ค ำน ำ - atom.rmutphysics.com · 17.4...

ค ำน ำ

ฟสกสเปนวชาหนงทนกศกษาจ านวนไมนอยไมชอบ เบอ เกลยด แตกตองเรยน เพราะวาเปนวชาบงคบทนกศกษาทเรยนทางดานวทยาศาสตรและวทยาศาสตรประยกต จะตองเรยน หนงสอเลมนนาจะชวยแกปญหาเกยวกบการไมชอบเรยนวชาฟสกสไดบาง เพราะวาหนงสอน อานงาย และมภาพประกอบมากมาย และมการเชอมโยงกฎเกณฑทางฟสกสกบเหตการณในชวตประจ าวน อานแลวไมเครยด หนงสอนส าเรจไดดวยความชวยเหลอจาก รศ.วชระ รอดสมฤทธ ผศ.จรส บณยธรรมา ครวทยาศาสตรระดบอดมศกษา ทไดใหค าแนะน าทมประโยชน และชวยน าเนอหาบางสวนของหนงสอนขนเวบไซตของสาขาวชาฟสกส ผศ.วฒนา เดชนะ มหาวทยาลยราชภฏสงขลา ทชวยตรวจสอบเนอหา และขอเสนอแนะทเปนประโยชน รวมถงอธการบดมหาวทยาลยเทคโนโลยราชมงคลธญบร คณบดคณะวทยาศาสตรและเทคโนโลย และผ บรหารทกระดบชน ทสนบสนนสงเสรมการท าผลงานวชาการ และสงเสรมการใหบรการทางวชาการแกชมชนและสงคม จงขอขอบพระคณทกทานมา ณ โอกาสน สชาต สภาพ โทรศพท 083-920-3825

ฟสกส 1 เลม 4 - 2

ผชวยศาสตราจารยสชาต สภาพ คณะวทยาศาสตรและเทคโนโลย มหาวทยาลยเทคโนโลยราชมงคลธญบร

สำรบญ

หนำ

บทท 13 กฎของควำมโนมถวง 13.1 กฎความโนมถวงสากลของนวตน 13.2 การวดคาคงตวของความโนมถวง 13.3 ความเรงของการตกอยางเสร และแรงโนมถวง 13.4 กฎของเคปเลอร 13.5 กฎความโนมถวงกบการเคลอนทของดาวเคราะห 13.6 สนามโนมถวง 13.7 พลงงานศกยโนมถวง 13.8 การอนรกษพลงงานของดาวเคราะหและดาวเทยม บทท 14 กลศำสตรของไหล 14.1 ความดน 14.2 ความดนในของเหลวขนอยกบความลก 14.3 เครองมอวดความดน 14.4 แรงลอยตวและหลกของอารคมดส 14.5 การเคลอนทของของไหล 14.6 สมการความตอเนอง 14.7 สมการของแบรนลล 14.8 หลอดไพทอต 14.9 ความหนด บทท 15 คลนกล 15.1 การจ าแนกประเภทของคลน 15.2 คลนเคลอนทใน 1 มต 15.3 การซอนทบกนและการแทรกสอดของคลน 15.4 อตราเรวของคลนในเสนเชอก 15.5 การสะทอนและการถายทอดพลงงานของคลน



สำรบญ

หนำ 15.6 การวเคราะหคลนในเสนเชอก 15.7 อตราการถายโอนพลงงานของคลนไซนในเสนเชอก 15.8 สมการคลน บทท 16 คลนเสยง 16.1 การจ าแนกประเภทของคลนเสยง 16.2 อตราเรวของคลนเสยง 16.3 สมการของคลนเสยง 16.4 ความเขมเสยงทมลกษณะเปนคาบ 16.5 ความเขมเสยง 16.6 ระดบความเขมเสยง 16.7 ระดบเสยง 16.8 คลนเสยงความเขมสง 16.9 คณภาพของเสยง 16.10 การน าความรเรองเสยง มาใชประโยชน 16.11 คลนทรงกลมและคลนระนาบ 16.12 การไดยน 16.13 ปรากฏการณดอปเปลอร 16.14 คลนกระแทก บทท 17 อณหภมและควำมรอน 17.1 อณหภม 17.2 กฎขอทศนยของอณหพลศาสตร 17.3 เทอรโมมเตอรชนดแกสแบบปรมาตรคงตว และอณหภมสมบรณ 17.4 การขยายตวของของแขงและของเหลวเมอไดรบความรอน 17.5 การอธบายเกยวกบแกสอดมคตในระบบมหภาค 17.6 แผนภาพ P – V 17.7 แผนภาพ P – T



