[email protected]...

คณตศาสตรพนฐานสำหรบฟสกส I(Basic Mathematics for Physics I)

ศภปยะ สระนนท(Suppiya Siranan)

[email protected]

สำนกวชาวทยาศาสตร สาขาวชาฟสกสมหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร

สไลดประกอบการสอนฟสกสโอลมปก สอวน.http://physics2.sut.ac.th/~suppiya/note/Mathematics01.pdf

Suppiya Siranan (Physics SUT) Basic Mathematics for Physics I — p. 1/75

http://physics3.sut.ac.th

http://www.mcescher.com/Gallery/recogn-bmp/LW441.jpg

http://physics2.sut.ac.th/~suppiya


mailto:[email protected]

http://www.sut.ac.th/science/


http://www.sut.ac.th

http://physics2.sut.ac.th/~suppiya/note/Mathematics01.pdf




“Physical laws should have mathematical beauty.”

PAUL ADRIEN MAURICE DIRAC

(พอล เอดรยน มอรซ ดรก)The Nobel Laureate in Physics 1933

เกด: 8 สงหาคม ค.ศ.1902 ในเมอง Bristol, ประเทศ England

ตาย: 20 ตลาคม ค.ศ.1984 ในเมอง Tallahassee, Florida, ประเทศ USA

http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Dirac.html

http://en.wikipedia.org/wiki/Paul_Dirac

http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1933/Suppiya Siranan (Physics SUT) Basic Mathematics for Physics I — p. 2/75






http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1933/



http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1933/




เซตพนฐานทควรทราบเซตวาง (empty set) หมายถงเซตทไมมสมาชก (element) แทนดวย

∅ ≡ ∅ ≡{ }

เซตของจำนวนธรรมชาต (natural number) หรอจำนวนเตมบวก(positive integer) แทนดวยN ≡ Z+ ≡

{1, 2, 3, 4, 5, . . .

}

เซตของจำนวนเตมลบ (negative integer) แทนดวยZ− ≡

{−1,−2,−3,−4,−5, . . .

}

เซตของจำนวนเตม (integer) แทนดวยZ ≡

{. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .

}= Z+ ∪ Z− ∪

{0}

ศนยเปนจำนวนเตม ไมใชทงบวกและลบ (0 ∈ Z แต 0 /∈ Z+ และ 0 /∈ Z−)Suppiya Siranan (Physics SUT) Basic Mathematics for Physics I — p. 3/75





เซตของจำนวนตรรกยะ (rational number) แทนดวยQ ≡

{x

∣∣∣ x =a

bเมอ a ∈ Z และ b ∈ Z −

{0} }

จำนวนตรรกยะคอจำนวนทสามารถเขยนอยในรปเศษสวนของจำนวนเตม2 จำนวนไดเซตของจำนวนอตรรกยะ (irrational number) แทนดวย

Q′ ≡{

x∣∣∣ x 6= a

bเมอ a ∈ Z และ b ∈ Z −

{0} }

จำนวนอตรรกยะคอจำนวนทไมสามารถเขยนอยในรปเศษสวนของจำนวนเตม 2 จำนวนได เชน π, e, √2 ฯลฯ สงเกตวา Q ∩ Q′ = ∅เซตของจำนวนจรง (real number) แทนดวย R ≡ Q ∪ Q′

เซตของจำนวนเชงซอน (complex number) แทนดวยC ≡

{z

∣∣∣ z = x + iy เมอ x, y ∈ R และ i ≡√−1

}






I

แฟกทอเรยลและทฤษฎบททวนาม(Factorial & Binomial Theorem)






Factorial

๏ แฟกทอเรยล (factorial) ของ n เมอ n ∈ Z+ ∪{0} (เซตของจำนวนเตมบวกและศนย) แทนดวย n! อาจนยามโดยความสมพนธเวยนเกด (recurrencerelation)

n! ≡

1 เมอ n = 0

n × (n − 1)! เมอ n ∈ Z+(1)

หรออาจนยามโดยตรง0! ≡ 1 และ n! ≡ 1 × 2 × 3 × · · · × n เมอ n ∈ Z+ (2)

โดยอาศยวชาแคลคลส (calculus) เบองตน เราสามารถแสดงไดไมยากวาn! =

∫∞

0

tn e−t dt เมอ n ∈ Z+ ∪{0} (3)

สมการ (3) เปดโอกาสใหขยายขอบเขตการนยามแฟกทอเรยล n ออกไปในกรณท n ∈ R หรอ n ∈ Z ใดๆ กไดSuppiya Siranan (Physics SUT) Basic Mathematics for Physics I — p. 6/75





Binomial Theorem

๏ อนกรมทวนาม (Binomial Series)(a + b)1 = a + b

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4...

๏ สามเหลยมปาสกาล(Pascal’s Triangle)1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1...๏ ทฤษฎบททวนาม (Binomial Theorem) สำหรบกรณ n ∈ Z+

(a + b)n =n∑

k=0

(n

k

)an−kbk = an +

(n

1

)an−1b +

(n

2

)an−2b2 + . . . (4)

เรยก (n

k

)≡ n!

(n − k)! k!วาสมประสทธทวนาม (binomial coefficient)






(n

k

)=

n(n − 1)(n − 2) . . . (n − k + 1)

k!(5)

สมการ (5) เปดโอกาสใหนยาม สมประสทธทวนาม ในกรณ n ไมจำเปนตองเปนจำนวนเตมบวก เชน n เปนจำนวนจรงใดๆ (n ∈ R)

๏ ทฤษฎบททวนาม (Binomial Theorem) สำหรบกรณ n ∈ R

(1 + x)n =∞∑

k=0

(n

k

)xk

= 1 + nx +n(n − 1)

2x2 +

n(n − 1)(n − 2)

6x3 + . . . (6)

เมอ −1 < x 6 1 หรอ x ∈(1, 1

]

กรณ a > b สามารถเขยน (a + b)n ใดๆ ไดเปน(a+b)n = an

[1 + n

(b

a

)+

n(n − 1)

2

(b

a

)2

+n(n − 1)(n − 2)

6

(b

a

)3

+ . . .

