STANDAR KOMPETENSIMenggunakan aturan sukubanyak dalam penyelesaian masalah

KOMPETENSI DASAR1.Menggunakan algoritma pembagian

sukubanyak untuk menentukan hasil bagi dan sisa pembagian.

2.Menggunakan teorema sisa dan teorema faktor dalam pemecahan masalah serta mencari akar-akar persamaan.

Suku banyak/Polinom dalam x berderajad n di tulis :f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + an-3xn-3 + .... + a2x2 + a1x + ao dengan n Cacah ∈Dimana : anxn adalah suku utama

an, an-1, ... Adalah konstantaKita dapat menentukan nilai suku banyak dengan cara substitusi.Soal :1.Diketahui suku banyak f(x) = 2x4 – 4x2 – x – 4. Tentukan :

a. f(-1) + f(0) = …. b. f(x – 1) + f(1 – x) = ….c. Nilai suku banyak tersebut untuk x = - 2

2.Pada sukubanyak f(x) = x3 – x2 – 2x. Tentukan nilai k > 0 yang memenuhi f(k) = 0 !

Misal pada suku banyak f(x) = axMisal pada suku banyak f(x) = ax33 + bx + bx22 + cx + d. Tentukan nilai suku + cx + d. Tentukan nilai suku banyak tersebut untuk x = k atau f(k).banyak tersebut untuk x = k atau f(k).

a b c da b c d

ak akak ak22 + bk + bk akak33 + bk + bk22 + + cckk

kk

a ak + b a ak + b akak22 + bk + + bk + c c akak33 + bk + bk22 + + cck + d k + d

+

f (k)f (k)

SOALSOAL1.1.Gunakan skema untuk menentukan nilai dari f(2) pada suku banyak : Gunakan skema untuk menentukan nilai dari f(2) pada suku banyak :

a.a. f(x) = 2xf(x) = 2x33 – x – x22 + 2x – 2 + 2x – 2 b.b. f(x) = - 2xf(x) = - 2x44 + 3x + 3x33 – x – x22 + 2 + 2

Suku Banyak f(x) berderajad m dan Suku Banyak g(x) berderajad n, maka :1.f(x) ± g(x) adalah Suku Banyak berderajad maksimum m atau n2.f(x) . g(x) adalah Suku Banyak berderajad m + n

1. Jika f(x) = 2x3 + 4x2 – 2x -4 dan g(x) = x4 – 2x2 – 4 , tentukan suku banyak h(x) jika :a. h(x) = f(x) + g(x)b. h(x) = f(x) . g(x – 2)c. h(x) = 2f(2x – 1) – g(x2)

Bentuk umum pembagian suku banyak f(x) dengan p(x) Bentuk umum pembagian suku banyak f(x) dengan p(x) menghasilkan h(x) dan bersisa S(x) dapat ditulis :menghasilkan h(x) dan bersisa S(x) dapat ditulis :

Note Note : : 1.1.Jumlah derajad tertinggi p(x) dan h(x) harus sama dengan Jumlah derajad tertinggi p(x) dan h(x) harus sama dengan derajad f(x) derajad f(x) 2.2.Derajad S(x) satu kurangnya dari derajad pembagiDerajad S(x) satu kurangnya dari derajad pembagi

Teknik Pembagian Suku Banyak :Teknik Pembagian Suku Banyak :1.1.Pembagian Bersusun (Cara Pembagian Bersusun (Cara pembagian berekorpembagian berekor))2.2.Identitas (Koefisien)Identitas (Koefisien)3.3.Sintetik (Horner) Sintetik (Horner)

Ingat:Ingat:11

8034

8034117

7733

3

3304

0

04Remainder

11

4730

Contoh 1 (pembagian bersusun) :

2

822

x

xx

822 2 xxxx

xx 22 x4 8

4

84 x0

Cek

)2)(4( xx

8422 xxx

822 xx

x

x2

)2(xx

x

x4 )2(4 x

36x

Contoh 2:

