Cálculo II Sucessões de números reais –...
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Cálculo IISucessões de números reais – revisões
Mestrado Integrado em Engenharia Aeronáutica
António [email protected]
Departamento de Matemática
Universidade da Beira Interior
2012/2013
António Bento (UBI) Cálculo II 2012/2013 1 / 74
Índice
1 Definição e exemplos
2 Sucessões limitadas
3 Sucessões monótonas
4 Sucessões convergentes
5 Operações com limites
6 Subsucessões
7 Infinitamente grandes
8 A sucessão de termo geral an
9 Exercícios
António Bento (UBI) Cálculo II 2012/2013 2 / 74
Índice
1 Definição e exemplos
2 Sucessões limitadas
3 Sucessões monótonas
4 Sucessões convergentes
5 Operações com limites
6 Subsucessões
7 Infinitamente grandes
8 A sucessão de termo geral an
9 Exercícios
António Bento (UBI) Cálculo II 2012/2013 3 / 74
1 – Definição e exemplos
Uma sucessão é uma correspondência que a cada número natural nfaz corresponder um e um só número real.
Assim, uma sucessão é uma função real de variável natural, ou seja,uma sucessão é uma função
u : N → R.
Para designarmos o valor da função em n costuma usar-se a notação
un em vez de u(n).
António Bento (UBI) Cálculo II 2012/2013 4 / 74
1 – Definição e exemplos
Aos valoresu1, u2, . . . , un, . . .
chamamos termos da sucessão e
ao valor u1 chamamos termo de ordem 1 ou primeiro termo
da sucessão;
ao valor u2 chamamos termo de ordem 2 ou segundo termo
da sucessão;
ao valor u3 chamamos termo de ordem 3 ou terceiro termo dasucessão;
etc
À expressão un chamamos termo geral da sucessão.
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1 – Definição e exemplos
Escreveremos(u1, u2, . . . , un, . . .),
ou(un)n∈N,
ou simplesmente(un)
para indicar a sucessão u.
O conjuntou(N) = {un : n ∈ N}
designa-se por conjunto dos termos da sucessão (un)n∈N.
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1 – Definição e exemplos
Exemplos de sucessões
a) Façamosun = 1 para todo o n ∈ N,
isto é,(1, 1, . . . , 1, . . .)
é a sucessão constante e igual a 1. Mais geralmente, dado c ∈ R efazendo
vn = c para qualquer n ∈ N,
temos a sucessão constante e igual a c. Neste caso
v(N) = {c} .
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1 – Definição e exemplos
Exemplos de sucessões (continuação)
b) Consideremos a sucessão de termo geral un = (−1)n.
O primeiro termo desta sucessão é u1 = (−1)1 = −1.
O segundo termo desta sucessão é u2 = (−1)2 = 1.
O terceiro termo desta sucessão é u3 = (−1)3 = −1.
O quarto termo desta sucessão é u4 = (−1)4 = 1.
E assim sucessivamente.
Podemos concluir que os termos de ordem par são todos iguais a 1 eque os termos de ordem ímpar são todos iguais a −1. Assim, a listaque se segue dá-nos todos os termos da sucessão
−1, 1, −1, 1, −1, 1, −1, 1, −1, 1, . . .
e o conjunto dos termos desta sucessão é
u(N) = {−1, 1} .
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1 – Definição e exemplos
Exemplos de sucessões (continuação)
c) Seja u a sucessão definida por
un = n.
Entãou(N) = N.
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1 – Definição e exemplos
Exemplos de sucessões (continuação)
d) Seja
un =1n
para todo o n ∈ N.
Podemos escrever esta sucessão das seguintes formas:(
1,12
,13
,14
, . . . ,1n
, . . .
)
,
ou(
1n
)
n∈N
,
ou(
1n
)
.
Neste exemplo temos u(N) ={
1n
: n ∈ N
}
.
António Bento (UBI) Cálculo II 2012/2013 10 / 74
1 – Definição e exemplos
Observação
O exemplo a) mostra que(un)n∈N
eu(N)
são coisas diferentes e que, por conseguinte, não devem serconfundidas. Neste exemplo tem-se
(un) = (1, 1, 1, . . . , 1, . . .),
enquanto queu(N) = {1} .
Algo de semelhante acontece no exemplo b).