]






BLAISE PASCAL

(เบลส ปาสกาล)

เกด: 19 มถนายน ค.ศ.1623ในเมอง Clermont (ปจจบนคอเมอง Clermont-Ferrand),

Auvergne, ประเทศ France

ตาย: 19 สงหาคม ค.ศ.1662ในกรง Paris, ประเทศ France

http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Pascal.html

http://en.wikipedia.org/wiki/Blaise_Pascal











ตวอยาง: ตองการคำนวณคา √11

วธทำ เนองจาก √11 = (9 + 2)1/2 = 91/2

(1 +

2

9

)1/2 จะไดวา√

11 = 3

[1 +

1

2

(2

9

)+

1

2

(1

2

) (1

2− 1

)(2

9

)2

+1

6

(1

2

)(1

2− 1

)(1

2− 2

) (2

9

)3

+ . . .

]

= 3

[1 +

1

2

(2

9

)− 1

8

(2

9

)2

+1

16

(2

9

)3

− 5

128

(2

9

)4

+ . . .

]

= 3 +1

3− 1

54+

1

486− 5

17 496+ . . .

∴√

11 = 3.316 . . .

�Suppiya Siranan (Physics SUT) Basic Mathematics for Physics I — p. 10/75





II

สตรของผลรวม(Summation Formulae)






Summation Formulaen∑

k=1

k = 1 + 2 + 3 + 4 + . . . + n

เขยนใหมโดยการบวกจากหลงมาหนาn∑

k=1

k = n + (n − 1) + (n − 2) + (n − 3) + . . . + 1

แลวจบมารวมกน จะได2

n∑

k=1

k = (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + . . . + (n + 1)︸︷︷︸n เทอม

= n(n + 1)

n∑

k=1

k =n(n + 1)

2(7)






เนองจาก (k + 1)3 − k3 = k3 + 3k2 + 3k + 1 − k3 = 3k2 + 3k + 1

ดงนน n∑

k=1

[(k + 1)3 − k3

]=

n∑

k=1

(3k2 + 3k + 1

) แตเนองจากn∑

k=1

[(k + 1)3 − k3

]=

[(n + 1)3 − n3

]+

[n3 − (n − 1)3

]+ . . .

+[43 − 33

]+

[33 − 23

]+

[23 − 13

]

เปนการบวกจากหลงมาหนาเชนเดม เทอมระหวางกลางจะกำจดกนเองจนหมดเหลอแค 2 เทอมn∑

k=1

[(k + 1)3 − k3

]= (n + 1)3 − 1

เรยกเทคนคการหาผลบวกซงเทอมระหวางกลางจะกำจดกนเอง แบบนวา“telescoping sum”Suppiya Siranan (Physics SUT) Basic Mathematics for Physics I — p. 13/75





จะไดวา(n + 1)3 − 1 =

n∑

k=1

(3k2 + 3k + 1

)

= 3

n∑

k=1

k2 + 3

n∑

k=1

k +

n∑

k=1

1

= 3

n∑

k=1

k2 + 3n(n + 1)

2+ n

นนคอ จะไดวา3

n∑

k=1

k2 = (n + 1)3 − 1 − 3n(n + 1)

2− n

n∑

k=1

k2 =n(n + 1)(2n + 1)

6(8)






อาศยเทคนคเดยวกน โดยการพจารณา n∑

k=1

[(k + 1)4 − k4

] และใชสตร(7) กบ (8) จะได

n∑

k=1

k3 =

[n(n + 1)

2

]2 (9)ทำตอไป โดยการพจารณา n∑

k=1

[(k + 1)5 − k5

] พรอมทงใชสตร (7), (8) และ(9) จะได

n∑

k=1

k4 =n(n + 1)(2n + 1)(3n2 + 3n − 1)

30(10)

ถาทำตอไปอก โดยการพจารณา n∑

k=1

[(k + 1)6 − k6

] แลวใชสตร (7)–(10)กจะได

n∑

k=1

k5 =n2(n + 1)2(2n2 + 2n − 1)

12(11)






III

ฟงกชนเลขชกำลงและลอการทม(Exponential & Logarithm

Functions)






Exponential Function

๏ ฟงกชนเลขชกำลง (exponential function) คอฟงกชนทอยในรป ax เมอa ∈ R+ และ x ∈ R

เรยก a วาฐาน (base) และเรยก x วาเลขชกำลง (exponent)๏ ฐานของลอการทมธรรมชาต (natural logarithmic base) แทนดวย eนยามโดย

e ≡ limn→∞

(1 +

1

n

)n

≡ limm→0

(1 + m

)1/m (12)โดยอาศยทฤษฎบททวนาม(

1 +1

n

)n

= 1 +n

1!

(1

n

)+

n(n − 1)

2!

(1

n

)2

+n(n − 1)(n − 2)

3!

(1

n

)3

+ . . .

= 1 +1

1!+

1

2!

(1 − 1

n

)+

1

3!

(1 − 1

n

)(1 − 2

n

)+ . . .






นนคอe =

∞∑

k=0

1

k!= 1 +

1

1!+

1

2!+

1

3!+

1

4!+ . . . = 2.718 281 828 459 045 . . . (13)

ex =

[lim

ℓ→∞

(1 +

1

ℓ

)ℓ]x

= limℓ→∞

(1 +

1

ℓ

)ℓx

ให n = ℓx ได 1

ℓ=

x

nในลมตท ℓ → ∞ จะได n → ∞ ดวย

๏ ฟงกชนเลขชกำลงทมฐานลอการทมธรรมชาตexpx ≡ ex = lim

n→∞

(1 +

x

n

)n (14)โดยอาศยทฤษฎบททวนามแบบเดม จะไดวา

ex =∞∑

k=0

xk

k!= 1 + x +

x2

2!+

x3

3!+

x4

4!+ . . . (15)






Logarithm Function

๏ ฟงกชนลอการทม (logarithmic function) ฐาน a ∈ R+ ของ x ∈ R+

แทนดวย loga x โดยทy = loga x กตอเมอ ay = x (16)

นนคอy = loga

(ay

) และ a(loga x) = x (17)๏ ฟงกชนลอการทมธรรมชาต (natural logarithmic function) หมายถงa ≡ e แทนดวย ln x = loge x โดยท

y = lnx กตอเมอ ey = x (18)นนคอ

y = ln(ey

)= ln(exp y) และ exp(ln x) = e(ln x) = x (19)






สมบตบางประการของฟงกชนเลขชกำลงและลอการทมa0 = 1

a−x =1

ax

axay = ax+y

ax

ay= ax−y

a(x loga y) = yx

loga x + loga y = loga(xy)

loga x − loga y = loga

(x

y

)

loga x

loga y= logy x

loga

(yx

)= x loga y

ในทน x, y, a ∈ R+






IV

ตรโกณมต(Trigonometry)






