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SUCESSÕES DE NÚMEROS REAIS
Sucessões
Chama-se sucessão de números reais ou sucessão em IR a toda a aplicação f doconjunto IN dos números naturais em IR , IRIN:f →
( ) IRxnf n ∈=
Chamamos termos da sucessão aos elementos do contradomínio de f e chamamostermo geral da sucessão a ( )nfxn = .
Designamos a sucessão f por ( ) INnnx ∈ , mais simplesmente por ( )nx ou nx .
Para conhecer a sucessão basta encontrar um processo de exprimir o seu termogeral nx que gera a sucessão.
Exemplos:
• A função IRIN:f → definida por ( ) 21 =f , ( )2
32 =f , ( )
3
43 =f , ( )
4
54 =f ,... é
a sucessão de termo geral n
nxn
1+= .
• Existem casos em que para conhecer a sucessão é útil optar por um processo derecorrência, isto é, dar o primeiro termo da sucessão e uma regra que permitadeterminar um termo da sucessão a partir do termo anterior, por exemplo,
nxnx,x 21 11 == + . Neste caso os termos da sucessão são
222 25
24
23
121 22221 ===== x,x,x,x,x ,...
• Não se fique no entanto com a ideia que só se pode considerar definida umasucessão quando se conhece o termo geral ou quando ela se pode definir porrecorrência. Por exemplo a sucessão
K,x,x,x,x,x,x,x 1713117532 7654321 =======
não é susceptível de ser definida pornenhum dos processos anteriores . Para adefinir bastará dizer "a sucessão dos números primos" .
Subsucessões
Chama-se subsucessão de ( )nx a uma sucessão ( )ny constituída por uma infinidade
de termos de ( )nx , todos distintos e escolhidos de forma a respeitar a sua ordenação
inicial.
Por exemplo, a sucessão dos números pares 2, 4, 6, 8, 10,… e a sucessão dos
números impares, 1, 3, 5, 7, 9,… constituem subsucessões da sucessão dos números
naturais 1, 2, 3, 4, 5, …
Mas, de acordo com a definição adoptada, a sucessão constante 3, 3, 3, 3, … e a
sucessão 4, 3, 8, 5, 12, 7, 16, 9,… não são subsucessões da sucessão dos números
naturais, porque a ordenação inicial não é respeitada.
Sucessões limitadas
Seja ( )nx uma sucessão real e X o conjunto dos seus termos, { }INnxX n ∈= : .
A sucessão ( )nx é limitada se o conjunto X, é um conjunto limitado.
Assim, a sucessão ( )nx é limitada se e só se existem números reais ba e tais
que [ ]baX ,⊆ .
Se ( )nx é limitada, tomando { }baM ,max= tem-se que
[ ] [ ]MMXbaX ,, −⊆⇒⊆
sendo então INnMxn ∈∀≤ , .
Reciprocamente, se INnMxn ∈∀≤ , , tem-se que [ ]MMX ,−⊆ e a sucessão ( )nxé limitada.
Tem-se pois:
Uma sucessão real ( )nx é limitada se e só se existe um número real positivo M tal que
INnMxn ∈∀≤ , .
Exemplos:
• A sucessão de termo geral ( )nn
xn sin1
= é limitada porque o conjunto dos seus
termos está contido no intervalo ] [1,1− , sendo portanto limitado.
• A sucessão de termo geral n
yn1
= é limitada porque o conjunto dos seus termos
está contido no intervalo ] ]1,0 , sendo portanto limitado.
• A sucessão de termo geral ( )nnu 1−= é limitada porque o conjunto dos seus
termos se reduz a { }1,1− que é limitado.
• A sucessão de termo geral 12 += nvn não é limitada porque o conjunto dos seus
termos (conjunto dos números impares) não é majorado.
Sucessões convergentes
A sucessão real ( )nx converge para IRa∈ ou a é limite de ( )nx , e escreve-se
axax nn =→ limou , quando
δ<−⇒≥∈∃>δ∀ axpnINp n:,0 ou )(:,0 aVxpnINp n δ∈⇒≥∈∃>δ∀
Uma sucessão ( )nx diz-se convergente se existe IRa∈ tal que axn =lim .
Uma sucessão que converge para zero diz-se um infinitésimo.
Observações :
1) A ordem p depende óbviamente do número real δ tomado e é tanto maior quanto
menor éδ .
2) No complementar do intervalo ] [δ+δ− aa , existe apenas um número finito de
termos da sucessão.
3) Dizer que uma sucessão ( )nx converge para a é equivalente a dizer que a sucessão
de termo geral axn − é um infinitésimo.
Exemplos:
• A sucessão de termo geral n
xn1
= converge para zero. Com efeito, dado 0>δ ,
tomando INp∈ tal que δ
>1
p , tem-se que ] [δδ−∈ ,nx sempre que pn ≥ .
• A sucessão de termo geral 1
3
+=n
nyn converge para 3 porque
1
33
1
3
+=−
+ nn
n e,
sendo nn
3
1
3≤
+, tomando INp∈ tal que
δ>3
p , tem-se que ] [δδ−∈ ,nx sempre
que pn ≥ .
Propriedades das sucessões convergentes
1) O limite duma sucessão convergente não se altera se modificarmos um número
finito dos seus termos.
2) O limite duma sucessão constante é a própria constante.
3) O limite duma sucessão, quando existe, é único.
4) Toda a subsucessão duma sucessão convergente para a , converge também para a .
5) Sejam ( )nx e ( )ny duas sucessões tais que axn =lim e byn =lim , com a e b
números reais :
(i) Se ba < existe INp∈ tal que nn yxpn <⇒≥ .
A recíproca é falsa: Se n
nxn
1−= ,
n
nyn
1+= tem-se nn yx < e 1limlim == nn yx .
(ii) Se existe INp∈ tal que nn yx < a partir da ordem p, então ba < .
(iii) A sucessão de termo geral nn yx + converge para ba + .
Esta propriedade generaliza-se, por indução, a um número finito qualquer de
sucessões convergentes.
(iv) A sucessão de termo geral nn yx converge para ab . Esta propriedade
generaliza-se, por indução, a um número finito qualquer de sucessões convergentes.
(v) Se ( )ny tiver todos os termos diferentes de zero e se o seu limite b também fôr
diferente de zero, a sucessão de termo geral n
n
y
x é convergente para
b
a.
(vi) A sucessão de termo geral nx converge a .
6) Toda a sucessão convergente é limitada
7) Se nnn yxu = em que ( )nx é um infinitésimo e ( )ny é uma sucessão limitada,
então ( )nu é um infinitésimo.