António Bento (UBI) Cálculo II 2012/2013 11 / 74
Índice
1 Definição e exemplos
2 Sucessões limitadas
3 Sucessões monótonas
4 Sucessões convergentes
5 Operações com limites
6 Subsucessões
7 Infinitamente grandes
8 A sucessão de termo geral an
9 Exercícios
António Bento (UBI) Cálculo II 2012/2013 12 / 74
2 – Sucessões limitadas
Uma sucessão (un)n∈N diz-se limitada se existirem números reais a e btais que
a 6 un 6 b para todo o n ∈ N;
ou ainda, se existirem números reais a e b tais que
un ∈ [a, b] para todo o n ∈ N.
Como todo o intervalo [a, b] está contido num intervalo da forma[−c, c], para algum c ∈ R, uma sucessão (un) é limitada se existir umnúmero real c > 0 tal que
un ∈ [−c, c] para todo o n ∈ N,
o que é equivalente a existe c > 0 tal que
|un| 6 c para todo o n ∈ N.
As sucessões que não são limitadas dizem-se ilimitadas.António Bento (UBI) Cálculo II 2012/2013 13 / 74
2 – Sucessões limitadas
Exemplos
a) A sucessão de termo geral
un = 4 + (−1)n =
{
3 se n é ímpar;
5 se n é par;
é limitada pois
3 6 un 6 5 para qualquer número natural n.
António Bento (UBI) Cálculo II 2012/2013 14 / 74
2 – Sucessões limitadas
Exemplos (continuação)
b) Consideremos a sucessão de termo geral
un =n + 2
n.
Comon + 2
n=
n
n+
2n
= 1 +2n
podemos concluir que
1 6 un 6 3 para cada número natural n.
Assim, esta sucessão é limitada.
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2 – Sucessões limitadas
Exemplos (continuação)
c) A sucessão un = n2 não é limitada. De facto,
u1 = 1; u2 = 4; u3 = 9; u4 = 16; . . .
pelo que a sucessão não é limitada superiormente.
d) A sucessão de termo geral vn = −n também não é limitada pois
v1 = −1; v2 = −2; v3 = −3; . . .
ou seja, esta sucessão não é limitada inferiormente.
António Bento (UBI) Cálculo II 2012/2013 16 / 74
Índice
1 Definição e exemplos
2 Sucessões limitadas
3 Sucessões monótonas
4 Sucessões convergentes
5 Operações com limites
6 Subsucessões
7 Infinitamente grandes
8 A sucessão de termo geral an
9 Exercícios
António Bento (UBI) Cálculo II 2012/2013 17 / 74
3 – Sucessões monótonas
Uma sucessão (un)n∈N diz-se crescente se
un+1 > un para todo o n ∈ N
e diz-se decrescente se
un+1 6 un para todo o n ∈ N.
Equivalentemente, (un)n∈N é crescente se
un+1 − un > 0 para todo o n ∈ N
e é decrescente se
un+1 − un 6 0 para todo o n ∈ N.
Uma sucessão diz-se monótona se for crescente ou se for decrescente.
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3 – Sucessões monótonas
Exemplos de sucessões monótonas
a) Consideremos a sucessão de termo geral un =2n − 1
n + 1. Como
un+1 − un =2(n + 1) − 1
(n + 1) + 1−
2n − 1
n + 1
=2n + 1
n + 2−
2n − 1
n + 1
=(2n + 1)(n + 1) − (2n − 1)(n + 2)
(n + 1)(n + 2)
=2n
2 + 2n + n + 1 − (2n2 + 4n − n − 2)
(n + 1)(n + 2)
=2n
2 + 3n + 1 − 2n2
− 3n + 2
(n + 1)(n + 2)
=3
(n + 1)(n + 2)> 0
para qualquer número natural n, a sucessão é crescente.
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3 – Sucessões monótonas
Exemplos de sucessões monótonas (continuação)
b) Para a sucessão de termo geral un =2n + 1
n, temos
un+1 − un =2(n + 1) + 1
n + 1−
2n + 1
n
=2n + 3
n + 1−
2n + 1
n
=(2n + 3)n − (2n + 1)(n + 1)
n(n + 1)
=2n
2 + 3n − (2n2 + 2n + n + 1)
n(n + 1)
=2n
2 + 3n − 2n2
− 3n − 1
n(n + 1)
=−1
n(n + 1)6 0
para qualquer número natural n. Logo a sucessão é decrescente.