Trigonometryกำหนดวงกลมรศมหนงหนวยมจดศนยกลางอยทจด O(0, 0) พกดของจดใดๆ บนวงกลมระบไดดวยมม θ วดทวนเขมนาฬกา (มคาเปนบวก) เทยบกบแกน x

มมในหนวยเรเดยน (radian)มม θ ในหนวยเรเดยน นยามเปน อตราสวนระหวางสวนโคงของวงกลมทรองรบมม θ กบรศมวงกลม นนคอ

θ ≡ s

r

ในกรณน r = 1 จะได s = θดงนน มมฉาก 90◦ =π

2rad,

180◦ = π rad และ360◦ = 2π rad

x

y

θ

r s

O(0, 0)

P(x, y)






๏ ฟงกชนตรโกณมต (trigonometric functions)1. ฟงกชนโคไซนและฟงกชนไซน (cosine & sine functions) นยามเปนพกด

(cos θ, sin θ) ≡ (x, y) ใดๆ บนวงกลมหนงหนวย สงเกตวาcos(θ + 2nπ) = cos θ และ sin(θ + 2nπ) = sin θ เมอ n ∈ Z

cos(−θ) = cos(2nπ − θ) = cos θ และsin(−θ) = sin(2nπ − θ) = − sin θ เมอ n ∈ Z

cos2 θ + sin2 θ = 1 เมอ cos2 θ ≡ (cos θ)2 และ sin2 θ ≡ (sin θ)2

2. ฟงกชนซแคนทและฟงกชนโคซแคนท (secant & cosecant functions)นยามเปนsec θ ≡ 1

cos θและ csc θ ≡ 1

sin θ

3. ฟงกชนแทนเจนทและฟงกชนโคแทนเจนท (tangent & cotangent func-tions) นยามเปนtan θ ≡ sin θ

cos θและ cot θ ≡ cos θ

sin θ=

1

tan θ






๏ คาตรโกณมตทนาสนใจบางคาในชวงมม [0◦, 90◦

]

มม θ sin θ cos θ tan θ

0◦ 0 1 0

15◦√

6 −√

2

4

√6 +

√2

42 −

√3

30◦1

2

√3

2

√3

3

45◦√

2

2

√2

21

60◦√

3

2

1

2

√3

75◦√

6 +√

2

4

√6 −

√2

42 +

√3

90◦ 1 0 ∞

√6 −

√2

4= 0.258 819 . . .

√6 +

√2

4= 0.965 926 . . .

2 −√

3 = 0.267 949 . . .

2 +√

3 = 3.732 050 . . .√

3 = 1.732 050 . . .√

2

2= 0.707 106 . . .

√3

2= 0.866 025 . . .

√3

3= 0.577 350 . . .






V

แคลคลสเชงอนพนธ(Differential Calculus)






Derivative

๏ อตราการเปลยนแปลงของฟงกชน f(x) เทยบกบ x

f ′(x) ≡ d

dxf(x) ≡ lim

h→0

f(x + h) − f(x)

h(20)

เรยกฟงกชน f ′(x) วาเปน “อนพนธ” ของฟงกชน f(x) เทยบกบ x (derivativeof function f(x) with respect to x)๏ อตราการเปลยนแปลงของฟงกชน f(x) เทยบกบ x ณ จด x = x0

f ′(x0) ≡d

dxf(x)

∣∣∣∣x=x0

≡ limh→0

f(x0 + h) − f(x0)

h(21a)

หรออาจเขยนใหม ไดเปนf ′(x0) ≡

d

dxf(x)

∣∣∣∣x=x0

≡ limx→x0

f(x) − f(x0)

x − x0(21b)






สตรการหาอนพนธของฟงกชนโดยทวไป1. กรณผลคณของคาคงตวกบฟงกชน เชน cf(x) เมอ c เปนคาคงตว

d

dx

[cf(x)

]= lim

h→0

cf(x + h) − cf(x)

h= c lim

h→0

f(x + h) − f(x)

h

d

dx

[cf(x)

]= c

d

dxf(x) (22)

2. กรณผลบวก (หรอผลตาง) ของสองฟงกชน เชน f(x) ± g(x)

d

dx

[f(x) ± g(x)

]= lim

h→0

[f(x + h) ± g(x + h)

]−

[f(x) ± g(x)

]

h

= limh→0

[f(x + h) − f(x)

h± g(x + h) − g(x)

h

]

d

dx

[f(x) ± g(x)

]=

[d

dxf(x)

]±

[d

dxg(x)

] (23)Suppiya Siranan (Physics SUT) Basic Mathematics for Physics I — p. 27/75





3. กรณผลคณของสองฟงกชน เชน f(x) g(x)

d

dx

[f(x) g(x)

]= lim

h→0

f(x + h) g(x + h) − f(x) g(x)

h

= limh→0

f(x + h) g(x + h) − f(x) g(x + h) + f(x) g(x + h) − f(x) g(x)

h

= limh→0

{[f(x + h) − f(x)

h

]g(x + h) + f(x)

[g(x + h) − g(x)

h

]}

=

[limh→0

f(x + h) − f(x)

h

]g(x) + f(x)

[limh→0

g(x + h) − g(x)

h

]

d

dx

[f(x) g(x)

]=

[d

dxf(x)

]g(x) + f(x)

[d

dxg(x)

] (24)






4. กรณผลหารของสองฟงกชน เชน f(x)/g(x) เมอ g(x) 6= 0

d

dx

[f(x)

g(x)

]= lim

h→0

1

h

[f(x + h)

g(x + h)− f(x)

g(x)

]

= limh→0

f(x + h) g(x) − f(x) g(x + h)

h g(x + h) g(x)

= limh→0

f(x + h) g(x) − f(x) g(x) + f(x) g(x) − f(x) g(x + h)

h g(x + h) g(x)

= limh→0

[f(x + h) − f(x)

h

]g(x) − f(x)

[g(x + h) − g(x)

h

]

g(x + h) g(x)

d

dx

[f(x)

g(x)

]=

[d

dxf(x)

]g(x) − f(x)

[d

dxg(x)

]

[g(x)

]2 เมอ g(x) 6= 0 (25)






5. กรณฟงกชนของฟงกชน เชน f(g(x)

) หรอ f(z) เมอ z ≡ g(x)

ให z + k = g(x + h) เมอ h → 0 จะได k → 0 ดวยd

dxf(g(x)

)= lim

h→0

f(g(x + h)

)− f

(g(x)