บทท 13 กฎของควำมโนมถวง

โลกและดาวเคราะหตางกโคจรรอบดวงอาทตย เนองจากดวงอาทตยออกแรงดงดดดาวเคราะห แรงดงดดในลกษณะนไมไดมเฉพาะแรงดงดดของดวงอาทตยเทานน ดาวทกดวงกมแรงดงดดดวยเชนเดยวกน ขนาดของแรงดงดดมคาขนอยกบมวลของดาวนน ๆ ถาดาวดวงใดมมวลมากกจะมแรงดงดดมาก แรงดงดดของดวงดาวตาง ๆ นเรยกวาแรงโนมถวง (gravity force) แรงโนมถวงของดาวฤกษมพลงงานมหาศาลกอใหเกดผลพลกพสดาร เชน ดาวฤกษเมอหลอมรวมไฮโดรเจนใหเปนฮเลยมจนหมด ดาวฤกษนนกจะถกแรงโนมถวงของตวเองกดอดและจะยบตวลง ถาดาวฤกษนนมขนาดเลกเมอยบตวแลวกจะกลายเปน “ดำวแคระขำว” แตถาดาวฤกษนนมขนาดใหญมากกจะยบตวกลายเปนหลมด ำ (black hole) ทมความหนาแนนและแรงดงดดมากมายมหาศาล สามารถดงดดไดแมกระทงแสงหรอคลนแมเหลกไฟฟาทกชนด

13.1 กฎควำมโนมถวงสำกลของนวตน (Newton’s law of universal gravitation)

เซอรไอแซก นวตน นกวทยาศาสตรชาวองกฤษไดคนพบกฎแรงดงดดของโลกขณะทเขาก าลงนงดดวงจนทร แลวกเกดความสงสยวาท าไมดวงจนทรจงตองโคจรรอบโลก จากนนนวตนกเรมท าการทดลองเพอศกษาเกยวกบการโคจรรอบโลกของดวงจนทร และเขาไดจ าลองสถานการณทใกลเคยงกบการโคจรรอบโลกของดวงจนทรโดยการน ากอนหนมาผกเชอกแลวแกวงใหเคลอนทเปนวงกลม นวตนสรปผลการทดลองนวาเชอกเปนตวการส าคญทท าใหกอนหนเคลอนทเปนวงกลมได ดงนนการทดวงจนทรโคจรรอบโลกแสดงวาจะตองมแรงทท าหนาทเหมอนกบแรงดงของเสนเชอก และแรงนนกคอแรงดงดดหรอแรงโนมถวงของโลกทกระท าตอดวงจนทรนนเอง รวมถงการทเขาเหนแอปเปลตกลงสพนดนกเปนเพราะแรงดงดดหรอแรงโนมถวงของโลกเชนเดยวกน และเมอขยายแนวความคดนใหกวางขนกจะไดเปนกฎของความโนมถวง นวตนตพมพกฎความโนมถวงในป ค.ศ. 1687 ซงมใจความวา



"สสารทกอยางในเอกภพดงดดสสารอนดวยแรงซงแปรผนตรงกบผลคณของมวลของสสารทงสอง และแปรผนกบก าลงสองของระยะหางระหวางสสารทงสองนน" หรอเขยนเปนสมการไดวา

1 2

2g

m mF G

r (13.1)

เมอ gF เปนแรงดงดดระหวางมวล G เปนคาคงตวซงนวตนยงไมทราบคานตอมาทราบวามคา 11 2 26.673 10 N m /kg r เปนระยะหางระหวางจดศนยกลางมวลระหวางสสารทงสอง

รป 13.2 ระยะหางระหวางโลกกบอาคารทตงอยบนพนโลก

สมการ(13.1) ถาเขยนในรปเวกเตอรจะได ดงน

1 212 122

ˆm m

Gr

F r (13.2)

เครองหมาย – มความหมายวาแรงนเปนแรงดงดด

12r เปนเวกเตอรหนงหนวยทชจากมวล 1m ไปยงมวล 2m

สมกำร (13.1 และ 13.2) คอสมกำรแรงดงดดระหวำงมวลของวตถ 2 กอนใดๆ หรอกลำวงำย ๆ ไดวำ อะไรกตำมทมมวลตำงกดงดดกน



รป 13.3 แสดงการทดลองเกยวกบแรงดงดดระหวางมวล

รป 13.3 แรงดงดดระหวางมวล เปนปฏภาคผกผนกบระยะหางก าลงสอง 2( )r

จากสมการ (13.1) แสดงใหเหนวาแรงดงดดระหวางมวลเปนแรงทมคาเปนปฏภาคผกผนกบระยะหางก าลงสอง 2( )r ซงกหมายความวาถาระยะหางเพมขน 2 เทา แรงดงดดกจะลดลง 4 เทา ดงแสดงในกราฟรป 13.3 นอกจากแรงโนมถวงของโลกจะมคาลดลงตามระยะหางแลว แรงโนมถวงของโลกยงมคาลดลงตามความลกจากผวโลกดวย และทจดศนยกลางโลกจะมแรงโนมถวงเปนศนย ถาเขยนกราฟแสดงความสมพนธระหวางแรงโนมถวงกบระยะทางตงแตจดศนยกลางโลกออกไป จะไดกราฟดงรป 13.4



รป 13.4 แรงโนมถวงของโลกทต าแหนงตาง ๆ

รป 13.5 แรงโนมถวงภายในโลก จะมคาลดลงตามความลก

รป 13.5 มความหมายวาแรงโนมถวงทจดศนยกลางของโลกจะมคาเปนศนย และจะมคาเพมขนเรอยๆแบบเชงเสนจนถงผวโลก จากนนแรงโนมถวงภายนอกโลกจะลดลงแบบเปนปฏภาคผกผนกบระยะหางก าลงสอง 2( )r กฎความโนมถวงสากลนกคอกฎแรงดงดดระหวางมวลนนเอง วตถใด ๆ ตางกมแรงดงดดดวยกนทงสน