7

42133

36

x

xx

3x

36 7xx 42

6

426 3 x0

Check

)6)(7( 33 xx

4276 336 xxx

4213 36 xx

)7( 33 xx

)7(6 3x

42137 363 xxx

3

6

x

x

3

36

x

x

1

124

x

xx

1001 234 xxxxx

3x

34 xx 3x 2x

2x

23 xx 22x x0

x2 x2

xx 22 2 x2 1

2

12 x22 x3

1

3

x

Contoh 3

Contoh 4

yy

yyy

523

19730152

23

7301915253 232 yyyyyy5

yyy 102515 23 26y y20

2

4106 2 yy11y10

7

253

11102

yy

y

x4+x2+1 = (x+1) (ax3+bx2+cx+d) + ePersamaan koefisien ruas kiri dan kanan :x4 : 1 = ax3 : 0 = b + a ; didapat b = -1x2 : 1 = c + b ; didapat c = 2x1 : 0 = d + c ; didapat d = -2x0 : 1 = d + e ; didapat e = 3Jadi x4+x2+1 = (x+1) (x3-x2+2x-2) + 3

Contoh 5 ( Identitas ) :

Contoh 6 ( Horner ) : x4+x2+1 : (x+1) = x3-x2+2x-2 + (3)

11 00 11 00 11

-1-1

11 -1-1 22 -2-2 3 (sisa)3 (sisa)

-1-1 11 -2-2 22

(hasil bagi)(hasil bagi)

1. Suku Banyak f(x) jika dibagi oleh (x – k) menghasilkan h(x) dan sisa S dapat ditulis f(x) = (x – k) . h(x) + Sf(x) = (x – k) . h(x) + S

Bukti : Dengan Teknik Horner f(x) = af(x) = annxxnn + a + an-1n-1xxn-1n-1 + a + an-2n-2xxn-2n-2 + a + an-3n-3xxn-3n-3 + .... + a + .... + a22xx22 + a + a11x + ax + a00

k

aann a an-1 n-1 a an-2 n-2 aan-3n-3 ...... a ...... a00

aann

aann k k aan-1n-1k+k+aannkk22 ........... ...........

aan-2 n-2 +a+an-1n-1k+ak+annkk22

aan-1n-1+a+annkk aan-3 +n-3 +aan-2 n-2 kk++..aan-1n-1kk22+a+annkk33

....... aa00+ + aa11kk +a+a22kk22+...++...+ a an-1n-1kkn-1n-1+ a+ annkknn

SISA

+

Terbukti bahwa Sisa = f(k)Terbukti bahwa Sisa = f(k)

Ex : Using the remainder theorem, evaluate P(x) = x 4 – 4x – 1

when x = 3.

9

1 0 0 – 4 – 13

1

3

3 9

6927

23 68

The remainder is 68 at x = 3, so P(3) = 68.

You can check this using substitution: P(3) = (3)4 – 4(3) – 1 = 68.

value of x

Note:

2. Suku Banyak f(x) jika dibagi oleh (ax – p) menghasilkan h(x) dan sisa S dapat ditulis f x ax – p h x S

p a x – . h(x) S

a

px – . a.h(x) S

a

SOALSOAL : : Tentukan hasil bagi dan sisa jika :Tentukan hasil bagi dan sisa jika :1.1.2x2x4 4 + 4x+ 4x3 3 – 3x – 4 dibagi oleh 2x – 6 – 3x – 4 dibagi oleh 2x – 6 2.2.6x6x6 6 – – 151151xx44 – – 132132x dibagi oleh 0,2x – 1 x dibagi oleh 0,2x – 1 3.3.- 2x- 2x55 – x – x33+x – 1 dibagi oleh 1 – 2x +x – 1 dibagi oleh 1 – 2x

Hasil Bagi Horner Hasil Bagi Horner

Hasil Bagi Horner

Maka: h(x)a

3. Suku Banyak f(x) jika dibagi oleh (x – a)(x – b) menghasilkan h(x) dan sisa S(x) dapat ditulis f(x) = (x – a)(x – b).h(x) + S(x)