)

h

= limh→0

(k→0)

f(z + k) − f(z)

hโดย k = g(x + h) − g(x)

= limh→0

(k→0)

[f(z + k) − f(z)

k· k

h

]

=

[limk→0

f(z + k) − f(z)

k

] [limh→0

g(x + h) − g(x)

h

]

d

dxf(g(x)

)=

[d

dzf(z)

] [d

dxg(x)

] เมอ z ≡ g(x) (26)สมการ (26) เปนทรจกกนในนาม “กฎลกโซ” (chain rule)






สตรการหาอนพนธของบางฟงกชนทจำเปน Id

dxc = 0

d

dxxn = nxn−1

d

dxex = ex

d

dx|lnx| =

1

xเมอ x 6= 0

d

dxax = ax ln a

d

dx|loga x| =

1

x ln aเมอ x 6= 0

d

dxsinx = cosx

d

dxcosx = − sinx

d

dxtanx = sec2 x

d

dxsecx = secx tanx

d

dxcscx = − cscx cot x

d

dxcotx = − csc2 x






สตรการหาอนพนธของบางฟงกชนทจำเปน IId

dxsin−1 x =

1√1 − x2

(เมอ |x| < 1)d

dxcos−1 x =

−1√1 − x2

(เมอ |x| < 1)d

dxtan−1 x =

1

1 + x2

d

dxsec−1 x =

1

|x|√

x2 − 1(เมอ |x| > 1)

d

dxcsc−1 x =

−1

|x|√

x2 − 1(เมอ |x| > 1)

d

dxcot−1 x =

−1

1 + x2






Higher Order Derivatives

อนพนธอนดบสงขน (higher order derivatives) กคอการหาอนพนธครงถดไปเรอยๆ เชนอนพนธอนดบสอง (second order derivative) คอ

f ′′(x) ≡ d2

dx2f(x) ≡ d

dx

[d

dxf(x)

]≡ lim

h→0

f ′(x + h) − f ′(x)

h(27)

อนพนธอนดบสาม (third order derivative) คอf ′′′(x) ≡ d3

dx3f(x) ≡ d

dx

[d2

dx2f(x)

]≡ lim

h→0

f ′′(x + h) − f ′′(x)

h(28)

ตงแตอนพนธอนดบสขนไป จะเขยนเปน f (4)(x), f (5)(x), f (6)(x), . . . ไมใชf ′′′′(x), f ′′′′′(x), f ′′′′′′(x), . . . !!






ในการหาอนพนธอนดบท n ของผลคณของฟงกชนทำไดโดยใชสตรของไลบนซ๏ สตรของไลบนซสำหรบการหาอนพนธอนดบท n ของผลคณ (Leibniz’sFormula for nth Derivative of a Product)Leibniz’s Formula for nth Derivative of a Product:

dn

dxn

[f(x)g(x)

]=

n∑

k=0

(n

k

)[dn−k

dxn−kf(x)

] [dk

dxkg(x)

]

=dn

dxnf(x) + n

[dn−1

dxn−1f(x)

] [d

dxg(x)

]

+n(n − 1)

2!

[dn−2

dxn−2f(x)

] [d2

dx2g(x)

]

+ . . . +dn

dxng(x) (29)






GOTTFRIED WILHELM VON LEIBNIZ (หรอ LEIBNITZ)

(กอททฟรด วลเฮลม ฟอน ไลบนทซ)

เกด: 1 กรกฎาคม ค.ศ.1646ในเมอง Leipzig, Saxony,ปจจบนอยในประเทศ Germany

ตาย: 14 พฤศจกายน ค.ศ.1716ในเมอง Hannover,ปจจบนอยในประเทศ Germany

http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Leibniz.html

http://en.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Leibniz











Partial Derivatives

พจารณาเพยงแคฟงกชนของ 2 ตวแปรกอน กรณมมากกวา 2 ตวแปร กใชหลกการเดยวกนได๏ อตราการเปลยนแปลงของฟงกชน f(x, y) เทยบกบ x เมอ y คงตว

fx(x, y) ≡ ∂

∂xf(x, y) ≡ lim

h→0

f(x + h, y) − f(x, y)

h(30)

เรยกฟงกชน fx(x, y) วาเปน “อนพนธยอย” ของฟงกชน f(x, y) เทยบกบ x(partial derivative of function f(x, y) with respect to x)๏ อตราการเปลยนแปลงของฟงกชน f(x, y) เทยบกบ y เมอ x คงตว

fy(x, y) ≡ ∂

∂yf(x, y) ≡ lim

k→0

f(x, y + k) − f(x, y)

k(31)

เรยกฟงกชน fy(x, y) วาเปน “อนพนธยอย” ของฟงกชน f(x, y) เทยบกบ y(partial derivative of function f(x, y) with respect to y)Suppiya Siranan (Physics SUT) Basic Mathematics for Physics I — p. 36/75





อนพนธยอยอนดบสอง (second order partial derivatives) ม 4 คอแบบอนพนธอนดบสองเทยบกบ x อยางเดยว คอ

fxx(x, y) ≡ ∂2

∂x2f(x, y) ≡ ∂

∂x

[∂

∂xf(x, y)

] (32a)อนพนธอนดบสองเทยบกบ y อยางเดยว คอ

fyy(x, y) ≡ ∂2

∂y2f(x, y) ≡ ∂

∂y

[∂

∂yf(x, y)

] (32b)อนพนธอนดบสองเทยบกบ x และ y คอ

fxy(x, y) ≡ ∂2

∂y∂xf(x, y) ≡ ∂

∂y

[∂

∂xf(x, y)

] (32c)อนพนธอนดบสองเทยบกบ y และ x คอ

fyx(x, y) ≡ ∂2

∂x∂yf(x, y) ≡ ∂

∂x

[∂

∂yf(x, y)

] (32d)Suppiya Siranan (Physics SUT) Basic Mathematics for Physics I — p. 37/75





VI

แคลคลสเชงปรพนธ(Integral Calculus)






Indefinite Integral (Antiderivative)

๏ ปรพนธไมจำกดเขต (indefinite integral) หรอ ปฏยานพนธ (antideriva-tive)f(x) =

∫F (x) dx เมอ F (x) ≡ d

dxf(x) (33)

เรยกฟงกชน f(x) วาเปน “ปฏยานพนธ” (antiderivative) ของฟงกชน F (x)

นนคอd

dx

[∫F (x) dx

]= F (x) (34a)

แต ∫ [d

dxf(x)