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Índice
1 Definição e exemplos
2 Sucessões limitadas
3 Sucessões monótonas
4 Sucessões convergentes
5 Operações com limites
6 Subsucessões
7 Infinitamente grandes
8 A sucessão de termo geral an
9 Exercícios
António Bento (UBI) Cálculo II 2012/2013 21 / 74
4 – Sucessões convergentes
Dados uma sucessão (un)n∈N e um número real a, dizemos que (un)converge ou tende para a se para qualquer ε > 0, existe N ∈ N talque
|un − a| < ε para todo o número natural n > N .
A condição|un − a| < ε
é equivalente às condições
−ε < un − a < ε, a − ε < un < a + ε e un ∈ ]a − ε, a + ε[.
Assim, uma sucessão (un) converge ou tende para um número real ase para qualquer ε > 0, existe N ∈ N tal que
a − ε < un < a + ε para cada número natural n > N ;
ou se para qualquer ε > 0, existe N ∈ N tal que
un ∈ ]a − ε, a + ε[ para cada número natural n > N .
António Bento (UBI) Cálculo II 2012/2013 22 / 74
4 – Sucessões convergentes
Geometricamente, uma sucessão un tende para a se dado ε > 0 todosos termos da sucessão estão na “faixa” limitada pela rectas y = a − ε ey = a + ε a partir de determinada ordem. A figura seguinte ilustra essefacto.
1 2 3 4 N N + 1 N + 2 N + 3 N + 4
a
a − ε
a + ε
b
b
b
b
b
b
b
bb
Interpretação geométrica do limite de uma sucessão
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4 – Sucessões convergentes
Qualquer uma das notações
limn→∞
un = a,
limn→∞un = a,
limn
un = a,
lim un = a,
un → a
é usada para exprimir o facto de que a sucessão (un) converge para a.
Uma sucessão (un)n∈N diz-se convergente se existe um número real atal que un → a.
As sucessões que não são convergentes dizem-se divergentes.
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4 – Sucessões convergentes
As sucessões constantes são convergentes. Se un = c para qualquernúmero natural n, temos |un − c|=0 para cada n ∈ N, pelo que, dadoε > 0, tomando N = 1 vem
|un − c| < ε para qualquer n > N .
Logo (un) converge para c.
A sucessão de termo geral un =1n
converge para zero. De facto, dado
ε > 0, basta escolher um número natural N tal que Nε > 1 e, porconseguinte, 1/N < ε. Assim, para n > N , temos
|un − 0| = 1/n < 1/N < ε,
o que prova que un → 0.
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4 – Sucessões convergentes
Unicidade do limite
Sejam (un) uma sucessão e a e b dois números reais. Se
un → a e un → b,
entãoa = b.
António Bento (UBI) Cálculo II 2012/2013 26 / 74
Índice
1 Definição e exemplos
2 Sucessões limitadas
3 Sucessões monótonas
4 Sucessões convergentes
5 Operações com limites
6 Subsucessões
7 Infinitamente grandes
8 A sucessão de termo geral an
9 Exercícios
António Bento (UBI) Cálculo II 2012/2013 27 / 74
5 – Operações com limites
Dadas duas sucessões u = (un)n∈Ne v = (vn)n∈N
de números reais,define-se a soma de u e v, e designa-se por u + v, a sucessão cujotermo de ordem n é un + vn, isto é,
(u + v)n = un + vn.
De modo análogo se define a diferença, o produto e o quociente deu e v (este último apenas na hipótese de se ter vn 6= 0 para todo on ∈ N):
(u − v)n = un − vn, (uv)n = unvn
e, na hipótese de vn 6= 0 para todo o n ∈ N,(
u
v
)
n=
un
vn.
António Bento (UBI) Cálculo II 2012/2013 28 / 74
5 – Operações com limites
Assim, se u e v são as sucessões dadas por
(
1, 4, 9, . . . , n2, . . .)
e(
1,12
,13
, . . . ,1n
, . . .
)
,
respectivamente, então u + v é a sucessão dada por
(
1 + 1, 4 +12
, 9 +13
, . . . , n2 +1n
, . . .
)
=
(
2,92
,283
, . . . ,n3 + 1
n, . . .