โลกและคนตางกดงดดซงกนและกน



ถาตองการหาแรงดงดดระหวางทโลกกระท าตอคนหรอวตถใดๆทอยบนพนโลก สมการ (13.1) จะเขยนใหมไดเปน

2

Eg

E

M mF G

R (13.3)

เมอ EM คอมวลของโลก 245.98 10 .x kg m คอมวลคนหรอวตถใดๆทอยบนพนโลก

ER คอรศมของโลก 66.67 10x m

สมกำร (13.3) มควำมหมำยวำ แรงดงดดระหวำงโลกกบวตถใดๆ มคำขนอย กบมวลของโลกและมวลของวตถนนๆ

เพรำะเหตใดดวงดำวตำง ๆ จงมลกษณะเปนทรงกลม

การทดวงดาวตาง ๆ มลกษณะเปนทรงกลมเนองจากดวงดาวตางๆ มมวลมากมายมหาศาลอนภาคตาง ๆ ทประกอบกนเปนดวงดาวตางกดงดดซงกนและกน อนภาคตาง ๆ จงพยายามเคลอนทเขาหากนเพอใหมระยะหางนอยทสด ผลทไดกคอดวงดาวตาง ๆ จะมลกษณะเปนทรงกลม แตในกรณทเปนวตถทมมวลนอยเชนอกกาบาตหรอดาวเคราะหนอย แรงโนมถวงจะมขนาดนอยกวาแรงดงดดของดวงดาวตาง ๆ มาก วตถเหลานจงไมเปนทรงกลม



13.2 กำรวดคำคงตวของควำมโนมถวง(measuring the gravitational constant)

หลงจากนวตนเสยชวตไปแลว 70 ป นกฟสกสชาวองกฤษ เฮนร คาเวนดช สามารถวดคา G ได เครองมอทเขาใชในการหาคา G มลกษณะดงรป 13.7

รป 13.7 แบบจ าลองการทดลองของคาเวนดส

ซงประกอบดวยวตถทรงกลมเลก ๆ มมวล m เทากนทง 2 กอนตดทอยทปลายของแทงวตถทแขวนไว เมอเรมท าการทดลองจะน าวตถมวล M ขนาดใหญอก 2 กอน มาใกล ๆ วตถมวล m ทงสอง วตถมวล M และวตถมวล mกจะออกแรงดงดดซงกนและกนท าใหแทงวตถทแขวนเบยงเบนออกไปจากแนวเดม เมอทราบมวลของวตถทงสอง และทราบขนาดของแรงดงดดระหวางมวล กจะค านวณหาคา G ได

13.3 ควำมเรงของกำรตกอยำงเสร และแรงโนมถวง free fall acceleration and gravitational force

รป 13.8 แรงดงดดระหวางมวล



พจารณาแรงดงดดระหวางโลกกบคนหรอวตถใดๆทอยบนโลก ดงรป 13.8

จะได 2

Eg

E

M mF G

R

2

E

E

M mmg G

R

จะได 2

E

E

Mg G

R (13.4)

สมกำร (13.4) มควำมหมำยวำควำมเรงโนมถวงทบรเวณผวโลกหรอผวของดำวเครำะหใดๆ มคำขนอย กบมวลของดำวเครำะหและรศมของดำวเครำะหนน

ซงจะเหนวาคา จะลดลงตามระยะหางทเพมขน ถาดาวเทยมมวล m อยสงจากผวโลกเปนระยะ h คา ของโลกบรเวณดาวเทยมหาได ดงน

รป 13.9 แรงดงดดระหวางโลกกบดาวเทยม

จาก 2

Eg

E

M mF G

R

2( )

E

E

GM mmg

R h

จะได 2( )

E

E

GMg

R h

(13.5)

เมอ ER คอรศมของโลก h คอความสงจากผวโลก g คอความเรงโนมถวงทระยะความสง h

สมกำร(13.5)มควำมหมำยวำคำ g จะมคำลดลงเมอควำมสงเพมขน



ตำรำง 13.1 ควำมเรงของวตถทควำมสงตำง ๆ

ควำมสง(km)

)(m/s' 2g

ควำมสง(km)

)(m/s' 2g

1000 7.33 7000 2.23 2000 5.68 8000 1.93 3000 4.53 9000 1.69 4000 3.70 10000 1.49 5000 3.08 50000 0.13

6000 2.60 0

13.4 กฎของเคปเลอร (Kepler’s laws)

