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分数裂项求和方法总结
（1） 用裂项法求1
( 1)n n + 型分数求和
分析：因为1 1
1n n−
+＝
1 1
( 1) ( 1) ( 1)
n n
n n n n n n
+ − =+ + + （n为自然数）
所以有裂项公式：1 1 1
( 1) 1n n n n= −
+ +
【例1】 求1 1 1
......10 11 11 12 59 60
+ + +× × ×
的和。
1 1 1 1 1 1( ) ( ) ...... ( )10 11 11 12 59 601 1
10 601
12
= − + − + + −
= −
=
（2） 用裂项法求1
( )n n k+ 型分数求和
分析：1
( )n n k+ 型。（n,k均为自然数）
因为1 1 1 1 1
( ) [ ]( ) ( ) ( )
n k n
k n n k k n n k n n k n n k
+− = − =+ + + +
所以1 1 1 1
( )( )n n k k n n k
= −+ +
【例2】 计算1 1 1 1 1
5 7 7 9 9 11 11 13 13 15+ + + +
× × × × ×
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 5 7 2 7 9 2 9 11 2 11 13 2 13 15
= − + − + − + − + −
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
[( ) ( ) ( ) ( ) ( )]2 5 7 7 9 9 11 11 13 13 15
= − + − + − + − + −
1
1 1 1[ ]
2 5 151
15
= −
=
（3） 用裂项法求 ( )
k
n n k+ 型分数求和
分析：( )
k
n n k+ 型（n,k均为自然数）
1 1
n n k−
+＝
( ) ( )
n k n
n n k n n k
+ −+ + ＝
( )
k
n n k+
所以( )
k
n n k+ ＝1 1
n n k−
+
【例3】 求2 2 2 2
......1 3 3 5 5 7 97 99
+ + + +× × × ×
的和
1 1 1 1 1 1 1(1 ) ( ) ( ) ...... ( )
3 3 5 5 7 97 991
199
98
99
= − + − + − + + −
= −
=
（4） 用裂项法求2
( )( 2 )
k
n n k n k+ + 型分数求和
分析：2
( )( 2 )
k
n n k n k+ + （n,k均为自然数）
2 1 1
( )( 2 ) ( ) ( )( 2 )
k
n n k n k n n k n k n k= −
+ + + + +
【例4】 计算：4 4 4 4
......1 3 5 3 5 7 93 95 97 95 97 99
+ + + +× × × × × × × ×
2
1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ...... ( ) ( )1 3 3 5 3 5 5 7 93 95 95 97 95 97 97 991 1
1 3 97 993200
9603
= − + − + + − + −× × × × × × × ×
= −× ×
=
（5） 用裂项法求1
( )( 2 )( 3 )n n k n k n k+ + + 型分数求和
分析：1
( )( 2 )( 3 )n n k n k n k+ + + （n,k均为自然数）
1 1 1 1
( )( )( 2 )( 3 ) 3 ( )( 2 ) ( )( 2 )( 3 )n n k n k n k k n n k n k n k n k n k
= −+ + + + + + + +
【例5】 计算：1 1 1
......1 2 3 4 2 3 4 5 17 18 19 20
+ + +× × × × × × × × ×
1 1 1 1 1 1 1[( ) ( ) ...... ( )]
3 1 2 3 2 3 4 2 3 4 3 4 5 17 18 19 18 19 201 1 1
[ ]3 1 2 3 18 19 20
1139
20520
= − + − + + −× × × × × × × × × × × ×
= − −× × × ×
=
（6） 用裂项法求3
( )( 2 )( 3 )
k
n n k n k n k+ + + 型分数求和
分析：3
( )( 2 )( 3 )
k
n n k n k n k+ + + （n,k均为自然数）
3 1 1
( )( 2 )( 3 ) ( )( 2 ) ( )( 2 )( 3 )
k
n n k n k n k n n k n k n k n k n k= −
+ + + + + + + +
【例6】 计算：3 3 3
......1 2 3 4 2 3 4 5 17 18 19 20
+ + +× × × × × × × × ×
3
1 1 1 1 1 1( ) ( ) ...... ( )1 2 3 2 3 4 2 3 4 3 4 5 17 18 19 18 19 20
1 1
1 2 3 18 19 201139
6840
= − + − + + −× × × × × × × × × × × ×
= − −× × × ×
=
（七）用裂项法求复合型分数和（例题略）
4