]dx = f(x) + C (34b)

เมอ C เปนคาคงตวใดๆ (arbitrary constant)






Definite Integral

๏ ปรพนธจำกดเขต (definite integral) นยามในรป “ผลบวกรมนน” (Rie-mann Sum) เปน∫ b

a

F (x) dx ≡ limmax ∆xi→0

(n→∞)

n∑

i=1

F (x⋆i ) ∆xi (35)

แบงชวง [a, b

] ออกเปน n ชอง โดยแตละชองกวาง ∆xi ≡ xi − xi−1 เมอx0 ≡ a และ xn ≡ b ผลรวมทงหมดของทกชองคอ n∑

i=1

∆xi = (b − a) เลอกx⋆

i ใหอยในชองท i นนคอ xi−1 6 x⋆i 6 xi หรอ x⋆

i ∈[xi−1, xi

]

เพอความงาย อาจเลอกใหทกชองกวางเทากน นนคอ ∆x ≡ ∆xi = (b − a)/n

และเลอก x⋆i เปนทขอบของชองท i เชน x⋆

i = xi−1 หรอ x⋆i = xi หรออาจเลอก

ตำแหนงกลางชอง เชน x⋆i = (xi−1 + xi)/2






xi = a + i∆x = a +i

n(b − a) (36)

∫ b

a

F (x) dx = (b − a) limn→∞

1

n

n∑

i=1

F (x⋆i ) (37)

อาจเลอก x⋆i เปน

x⋆i = a + i

b − a

n(38a)หรอ

x⋆i = a + (i − 1)

b − a

n(38b)หรอ

x⋆i = a +

(i − 1

2

)b − a

n(38c)






GEORG FRIEDRICH BERNHARD RIEMANN

(เกออรก ฟรดรช แบรนฮารด รมนน)

เกด: 17 กนยายน ค.ศ.1826ในเมอง Breselenz, Hanover,ปจจบนอยในประเทศ Germany

ตาย: 20 กรกฎาคม ค.ศ.1866ในเมอง Selasca,ประเทศ Italy

http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Riemann.html

http://en.wikipedia.org/wiki/Bernhard_Riemann











ตวอยาง: ตองการคำนวณคา ∫ 3

1

x2 dx

วธทำ เพอความงายจะเลอก x⋆i เปน x⋆

i = a + ib − a

n= 1 +

2i

nจะไดวา

∫ 3

1

x2 dx = 2 limn→∞

1

n

n∑

i=1

(1 +

2i

n

)2

= 2 limn→∞

1

n

n∑

i=1

(1 +

4i

n+

4i2

n2

)

= 2 limn→∞

1

n

[n∑

i=1

1 +4

n

n∑

i=1

i +4

n2

n∑

i=1

i2

]

= 2 limn→∞

1

n

[n +

4

n

n(n + 1)

2+

4

n2

n(n + 1)(2n + 1)

6

]






∫ 3

1

x2 dx = 2 limn→∞

[1 + 2

n(n + 1)

n2+

2

3

n(n + 1)(2n + 1)

n3

]

= 2 limn→∞

[1 + 2

(1 +

1

n

)+

2

3

(1 +

1

n

) (2 +

1

n

)]

= 2 limn→∞

[1 + 2 +

4

3

]

∴

∫ 3

1

x2 dx =26

3

สงเกตวา d

dx

(x3

3

)= x2 และ x3

3

∣∣∣∣x=3

− x3

3

∣∣∣∣x=1

= 27 − 1

3=

26

3นนคอ

∫ 3

1

x2 dx =x3

3

∣∣∣∣x=3

− x3

3

∣∣∣∣x=1

นำไปสทฤษฎบท ทเชอมโยงระหวางการหาอนพนธและการหาปรพนธ . . . �






๏ ทฤษฎบทหลกมลของแคลคลส (Fundamental Theorem ofCalculus) แบงไดเปน 2 สวน คอFundamental Theorem of Calculus I:ถาฟงกชน F (x) ตอเนองบนชวง [

a, b] และฟงกชน f(x) เปนปฏยานพนธใดๆของ F (x) บนชวง [

a, b] แลว

∫ b

a

F (x) dx = f(b) − f(a) ≡ f(x)∣∣∣b

x=a(39)

นนคอ ∫ b

a

[d

dxf(x)

]dx = f(b) − f(a) และ

Fundamental Theorem of Calculus II:ถาฟงกชน F (x) ตอเนองบนชวง I แลว F (x) จะมปฏยานพนธบนชวง I นนนนคอ ถา a ∈ I แลวฟงกชน f(x) =

∫ x

a

F (t) dt จะเปนปฏยานพนธของF (x) บนชวง I:

d

dxf(x) =

d

dx

[∫ x

a

F (t) dt

]= F (x) (40)






ในกรณทวไปมากขนคอการหาอนพนธของอนทกรล๏ กฎของไลบนซสำหรบการหาอนพนธของอนทกรล (Leibniz’s Rule forDifferentiating an Integral)Leibniz’s Rule for Differentiating an Integral:ถา F (x, t) และ ∫ b(x)

a(x)

F (x, t) dt ตอเนองบนชวง I เมอ a(x), b(x) ∈ I แลวd

dx

[∫ b(x)

a(x)

F (x, t) dt

]=

∫ b(x)

a(x)

[∂

∂xF (x, t)

]dt

+ F (x, b)db(x)

dx− F (x, a)

da(x)

dx(41)






VII

อนกรมเทยเลอรและอนกรมแมคลอรน(Taylor & Maclaurin Series)






Taylor & Maclaurin Series

๏ อนกรมเทยเลอร (Taylor series) ของฟงกชน f(x) รอบจด x = a

∞∑

k=0

(x − a)k

k!f (k)(a) = f(a) + (x − a)f ′(a) +

(x − a)2

2!f ′′(a)

+(x − a)3

3!f ′′′(a) +

(x − a)4

4!f (4)(a) + . . . (42)

กรณ a = 0 กคออนกรมเทยเลอรของฟงกชน f(x) รอบจด x = 0 มชอวาอนกรมแมคลอรน (Maclaurin series) ของฟงกชน f(x)

∞∑

k=0

xk

k!f (k)(0) = f(0) + x f ′(0) +

x2

2!f ′′(0) +

x3

3!f ′′′(0)

+x4

4!f (4)(0) +

x5

5!f (5)(0) +

x6

6!f (6)(0) + . . . (43)






BROOK TAYLOR

(บรก เทยเลอร)