รป 13.10 การโคจรรอบดวงอาทตยของดาวนพเคราะห

หลงจากทกาลเลโอพบวาโลกไมไดเปนศนยกลางของระบบสรยะ นกดาราศาสตรกเรมศกษาเกยวกบวงโคจรของดาวนพเคราะหตางๆอยางจรงจง เคปเลอรกเปนนกดาราศาสตรคนหนงทสนใจศกษาเกยวกบวงโคจรของดาวเคราะห และเขาไดรวบรวมขอมลจากนกดาราศาสตรรนกอน ๆ แลวสรปเปนกฎเกยวกบการเคลอนทของดาวเคราะหทโคจรรอบดวงอาทตย ได 3 ขอ และเรยกกฎทง 3 ขอนวา กฎของเคปเลอร กฎขอท 1 กลาววา “ดำวเครำะหโคจรรอบดวงอำทตยเปนวงร โดยมดวงอำทตยอยทจดโฟกสจดหนง”



รป 13.11 ดวงอาทตยอยทจดโฟกสจดหนง

กฎขอท 2 กลาววา “ในชวงเวลำท เทำกน เสนสมมตท ลำกโยงระหวำงดำวเครำะหกบดวงอำทตย จะกวำดพนทในอวกำศไดเทำกน”

รป 13. 12 ภาพแสดง กฎขอท 2 ของเคปเลอร

กฎขอท 3 กลาววา “ คาก าลงสองของคาบการโคจรของดาวเคราะหรอบดวงอาทตยเปนสดสวนโดยตรงกบคาก าลงสามของความยาวครงแกนหลกของวงโคจร ” ถาประมาณวาวงโคจรของดาวเคราะหเปนวงกลม กฎขอท 3 ของเคปเลอรอาจกลาวอยางงาย ๆ ไดวา “ก ำลงสองของคำบวงโคจรของดำวเครำะหรอบดวงอำทตย จะแปรผนตำม ก ำลงสำมของรศมวงโคจรรอบดวงอำทตย ”

2 3T r

3

2

rk

T



ตอมาเมอนวตนเสนอทฤษฎแรงดงดดระหวางมวล จงสามารถพสจนไดวา คาคงทในกฏขอ 3 ของเคปเลอรมคาขนกบคาของมวลดวงอาทตย ตามสมการ

3

2 24

r GM

T

รป 13.13 กราฟความสมพนธระหวางคาบก าลงสอง และระยะหางก าลงสาม

กำรน ำเอำกฎขอสำมของเคปเลอรมำประยกตใชใหเกดประโยชน

นกวทยาศาสตรน าเอากฎขอสามของเคปเลอรมาใชในการค านวณหามวลของดวงอาทตยเนองจากทราบคาบเวลาในการโคจรของดาวเคราะห และทราบระยะหางระหวางดาวเคราะหตาง ๆ กบดวงอาทตย



13.5 กฎควำมโนมถวงและกำรเคลอนทของดำวเครำะห the law of gravity and the motion of planets

ในการเสนอกฎความโนมถวงสากลของนวตน นวตนไดมการทดสอบความถกตองของกฎน ดวยการเปรยบเทยบความเรงของดวงจนทรตามกฎความโนมถวงสากลกบความเรงของดวงจนทรทเปนททราบในขณะนน แลวไดผลตรงกน ท าใหนวตนมความมนใจในกฎความโนมถวงมากขน

กำรตรวจสอบของนวตนท ำดงน

1) หาความเรงโนมถวงของดวงจนทร โดยใชกฎความโนมถวงสากล

รป 13.14 ดวงจนทรโคจรรอบโลก และแอปเปลก าลงตกดวยความเรง g

พจำรณำกำรโคจรรอบโลกของดวงจนทร

กฎความโนมถวงสากล 2

E Mg

M

M mF G

r

เมอ EM คอมวลของโลก Mm คอมวลของดวงจนทร Mr คอรศมวงโคจรของดวงจนทร

จะได 2

E MM M

M

M mm a G

r

หรอ 2

EM

M

Ma G

r

ดงนนความเรงของดวงจนทร 2

1M

M

ar

(1)



พจำรณำทแอปเปลก ำลงตก

2

1

E

gR

(2)

1

2

( )

( )

22

2

1

1eM M

M

E

Ra r

g r

R

(13.6)

เมอ ER คอรศมของโลก 66.37 10 m

Mr คอระยะหางจากโลกถงดวงจนทร 83.84 10 m แทนคาตางๆ ในสมการ (13.6) ได

2

64

8

6.37 10 m2.75 10

3.84 10 m

Ma

g

42.75 10Ma g (13.7)

4 2(2.75 10 )(9.8 / )Ma m s 3 22.70 10 /Ma m s ดงนนเราสามารถหาความเรงของดวงจนทรในการโคจรรอบโลก โดยการใชกฎความโนมถวงสากล ได 3 22.70 10 /Ma m s (13.8)

2) พจำรณำจำกกำรโคจรรอบโลกของดวงจนทร

จาก 2

M

M

va

r

2(2 / )M

M

M

r Ta

r

ดงนนจะไดวา 2

2

4 MM

ra

T

2 8

6 2

4 (3.84 10 m)

(2.36 10 s)Ma

ความเรงของดวงจนทร 3 22.72 10 m/sMa (13.9)

กฎขอทสำมของเคปเลอร (Kepler’s third law)