)
e a diferença de u e v, u − v, é a sucessão
(
1 − 1, 4 − 12
, 9 − 13
, . . . , n2 − 1n
, . . .
)
=
(
0,72
,263
, . . . ,n3 − 1
n, . . .
)
.
António Bento (UBI) Cálculo II 2012/2013 29 / 74
5 – Operações com limites
Continuando a usar as sucessões u e v dadas por
(
1, 4, 9, . . . , n2, . . .)
e(
1,12
,13
, . . . ,1n
, . . .
)
,
o produto uv é a sucessão(
1.1, 4.12
, 9.13
, . . . , n2.1n
, . . .
)
= (1, 2, 3, . . . , n, . . .)
e o quocienteu
vé a sucessão
(
11
,4
1/2,
91/3
, . . . ,n2
1/n, . . .
)
=(
1, 8, 27, . . . , n3, . . .)
.
António Bento (UBI) Cálculo II 2012/2013 30 / 74
5 – Operações com limites
As sucessões que convergem para zero designam-se por infinitésimos.
O produto de um infinitésimo por uma sucessão limitada é uminfinitésimo.
Exemplo
Para todo o x ∈ R, temos limn→∞
sen(nx)n
= 0. De facto,
sen(nx)n
=1n
sen(nx)
é o produto de um infinitésimo por uma sucessão limitada e, portanto,converge para zero.
António Bento (UBI) Cálculo II 2012/2013 31 / 74
5 – Operações com limites
Álgebra dos limites
Sejam (un) e (vn) sucessões tais que lim un = a e lim vn = b. Então
a) (un + vn)n∈N é convergente e
lim(un + vn) = lim un + lim vn = a + b;
b) (un − vn)n∈N é convergente e
lim(un − vn) = lim un − lim vn = a − b;
c) (un . vn)n∈N é convergente e
lim(un . vn) = lim un . lim vn = a . b;
d) se b 6= 0 e vn 6= 0 para todo o n ∈ N,(
un
vn
)
n∈N
é convergente e
lim(
un
vn
)
=lim un
lim vn
=a
b.
António Bento (UBI) Cálculo II 2012/2013 32 / 74
5 – Operações com limites
Suponhamos queun → a
e que todos os termos un pertencem ao domínio de uma função f . Se fé contínua em a, então
f(un) → f(a).
Como consequência imediata temos a seguinte propriedade.
Seja (un) uma sucessão convergente para a ∈ R e p > 0. Então
a) se un → a, então (un)p → ap;
b) se un > 0 para todo o n ∈ N e un → a, então p√
un → p√
a.
António Bento (UBI) Cálculo II 2012/2013 33 / 74
5 – Operações com limites
Seja f é um função com domínio contendo o conjunto dos númerosnaturais. Se
limx→+∞
f(x) = a,
entãolim
n→+∞
f(n) = a.
Exemplo
Como
limx→+∞
(
1 +1x
)x
= e,
temos
limn→+∞
(
1 +1n
)n
= e .
António Bento (UBI) Cálculo II 2012/2013 34 / 74
5 – Operações com limites
Teorema da sucessão enquadrada
Sejam (un), (vn) e (wn) sucessões e suponha-se que existe uma ordemp ∈ N tal que
un 6 vn 6 wn para todo o número natural n > p.
Se un → a e wn → a, entãovn → a.
António Bento (UBI) Cálculo II 2012/2013 35 / 74
5 – Operações com limites
Exemplo de aplicação do teorema da sucessão enquadrada
Vejamos que√
4 +1n2
→ 2.
Como
2 6
√
4 +1n2
6
√
4 + 41n
+(
1n
)2
=
√
(
2 +1n
)2
= 2 +1n
e2 +
1n
→ 2,
pelo teorema da sucessão enquadrada temos de ter√
4 +1n2
→ 2.
António Bento (UBI) Cálculo II 2012/2013 36 / 74
5 – Operações com limites
Toda a sucessão convergente é limitada.
Observação
O recíproco não é verdadeiro. A sucessão de termo geral un = (−1)n élimitada, mas não é convergente.
Todas as sucessões ilimitadas são divergentes.
Exemplo
Já vimos que a sucessão de termo geral un = n2 não é limitada. Logonão é convergente.
António Bento (UBI) Cálculo II 2012/2013 37 / 74
5 – Operações com limites
As sucessões monótonas e limitadas são convergentes.
