlet-feladatra). Legyen u ∈ C2(Ω)⋂C(Ω)
az (1.2) feladat megoldása. Ha f ≤ 0 Ω-n, akkor
maxΩ
u ≤ max0,max∂Ω
g,
és ha q ≡ 0, akkor
maxΩ
u = max∂Ω
g.
Ebből azonnal következik a minimum-elv, ennek igazolásához elég u-t −u-val
helyettesítenünk (1.2)-ben.
22. Következmény (Minimum-elv Dirichlet-feladatra). Legyen u ∈ C2(Ω)⋂C(Ω)
az (1.2) feladat megoldása. Ha f ≥ 0 Ω-n, akkor
minΩu ≥ min0,min
∂Ωg,
és ha emellett q ≡ 0, akkor
minΩu = min
∂Ωg.
18
A maximum- és minimum-elvekből közvetlenül adódnak a nempozitivitási és
nemnegativitási tulajdonságok.
23. Következmény (Nempozitivitási és nemnegativitási tulajdonság). Legyen u ∈
C2(Ω)⋂C(Ω) az (1.2) feladat megoldása. Ha f ≤ 0 és g ≤ 0, akkor u ≤ 0, illetve
ha f ≥ 0 és g ≥ 0, akkor u ≥ 0 is teljesül.
24. Megjegyzés. A 20. tétel és annak következményei kiterjeszthetők az u ∈ H1(Ω)
esetre, ha u lényegében korlátos (azaz van olyan szám, ami majdnem mindenütt al-
só/felső korlátja u-nak). Ekkor max u helyett a lényeges szuprémumot illetve infin-
umot kell vennünk a 20. tételben, valamint a 21. és 22. következményekben is Ω-n
és ∂Ω-n, továbbá az (1.2) feladatnál gyenge megoldást keresünk.
2.2. Klasszikus diszkrét maximum-elv szakaszon-
ként lineáris elemekre
Ebben a szakaszban bemutatjuk a klasszikus diszkrét maximum-elvet. A tétel a
szakaszonként lineáris függvényekkel való végeselemes approximációnál a tartomány
felosztásának szögeire tett feltétel mellett teljesül. Azonban a 2.3. fejezetben látni
fogjuk, hogy a magasabb fokú végeselemes közelítések (hp-FEM) esetén már egy
dimenziós tartományon is van ellenpélda.
25. Definíció. Az (1.10) inhomogén Dirichlet-feladat kielégíti a klasszikus diszkrét
maximum-elvet, ha ∀f ≤ 0 esetén az uh megoldásra teljesül:
maxΩ
uh ≤ max0,max∂Ω
gh, (2.4)
emellett, ha q ≡ 0, akkor
maxΩ
uh = max∂Ω
gh. (2.5)
A fenti kifejezésekben gh a g peremfeltétel Wh-beli polinomiális interpolációja.
A következőkben elégséges feltételt mutatunk a klasszikus diszkrét maximum-elv
teljesülésére a szakaszonként lineáris végeselemek alkalmazás esetén.
19
2.2.1. Mátrix maximum-elv
Először fogalmazzuk meg az inhomogén Dirichlet-feladathoz tartozó lineáris
egyenletrendszer szintjén a maximum-elvet. A következő szakaszban látni fogjuk,
hogy lineáris végeselemek alkalmazásakor a mátrixokra megfogalmazott maximum-
elv teljesülése elégséges feltételt szolgáltat a 25. klasszikus maximum-elv teljesülé-
sére.
26. Definíció. Az n dimenziós négyzetes M = (mij)ni,j=1 mátrixot irreducibilisen
diagonálisan dominánsnak nevezzük, ha kielégíti a következő feltételeket:
(a) M irreducibilis, azaz ∀i 6= j esetén létezik M elemeinek egy nemnulla
mi,i1 ,mi1,i2 , . . . ,mis,j sorozata, ahol i, i1, . . . , is, j különböző indexek,
(b) M diagonálisan domináns, azaz
|mi,i| ≥n∑
j=1j 6=i
|mi,j|, i = 1, . . . , n,
(c) M -nek legalább az egyik sora szigorúan diagonálisan domináns, azaz ∃i0 ∈
1, . . . , n, melyre
|mi0,i0| >n∑
j=1j 6=i0
|mi0,j|
27. Tétel. Ha az n dimenziós négyzetes M = (mij)ni,j=1 mátrix irreducibilisen dia-
gonálisan domináns, mij ≤ 0, ha i 6= j és mii > 0 minden i = 1,≤, n esetén, akkor
M−1 > 0.
A tétel bizonyítása megtalálható [11] 85. oldalán.
28. Tétel (Mátrix maximum-elv). Tekintsük az (1.13) pontban definiált Ah =
(aij)n+mi,j=1 ∈ R(n+m)×(n+m) mátrixot és ch = (c1, . . . , cn+m)T ∈ Rn+m vektort. Tegyük
fel, hogy Ah-ra teljesülnek a következő feltételek:
(i) aii > 0, i = 1, . . . , n,
20
(ii) aij ≤ 0, i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , n+m, i 6= j,
(iii)n+m∑j=1
aij ≥ 0, i = 1, . . . , n,
(iv) Ah ireducibilisan diagonálisan domináns.
Ekkor ha a ch olyan, hogy (Ahch)i ≤ 0, minden i = 1, . . . , n, akkor
max1≤i≤n+m
ci ≤ max
0, maxn+1≤i≤n+m
ci
, (2.6)
és ha ezen felüln+m∑j=1
aij = 0, i = 1, . . . , n (2.7)
is teljesül, akkor
max1≤i≤n+m
ci = maxn+1≤i≤n+m
ci. (2.8)
Bizonyítás. [2] Tekintsük a ch vektor kövektező felbontását: ch = (ch, gh)T , ahol
ch = (c1, . . . , cn)T és gh = (cn+1, . . . , cn+m)T . Tegyük fel, hogy Ahch + Ahgh ≤ 0 ∈
Rn. Ekkor azt kapjuk, hogy ch ≤ −A−1h Ahgh, ahol az −A−1
h Ah mátrix nemnegatív,
hiszen a tétel feltevései és a 27. tétel miatt A−1h > 0 és Ah ≤ 0.