จากกฎขอสามของเคปเลอรทกลาววา “คำบกำรโคจรยกก ำลงสองจะแปรผนตำมรศมวงโคจรยกก ำลงสำม” หรอเขยนเปนสมการไดวา 2 3

sT K r



รป 13.15 ก าหนดใหดาวเคราะหมวล PM โคจรรอบดวงอาทตยเปนวงกลม

กฎขอ 3 นถงแมวาจะตงขนมากอนกฎของนวตน แตกเปนกฎทมความสอดคลองกบกฎขอสองของนวตน ดงจะแสดงใหเหน ไดดงน

จากกฎขอ 2 ของนวตน 2mv

Fr

2

2

s p pGM M M v

r r

เมอ sM คอมวลของดวงอาทตย pM คอมวลของดาวนพเคราะห

2

2

(2 / )sGM r T

r r

จะได 2

2 34

s

T rGM

(13.12)

เมอ 24

sGM

คาคงตว

และคาคงตวน 19 2 32.97 10 s /m ใชสญลกษณวา k

ดงนนจะไดวา 2 3T kr (13.13)

จากทกลาวมาแสดงใหเหนวาเราสามารถแปลงกฎขอ 2 ของนวตน ใหเปนกฎขอท 3 ของเคปเลอรได แสดงใหเหนวำกฎขอท 3 ของเคปเลอร กบกฎขอ 2 ของนวตนมควำมสอดคลองกน



ตำรำง 13.2 ขอมลของดำวเครำะห

ดำวเครำะห

มวล (kg)

รศม (m)

คำบเวลำ

(s)

ระยะทำง(m)

)/ms( 32

3

2

r

T

ดาวพธ

3.18 1023

2.43 106

7.60 106

5.79 1010

2.97 10-19

ศกร

4.88 1024

6.06 106

1.94 107

1.08 1011

2.99 10-19

โลก

5.98 1024

6.37 106

3.156 107

1.496 1011

2.97 10-19

ดาวองคาร

6.42 1023

3.37 106

5.94 107

2.28 1011

2.98 10-19

พฤหสบด

1.90 1027

6.99 107

3.74 108

7.78 1011

2.97 10-19

เสาร

5.68 1026

5.85 107

9.35 108

1.43 1012

2.99 10-19

ยเรนส

8.68 1025

2.33 107

2.64 109

2.87 1012

2.95 10-19

เนปจน

1.03 1026

2.21 107

5.22 109

4.50 1012

2.99 10-19 กฎขอ 2 ของเคปเลอร และกฎกำรอนรกษโมเมนตมเชงมม

รป 13.16 ดาวนพเคราะห โคจรรอบดวงอาทตยเปนวงร

ถงแมวากฎขอทสองของเคปเลอร จะตงขนมากอนกฎการอนรกษโมเมนตมเชงมม แตกฎทงสองกมความสอดคลองกน ซงสามารถแสดงใหเหนไดดงน



จากกฎการอนรกษโมเมนตมเชงมม L r p = คาคงตว หรอ pM L r v = คาคงตว (13.14)

จากรป 13.16 (b) จะเหนวาพนท ทเสนรศมกวาดไปในชวงเวลา dt มลกษณะเปนรปสามเหลยม

และ พนทของสามเหลยม = 1

2x ฐาน x สง

หรอ 1

2dA d r r

1

2dA dt r v (13.15)

จาก pM L r v

pM

L

r v (13.16)

แทนสมการ (13.16) ในสมการ (13.15) ได

1

2 p

LdA dt

M

หรอ 2 p

LdA dt

M

2 p

dA L

dt M

dA

dt คาคงตว (13.17)

สมกำร (13.17) มควำมหมำยวำในชวงเวลำทเทำกน รศมวงโคจรของดำวเครำะหจะกวำดพนทในอวกำศไดเทำกน

จากทกลาวมาขางตนแสดงใหเหนวาเราสามารถแปลงกฎการอนรกษโมเมนตมเชงมม ใหเปนกฎขอท 2 ของเคปเลอร ได แสดงใหเหนวำกฎขอสองของเคปเลอร กบกฎกำรอนรกษโมเมนตมเชงมมมควำมสอดคลองกน



13.6 สนำมโนมถวง (the gravitational field)

บรเวณผวโลกมสนามแมเหลก และสนามแมเหลกบรเวณผวโลก กมลกษณะดงรป

รป 13.17 สนามแมเหลกโลก

บรเวณผวโลกนอกจากจะมสนามแมเหลกแลว ยงมสนามโนมถวง(gravity field)อกดวย สนามโนมถวงของโลก มลกษณะดงรป 13.18

รป 13.18 สนามโนมถวงบรเวณรอบโลกมทศเขาจดสศนยกลางของโลก

สนามโนมถวงทบรเวณผวโลกจะมคาสม าเสมอและมลกษณะเปนเสนตรงตงฉากกบผวโลก ดงรป

รป 13.19 สนามโนมถวงบรเวณผวโลกมคาสม าเสมอ



เมอวตถมวล m อยในสนามโนมถวงของโลก ( )g วตถนจะไดรบแรงดงดดจากโลก (Fg) และแรงดงดดนมคาเทากบน าหนกของวตถ หรอเขยนเปนสมการไดวา

g mF g

เมอ 122ˆ- EGM m

mr

r g

2

ˆEGM

r g r (13.18)

