STABILNOST konstrukcija

Stabilnost konstrukcija 1

STABILNOST KONSTRUKCIJASTABILNOST KONSTRUKCIJA

I. UVODI. UVOD

1.1. STABILNOSTSTABILNOST• Svojstvo konstrukcije da se odupre slučajnim djelovanjima i da

samostalno uspostavi, potpuno ili djelomično, svoj položaj i oblik ravnoteže u deformiranom stanju, kada slučajna djelovanja iščeznu.

• Stabilnost položaja konstrukcije i stabilnost oblika ravnoteže u deformiranom stanju:- stabilnostabilno (ako se pri svakom, proizvoljno malom, mogućem poremećaju ravnoteže i proizvoljno malim brzinama, pojave mala odstupanja )- nestabilnonestabilno (ako pri ma kako proizvoljno malom mogućem poremećaju ravnoteže i pri ma kako malim početnim brzinama, dođe do odstupanja promatrane ravnoteže i umjesto težnje povratka u početno stanje dolazi ili do novog položaja ili do novog stanja ravnoteže u deformiranom stanju).

•• Gubitak stabilnostiGubitak stabilnosti (prijelaz konstrukcije iz stabilnog u nestabilno stanje)

•• Kritično stanjeKritično stanje (granica prijelaza)•• Kritično opterećenjeKritično opterećenje (opterećenje pri prijelazu).


2. GUBITAK STABILNOSTI2. GUBITAK STABILNOSTI

A / GUBITAK STABILNOSTI POLOŽAJAA / GUBITAK STABILNOSTI POLOŽAJA• poslije promjene vanjskih sila konstrukcija ne može dalje

zadržati svoj prvotni položaj (dolazi do narušavanja ravnoteže vanjskih sila koje djeluju na konstrukciju s mogućnošću uspostavljanja ravnoteže tek u novom položaju).

d

STABILAN POLOŽAJ KUGLICE

α

d

NESTABILAN POLOŽAJ KUGLICE

α

INDIFERENTAN POLOŽAJ KUGLICE


• Zavisnost između vrste ravnotežnog položaja i potencijalne energije težine:- stabilni ravnotežni položaj : minimum potencijala- labilni ravnotežni položaj : maksimum potencijala- indiferentni položaj : konstantan potencijal.

L

h

P

G

- stabilna ravnoteža pločeP h < G L / 2

- kritično stanjeP = G L / 2 hP = PCR


B/ GUBITAK STABILNOSTI OBLIKA RAVNOTEŽE B/ GUBITAK STABILNOSTI OBLIKA RAVNOTEŽE U DEFORMIRANOM STANJUU DEFORMIRANOM STANJU

• Početni oblik deformacije konstrukcije postaje nestabilan pri određenim vrijednostima opterećenja pa prinudno prelazi u drugi oblik, različit od početnog.

•• GRANANJE (GRANANJE (bifurkacijabifurkacija) ) - malim prirastima opterećenja odgovaraju veliki pomaci.

PP

- pravolinijski oblik ravnoteže ustupa mjesto krivolinijskom obliku ravnoteže

q

- dvozglobni kružni luk pod djelovanjem radijalnog opterećenja održava svoj simetrični oblik deformacije sve dok intenzitet radijalnog optećenja ne dosegne određenu vrijednost, nakon čega antimetrični oblik ravnoteže zamjenjuje simetrični;- u ovom slučaju narušavaju se uvjeti ravnoteže između vanjskih i unutarnjih sila koji su odgovarali prvotnom obliku deformacije a koji se uspostavljaju vrlo brzo u novom obliku deformacije.


• Kritično opterećenje je granica grananja oblika ravnoteže, kada se nakon gubitka stabilnosti prvotnog oblika ravnoteže pojavi novi oblik kod kojeg i malim prirastima opterećenja odgovaraju veliki pomaci.

• Gubitak stabilnosti prve vrste - promjena oblika deformacije• Gubitak stabilnosti druge vrste - prvo granično stanje sustava u

odnosu na nosivost, kada pri daljem prirastu opterećenja nije moguće uspostavljanje ravnoteže između vanjskih i unutarnjih sila.

q

P

v

P

P

vu

Granično stanje određuje se iz uvjeta:

dP dv = 0 .


3. IDEALIZIRANI ŠTAP3. IDEALIZIRANI ŠTAP

P P

f(t)

nako

n po

rem

ećaj

a

f=0

nem

a po

rem

ećaj

a

P < P

CRL

P

P PP*

P

f* f fla

biln

o

stabilno

indiferentno

• dijagrami grananja• S*>SCR - više ravnotežnih položaja• točka grananja elastične ravnoteže• promjena ravnotežnog stanja:

- ravni štapovi - izvijanje- grede - bočno izvijanje- ploče i ljuske - izbočavanje.