เกด: 18 สงหาคม ค.ศ.1685ในเมอง Edmonton, Middlesex,ประเทศ England

ตาย: 29 ธนวาคม ค.ศ.1731ในเมอง Somerset House,

London, ประเทศ England

http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Taylor.html

http://en.wikipedia.org/wiki/Brook_Taylor











COLIN MACLAURIN

(คอลน แมคลอรน)

เกด: กมภาพนธ ค.ศ.1698ในเมอง Kilmodan (หางจากเมองTighnabruaich ไปทางเหนอ 12กโลเมตร), Cowal, Argyllshire,ประเทศ Scotland

ตาย: 14 มถนายน ค.ศ.1746ในเมอง Edinburgh,ประเทศ Scotland

http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Maclaurin.html

http://en.wikipedia.org/wiki/Colin_Maclaurin











มเงอนไขเฉพาะบางอยางททำให อนกรมเทยเลอรของฟงกชน f(x) รอบจดx = a ใดๆ มคาเทากบฟงกชน f(x) พอด ทำใหเราสามารถใชอนกรมเทยเลอรของฟงกชน f(x) รอบจด x = a นนๆ ประมาณคาของฟงกชน f(x) ได๏ ตวอยางของฟงกชนทเทากบอนกรมแมคลอรนของตวเองฟงกชน f(x) = ex สำหรบทกคา x ∈ R

ex =∞∑

k=0

xk

k!= 1 + x +

x2

2!+

x3

3!+

x4

4!+

x5

5!+ . . . (44)

ฟงกชน f(x) = ln(1 + x) สำหรบ −1 < x 6 1

ln(1 + x) =∞∑

k=1

(−1)k−1

kxk = x − x2

2+

x3

3− x4

4+ . . . (45)

ทำใหได ln 2 = 1 − 1

2+

1

3− 1

4+ . . . แตลเขา (converge) ชามากๆ






ฟงกชน f(x) = cosx สำหรบทกคา x ∈ R เมอ x เปนมมในหนวยเรเดยน (radian)cosx =

∞∑

k=0

(−1)k

(2k)!x2k = 1 − x2

2!+

x4

4!− x6

6!+ . . . (46)

ฟงกชน f(x) = sinx สำหรบทกคา x ∈ R เมอ x เปนมมในหนวยเรเดยน (radian)sin x =

∞∑

k=0

(−1)k

(2k + 1)!x2k+1 = x − x3

3!+

x5

5!− x7

7!+ . . . (47)

ฟงกชน f(x) = 1/(1 + x) สำหรบ −1 < x < 1

1

1 − x=

∞∑

k=0

xk = 1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + . . . (48)ทฤษฎบททวนามของ (1 + x)n กรณ n ∈ R กคออนกรมแมคลอรนนนเอง






ฟงกชน f(x) = tan−1 x สำหรบ −1 < x 6 1

tan−1 x =∞∑

k=0

(−1)k

(2k + 1)!x2k+1 = x − x3

3+

x5

5− x7

7+ . . . (49)

ทำใหได π

4= 1 − 1

3+

1

5− 1

7+ . . . แตลเขา (converge) ชามากๆ

เราสามารถปรบปรงสมการ (45) ใหลเขาเรวขนโดยอาศยวธตอไปนln(1 + x) = x − x2

2+

x3

3− x4

4+

x5

5− x6

6+ . . .

ซงใชไดกรณ −1 < x 6 1 โดยการแทนคา x ดวย −x จะไดln(1 − x) = −x − x2

2− x3

3− x4

4− x5

5− x6

6− . . .

ซงใชไดกรณ −1 6 x < 1 จบทงสองอนกรมมาลบกนพจนตอพจน จะไดln

(1 + x

1 − x

)= 2

[x +

x3

3+

x5

5+

x7

7+ . . .

]






ซงใชไดในกรณ −1 < x < 1 ให z ≡ 1 + x

1 − xนนคอ x =

z − 1

z + 1จะได

อนกรมสำหรบหาคา ln z กรณท z ∈ R+ เปนln z = 2

[x +

x3

3+

x5

5+

x7

7+ . . .

] เมอ x =z − 1

z + 1(50)

ตวอยาง: ตองการหาคา ln 2 นนคอ z = 2 จะได x =2 − 1

2 + 1=

1

3

ln 2 = 2

[(1

3

)+

1

3

(1

3

)3

+1

5

(1

3

)5

+1

7

(1

3

)7

+ . . .

]

= 2

[1

3+

1

81+

1

1215+

1

15 309+ . . .

]

= 0.693 147 . . .

ซงลเขาเรวกวาเดมมาก ใชเพยงแค 3–4 พจน กไดทศนยมตำแหนงท 3 แลวSuppiya Siranan (Physics SUT) Basic Mathematics for Physics I — p. 55/75





VIII

สเกลารและเวกเตอร(Scalar & Vector)






Scalar & Vector

๏ ปรมาณสเกลาร (scalar) คอปรมาณทระบเพยงแคขนาด (magnitude) กไดความหมายสมบรณ เชน อณหภม (temperature), มวล (mass), เวลา (time),พลงงาน (energy) ฯลฯ๏ ปรมาณเวกเตอร (vector) คอปรมาณทตองระบทงขนาด (magnitude) และทศทาง (direction) จงจะไดความหมายสมบรณ เชน การกระจด (displace-ment), ความเรว (velocity), ความเรง (acceleration), แรง (force), โมเมนตม(momentum) ฯลฯคำจำกดความขางตน เปนเพยงคำจำกดความพนฐาน ในระดบสงตอไป จะใหคำจำกดความทดกวาน โดยทวไป อาจแทนปรมาณเวกเตอรไดหลายแบบ เชน~A, A, A, A

˜, A (ตวหนาตรง), A (ตวหนาเอยง), ~A, ~A ฯลฯ

ขนาดของปรมาณเวกเตอร ~A แทนดวย A, ∣∣~A∣∣ หรอ ∥∥~A∥∥ เปนปรมาณสเกลาร






สมบตบางประการของเวกเตอร1. เวกเตอร ~A และเวกเตอร ~B จะเทากนกตอเมอ ทงสองมขนาดเทากน และชในทศเดยวกน แทนดวย ~A = ~B

2. เวกเตอรศนย (zero vector) คอเวกเตอรทมขนาดเปนศนย ชทศทางใดกไดแทนดวย ~0 นนคอ ∣∣~0

∣∣ = 0

3. เมอคณปรมาณเวกเตอร A ดวยปรมาณสเกลาร m แทนดวย m~A จะไดเวกเตอรทมขนาด เปน m เทาของเวกเตอร ~A ชในทศขนานกบเวกเตอร ~A