สมกำร (13.18) มควำมหมำยวำสนำมโนมถวงมคำเปนปฏภำคผกผนกบระยะหำงก ำลงสอง

13.7 พลงงำนศกยโนมถวง (gravitational potential energy ; U)

สงของตางๆทวางอยบนโตะ จะมพลงงานศกยโนมถวงมากกวาสงของตางๆทวางอยบนพน ถาใหพนเปนระดบอางองสงของตางๆทวางอยบนพนกจะมพลงงานศกยเปนศนย และถาเรายกสงของตางๆขนมาวางบนโตะ งานทเราท ากจะเปลยนรปมาเปนพลงงานศกยของสงของนนๆ

รป 13.20 งานทท าเปลยนรปเปนพลงงานศกย

ถายกสงของมวล 1 กโลกรม จากพนขนมาวางทโตะสง 1 เมตร งานทท ามคาเทากบ

งาน = แรง × ระยะทาง

งาน = 𝑚𝑔 × ℎ

งาน = 𝑚𝑔ℎ เมอท างานเสรจแลว งานทท ากจะเปลยนรปไปเปนพลงงานศกยของสงนน ดงนนจะไดวา พลงงานศกยของสงนนเทากบ



พลงงานศกย = 𝑚𝑔ℎ

และในการยกสงของมวล 1 กโลกรม ขนมาวางบนโตะสง 1 เมตร ตองท างาน

งาน = 𝑚𝑔ℎ

งาน = (1𝑘𝑔)(9.8𝑚/𝑠2)(1𝑚)

งาน = 9.8 จล

รป 13.21 งานทใชในการยกมวล 1 กโลกรม ขนมาวางทต าแหนง 1,2,3,4,5 เมตร

เราสามารถหาสมการทใชในการค านวณหาพลงงานศกยของวตถทต าแหนงตางๆในบรเวณสนามโนมถวงของโลกได ดงน

รป 13.22 อนภาคมวล m เคลอนทจากจด P ไปยงจด Q

จาก รป 13.22 พจารณาการเคลอนยายอนภาคมวล m จากจด P ไปยงจด Q ในการเคลอนยายนจะตองมการท างาน และจาก งาน = พลงงานทเปลยนไป หรอ W U

U W



( )

f

i

r

rU F r dr

2

f

i

rE

f ir

GM mU U dr

r

1 f

i

r

f i E

r

U U GM mr

1 1f i E

f i

U U GM mr r

(13.19)

ถาในตอนเรมตนวตถอยทอนนต ( )ir จะได

1 1f E

f

U GM mr

EGM mU

r (13.20)

สมกำร (13.20) มควำมหมำยวำพลงงำนศกยโนมถวงของโลก เปนปฏภำคผกผนกบระยะหำงก ำลงหนง

เมอน าสมการ (13.20) มาเขยนเปนกราฟจะไดกราฟ ดงรป 13.23

รป 13.23 กราฟแสดงความสมพนธระหวางพลงงานศกยโนมถวงของโลกกบระยะหาง



ตวอยำง 13.7 จงใชสมการ (14.20) ค านวณหาความแตกตางของศกยโนมถวงของลกบอลขณะอยทพน และขณะอยในต าแหนงทสงจากพน h ดงรป

วธท ำ ใหพนเปนต าแหนงท 1และทความสง h เปนต าแหนงท 2 จะไดวา

𝑈2 − 𝑈1 = − 𝐺𝑀𝐸𝑚

𝑟2 +

𝐺𝑀𝐸𝑚

𝑟1

𝑈2 − 𝑈1 = 𝐺𝑀𝐸𝑚 [1

𝑟1−

1

𝑟2]

𝑈2 − 𝑈1 = 𝐺𝑀𝐸𝑚 [𝑟2−𝑟1

𝑟1𝑟2]

เนองจาก 𝑟1 คอรศมของโลก และ 𝑟2 กมคาประมาณเทากบรศมของโลก ดงนน 𝑟1𝑟2 =

𝑟𝐸2 ดงนนจะไดวา

𝑈2 − 𝑈1 = 𝐺𝑀𝐸𝑚 (𝑟2−𝑟1

𝑟𝐸2 )

𝑈2 − 𝑈1 = 𝐺𝑀𝐸𝑚 (ℎ

𝑟𝐸2)

𝑈2 − 𝑈1 = 𝑚𝐺𝑀𝐸

𝑟𝐸2 (ℎ)

เมอ 𝐺𝑀𝐸

𝑟𝐸2 คอคา 𝑔 ดงนน

𝑈2 − 𝑈1 = 𝑚𝑔ℎ ตอบ

2

1



พลงงานศกยโนมถวงไมไดเกดขนเฉพาะพลงงานศกยโนมถวงของโลกเทานน วตถใดๆกมพลงงานศกยโนมถวงดวยเหมอนกน ดงนนถาเขยนสมการ (14.20) ใหอยในรปทวไปจะไดวา

1 2Gm mU

r (13.21)