António Bento (UBI) Cálculo II 2012/2013 38 / 74
Índice
1 Definição e exemplos
2 Sucessões limitadas
3 Sucessões monótonas
4 Sucessões convergentes
5 Operações com limites
6 Subsucessões
7 Infinitamente grandes
8 A sucessão de termo geral an
9 Exercícios
António Bento (UBI) Cálculo II 2012/2013 39 / 74
6 – Subsucessões
Se (un) é uma sucessão e (nk) é uma sucessão de números naturaisestritamente crescente, isto é,
n1 < n2 < . . . < nk < nk+1 < . . . ,
a sucessão(unk
) = (un1, un2
, . . . , unk, . . .)
diz-se uma subsucessão de (un).
António Bento (UBI) Cálculo II 2012/2013 40 / 74
6 – Subsucessões
As subsucessões de uma sucessão convergente são convergentes para omesmo limite da sucessão.
Exemplo
A sucessão de termo geral
un = (−1)n
é divergente pois tem duas subsucessões que convergem para valoresdiferentes.
António Bento (UBI) Cálculo II 2012/2013 41 / 74
6 – Subsucessões
Teorema de Bolzano-Weierstrass
Todas as sucessões limitadas têm subsucessões convergentes.
António Bento (UBI) Cálculo II 2012/2013 42 / 74
Índice
1 Definição e exemplos
2 Sucessões limitadas
3 Sucessões monótonas
4 Sucessões convergentes
5 Operações com limites
6 Subsucessões
7 Infinitamente grandes
8 A sucessão de termo geral an
9 Exercícios
António Bento (UBI) Cálculo II 2012/2013 43 / 74
7 – Infinitamente grandes
Existem sucessões divergentes que, pelas propriedades de que gozam,merecem ser estudadas. Essas sucessões designam-se por infinitamentegrandes.
Diz-se que uma sucessão (un) tende para mais infinito ou que é uminfinitamente grande positivo, e escreve-se
un → +∞, ou lim un = +∞,
se para cada L > 0, existe N ∈ N tal que
un > L para qualquer natural n > N .
António Bento (UBI) Cálculo II 2012/2013 44 / 74
7 – Infinitamente grandes
Se −un → +∞ diz-se que (un) tende para menos infinito ou que asucessão (un) é um infinitamente grande negativo e escreve-se
un → −∞, ou lim un = −∞.
Diz-se ainda que (un) tende para infinito ou que (un) é uminfinitamente grande se |un| → +∞ e escreve-se
un → ∞ ou lim un = ∞.
António Bento (UBI) Cálculo II 2012/2013 45 / 74
7 – Infinitamente grandes
Exemplos
A sucessão de termo geralun = n
tende para mais infinito, a sucessão de termo geral
vn = −n
tende para menos infinito e a sucessão de termo geral
wn = (−1)nn
tende para infinito. A sucessão (wn) é um exemplo de um infinitamentegrande que não é nem um infinitamente grande positivo, nem uminfinitamente grande negativo.
António Bento (UBI) Cálculo II 2012/2013 46 / 74
7 – Infinitamente grandes
Observações
a) Os infinitamente grandes positivos e os infinitamente grandesnegativos, são infinitamente grandes. A sucessão de termo geral
wn = (−1)nn
mostra que o contrário nem sempre se verifica.
b) Resulta imediatamente da definição que se un → +∞, então (un) élimitada inferiormente.
c) Da definição resulta imediatamente que se (un) e (vn) são duassucessões tais que
un 6 vn a partir de certa ordem e un → +∞,
entãovn → +∞.
António Bento (UBI) Cálculo II 2012/2013 47 / 74
7 – Infinitamente grandes
Sejam (un) e (vn) duas sucessões de números reais.
a) Se un → +∞ e (vn) tende para a ∈ R ou para +∞, então
(un + vn) → +∞.
b) Se un → −∞ e (vn) tende para a ∈ R ou para −∞, então
(un + vn) → −∞.
c) Se un → ∞ e (vn) tende para a ∈ R, então
(un + vn) → ∞.