(a) ถา m > 0 และ ~A 6= ~0 แลว m~A จะชในทศเดยวกบ ~A

(b) ถา m < 0 และ ~A 6= ~0 แลว m~A จะชในทศตรงขามกบ ~A(c) ถา m = 0 หรอ ~A = ~0 แลว m~A จะเปนเวกเตอรศนย m~A = ~0

−~A ≡ (−1)~A เปนเวกเตอรทมขนาดเทากบ ~A แตชในทศตรงขามกบ ~A

ถาเวกเตอร ~A ขนานกบเวกเตอร ~B แทนดวย ~A ‖ ~B แลว~B = p~A หรอ ~A = q~B เมอปรมาณสเกลาร p, q ∈ R (51)






4. เวกเตอรหนงหนวย (unit vector) คอเวกเตอรใดๆ ทมขนาดเปนหนงหนวยแทนเวกเตอรหนงหนวยทชในทศเดยวกบเวกเตอร ~A ดวย A, eA หรอ uA

ถาเวกเตอร ~A ไมใชเวกเตอรศนย (~A 6= ~0) แลว เวกเตอรหนงหนวย ในทศเดยวกบ ~A คอA =

1∣∣~A∣∣

~A =1

A~A (52)

นนคอ เวกเตอร ~A ใดๆ สามารถเขยนไดในรป ผลคณของขนาดและทศทาง~A = A A (53)

5. เมอกำหนดพกดคารทเซยน (x, y, z) แลว จะสามารถเขยนเวกเตอร ~A ในรปองคประกอบ (components) ตามแกน x, แกน y และแกน z ไดเปน~A = Ax ı + Ay + Az k (54)

เมอ ı, และ k เปนเวกเตอรหนงหนวยชในทศทคา x, y และ z มคาเพมขน ตามลำดบSuppiya Siranan (Physics SUT) Basic Mathematics for Physics I — p. 59/75





Scalar Product (Dot Product)

๏ ผลคณเชงสเกลาร (scalar product หรอ dot product) ของเวกเตอร ~Aและ เวกเตอร ~B เขยนแทนดวย ~A · ~B เปนปรมาณสเกลาร นยามโดย~A · ~B ≡ AB cos θ = ~B · ~A (55)

เมอ A =∣∣~A

∣∣, B =∣∣~B

∣∣ และ θ เปนมมระหวาง ~A และ ~B

จะไดวา ı · ı = · = k · k = 1 และ ı · = · k = k · ı = 0

เมอเวกเตอร ~A และเวกเตอร ~B เขยนอยในรปองคประกอบตามแกน x, แกน yและแกน z โดย ~A = Ax ı+Ay +Az k และ ~B = Bx ı+By +Bz k จะได~A · ~B =

(Ax ı + Ay + Az k

)·(Bx ı + By + Bz k

)

นนคอ~A · ~B = AxBx + AyBy + AzBz (56)






Vector Product (Cross Product)

๏ ผลคณเชงเวกเตอร (vector product หรอ cross product) ของเวกเตอร~A และ เวกเตอร ~B เขยนแทนดวย ~A × ~B เปนปรมาณเวกเตอร นยามโดย

~A × ~B ≡ AB sin θ n = −~B × ~A (57)เมอ A =

∣∣~A∣∣, B =

∣∣~B∣∣, θ เปนมมระหวาง ~A และ ~B และ n เปนเวกเตอร

หนงหนวยทตงฉากกบทง ~A และ ~B ชในทศทางตามกฏมอขวา จาก ~A ไป ~B

~A × ~B

n

θ~A

~B~B × ~A

n

θ

~A~B






จะไดวา ı×ı = × = k×k = ~0 แต ı× = −×ı = k, ×k = −k× = ıและ k × ı = −ı × k =

เมอเวกเตอร ~A และเวกเตอร ~B เขยนอยในรปองคประกอบตามแกน x, แกน yและแกน z โดย ~A = Ax ı+Ay +Az k และ ~B = Bx ı+By +Bz k จะได~A × ~B =

(Ax ı + Ay + Az k

)×

(Bx ı + By + Bz k

)

นนคอ~A × ~B =

(AyBz − AzBy

)ı +

(AzBx − AxBz

)

+(AxBy − AyBx

)k (58a)

หรออาจเขยนในรปดเทอรมแนนท (determinant) ไดเปน~A × ~B =

∣∣∣∣∣∣∣∣

ı k

Ax Ay Az

Bx By Bz

∣∣∣∣∣∣∣∣(58b)






Gradient, Divergence & Curl

๏ สนามเวกเตอร (vector field) ~A(~r) ≡ ~A(x, y, z) คอฟงกชนทมคาเปนเวกเตอร เมอ ~A(~r) = Ax(~r) ı + Ay(~r) + Az(~r) k

๏ สนามสเกลาร (scalar field) ϕ(~r) ≡ ϕ(x, y, z) คอฟงกชนทมคาเปนสเกลารตวดำเนนการเดล (del operator หรอ nabla) ~∇ นยามโดย

~∇ ≡ ∂

∂xı +

∂

∂y +

∂

∂zk (59)

เกรเดยนต (gradient) ของสนามสเกลาร ϕ = ϕ(~r) จะเปนสนามเวกเตอรนยามโดย~∇ϕ ≡ ∂ϕ

∂xı +

∂ϕ

∂y +

∂ϕ

∂zk (60)






ไดเวอรเจนซ (divergence) ของสนามเวกเตอร ~A = ~A(~r) จะเปนสนามสเกลาร นยามโดย~∇ · ~A ≡ ∂Ax

∂x+

∂Ay

∂y+

∂Az

∂z(61)

เครล (curl) ของสนามเวกเตอร ~A = ~A(~r) จะเปนสนามเวกเตอร นยามโดย~∇ × ~A ≡

(∂

∂yAz − ∂

∂zAy

)ı +

(∂

∂zAx − ∂

∂xAz

)

+

(∂

∂xAy − ∂

∂yAx

)k (62a)

หรออาจเขยนในรปดเทอรมแนนทไดเปน~∇ × ~A =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

ı k

∂

∂x

∂

∂y

∂

∂z

Ax Ay Az

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

(62b)






IX

จำนวนเชงซอน(Complex Number)