CR1

CR2

P

P

P

f/l

labi

lno

I. si

la iz

vija

nja

P

II. si

la iz

vija

nja

Plabilno

stabilno

CR

1

CR

2


4. ŠTAP S POČETNIM POREMEĆAJIMA4. ŠTAP S POČETNIM POREMEĆAJIMA

• Odstupanja tj. poremećaji teorijskog stanja:- os štapa nije potpuno pravocrtna- djelovanje poprečnih sila (npr. vlastita težina)- ekscentrična uzdužna sila- rubni uvjeti ispunjavaju samo približno usvojene pretpostavke- pretpostavke o obliku presjeka odgovaraju samo približno- nesimetrične otvorene rupe- elastična svojstva ne odgovaraju pretpostavkama.

CR

PP

f

f f

P =0

P >0

0


II. IZVIJANJE PRI SAVIJANJUII. IZVIJANJE PRI SAVIJANJU

1. DIFERENCIJALNA JEDNADŽBA ZA 1. DIFERENCIJALNA JEDNADŽBA ZA SLUČAJ IZVIJANJA PRI SAVIJANJUSLUČAJ IZVIJANJA PRI SAVIJANJU

( )

( ) ( )

( )qvPvEI

qvNvEI

vEIREIMBernoulli

qvNM

zqzQV

vNQM

dzqdzdvNdzQdMM

q

=′′⋅+′′′′⋅=′′⋅+″′′⋅

′′−≈−=

−′′⋅=′′

−=′

∑

′⋅+=′

=+−−

∑

//:

:

0:

χq(z)

v(z)z

dz

ds

dz

Q

Q

Q+dQ

Q+dQ

N

N

N+dN

N+dN

M

M

M+dM

M+dM

v(z)

v

v

v +v dzdv

dv

q dz


2. EULER2. EULER--OVA TEORIJA VITKIH ŠTAPOVAOVA TEORIJA VITKIH ŠTAPOVA

• Povećanjem uzdužne tlačne sile koja djeluje na krajevima dugog vitkog štapa, za određenu veličinu sile doći će do naglog izvijanja (izbočavanja) u nekom smjeru koji nije unaprijed određen.

• Stvarno stanje: asimetrija uslijed geometrijske ili materijalne imperfekcije štapa i pripadajućeg opterećenja.

• Pretpostavka o idealnom stanju: idealno pravolinijski štap s idealno centričnom tlačnom silom (ne može doći do izvijanja samo od tlačnog naprezanja → precizno definiranje izvijanja).- uslijed tlačne sile P, dolazi do skraćivanja štapa bez obzira na

veličinu sile P;- kada uslijed sile P naprezanja prekorače granicu popuštanja,

dolazi do sloma materijala.• Ako se štap deformira za neku

infinitezimalnu veličinu pomakauslijed poprečne sile F:- P<PCR (uklanjanje sile F rezultira

povratkom štapa u početno stanje) STABILNA RAVNOTEŽA

- P=PCR (pomaci ne iščezavaju i štap ostaje u bilo kojem deformiranom položaju dok su pomaci dovoljno mali)NEUTRALNA RAVNOTEŽA

- P>PCR (poprečni pomaci rastu i štappostaje nestabilan).

P

P

F

poče

tno

stan

je

defo

rmira

no st

anje


A) IZVIJANJE ZGLOBNO OSLONJENOG ŠTAPA

2

22

2

21

2

2

2

2

...3,2,1 ,0sin

0)( ,0)0( :

sincos:..

0

LEInP

nnLL

LzvzvuvjetirubniEIP

zCzCvjeddifrješenje

vEIP

dzvd

vEIP

EIM

dzvd

vPM

CR

CR

CR

CR

CR

π

παα

α

αα

=

===

====

=

+=

=+

−=−=

=

P

EI

L

P

v

y

z

CR

CR

Minimalna kritična sila : za n=1.Viši oblici izvijanja mogu nastati uz poprečno pridržanje utočkama infleksije.