António Bento (UBI) Cálculo II 2012/2013 48 / 74
7 – Infinitamente grandes
Vê-se assim que pode usar-se a regra do limite da soma desde que seadoptem as convenções
(+∞) + a = +∞ = a + (+∞)
(−∞) + a = −∞ = a + (−∞)
∞ + a = ∞ = a + ∞(+∞) + (+∞) = +∞(−∞) + (−∞) = −∞
onde a é um número real qualquer.
António Bento (UBI) Cálculo II 2012/2013 49 / 74
7 – Infinitamente grandes
Observação
Seun → +∞ e vn → −∞,
então nada se pode dizer sobre (un + vn) pois em alguns casos(un + vn) é convergente, noutros é divergente. Por isso, não fazemosnenhuma convenção para o símbolo
(+∞) + (−∞);
este símbolo designa-se por símbolo de indeterminação. Algo desemelhante acontece com
∞ − ∞.
António Bento (UBI) Cálculo II 2012/2013 50 / 74
7 – Infinitamente grandes
Sejam (un) e (vn) duas sucessões de números reais.
a) Se un → +∞ e se (vn) tende para a > 0 ou tende para +∞, então
un.vn → +∞.
b) Se un → +∞ e se (vn) tende para a < 0 ou tende para −∞, então
un.vn → −∞.
c) Se un → −∞ e se (vn) tende para a > 0 ou tende para +∞, então
un.vn → −∞.
d) Se un → −∞ e se (vn) tende para a < 0 ou tende para −∞, então
un.vn → +∞.
e) Se un → ∞ e (vn) tende para a ∈ R \ {0} ou tende para ∞, então
un.vn → ∞.
António Bento (UBI) Cálculo II 2012/2013 51 / 74
7 – Infinitamente grandes
Adoptando as convenções que se seguem, vê-se que se pode usar aregra do limite do produto:
(+∞) × a = +∞ = a × (+∞) onde a ∈ R+
(−∞) × a = −∞ = a × (−∞) onde a ∈ R+
(+∞) × a = −∞ = a × (+∞) onde a ∈ R−
(−∞) × a = +∞ = a × (−∞) onde a ∈ R−
∞ × a = ∞ = a × ∞ onde a ∈ R \ {0}(+∞) × (+∞) = +∞ = (−∞) × (−∞)
(+∞) × (−∞) = −∞ = (−∞) × (+∞)
∞ × ∞ = ∞
António Bento (UBI) Cálculo II 2012/2013 52 / 74
7 – Infinitamente grandes
Observação
Não se faz nenhuma convenção para os símbolos
0 × (+∞),
0 × (−∞)
e0 × ∞,
pois são símbolos de indeterminação.
António Bento (UBI) Cálculo II 2012/2013 53 / 74
7 – Infinitamente grandes
Seja (un) uma sucessão de termos não nulos.
a) Se un → ∞, então1
un→ 0.
b) Se un → 0, então1
un→ ∞.
c) Se un → 0 e un > 0 a partir de certa ordem, então
1un
→ +∞.
d) Se un → 0 e un < 0 a partir de certa ordem, então
1un
→ −∞.
António Bento (UBI) Cálculo II 2012/2013 54 / 74
7 – Infinitamente grandes
A regra do limite quociente pode manter-se desde que se adoptem asseguintes convenções
1∞ = 0
10
= ∞ 10+
= +∞ 10−
= −∞
onde 0+ significa que
un → 0 e un > 0 a partir de certa ordem
e 0− significa que
un → 0 e un < 0 a partir de certa ordem.
António Bento (UBI) Cálculo II 2012/2013 55 / 74
7 – Infinitamente grandes
Observação
Os símbolos ∞∞
e00
são símbolos de indeterminação.
António Bento (UBI) Cálculo II 2012/2013 56 / 74
Índice
1 Definição e exemplos
2 Sucessões limitadas
3 Sucessões monótonas
4 Sucessões convergentes
5 Operações com limites
6 Subsucessões
7 Infinitamente grandes
8 A sucessão de termo geral an
9 Exercícios
António Bento (UBI) Cálculo II 2012/2013 57 / 74
8 – A sucessão de termo geral an
Dado a ∈ R, consideremos a sucessão de termo geral un = an.
Se a > 1, então temos an → +∞.
Quando a = 1, então un = 1n = 1 pelo que a sucessão tende para 1.
Se a < −1, então an → ∞.
Para a = −1 obtemos a sucessão (−1)n que já vimos anteriormente.Esta sucessão é divergente.