Jika dianggap P1 = (x – a) dan P2 = (x – b) maka : f(x) = (x – a) hf(x) = (x – a) h11(x) + S(x) + S11 ---> Sisa S ---> Sisa S11 berderajad satu berderajad satu hh11(x) = (x – b) h(x) = (x – b) h22(x) + S(x) + S22 ---> Sisa S ---> Sisa S22 berderajad satu berderajad satu f(x) = (x – a){ (x – b) hf(x) = (x – a){ (x – b) h22(x) + S(x) + S2 2 } + S} + S11

f(x) = (x – a)(x – b) hf(x) = (x – a)(x – b) h22(x) + (x – a) S(x) + (x – a) S22 + S + S11 SISASISA

Pada suku banyak f(x) = (x – a)(x – b).h(x) + mx + nPada suku banyak f(x) = (x – a)(x – b).h(x) + mx + nSubstitusi x = a f(a) = am + n ------ (1)⇨Substitusi x = a f(a) = am + n ------ (1)⇨Substitusi x = b f(b) = bm + n ------ (2)⇨Substitusi x = b f(b) = bm + n ------ (2)⇨Dari (1) dan (2) didapatkan nilai : Dari (1) dan (2) didapatkan nilai :

f(a) f(b) b.f(a) a.f(b)

m dan na b b a

3. Suku Banyak f(x) jika dibagi oleh (x – a)(x – b)(x – c) menghasilkan h(x) dan sisa S(x) dapat ditulis

f(x) = (x – a)(x – b)(x – c).h(x) + S(x) f(x) = (x – a)(x – b)(x – c).h(x) + S(x) Jika dianggap P1 = (x – a), P2 = (x – b) dan P3 = (x – c) maka : f(x) = (x – a)hf(x) = (x – a)h11(x) + S(x) + S11

hh11(x) = (x – b)h(x) = (x – b)h22(x) + S(x) + S22

hh22(x) = (x – c)h(x) = (x – c)h33(x) + S(x) + S33

hh11(x) = (x – b) { (x – c)h(x) = (x – b) { (x – c)h33(x) + S(x) + S3 3 } + S} + S22

= (x – b)(x – c)h= (x – b)(x – c)h33(x) + (x – b)S(x) + (x – b)S33 + S + S22

f(x) = (x – a) { (x – b)(x – c)hf(x) = (x – a) { (x – b)(x – c)h33(x) + (x – b)S(x) + (x – b)S33 + S + S2 2 } + S} + S11

= (x – a)(x – b)(x – c)h= (x – a)(x – b)(x – c)h33(x) + (x – a)(x – b)S(x) + (x – a)(x – b)S33 +(x – a)S +(x – a)S22 + S + S11

SS1 1 , S, S2 2 dan Sdan S33 berderajad duaberderajad dua

SISASISA

Jika suku banyak f(x) dibagi oleh p(x) memberikan sisa Jika suku banyak f(x) dibagi oleh p(x) memberikan sisa adalah nol maka p(x) disebut faktor dari f(x). adalah nol maka p(x) disebut faktor dari f(x).

TEOREMATEOREMA :(x – a) merupakan faktor dari f(x) ⇔ f(a) = 0

Soal :1. Tentukan nilai k agar (x – 1) merupakan faktor dari x3 + 4x2 – kx + 72. Tentukan nilai k jika x – y merupakan faktor dari suku banyak

f(x,y) = x3 – 5x2y + kx2y – x + y

Ex : Show that (x + 2) and (x – 1) are factors of P(x) = 2x 3 + x2 – 5x + 2.

6

2 1 – 5 2– 2

2

– 4

– 3 1

– 2

0

The remainders of 0 indicate that (x + 2) and (x – 1) are factors.

– 1

2 – 3 11

2

2

– 1 0

The complete factorization of P is (x + 2)(x – 1)(2x – 1).