L

L L

LL

L2 3

23

3

2

2

LEIPCR

π= 2

24L

EIPCRπ

= 2

29L

EIPCRπ

=


B) IZVIJANJE OBOSTRANO UPETOG ŠTAPA

PM

M

EI

L

P

v

y

z

CR

F

FCR

( )Lsin

LcosPMC,

PMC

)Lz(v,)z(v:uvjetirubniEIP

PMzsinCzcosCv

:.jed.difrješenjeEIMv

EIP

dzvd

EIMv

EIP

dzvd

MvPM

CR

F

CR

F

CR

CR

F

FCR

FCR

FCR

αα

α

αα

−−=−=

====

=

++=

=+

+−=

−=

1

0 00

21

2

21

2

2

2

2

...,,n,nLLcos

Lcos

:Lzza,dzdv:uvjetrubni

zsinLsin

LcoszcosPMv

CR

F

420 1

01

0

11

===

=−

==

−

−+−=

παα

α

αααα

2

24L

EIPmin CRπ

=


C) IZVIJANJE ŠTAPA UPETOG S JEDNE I SLOBODNOG S DRUGE STRANE (KONZOLA)

( )

( )

LsinLcosC,C

)Lz(v,)z(v:uvjetirubniEIP

zsinCzcosCv:.jed.difrješenje

EIPv

EIP

dzvd

vEIP

dzvd

MvPMili

vPM

CR

CRCR

CR

FCR

CR

ααδδ

δ

α

δαα

δ

δ

δ

=−=

====

=

++=

=+

−=

−=

−−=

21

2

21

2

2

2

2

00

M

EIL

P

P

v

d

y

z

FCR

CR

...,,n,nL

Lcos

:zza,dzdv:uvjetrubni

zsinLsinLcoszcosv

531 2

0

0 0

1

==

=

==

−−−=

πα

α

ααααδ

2

2

4LEIPmin CR

π=


D) IZVIJANJE ŠTAPA UPETOG S JEDNE I ZGLOBNO OSLONJENOG S DRUGE STRANE

( )

( )

( )

( )

( )

( ) LtgP

FCLzv

PFCz

dzdv:uvjetirubni

EIP

zLPFzsinCzcosCv

:.jed.difrješenje

zLEIFv

EIP

dzvd

zLFvEIP

dzvd

zLFvPM

CR

CR

CR

CR

CR

CR

CR

αα

α

α

αα

⋅=⇒==

⋅−=⇒==

=

−−+=

−−=+

−−−=

−+=

1

2

2

21

2

2

2

2

0

00

P

F

M

EIL

P

v

y

z

CR

FCR

( )( )

( )

494

00

,LLtgL

:zv:uvjetrubni

zLzsinzcosLtgP

FvCR

≈=

==

−−−⋅⋅

=

ααα

ααααα

2

2

2

052220L

EI,L

EI,Pmin CRπ

==


E) EKVIVALENTNA DULJINA ŠTAPA

Usporedbom prethodno izvedenih rješenja kritične sile za četiri osnovna slučaja rubnih uvjeta, općeniti je zapis kritične sile oblika:

gdje je

ekvivalentna duljina štapa (duljina zglobno oslonjenog štapa s kritičnom silom jednakom kritičnoj sili promatranog štapa):

Le = 1,0 L – obostrano zglobno oslonjen štapLe = 0,5 L – obostrano upeti štapLe = 2,0 L – konzolni štapLe = 0,7 L – zglobno oslonjen štap s jedne a upet s

druge strane.

2

2

2

22

e

CRCR LEIP.tj

LEIKP ππ

==

KLLe =


F) OGRANIČENJA EULEROVE TEORIJE

( )( )

.rLE:irArIza

ALEI

AP

eCR

e

CRCR

2

22

2

2

πσ

πσ

===

==

vitkost štapa (odnos duljine i poprečnog presjeka)

rLe

Stvarno

Euler

s

L /r

CR

e


III. STATIČKE METODE ODREĐIVANJA III. STATIČKE METODE ODREĐIVANJA KRITIČNIH OPTEREĆENJAKRITIČNIH OPTEREĆENJA

• Promatranom sustavu zadajemo deformaciju koja će se prema obliku pomaka poklapati s očekivanim novim oblikom ravnoteže sustava nakon gubitka stabilnosti, tese određuje veličina opterećenja koja je u stanju da održi sustav u novom obliku ravnoteže.

1. POSTUPAK S DIFERENC. JEDNADŽBAMA1. POSTUPAK S DIFERENC. JEDNADŽBAMA• oblik deformiranog stanja određujemo nepoznatom

neprekinutom funkcijom, rješenjem dif.jednadžbe• primjenjuje se kod sustava s beskonačno mnogo stupnjeva

slobode pomaka - beskonačan broj kritičnih opterećenja.

P

P

Pcϕ

A y

xL

kv

v

B

B

B

A - elastično uklještenjeB - zglobni elastično deformabilni ležaj

( ) ( )xLkvyvPyEIM BBx −−+=′′−=


2. POSTUPAK S ALGEBARSKIM JEDNADŽBAMA 2. POSTUPAK S ALGEBARSKIM JEDNADŽBAMA RAVNOTEŽERAVNOTEŽE

• Oblik deformiranog ravnotežnog stanja određujemo pomacima konačnog broja točaka.