Se −1 < a < 1, então an → 0.
António Bento (UBI) Cálculo II 2012/2013 58 / 74
8 – A sucessão de termo geral an
Assim,
lim an =
+∞ se a > 1
1 se a = 1
0 se −1 < a < 1
não existe se a = −1
∞ se a < −1
António Bento (UBI) Cálculo II 2012/2013 59 / 74
8 – A sucessão de termo geral an
Exemplos
a) Calculemos lim (3n − 2n). Como lim 3n = +∞ e lim 2n = +∞,temos uma indeterminação do tipo
∞ − ∞.
No entanto, pondo em evidência 3n temos
lim (3n − 2n) = lim[
3n(
1 − 2n
3n
)]
= lim[
3n(
1 −(
23
)n)]
= +∞ × (1 − 0)
= +∞ × 1
= +∞
António Bento (UBI) Cálculo II 2012/2013 60 / 74
8 – A sucessão de termo geral an
Exemplos (continuação)
b) Calculemos lim2n + 5n+1
2n+1 + 5n. Temos uma indeterminação pois
lim2n + 5n+1
2n+1 + 5n=
+∞ + (+∞)+∞ + (+∞)
=+∞+∞ .
Podemos levantar a indeterminação da seguinte forma
lim2n + 5n+1
2n+1 + 5n= lim
2n + 5n × 52n × 2 + 5n
= lim
2n
5n+
5n × 55n
2n × 25n
+5n
5n
= lim
(
25
)n
+ 5(
25
)n
× 2 + 1=
0 + 50 × 2 + 1
= 5
António Bento (UBI) Cálculo II 2012/2013 61 / 74
Índice
1 Definição e exemplos
2 Sucessões limitadas
3 Sucessões monótonas
4 Sucessões convergentes
5 Operações com limites
6 Subsucessões
7 Infinitamente grandes
8 A sucessão de termo geral an
9 Exercícios
António Bento (UBI) Cálculo II 2012/2013 62 / 74
9 – Exercícios
1) Calcule os dez primeiros termos das sucessões de termo geral
a) un =2 − 3n
2
b) un = (−1)n n
n + 1
c) un =2 + (−1)n n
n
d) un = (−2)n
e)
u1 = 1
un+1 = 1 +un
10
f) un =1
1.2+
12.22
+1
3.23+ ... +
1n.2n
António Bento (UBI) Cálculo II 2012/2013 63 / 74
9 – Exercícios
2) Determine o termo geral das sucessões sugeridas pelos primeirostermos a seguir listados
a) 8, 16, 24, 32, . . .
b) 2, −2, 2, −2, 2, −2, . . .
c) −2, 2, −2, 2, −2, 2, . . .
d) 4, 6, 8, 10, 12, 14, . . .
e) 3, 5, 7, 9, 11, 13, . . .
f) 2, 5, 8, 11, 14, . . .
g) 4, 16, 64, 256, 1024, . . .
António Bento (UBI) Cálculo II 2012/2013 64 / 74
9 – Exercícios
3) Escreva os dez primeiros termos das sucessões definidas porrecorrência:
a)
{
u1 = 4
un+1 = 2un
b)
u1 = 1
un+1 = un +(
12
)n
c)
u1 = 1
u2 = 1
un+2 = un + un+1
António Bento (UBI) Cálculo II 2012/2013 65 / 74
9 – Exercícios
4) Defina, por recorrência, as sucessões sugeridas pelos primeirostermos listados a seguir
a) 1,12
,14
,18
,116
, . . .
b) −12
,14
, −18
,116
, . . .