Legyen 1 = (1, . . . , 1)T ∈ Rn és 1 = (1, . . . , 1)T ∈ Rm. Ekkor (iii) miatt Ah1 +
Ah1 ≥ 0 ∈ Rn, azaz 1 ≥ −A−1h Ah1.
Az előzőekből adódóan ch vektor felülről becsülhető:
ch ≤ −A−1h Ahgh ≤ max
0, max
n+1≤i≤n+mci
(−A−1
h Ah1) ≤
≤ max
0, maxn+1≤i≤n+m
ci
1,
amiből (2.6) következik.
Ha a (2.7) feltétel teljesül, azt felhasználva Ah1 + Ah1 = 0 ∈ Rn, tehát 1 =
−A−1h Ah1 adódik. A ch vektor felső becslésénél az egyenlőség miatt elhagyhatjuk a
nemnegativitási feltételt:
ch ≤ −A−1h Ahgh ≤
(max
n+1≤i≤n+mci
)(−A−1
h Ah1) =(
maxn+1≤i≤n+m
ci
)1,
és ebből következik (2.8).
21
29. Megjegyzés. Abban az esetben, ha q ≡ 0, akkor a(1, ϕi) = 0 teljesül minden
i = 1, . . . , n esetén. Ha ezen felül a bázisfüggvényekre ∑n+mj=1 ϕj ≡ 1 teljesül Ω-n,
akkor minden i = 1, . . . , n esetén teljesül a 28. tételbeli (2.7) feltétel, ugyanis:n+m∑j=1
a(ϕj, ϕi) = a
n+m∑j=1
ϕj
, ϕi
= a(1, ϕi) = 0.
30. Megjegyzés. A 28. tételben a (2.7) állítás a g ≤ 0 esetben magába foglalja a
nempozitivitási tulajdonságot, ugyanis ekkor ci ≤ 0, i = n+ 1, . . . , n+m, amiből az
állítás miatt:
max1≤i≤n+m
ci ≤ 0.
31. Megjegyzés. A 28. tételből adódóan homogén Dirichlet-feladat esetén szintén
teljesül a nempozitivitási feltétel. Ebben az esetben ci = 0, i = n+ 1, . . . , n+m, ezért
az (1.12)-beli Ahch+Ahgh = bh lineáris egyenletrendszer az (1.9)-ben adott Ahch =
bh alakra redukálódik, ahol Ah (iv) miatt irreducibilisen diagonálisan domináns. Az
(Ahch)i ≤ 0, i = 1, . . . , n feltételből ekkor
max1≤i≤n
ci ≤ 0
adódik, ami analóg a tételbeli (2.7) állítással.
32. Megjegyzés. A 28. tétel (2.6) és (2.8) állításai analóg diszkrét megfogalmazásai
a 25. klasszikus maximum-elv (2.4) és (2.5) állításainak.
2.2.2. A lineáris végeslemekre tett elégséges kikötések
Ebben a részben először megmutatjuk, hogy a 19. példában bemutatott Tdd+1
végeselemek alkalmazásakor a mátrix maximum-elv teljesülése elégséges feltétel
a klasszikus maximum-elvre, ezután pedig elégséges feltételt mutatunk a mátrix
maximum-elv, és így a klasszikus maximum-elv teljesülésére. Az itt bemutatott ered-
ményekkel pl. [4] foglalkozik.
Lineáris végeselemes közelítés esén ∀Tk ∈ Th elemre uh|Tklineáris, ezért uh|Tk
csak a Tk elem csúcsaiban veheti fel maximumát. Így elegendő a 25. klasszikus
maximum-elvet az uh függvény rácscsomópontokban felvett értékeire igazolnunk.
22
Tekintsük az Ω ∈ Rd poliéder tartomány egy Th = T1, . . . , TM triangulációját,
melynek elemei nem elfajuló d-szimplexek. Legyenek Bi, i = 1, . . . , n+m a csúcsok
Th-ban, ahol Bi az i = 1, . . . , n indexekre a belső csúcsokat, i = n + 1, . . . , n + m
indexekre pedig a ∂Ω-n lévő csúcsokat jelöli. Legyen Wh a szakaszonként lineáris
függvények tere, ahol bázist alkotnak a ϕi(Bj) = δ(i, j), i, j = 1, . . . , n+m feltétellel
definiált függvények. Ekkor az uh ∈ Wh közelítésnek a peremen felvett értékei: cn+j =
gj = g(Bn+j), ha j = 1, . . . ,m. Keressük az uh megoldásnak a belső csúcsokhoz
tartozó c1, . . . , cn értékeit.
Az f ≤ 0 feltételből lineáris esetben következik (Ahch)i ≤ 0, minden i = 1, . . . , n
esetén, mert ϕi ≥ 0, (i = 1, . . . , n), és így l(ϕi) ≤ 0 (i = 1, . . . , n) teljesül. A 2.3 feje-
zetben látni fogjuk, hogy magasabbrendű végeselemes közelítések esetén f nempozi-
tivitásából nem következik a jobboldal nempozitivitása, ezért ezekben az esetekben
más feltételhez kell kötnünk a maximum-elv teljesülését.
Lineáris esetben a bázisra a ∑n+mj=1 ϕj ≡ 1 teljesül, így a 29. megjegyzés miatt
q ≡ 0 feltételből következik a 28. tételbeli (2.7) feltétel, azaz ekkor a merevségi
mátrix minden sorösszege 0.