SOAL : 1.Tentukan hasil bagi h(x) dan sisa S(x) dengan metode horner dan metode koefisien tak tentu jika :

a. 2x3 + 4x2 – 2x – 4 dibagi oleh (x – 4)(x – 2)b. 6x4 – 2x2 – 4x dibagi oleh (x2 – x – 6)c. 6x4 – 2x2 – 4x dibagi oleh (2x – 1)(x + 2)d. 2x4 + 4x3 – 3x – 4 dibagi oleh (2x – 1)(2x – 4) e. x4 + x3 – 2x – 4 dibagi oleh 2x2 – x

2.Tentukan hasil bagi h(x) dan sisa S(x) jika :a. 2x3 – 2x2 – 4x + 2 dibagi oleh x2 – x – 1b. 4x4 + x3 – 2x – 4 dibagi oleh 2x2 – x + 2c. -2x4 + x3 + 2x dibagi oleh x3 – x2 + 2d. x4 + x3 – 2x + 2 dibagi oleh 2x2 – x + 2

Akar-Akar Persamaan Suku banyak/Polinom dalam x berderajad n di tulis :f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + an-3xn-3 + .... + a2x2 + a1x + ao dengan n bilangan cacah.Jika n = 1 maka suku banyak disebut “monic polynomial”

Nilai x yang menyebabkan f(x) = 0 disebut akar-akar suku banyak. Menentukan akar-akar suku banyak berarti menentukan faktor-faktor dari suku banyak tersebut.Jika (x – k) merupakan salah satu faktor dari f(x) maka nilai suku banyak tersebut adalah f(k) yang tentunya habis di bagi k.

f(x) = ankn + an-1kn-1 + an-3kn-3 + .... + a2k2 + a1k + ao

Berarti k|ao k membagi ao

Contoh 1 :Tentukan faktor-faktor dari P(x) = 2x3 – x2 – 7x + 6Jawab:Misalkan faktornya (x – k), maka nilai k yang mungkin adalah pembagi bulat dari 6, yaitupembagi bulat dari 6 ada 8 buah yaitu: ±1, ±2, ±3, dan ±6. Nilai-nilai k itu kita substitusikan ke P(x), misalnya k = 1diperoleh:P(1) = 2.13 – 1.12 – 7.1 + 6 = 2 – 1 – 7 + 6 = 0

Oleh karena P(1) = 0, maka (x–1) adalah salah satu faktor dari P(x) = 2x3 – x2 -7x + 6

Untuk mencari faktor yang lain, kita tentukan hasil bagi P(x) oleh (x – 1) dengan pembagian horner

Koefisien sukubanyakP(x) = 2x3 – x2 – 7x + 6adalah 2 -1 -7 6 k = 1

Hasil baginya: H(x) = 2x2 + x - 6

+2

2 1

1 -6

-6 0

Koefisien hasil bagi

Karena hasil baginya adalahH(x) = 2x2 + x – 6 = (2x – 3)(x + 2)dengan demikian2x3 – x – 7x + 6 = (x – 1)(2x2 + x – 6)2x3 – x – 7x + 6 = (x – 1)(2x – 3)(x + 2)Jadi faktor-faktornya adalah(x – 1), (2x – 3 ) dan (x + 2)Sehingga akar-akar rasional dari suku banyak 2x3 – x2 – 7x + 6 = 0 adalah 1, 3/2 dan – 2.

Contoh 2 :Tentukan akar-akar rasional dari 4x3 – 3x2 – 9x – 2 = 0Jawab:Misalkan faktornya (x – k), maka nilai k yang mungkin adalah pembagi bulat dari 2, yaitu ± 1 dan ± 2. Substitusi x = 2 menghasilkan 4(8) – 3(4) – 9(2) – 2 = 0 maka x = 2 merupakan salah satu akar persamaan tersebut atau (x – 2) merupakan salah satu faktor. Dengan menggunakan metode sintetik (Horner) didapatkan :

4 - 3 - 9 -2

24 5 1 0

8 10 2

Hasil baginya : 4x2 + 5x + 1 = 0 yang merupakan faktor. 4x2 + 5x + 1 = (4x + 1)(x + 1)

1dan4

1 2,adalah tersebut persamaan akar -Akar : Jadi