António Bento (UBI) Cálculo II 2012/2013 66 / 74
9 – Exercícios
5) Mostre que são limitadas as sucessões:
a) an = 1 +1n
b) bn = 5
c) cn = (−1)n 1n
d) en =3n + 10
n
e) fn = 2 − 5n2
f) gn =1√
n2 + 3
g) hn = − 4n
n + 3h) dn =
1n
se n é par
−1 se n é ímpar
António Bento (UBI) Cálculo II 2012/2013 67 / 74
9 – Exercícios
6) Estude, quanto à monotonia, as sucessões cujos termos gerais são:
a) un = n2 − n b) un = 2n + (−1)n
c) un = (−1)nn d) un = (−1)n + (−1)n−1
e) un =1
2n − (−1)n f) un = 1 − n + 12n
g) un =n + 1n2 + 3
h) un =n2 + 33n + 2
i) un =
(
32
)n
n!j)
{
u1 = 1
un+1 = n(1 + un)
k)
{
u1 = 1
un+1 =√
25 + 3un
l) un =
2n − 15
se n 6 15
5 − 12n
se n > 15
António Bento (UBI) Cálculo II 2012/2013 68 / 74
9 – Exercícios
7) Calcule, caso exista, o limite de cada uma das sucessões de termo geral
a) an = 1 − n b) bn = n − 3 c) cn = −n + 1
d) dn =−3n + 2
2e) en =
1 − n
nf) an =
(
1 − n
n
)2
g) dn =(
n − 1−2n
)3
h) an =6 + (−1)n
7ni) an =
2n + 1
j) an =2n + 3
4nk) un =
2n2 + 1n2
l) vn =(
−12
− 1n + 1
)2
m) an =7n2
n3− 1
nn) an = (n + 1)2 + n3 o) an = −n2 − n3;
p) cn = n3 − n2 q) dn = n2 − n3 r) en = n3 + n2
s) an =
2 +3n
se n é par
2n2 + n
n2se n é ímpar
t) bn =
3√n
+ 1 se n é par
2 − 1√n
se n é ímpar
António Bento (UBI) Cálculo II 2012/2013 69 / 74
9 – Exercícios
8) Calcule
a) limn→+∞
2n
4n+1b) lim
n→+∞
6n
4n+1
c) limn→+∞
2n
1 + 5n+1 d) limn→+∞
3n+1 + 73n − 1
e) limn→+∞
2n + 34n + 8
f) limn→+∞
2n − 3n
6n
g) limn→+∞
(
2n+1 − 2n)
h) limn→+∞
[
1 −(
23
)n]
i) limn→+∞
[
1 −(
32
)n]
António Bento (UBI) Cálculo II 2012/2013 70 / 74
9 – Exercícios
9) Calcule
a) limn→+∞
(
1 +1n
)n−1
b) limn→+∞
(
1 +1
n + 3
)n
c) limn→+∞
(
1 +1n
)8n
d) limn→+∞
(
1 +1n
)n/2
e) limn→+∞
(
1 +1n
)
−3n
f) limn→+∞
(
1 +1
3n
)n
g) limn→+∞
(
1 − 12n
)n
h) limn→+∞
(
1 +4
3n
)n
i) limn→+∞
(
n − 1n + 2
)n
j) limn→+∞
(
n2 + 1n2 + 5
)n2
k) limn→+∞
(
5n − 25n + 3
)3n
l) limn→+∞
(
1 +12n
)2n+1
António Bento (UBI) Cálculo II 2012/2013 71 / 74
9 – Exercícios
10) Dê exemplos de sucessões (an) e (bn) tais que an → +∞, bn → +∞ e
a) (an − bn) → −∞ b) (an − bn) → +∞
c) (an − bn) → 0 d) (an − bn) → 3
e) (an − bn) não tem limite f)an
bn→ 0
g)an
bn→ +∞ h)
an
bn→ 5
António Bento (UBI) Cálculo II 2012/2013 72 / 74
9 – Exercícios
11) Das seguintes sucessões, indique as que são convergentes.
a)800n
+ (−1)n b) 800 +(−1)n
n
c) 800 + (−1)n × n d) n2[(−1)n + 1]
e) 3n + (−1)n f)3 + (−1)n
n2
António Bento (UBI) Cálculo II 2012/2013 73 / 74
9 – Exercícios
12) Calcule cada um dos seguintes limites:
a) limn→+∞
(−1)n
n2 + 1b) lim
n→+∞
√
n
n2 + 1
c) limn→+∞
(
1 +2n
)
−n−2
d) limn→+∞
3n + 2n
5n
e) limn→+∞
3 − n5
2 + n4f) lim
n→+∞
(
n + 33n + 1
)3
g) limn→+∞
√n2 + n + 3
n + 1h) lim
n→+∞
7−n
2−n
i) limn→+∞
3 + (−1)nn
n2j) lim
n→+∞
(
2n
8n + 1
)2n
k) limn→+∞
√
n3 + 1 −√
n2 + 2
António Bento (UBI) Cálculo II 2012/2013 74 / 74