A fentiek alapján lineáris végeselemes approximációnál, ha az Ah merevségi
mátrixra a 28. tételben adott (i)-(iv) feltételek teljesülnek, akkor a 25. klasszikus
maximum-elv is teljesül az inhomogén Dirichlet-feladatra. Ezen feltételek biztosítá-
sára szintén van elégséges feltétel. Ekkor a trianguláció megfelelő finomsága mellett
a rácsra tett szögfeltétellel biztosíthatók az Ah merevségi mátrix megfelelő tulaj-
donságai.
Tekintsünk egy Tk ∈ Th d-szimplexet. Jelölje Br, r = 1, . . . , d + 1 a csúcsait, és
legyenek ϕr, r = 1, . . . , d+1 a megfelelő bázisfüggvények megszorításai Tk-ra. Ekkor
tehát ϕr(Bs) = δ(r, s), minden r, s = 1, . . . , d + 1 esetén. A bevezetett jelölések
segítségével definiálhatjuk a Tk elem egy jellemző paraméterét:
σ(Tk) := max1≤r,s≤d+1
r 6=s
cos(∇ ϕr,∇ ϕs).
23
Ekkor a Th trianguláció jellemezhető a következő paraméterekkel:
h = maxTk∈Th
diam(Tk),
σ(h) := maxTk∈Th
σ(Tk),
ahol h megegyezik a korábban 16. pontban definiált finomsággal.
33. Állítás. Tekintsük a Th triangulációk egy sorozatát, ahol h → 0. Ekkor a 25.
klasszikus maximum-elv teljesül, ha
∃σ0 > 0 úgy, hogy σ(h) ≤ −σ0 < 0 (∀h), (2.9)
h elegendően kicsi (2.10)
Bizonyítás. Az előzőek alapján a 25. klasszikus maximum-elv teljesüléséhez elég
belátni, hogy az Ah = (aij)n+mi,j=1 merevségi mátrixra igazak a 28. tételben adott
(i)-(iv) feltételek.
(i) Az a(., .) bilineáris forma koercivitása miatt aii = a(ϕi, ϕi) > 0,∀i = 1, . . . , n.
(ii) Tegyük fel, hogy (2.9) teljesül, és i 6= j. Definiáljuk Ωij := suppϕi ∪ suppϕj
tartományt. Ekkor az a(ϕi, ϕi) bilineáris forma az Ω\Ωij tartományon 0, ezért:
aij = a(ϕj, ϕi) =∫
Ωij
(p∇ϕj · ∇ϕi + qϕjϕi) =
=∑
Tk∈Ωij
∫Tk
(p∇ϕj · ∇ϕi + qϕjϕi) .
Rögzítsünk egy Tk ∈ Ωij elemet. A p alulról korlátos, jelölje az alsó korlátját
m. Ekkor ∫Tk
(p∇ϕj · ∇ϕi + qϕjϕi) ≤
≤mσ(h)∫
Tk
| ∇ϕj|︸ ︷︷ ︸≥ 1
h
| ∇ϕi|︸ ︷︷ ︸≥ 1
h
+‖q‖L∞(Ω)
∫Tk
ϕj︸︷︷︸≤1
ϕi︸︷︷︸≤1
≤
≤(−σ0
h2m+ ‖q‖L∞(Ω)
)λ(Tk) ≤ 0,
ha h elég kicsi, azaz (2.10). A λ(Tk) a Tk d-szimplex Lebesgue-mértékét jelöli.
Vegyük észre, hogy ha h elég kicsi, akkor < reláció is teljesül, azaz aij < 0, ha
i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , n+m, i 6= j.
24
(iii) A bázisfüggvényekre ∑n+mj=1 ϕj ≡ 1 teljesül, emiatt:
n+m∑j=1
aij =n+m∑j=1
a(ϕj, ϕi) =n+m∑j=1
∫Ω
(p∇ϕj · ∇ϕi + qϕjϕi)
=∫
Ωp∇ϕi · ∇
n+m∑j=1
ϕj
︸ ︷︷ ︸
≡1
+∫
Ωqϕi
n+m∑j=1
ϕj
︸ ︷︷ ︸
≡1
=∫
Ωq︸︷︷︸≥0
ϕi︸︷︷︸≥0
≥ 0.
(iv) Ah irreducibilitása abból adódik, hogy tetszőleges Bi, Bj csúcsokhoz, ahol i 6=
j, van különböző csúcsoknak olyan Bi = Bi0 , Bi1 , . . . , Bis = Bj sorozata,
amelynek bármely két egymást követő Bir , Bir+1 , (0 ≤ r ≤ s − 1) elemeihez
tartozó ϕir , ϕir+1 bázisfüggvényekre suppϕir ∩ suppϕir+1 6= ∅ teljesül. A (ii)
pontban beláttuk, hogy megfelelően kicsi h esetén aij < 0, ha i 6= j, ezért van
olyan h, amivel air,ir+1 < 0, (0 ≤ r ≤ s− 1) teljesül. Ekkor tehát igaz a 26-beli
(a) feltétel.
A 26-beli (b) és (c) igazolásához tekintsük (iii) feltételt. Tegyük fel, hogy h
elegendően kicsi, és így aij < 0, ha i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , n + m, i 6= j .
Ekkor tetszőleges 1 ≤ i ≤ n eseténn+m∑j=1
aij = ai,i︸︷︷︸>0
(i)−ből
+n∑
j=1i 6=j
aij︸︷︷︸<0
+n+m∑
j=n+1aij︸︷︷︸<0
= |ai,i| −n∑
j=1i 6=j
|aij| −n+m∑
j=n+1|aij| ≥ 0.
Ezt átalakítva
|ai,i| −n∑
j=1i 6=j
|aij| ≥n+m∑
j=n+1|aij|︸︷︷︸
>0
> 0,
azaz
|ai,i| >n∑
j=1i 6=j
|aij|.