สมกำร (13.21) มควำมหมำยวำพลงงำนศกยโนมถวงของวตถใดๆมคำเปนปฏภำคโดยตรงกบมวลของวตถนนๆและเปนปฏภำคผกผนกบระยะหำงก ำลงหนง

จากสมการ (13.21) แสดงวาทผวโลกมพลงงานศกยโนมถวงมากทสด และทหางจากโลกเปนระยะทางอนนตพลงงานศกยโนมถวงของโลกจะมคาเปนศนย เนองจากวตถใดๆตางกมพลงงานศกยโนมถวงดวยกนทงสน การหาพลงงานศกยโนมถวงของระบบอนภาคในรป 13.24 ท าได ดงน

รป 13.24 อนตรกรยาระหวาง 3 อนภาค

ดงนนพลงงานศกยของระบบอนภาค ในรป 13.24 คอ

total 12 13 23U U U U

เมอ 1 2Gm mU

r

จะได 1 3 2 31 2total

12 13 23

m m m mm mU G

r r r

(14.22)



ตวอยำง 13.8 จงใชสมการ 1 1f i E

f i

U U GM mr r

ในการค านวณหาพลงงานของศกย

ของเรอทเปลยนไป เมอเรอถกยกขนไปสง h ดงรป

วธท ำ จาก 1 1

E

f i

U GM mr r

f i

E

i f

r rU GM m

rr

(1)

เมอ f ir r h (2) และ i Er R , f Er R (3) แทนสมการ (2) สมการ(3) ในสมการ (1) ได

2E

E

hU GM m

R

2

E

E

GM mU h

R

U mg h ดงนนพลงงานศกยของเรอมคาเพมขน U mg h ตอบ



13.8 กำรอนรกษพลงงำนของดำวเครำะหและดำวเทยม energy considerations in planetary and satellite motion

จากการอนรกษพลงงาน พลงงานยอมไมสญหายไปไหน เชน ขณะทวตถก าลงตกลงมาจากทสงพลงงานศกยของวตถจะลดลงแตพลงงานจลนของวตถกเพมขน ในท านองเดยวกนในขณะทดาวเคราะหก าลงโคจรรอบดวงอาทตย พลงงานรวมกมคาคงตว

รป 13.25 มวล m โคจรรอบมวลM

พจารณา รป 13.25 ในขณะทมวล m ก าลงโคจรรอบมวล M พลงงานของมวล m จะมคาคงตวตลอดเวลา หรอเขยนเปนสมการไดวา

E K U หรอ 21

2

GMmE mv

r (13.23)

เมอ GMm

r คอพลงงานศกยโนมถวง

จากสมการ (13.23) แสดงใหเหนวาพลงงานรวมของระบบอาจมคาเปน บวก ลบ หรอศนย กได แตในระบบทอนภาคทงสองยงอยดวยกน เชน ระบบสรยะ หรอระบบทอเลกตรอนโคจรรอบนวเคลยส พลงงานรวมนจะมคาเปนลบเสมอ ซงสามารถพสจนได ดงน

ในกรณทมวล m โคจรเปนวงกลม และ M m

เนองจากมวล m โคจรเปนวงกลม ดงนน

2mv

Fr

2

2

GMm mv

r r

เอา 2

r คณทงสองขาง จะได 21

2 2

GMmmv

r



หรอ 21

2 2

GMmmv

r (13.24)

แทนสมการ (13.24) ในสมการ (13.23) 2

GMm GMmE

r r

2

GMmE

r (13.25)

และจากการอนรกษพลงงาน i fE E

i i f fK U K U

2 21 1

2 2i f

i f

GMm GMmmv mv

r r (13.26)

สมกำร (13.26) เปนสมกำรทนยมใชในกำรหำควำมเรวหลดพน

ตวอยำง 13.9 กำรเปลยนวงโคจรของดำวเทยม ถาในการสงดาวเทยมสอสาร (เปนดาวเทยมประจ าท ) ขนสวงโคจร จะสงกระสวยอวกาศไปโคจรทความสง 280km เหนอพนโลกกอน ดงรป จากนนจงจะมการเปลยนวงโคจรไปอยในวงโคจรทสงขน ดงรป จงหาพลงงานทใชในการเปลยนวงโคจร ก ำหนด รศมของโลก 66 37 10. m

วธท ำ เนองจากดาวเทยมสอสารเปนดาวเทยมประเภทประจ าท คอมอตราเรวเชงมมในการหมนเทากบอตราเรวเชงมมในการหมนของโลก ดงนนคาบในการหมนของดาวเทยมจงเทากบ 24 ชวโมงหรอ 86400 วนาท จากกฎขอสามของเคปเลอร 2 3

ET K r

2 14 2 3 3(86400 s) (9.89 10 s /m )r



74.23 10 mr ดงนนดาวเทยมจะตองไปอยในต าแหนงทหางจากโลก 7( ) 4.23 10 mfR ในชวงแรก อยในวงโคจรทมรศม

280i ER R km 6 3 66.37 10 280 10 6.65 10iR m m m พลงงานทใชในการเปลยนวงโคจร ( )E หาไดจากสมการ engine f iE E E (1)

engine

2 2

E E

f i

GM m GM mE

R R

engine

1 1

2

E

f i

GM mE

R R

2 2 24

engine

(6.6710 . / )(5.98 10 )(470 )