Complex Number

สมการ x2 + 1 = 0 ไมมคำตอบในระบบจำนวนจรง นนคอ ไมมคา x ∈ R ใดๆทสอดคลองสมการ x2 + 1 = 0

๏ จำนวนเชงซอน (complex number) z คอ จำนวนทสามารถเขยนใหอยในรปz = x + iy โดยท i ≡

√−1 (63)

เมอ x กบ y เปนจำนวนจรง (x, y ∈ R) เรยก i วา หนวยจนตภาพ (imaginaryunit) i2 = −1 เซตของจำนวนเชงซอน C นยามโดยC ≡

{z

∣∣∣ z = x + iy เมอ x, y ∈ R และ i ≡√−1

} (64)เรยก x วาเปนสวนจรง (real part) ของ z แทนดวย ℜ(z) หรอ Re(z) และเรยกy วาเปนสวนจนตภาพ (imaginary part) ของ z แทนดวย ℑ(z) หรอ Im(z)






จำนวนเชงซอน 2 จำนวน a + ib และ c + id สามาถบวก ลบ คณ หรอหารกน ไดผลลพธเปนจำนวนเชงซอน จำนวนใหม ดงน

(a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d)

(a + ib) − (c + id) = (a − c) + i(b − d)

(a + ib)(c + id) = (ac − bd) + i(bc + ad)

(a + ib)

(c + id)=

(a + ib)(c − id)

(c + id)(c − id)=

(ac + bd

c2 + d2

)+ i

(bc − ad

c2 + d2

)

สงยคเชงซอน (complex conjugate) ของ z = x + iy แทนดวย zนยามเปนz ≡ x − iy (65)

นนคอRe(z) =

z + z

2และ Im(z) =

z − z

2i(66)






มอดลส (modulus) ของ z แทนดวย |z| เปนจำนวนจรงบวกหรอศนย(|z| > 0) นยามเปน|z| ≡

√x2 + y2 =

√(x + iy)(x − iy) (67)

นนคอ |z| =√

zz =√

zz

จำนวนเชงซอน z = x + iy ใดๆ แทนไดดวยจด (x, y) ในพกดคารทเซยน(ในระนาบ xy)






นอกจากนยงอาจแทน จำนวนเชงซอน z = x + iy ดวยจด (r, θ) ในพกดเชงขว เมอ x = r cos θ และ y = r sin θ

๏ จำนวนเชงซอนในรปเชงขว (polar form of complex number)z = r

(cos θ + i sin θ

)≡ r∠θ (68)

เมอ r =√

x2 + y2 และ θ = tan−1(y

x

)

จะเหนวาz = r

[cos(θ + 2nπ) + i sin(θ + 2nπ)

] เมอ n ∈ Z (69)






Euler Formula

เนองจากeiθ = 1 + (iθ) +

(iθ)2

2!+

(iθ)3

3!+

(iθ)4

4!+

(iθ)5

5!+

(iθ)6

6!+

(iθ)7

7!+ . . .

= 1 + iθ − θ2

2!− i

θ3

3!+

θ4

4!+ i

θ5

5!− θ6

6!− i

θ7

7!+ . . .

=

(1 − θ2

2!+

θ4

4!− θ6

6!+ . . .

)

︸︷︷︸cos θ

+i

(θ − θ3

3!+

θ5

5!− θ7

7!+ . . .

)

︸︷︷︸sin θ

๏ สตรของออยเลอร (Euler formula)eiθ = cos θ + i sin θ (70)

เชอมโยงระหวางฟงกชนเลขชกำลง (exponential function) และฟงกชนตรโกณมต (trigonometric functions)Suppiya Siranan (Physics SUT) Basic Mathematics for Physics I — p. 70/75





ทำใหสามารถเขยนจำนวนเชงซอนในรปใหมไดเปน๏ จำนวนเชงซอนในรปแบบออยเลอร (Euler form of complex number)

z = reiθ = rei(θ+2nπ) เมอ n ∈ Z (71)จะเหนวา (

eiθ)m

= eimθ จะไดเอกลกษณทนาสนใจ คอ๏ เอกลกษณของเดอมวฟวร (de Moivre’s identity)

(cos θ + i sin θ

)m= cos(mθ) + i sin(mθ) (72)

รากท m ของ cos θ + i sin θ มทงหมด m ตว ดงน(cos θ + i sin θ

)1/m= cos

(θ + 2nπ

m

)+ i sin

(θ + 2nπ

m

) (73)เชน รากท 3 ของ 1 มทงหมด 3 ตว คอ 1, −1

2+ i

√3

2และ −1

2− i

√3

2






LEONHARD EULER

(เลออนฮารด ออยเลอร)

เกด: 15 เมษายน ค.ศ.1707ในเมอง Basel,ประเทศ Switzerland

ตาย: 18 กนยายน ค.ศ.1783ในเมอง St. Petersburg,ประเทศ Russia

http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Euler.html

http://en.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler











ABRAHAM DE MOIVRE

(อาบราอาม เดอ มวฟวร)

เกด: 26 พฤษภาคม ค.ศ.1667ในเมอง Vitry-le-François,

Champagne, ประเทศ France

ตาย: 27 พฤศจกายน ค.ศ.1754ในกรง London, ประเทศ England

http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/De_Moivre.html

http://en.wikipedia.org/wiki/Abraham_de_Moivre











References

[1] Howard Anton, Irl C. Bivens and Stephen L. Davis, Calculus, 7th ed.,

Wiley, New York (2002).

[2] Eugene Hecht, Physics: Calculus, Brooks/Cole, Pacific Grove,

California (1996).

[3] David Halliday, Robert Resnick and Jearl Walker, Fundamentals of

Physics, 6th ed., Wiley, New York (2001).

[4] วทธพนธ ปรชญพฤทธ, ฟสกส (กลศาสตร: หนวยของการวด กฎของการ-เคลอนท การเคลอนทภายใตอทธพลของแรง ทฤษฎสมพทธภาพ),มลนธ สอวน. (๒๕๔๘).

Powered by LATEX with Prosper Class (Version: 16/10/2007 – 16:03)



http://en.wikipedia.org/wiki/LaTeX

http://prosper.sourceforge.net/




Institute of Plane Geometry vs. Institute of Solid Geometry

Image Credit: Science Cartoons Plus—The Cartoons of S. Harrishttp://www.sciencecartoonsplus.com/



http://www.sciencecartoonsplus.com/

http://www.sciencecartoonsplus.com/




[email protected]...

Documents

Transcript of [email protected]...