Tehát ekkor a 26-beli (b) és (c) feltétel is teljesül, ha h elegendően kicsi.
34. Megjegyzés. 2D-ben (2.9) pontosan akkor teljesül, ha ∃ε > 0 úgy, hogy ∀h-ra
∀Tk ∈ Th háromszög minden α belső szögére α ≤ π/2− ε teljesül, azaz a végeselemes
rács minden szöge egyenletesen hegyesszög. Abban az esetben, ha q ≡ 0, akkor ε = 0
is megengedett, azaz a rácsban ekkor derékszögek is lehetnek.
25
2.3. Általánosított diszkrét maximum-elv maga-
sabbrendű elemekre
Ebben a szakaszban az 1 dimenziós Poisson-egyenlet végelselemes approximáció-
ját vizsgáljuk. Először egy ellenpéldán keresztül igazoljuk, hogy a klasszikus diszkrét
maximum-elv nem terjeszthető ki a magasabbrendű végeselemes közelítésekre (hp-
FEM). Ennek az az oka, hogy a jobb oldali f függvény nempozitivitásából nem
feltétlenül következik l(.) korlátos lineáris funkcionál nempozitivitása. A probléma
kiküszöbölésésre kimondjuk az általánosított diszkrét maximum-elvet, ami a nempo-
zitivitást az f függvény helyett annak Vh térbeli L2-vetületére feltételezi. Végül meg-
mutatjuk, hogy az általánosított diszkrét maximum-elv bizonyos feltevések mellett
igazolható magasabbrendű közelítésekre is. A szakaszban bemutatott eredmények
[5]-ből származnak.
Tekintsük az Ω = (a, b) ∈ R intervallumon a −u′′ = f Poisson-egyenletet ho-
mogén Dirichlet-peremmel, azaz u(a) = u(b) = 0. Ez a korábban definiált (1.2)
feladatnak a p ≡ 1 és q ≡ 0 esete. A gyenge feladat ekkor: adott f ∈ L2(Ω) mellett
keressük azt az u ∈ H10 (Ω) függvényt, amelyre
∫ b
au′(x)v′(x) dx =
∫ b
af(x)v(x) dx, (∀v ∈ H1
0 (Ω)). (2.11)
Tegyük fel, hogy f ∈ L2(Ω), és osszuk fel Ω-t M darab szakaszra: a = x0 < x1 <
. . . < xM = b. Ekkor a Th trianguláció elemei a Tk = [xk−1, xk] intervallumok. A
Vh ⊂ H10 (Ω) altér legyen most a szakaszonként polinom függvények tere:
Vh =u ∈ C(Ω) : u|Tk
∈ P pk , ∀Tk ∈ Th és u(a) = u(b) = 0.
A végeselemes feladat tehát: keressük azt az uh ∈ Vh függvényt, amire teljesül a
következő: ∫ b
au′h(x)v′h(x) dx =
∫ b
af(x)vh(x) dx, (∀vh ∈ Vh). (2.12)
35. Definíció. A (2.12) diszkrét feladatban jelölje az f ∈ L2(Ω) függvény Vh altérre
26
vett L2-vetületét fh ∈ Vh , ha fh-ra teljesül:∫ b
a(fh(x)− f(x))vh(x) dx = 0 (∀vh ∈ Vh). (2.13)
36. Megjegyzés. A (2.13) egyenletet átalakítva∫ b
afh(x)vh(x) dx =
∫ b
af(x)vh(x) dx = 0 (∀vh ∈ Vh), (2.14)
tehát a diszkrét feladat megoldásánál a tehervektort az f és az fh függvényből szá-
molva ugyanazt kapjuk.
2.3.1. Ellenpélda a klasszikus diszkrét maximum-elv kiter-
jesztésére magasabbrendű közelítésre
Megmutatható, hogy a 25. klasszikus diszkrét maximum-elv már a harmad-
rendű végeselemek esetére sem terjeszthető ki, tehát amikor u|Tk∈ P p, ahol
p = 3 (∀Tk ∈ Th). Ennek bizonyításához tekintsük az Lobatto-polinomokat a [−1, 1]
intervallumon:
lk(x) =∫ x
−1Lk−1(ξ) dξ, 2 ≤ k, (2.15)
ahol Lk−1 a normált k−1 fokú Legendre-poninomot jelöli. Ekkor l2, l3, . . . függvények
±1-ben 0 értéket vesznek fel, és a H10 -beli skaláris szorzásra nézve ortonormáltak:
〈li, lj〉H10 (Ω) =
∫ x
−1l′i(x)l′j(x) dx = δij, 2 ≤ i, j. (2.16)
37. Példa. Az Ω = (−1, 1) intervallumon tekintsük a Th = T1 = [−1, 1] trian-
gulációt. Harmadfokú közelítés esetén a Vh altér bázisát alkotják az l2, l3 függvények,
és a közelítő megoldás felírható uh = y1l2(x) + y2l3(x) alakban. Ekkor (2.16) miatt a
merevségi mátrix a 2× 2 dimenziós egységmátrix, és az ismeretlen y1, y2 együtthatók
felírhatók a következőképp:
yi =∫ 1
−1
2∑j=1
yil′j+1(x)l′i+1(x) dx =
∫ 1
−1f(x)li+1(x) dx, i = 1, 2. (2.17)
Legyen f a következő:
f = 200e−10(x+1). (2.18)
27
Ekkor az együtthatókra azt kapjuk, hogy:
y1 = −√
6(9 + 11e−20)10 , y2 =
√10(73− 133e−20)
100 .
Tehát u-ra a végeselemes közelítés:
uh(x) = 140(1− x2)(54 + 66e−20 − (73− 133e−20)x). (2.19)
A 2.1 bal oldali ábrán látható, hogy uh negatív értékeket is felvesz az Ω-n, tehát a 25.
klasszikus diszkrét maximum-elv ekkor nem teljesül.