2

N m kg kg kgE

7 6

1 1

4.23 10 6.65 10m m

10

engine 1.19 10E j ดงนนในการเปลยนวงโคจร ดาวเทยมจะใชพลงงานเทากบ 101.19 10 J ตอบ

พลงงานนเทยบไดกบพลงงานจากน ามนเบนซนจ านวน 89 แกลอน แสดงวาการเปลยนวงโคจรของจรวดใชพลงงานไมมาก เนองจากบรเวณนนมแรงดงดดนอยและไมมแรงตานของอากาศ



จรวดและยำนอวกำศ

เซอรไอแซค นวตน นกวทยาศาสตรชาวองกฤษ ผคดคนทฤษฎเรองแรงโนมถวงของโลกและการเดนทางสอวกาศเมอสามรอยปมาแลว ไดอธบายไววา หากเราอยบนหอสง ดงรป 13.26 แลวยงปนออกไปในแนวระดบ ลกปนกจะเคลอนทแบบวถโคงตามเสนทาง A ดงรป

รป 13.26 วถการเคลอนทของวตถ เมอความเรวตนตางๆกน

แตถาเราใชปนทแรงขน ลกปนกจะเคลอนทไดไกลมากขนตามเสนทาง B แตถาใชปนทมความแรงมากขนไปอก ลกปนกจะไมตกสพนโลกอก แตจะโคจรรอบโลกเปนวงกลมตามเสนทาง C และถาหากใชปนทมความแรงมากขนไปอก เสนทางการโคจรรอบโลกกจะเปนรปวงร ตามเสนทาง D และใชปนทมความแรงมากขนไปอกลกปนกจะหลดพนออกจากแรงดงดดของโลกตามเสนทาง E และจะวงออกจากการโคจรรอบโลก เราเรยกความเรวนอยทสดทท าใหลกปนสามารถเคลอนทออกจากแรงดงดดของโลกไดวา“อตรำเรวผละหน” (escape speed) และนกวทยาศาสตรไดน าเอาหลกการนมาใชในการสงดาวเทยมขนไปโคจรรอบโลกหรอสงยานอวกาศไปยงดาวดวงอน



อตรำเรวผละหน (escape speed)

รป 13.27 การยงปนในแนวทตงฉากกบพนโลก

นกศกษาคงจะเคยเหนการยงปนขนฟา การยงดงกลาวไมนานลกปนกจะตกลงมา แตกมนกคดหลายคนคดวาเปนไปไดหรอไมทเมอยงปนไปแลว ลกปนไมตกลงมายงพนโลก ในทสดกเชอวาเปนไปได แตความเรวตนของลกปนตองมความเรวสงมาก ตอไปนจะเปนการพสจนเพอหาความเรวนอยทสดทลกปนจะไมตกกลบลงมาเมอยงขนฟาในแนวดง ความเรวนเรยกวา ควำมเรวหลดพน การค านวณหาคาความเรวหลดพนท าไดโดยใชกฎอนรกษพลงงาน ดงน

รป 13.28 วตถมวล m ถกยงจากผวโลกดวยความเรวตน iv ขนไปไดระยะความสง h



ถาใหมวล m ถกยงขนฟาในแนวดงดวยความเรวตน iv แลวไมตกกลบลงมา ดงรป 13.28 พจารณาลกปนทต าแหนงเรมตนและต าแหนงสดทาย

จำกกฎกำรอนรกษพลงงำน

พลงงานทต าแหนง i = พลงงานทต าแหนง f

i i f fK U K U 2

max

10

2

E Ei

E

GM m GM mmv

R r

2

max

1

2

E Ei

E

GM m GM mmv

R r

จะได 2

max

1 12i E

E

v GMR r

(13.27)

เมอ maxr เปนระยะทลกปนพนจากแรงดงดดของโลกแลว ดงนนระยะทางนจะถอวามคาอนนต หรอ maxr สมการ (13.27) จงเขยนใหมไดวา

2 1 12i E

E

v GMR

2 2 Ei

E

GMv

R

จะได i

2 E

E

GMv

R

ความเรวนเรยกวา ควำมเรวหลดพน

ดงนน esc

2 E

E

GMv

R (13.28)

สมกำร (13.28) มควำมหมำยวำควำมเรวหลดพน ( )escv ของสงตำงๆทจะวงหลดออกจำกแรงดงดดของโลกมคำคงตว ไมขนอย กบมวลของอนภำคทจะผละหน



ตวอยำง 13.10 จงหาความเรวตน 0( )v ทนอยทสดของลกปนใหญทเมอยงในแนวตงฉากกบพนโลกแลวจะไมตกลงมา

วธท ำ จาก 2 Eesc

E

GMv

R

………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….

41.12 10 /escv m s ความเรวผละหน 41.12 10 /escv m s ตอบ

ค ำน ำ - atom.rmutphysics.com · 17.4...

Documents

Transcript of ค ำน ำ - atom.rmutphysics.com · 17.4...