Ahhoz, hogy megértsük, miért nem igaz a feladatra a 25., vizsgáljuk meg az fh ve-
tületet. Írjuk fel fh-t az l2, l3 bázisfüggvények segítségével. Ezt (2.13)-be helyettesítve
egy lineáris egyenletrendszert kapunk, amit megoldva:
fh(x) = 380(1− x2)(110e−20 + 90 + (931e−20 − 511)x). (2.20)
Ekkor, mint ahogy a 2.1 jobb oldali ábrán megfigyelhető, fh negatív értékeket is felvesz
az Ω-n. Ez azt jelenti, hogy nem teljesül a (2.12) diszkrét feladatban a jobb oldal
nemnegativitása vagyis nem teljesül a mátrix maximum-elv egyik feltétele.
2.1. ábra. Bal oldalon: a 37. példa harmadfokú közelítése (folytonos vonallal), és a
pontos megoldás (szaggatott vonallal). Jobb oldalon: az f függvény (2.18) (szagga-
tottal), valamint az fh vetületi függvény (folytonos vonallal) [5].
28
2.3.2. Általánosított diszkrét maximum-elv
A 37. példabeli megfontolások alapján kimondható a 25. klasszikus diszkrét
maximum-elv általánosabb megfelelője, ahol f helyett az fh vetületi függvényre
adunk meg feltételt. A dolgozatban az általános diszkrét maximum-elvet csak a spe-
ciális alakú nempozitivitási illetve nemnegativitási elvként fogalmazzuk meg. Ebből
következik az általánosabb eset is.
38. Definíció. Legyen az fh ∈ Vh az f ∈ L2(Ω) függvény L2-vetülete Vh-ra, amelyre
(2.13) teljesül. Azt mondjuk, hogy a (2.12) diszkrét homogén Dirichlet-feladat kielé-
gíti az általánosított diszkrét maximum-elvet, ha ∀fh ≤ 0 esetén uh ∈ Vh megoldásra:
maxΩ
uh ≤ 0. (2.21)
Az általánosított minimum-elv analóg módon megfogalmazható:
39. Definíció. Legyen az fh ∈ Vh az f ∈ L2(Ω) függvény L2-vetülete Vh-ra, amelyre
(2.13) teljesül. Azt mondjuk, hogy a (2.12) diszkrét homogén Dirichlet-feladat kielé-
gíti az általánosított minimum-elvet, ha ∀fh ≥ 0 esetén uh ∈ Vh megoldásra:
minΩuh ≥ 0. (2.22)
40. Megjegyzés. A 25. klasszikus diszkrét maximum-elvből következik a 38. általá-
nosított diszkrét maximum-elv.
A következőkben megmutatjuk, hogy a 39. általánosított minimum-elv teljesül
a (2.12) feladatra, ha van olyan kvadratúra formula, ami teljesít bizonyos feltételeket.
41. Definíció. Legyenek lk(x), k ≥ 2 a (2.15) pontban definiált Lobatto-polinomok.
Ekkor (x, z) ∈ [−1, 1]2 és p ≥ 1 esetén definiálhatjuk a következő függvényeket:
φ1(x, z) := 0, ha p = 1
φp(x, z) :=p−1∑k=1
lk+1(x)lk+1(z), különben.(2.23)
29
Ekkor φp a diszkrét Green-függvény a (2.12) feladatra a Th = T1 = [−1, 1]
trianguláció mellett. Mivel li+1(±1) = 0, minden i ≥ 1 esetén, ezért
φp(x, z) = 0, ∀(x, y) ∈ ∂Ω, (2.24)
ahol ∂Ω továbbra is a peremet jelöli.
42. Definíció. Legyenek K+p ⊂ [−1, 1]2 és K+
p (x) ⊂ [−1, 1] minden q ≥ esetén a
következő halmazok:
K+p := (x, z) ∈ [−1, 1]2 : φp(x, z) ≥ 0,
K+p (x) := z ∈ [−1, 1] : (x, z) ∈ K+
p .
43. Lemma. Minden (x, z) ∈ [−1, 1]2 és p ≥ 1 esetén φp(x, z) = φp(−x,−z) =
φp(z, x) teljesül.
Bizonyítás. A φp(x, z) = φp(z, x) szimmetria φp(x, z) (2.23). definíciójából közvetlen
adódik. A Legendre-polinomokról tudjuk, hogy paritásuk megegyezik a fokszámuk
paritásával, és ez (2.15) miatt lk(x) függvényekre is teljesül. Ekkor
φp(x, z) =p−1∑k=1
lk+1(x)lk+1(z) =p−1∑k=1
lk+1(−x)lk+1(−z) = φp(−x,−z), ∀p ≥ 1.
44. Tétel. Legyen Ω = (a, b) ⊂ R. Tekintsük a (2.12) feladatot a Th = T1, . . . , TM
trianguláció, és p1, . . . , pM fokszámok mellett. Ha ∀p ∈ p1, . . . , pM valamint ∀x ∈
(−1, 1) esetén ∃L2p(x) kvadratúra folrmula úgy, hogy:
(i) L2p(x) pontos a 2p fokú polinomokra [−1, 1]-ben,
(ii) L2p(x)-hoz a súlyok nemnegatívak,
(iii) L2p(x) minden alappontja K+p (x)-beli.
Ekkor a (2.12) feladat kielégíti a 39. általánosított minimum-elvet, és így a 38. ál-
talánosított maximum-elvet is.
30
Bizonyítás. Tekintsük a (2.11) feladat u ∈ H10 (Ω) megoldását adott f ∈ L2(Ω)
mellett. Legyen az fh ∈ Vh az f ∈ L2(Ω) függvény L2-vetülete Vh-ra, amelyre (2.13)
teljesül. Ekkor az uh ∈ Vh közelítés a következő formulával adott:∫ b
au′h(x)v′h(x) dx =
∫ b
af(x)vh(x) dx =
∫ b
afh(x)vh(x) dx, (∀vh ∈ Vh).
Vezessük be a következő kiegészítő folytonos problémát: keressük az u ∈ H10 (Ω)
függvényt, amelyre∫ b
au′(x)v′(x) dx =
∫ b
afh(x)v(x) dx, (∀v ∈ H1
0 (Ω)).
Az egydimenziós Laplace-egyenlet megoldásának lineáris végeselsmes közelítése
pontos minden osztópontban, és ez a tulajdonság magasabbrendű közelítésekre is
igazolható (lásd: [6]). Emiatt teljesül
uh(xi) = u(xi) = u(xi), i = 0, 1, . . . ,M.
A folytonos minimum-elv miatt u(xi) ≥ 0 az Ω-n, így uh(xi) ≥ 0, minden i =
0, 1, . . . ,M esetén, ezért a tételt elég a T1 = Ω esetre belátni, ahol Ω = (−1, 1).
Az uh ∈ Vh megoldást a következő alakban keressük:
uh =p−1∑i=1
yili+1(x). (2.25)
yi =∫ 1
−1fh(z)li+1(z) dz, i = 1, 2, . . . , p− 1.
Ezt behelyettesítve (2.25) egyenletbe
uh =p−1∑i=1
(∫ 1
−1fh(z)li+1(z) dz
)li+1(x) =
∫ 1
−1fh(z)φp(x, z) dz, (2.26)
ahol φp(x, z) a (2.23) szerinti.
Rögzítsük az x ∈ (−1, 1) pontot, és tegyük fel, hogy ∃L2p(x) kvadratúra formula
z0, . . . , z2p ∈ K+p (x) pontokkal és w0, . . . , w2p nemnegatív súlyokkal. Az fh(z)φp(x, z)
szorzatról tudjuk, hogy legfeljebb 2p-edfokú polinom z-ben tetszőleges rögzített x
esetén, ezért (i)-ból L2p(x) pontos minden fh(z)φp(x, z)-re. Ekkor (2.26) miatt
uh =∫ 1
−1fh(z)φp(x, z) dz =
2p∑i=0
wi︸︷︷︸≥0
fh(zi)︸ ︷︷ ︸≥0
φp(x, zi)︸ ︷︷ ︸≥0
≥ 0, (2.27)
31
ahol wi és fh(zi) nemnegativitása a feltevésekből adódik, φp(x, zi) ≥ 0 pedig zi ∈
K+p (x) miatt teljesül. Tehát (2.27) pontból következik, hogy uh(x) ≥ 0 minden
x ∈ (−1, 1) esetén, és így uh a ∂Ω peremen felveszi minimumát, tehát 39. teljesül.
A p = 2, 4, 6 esetekben belátható, hogy φp(x, z) ≥ 0 minden (x, z) ∈ [−1, 1]2,
így ezekben az esetekben a 25. klasszikus diszkrét maximum-elv is igazolható. A 38.
általánosított diszkrét maximum-elv teljesülésének igazolásához minden más p ≥ 2
esetre mutatnunk kell olyan kvadratúra formulát, amelyre a 44. tételbeli (i)-(iii) fel-
tételek teljesülnek. A 43. lemmabeli szimmetria miatt elegendő, ha az x ∈ [0, 1)-en
találunk ilyen kvadratúra formulákat. Az [5] 6. részében mutatnak példát a feltéte-
leket kielégítő kvadratúra formulák konstuálására p ≤ 10 esetekre.
32
3. Számítógépes vizsgálatokEbben a fejezetben bemutatunk a témához kötődően néhány futtatást, ami szem-
lélteti a 25. klasszikus diszkrét maximum-elv teljesülését lineáris végeselemekre.
Ehhez az egységnégyzeten adott Poisson-egyenletet tekintjük homogén Dirichlet-
peremmel. A feladatot különböző nemnegatív forrásfüggényekre oldjuk meg. A meg-
oldás során egyrészt ellenőrizzük a nemnegativitás teljesülését, másrészt vizsgáljuk,
hogy kisebb forrásfüggvényekre az eredmény közelebb kerül-e 0-hoz. A számítások
MATLAB programcsomag segítségével készültek.
3.1. A feladat leírása
Keressük az alábbi homogén Dirichlet-feladat végeselemes megoldását, különböző
f ∈ L2(Ω) forrásfüggvények mellett, ahol f ≥ 0:−∆u = f, ha (x, y) ∈ Ω := (0, 1)× (0, 1),
u(x, y) = 0, ha (x, y) ∈ ∂Ω.(3.1)
A 18. pédában bemutatott Courant-elemekkel dolgozunk, azaz a Th trianguláció
elemei háromszögek, u|Tkfolytonos, szakaszonként lineáris függvény, és a csomóponti
értékek a háromszög csúcsaiban vett függvényértékek. A Vh altér ekkor:
Vh =u ∈ C(Ω) : u|Tk
∈ P 1,∀Tk ∈ Th, és u|∂Ω = 0.
A Vh altér bázisát (a síkbeli belső csomópontokat (xi, yj)-vel jelölve) a szokásos
ϕij(xk, yl) = δik · δjl feltétel alapján meghatározott sátorfüggvények alkotják (1.2
ábra).
Mivel a (3.1) feladatban q ≡ 0, ezért a 33. állítás és a 34. megjegyzés miatt a
a 25. klasszikus diszkrét maximum-elv teljesül a feladatra, ha a háromszögrácsban
minden α belső szögre α ≤ π/2 teljesül, és h elegendően kicsi, ezért alkalmazzunk
33
szabályos háromszögrácsot. A szabályos háromszögrácsot négyzetrácsból származ-
tatjuk úgy, hogy a négyzeteket az ugyanolyan irányú átlóival daraboljuk. A rács
belső osztóponjainak számát n jelöli.
A források legyenek a következő L2(Ω)-beli nemnegatív függvények:
f1 ≡ 1,
f2,k =
1, x ≤ k
0, különben
f3,k =
1, x ≤ k vagy x ≥ 1− k vagy
y ≤ k vagy y ≥ 1− k,
0, különben
f4,k =
1, k ≤ x, y ≤ 1− k
0, különben
(3.2)
A belső osztópontok száma legyen n = 30, és számítsuk ki a (3.1) feladat uh vé-
geselemes megoldását f1, f2,k, f3,k, f4,k (3.2) források és adott k paraméterek mellett.
Alkalmazzuk a k = 1/2, 1/3, 1/5 paraméterértékeket az f2,k forrásfüggvénynél, és a
k = 1/3, 1/5 paraméterértékeket az f3,k, f4,k források esetén. Ekkor az eredményeket
a 3.1 és 3.2 ábrák szemléltetik. A számítások sorrán futtatott MATLAB kódokat
mellékeltem a 3.2ben.
3.2. Az eredmények értékelése
Az eredményekből látszik, hogy az uh végeselemes megoldás nemnegativitása
mindegyik forrásfüggvény mellett teljesül.
Az f2,k függvény esetében a forrás a jobb oldali k szélességű sávon 1, és a bal
oldali (1− k) szélességű sávon 0. Az eredményekből látható (3.1 ábra), hogy kisebb
k értékek mellett a megoldás jobban megközelíti a 0 értéket. A megoldás kovkáv
felület, és kisebb k értékek mellett az (1, y) szakaszon az uh gradiensvektora kisebb
34
3.1. ábra. Eredmények az f1, illetve és f2,k jobb oldali függvényekre (3.2), k =
1/2, 1/3, 1/5 mellett.
meredekségű.
Az f3,k és f4,k források esetében is teljesül, hogy ha a forrás kisebb területen 1 és
nagyobb részen 0, akkor a megoldás közelebb van 0-hoz (3.2 ábra). Az f3,k forráshoz
tartozó megoldásoknál elmondható, hogy kisebb k-ra az uh a tartomány széléhez
közelebb éri el maximumát. Az f4,k forrásra számított eredmények esetében pedig
az látható, hogy kisebb k értékek mellett a széleken az uh gradiensvektora kisebb
meredekségű.
35
3.2. ábra. Eredmények az f3,k és f4,k jobb oldali függvényekre (3.2), k = 1/3, 1/5
mellett.
36
ÖsszefoglalásA 2.2. részben ismeretetett eredmények alapján az elliptikus Dirichlet-peremmel
ellátott feladatok megoldásánál, ha a megoldást lineáris végeselemekkel közelítjük,
akkor ismerünk elégséges feltételeket a klasszikus diszkrét maximum-elv teljesülé-
sére. 2 dimenziós esetben például, ha háromszögrácsot alkalmazunk, elegendő biz-
tosítanunk, hogy a rács megfelelő finomságú és egyenletesen hegyesszögű legyen, és
ha nincs a feladatban visszacsatolás, akkor a derékszögek is megengedettek. Ezek a
feltételek viszonylag könnyen teljesíthetők a számítások során.
A 2.3. szakaszban az 1 dimenziós Poisson-egyenletet vizsgáltuk. Láthattuk, hogy
a klasszikus diszkrét maximum-elv nem terjeszthető ki a magasabbrendű végesele-
mes közelítések esetére, mert a forrásfüggvény előjele ekkor nem határozza meg a
diszkrét feladat jobb oldalának előjelét. A probléma kiküszöbölésére bevezettük a
diszkrét maximum-elv általánosított alakját, ami a forrásfüggvény helyett annak
a végeselemes altérre vett L2-vetületére szab előjelfeltételt. Ezután 1 dimenzióban
megmutattuk, hogy bizonyos feltételeket kielégítő kvadratúraformulák létezése elég-
séges feltétele az általánosított diszkrét maximum-elv teljesülésének magasabbrendű
közelítésekre.
Nyitott kérdés, hogy az általánosított diszkrét maximum-elv kiterjeszthető-e ma-
gasabb dimenzióra és általánosabb elliptikus feladatokra. Mivel a gyakorlatban van
igény a magasabbrendű közelítések alkalmazására, fontos lenne a maximum-elv ki-
terjeszthetőségének vizsgálata.
37
KöszönetnyilvánításEzúton köszönetet mondani konzulensemnek, Karátson Jánosnak a segítségéért,
türelméért, és hogy munkámat alaposan és kritikusan ellenőrizte.
Továbbá szeretném megköszönni családomnak és barátaimnak a szakszerű hi-
baellenőrzést, valamint a rengeteg támogatást, amit képzésem ideje alatt kaptam
tőlük.
38
Függelék
A futtatásokhoz tartozó MATLAB fájlok
1 clear all, close all
2 %% Irányonkénti bels osztópontok száma
3 n = 30;
4
5 %% Forrásfsggvények megadása
6
7 % k konstansok
8 k0 = 1/2;
9 k1 = 1/3;
10 k2 = 1/5;
11
12 % konstans 1 függvény
13 f_const = @(X,Y,k) ones(size(X,1));
14 str_const = @(k) 'f \equiv 1';
15 figname_const = 'const';
16
17 % 1, ha x <= k ,
18 % 0 különben
19 f_leftside = @(X,Y,k) X <= k;
20 str_leftside = @(k) ['f = 1, ha x < ', num2str(k,2), ...
21 ', és 0 különben'];
22 figname_leftside = 'leftside';
23
24 % 1, ha x vagy y közelebb van a 0-hoz vagy 1-hez, mint k,
25 % 0 különben
26 f_edge = @(X,Y,k) (X <= k) | (X >= 1-k) ...
39
27 | (Y <= k) | (Y >= 1-k);
28 str_edge = @(k) ['f = 0, ha ', num2str(k,2),'< x,y <',...
29 num2str(1-k,2),', 1 különben'];
30 figname_edge = 'edge';
31
32 % 1, ha k < x,y < 1-k
33 % 0 különben
34 f_center = @(X,Y,k) (X >= k) & (X <= 1-k) ...
35 & (Y >= k) & (Y <= 1-k);
36 str_center = @(k) ['f = 1, ha ', num2str(k,2),'< x,y < ',...
37 num2str(1-k,2),', 0 különben'];
38 figname_center = 'center';
39
40 %% Megoldó futtatása a forrásfüggvényekre
41
42 u_const = FEM_2DPoissonHomogenousDirichlet( n, 1,...
43 f_const,str_const,figname_const );
44
45 u_leftside0 = FEM_2DPoissonHomogenousDirichlet( n, k0,...
46 f_leftside, str_leftside,figname_leftside );
47 u_leftside1 = FEM_2DPoissonHomogenousDirichlet( n, k1,...
48 f_leftside, str_leftside,figname_leftside );
49 u_leftside2 = FEM_2DPoissonHomogenousDirichlet( n, k2,...
50 f_leftside, str_leftside,figname_leftside );
51
52 u_edge1 = FEM_2DPoissonHomogenousDirichlet( n, k1,...
53 f_edge,str_edge,figname_edge );
54 u_edge2 = FEM_2DPoissonHomogenousDirichlet( n, k2,...
55 f_edge,str_edge,figname_edge );
56
57 u_center1 = FEM_2DPoissonHomogenousDirichlet( n, k1,...
58 f_center,str_center,figname_center );
59 u_center2 = FEM_2DPoissonHomogenousDirichlet( n, k2,...
60 f_center,str_center,figname_center );
40
1 function [ u ] = ...
2 FEM_2DPoissonHomogenousDirichlet( n, k, rhs_function,...
3 rhs_str ,fig_name)
4 % A -Laplace u = f [0,1]x[0,1]-en, homogén Dirichlet-perem, FEM mo.
5
6 if nargin == 2
7 rhs_str = @(k) '';
8 end
9
10 % Háló generálása
11 h=1/(n+1);
12 [X,Y]=meshgrid(h:h:1-h,1-h:-h:h);
13
14 % Forrásfüggvény
15 f = rhs_function(X,Y,k);
16
17 % A tehervektor konstrukciója
18 b=reshape(f,n^2,1)*h^2;
19
20 % Merevségi mátrix konstrukciója
21 A=gallery('poisson',n);
22
23 % Az egyenletrendszer megoldása
24 uv=A\b;
25
26 % A megoldás ábrázolása
27 um=reshape(uv,n,n);
28 u=zeros(n+2);
29 u(2:end-1,2:end-1)=um;
30
31 % Háromszögek konstrukciója
32 tri = zeros( 2*(n+1)*(n+1), 3 );
33 l = 1;
34 for i = 1 : (n+1)*(n+2)
41
35 if mod(i,n+2) ~= 0
36 tri(l,:) = [i,i+1,i+n+2];
37 tri(l+1,:) = [i+1,i+1+n+2,i+n+2];
38 l = l+2;
39 end
40 end
41
42 figure
43 [Xnagy,Ynagy]=meshgrid(0:h:1,0:h:1);
44 trisurf(tri,Xnagy,Ynagy,u)
45
46 title( rhs_str(k),'FontSize', 16)
47 colorbar
48 xlabel('x','FontSize', 16)
49 ylabel('y','FontSize', 16)
50 zlabel('u','FontSize', 16)
51
52 % ábra mentése file-ba
53 fig = gcf;
54 fig.PaperPositionMode = 'auto';
55 fig_name = [fig_name,int2str(100*k)];
56 print(fig,fig_name,'-dpng','-r300')
57
58 end
42
Irodalomjegyzék[1] Horváth Róbert, Izsák Ferenc, Karátson János. Parciális differenciálegyenletek
numerikus módszerei számítógépes alkalmazásokkal. Elektronikus jegyzet, Eöt-
vös Loránd Tudományegyetem, 2013.
[2] J. Karátson, S. Korotov. Discrete maximum principles for finite element solutions
of nonlinear elliptic problems with mixed boundary conditions. Numer. Math.,
99: 669–698, 2005.
[3] Besenyei Ádám, Komornik Vilmos, Simon László. Parciális differenciálegyenle-
tek. Elektronikus jegyzet, Typotex, 2013.
[4] P. G. Ciarlet, P. A. Raviart. Maximum principle and uniform convergence for the
finite element method. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., 2: 17–31, 1973.
[5] Pavel Šolín, Tomáš Vejchodský. A weak discrete maximum principle for hp-FEM.
Journal of Computational and Applied Mathematics, 209: 54–65, 2007.
[6] P. Šolín, K. Segeth, I. Doležel. Higher-order Finite Element Methods. Chapman
& Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003.
[7] D. Gilbarg, N. S. Trudinger. Elliptic Partial Differential Equations of Second
Order. Springer, Berlin - Heidelberg - New York - Barcelona - Hong Kong -
London - Milan - Paris - Singapore - Tokyo, 2001.
[8] Stoyan Gisbert, Takó Galina. Numerikus módszerek 2. ELTE - Typotex, Buda-
pest, 1995.
[9] Stoyan Gisbert, Takó Galina. Numerikus módszerek 3. ELTE - Typotex, Buda-
pest, 1997.
43
[10] Karátson János. Numerikus funkcionálanalízis. Elektronikus jegyzet, Typotex,
2013.
[11] R. Varga. Matrix iterative analysis. Prentice Hall, New Jersey, 1962.
44