• Uvjeti ravnoteže deformirane konfiguracije daju sustav algebarskih homogenih jednadžbi po usvojenim pomacima.

• Postupak odgovara sustavima s konačnim brojem stupnjeva slobode pomaka.

• Sustav algebarskih homogenih jednadžbi ravnoteže za slučaj nstupnjeva slobode pomaka pišemo u obliku:

( )( )

( )

[ ] [ ]{ } { }[ ] 0det : 0A

0.........................................................

00

221

2222121

1212111

==−

=−+⋅⋅⋅++

=+⋅⋅⋅+−+=+⋅⋅⋅++−

ArješenjeYI

yayaya

yayayayayaya

niinninini

niniii

niniii

λ

λ

λλ


IV. ENERGETSKE METODE ODREĐIVANJA IV. ENERGETSKE METODE ODREĐIVANJA KRITIČNIH OPTEREĆENJAKRITIČNIH OPTEREĆENJA

• Zasnivaju se na analizi izraza za punu potencijalnu energiju deformacije sustava u stanju pomaka.

• Stanje pomaka biramo tako da se poklapa s očekivanim oblikom deformacije sustava, nakon gubitka stabilnosti.

• Nakon izvođenja sustava iz prvotnog stanja deformacije u njemu blisko pomaknuto stanje, određujemo rad vanjskih sila Av kojeg izjednačujemo s prirastom potencijalne energije sustava V, odnosno s negativnom vrijednošću rada unutarnjih sila Au:

Av = V = - Au.• Uslijed unošenja dopunskih veza - približni postupak.

1. TIMOSHENKOV ENERGETSKI POSTUPAK• P = f (x1, x2, x3, … , xn )

2. DINAMIČKA METODA• uvjet minimuma potencijalne energije:

CRi

PnixP

⇒==∂∂ ),...,2,1( ,0

.0=∂∂

ixV


3. RAYLEIGH - EV KVOCIJENT

• Potencijalna energija deformiranog stanja :

• Rad vanjskih sila :

• Av = V :

• Ako pretpostavimo da je M = Py, dobiva se Timoshenkov izraz:

∫ ′′=l

dxyEIV0

2

21

∫ ′=l

v dxyPA0

2

2

∫

∫

′

′′= l

l

CR

dxy

dxyEIP

0

2

0

2

∫

∫ ′= l

l

CR

dxEIy

dxyP

0

20

2


4. METODA BUBNOV - GALERKIN

• Primjena : kod sustava gdje je M = - Py, te za nosače s promjenjivim presjekom

5. RITZOVA METODA• temelji se na Rayleigh-evom i Timoshenko-vom izrazu

[ ]

( )

∫

∫

∫

∑

⋅

⋅″

−=

=⋅+′′

=

l

ji

l

ji

CR

l

jx

ii

dx

dxxEIP

PyyEI

cy

0

0

0

0

ϕϕ

ϕϕ

ϕ

ϕ

( )

( ) [ ])( ,...,2,1 ,

1

)( ,...,2,1 ,

0

0

0

0

Timoshenkonjdxa

xEI

dxaP

Rayleighnjdxa

dxaxEIP

ay

l

jii

l

jii

CR

l

jii

j

l

ii

CR

ii

=⋅

′⋅

′

=

=′⋅

′

″⋅

″⋅

=

=

∫ ∑

∫ ∑

∫ ∑

∫ ∑

∑

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

ϕ

[ ]{ } { } [ ] CRPAaA ⇒== 0det 0


V. RJEŠENJE LINEARNE HOMOGENE V. RJEŠENJE LINEARNE HOMOGENE DIFERENCIJALNE JED. IV. REDADIFERENCIJALNE JED. IV. REDA

EIPyy

yPEIy

IV

IV

==′′+

=′′+

22 ,0

0

αα

( )( )( )( )( ) yxBxAxy

xBxAxyxBxAxy

CxBxAxyDCxxBxAxy

IV ′′−=+=

+−=′′′

−−=′′

+−=′+++=

244

33

22

cossinsincoscossin

sincoscossin

ααααα

αααα

αααα

αααααα

• geometrijski ili kinematski rubni uvjeti :

• dinamički rubni uvjeti (rubni uvjeti sila) :

......=′=

yy

( )yyEITyPyEITyEIM

′+′′′−=⇒′−′′′−=

′′−=2 α


VI. METODA POČETNIH VI. METODA POČETNIH PARAMETARAPARAMETARA

• Temelji se na određivanju konstanti u rješenju linearne homogene diferencijalne jednadžbe IV. reda, za x=0.

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )____________________________

sincossin

cos1sincos

sincos1sin

____________________________

, , ,

____________________________

02

000

200

0

30

200

0

300

20

020

20

20

200

200

0

0

TyyEIxT

xTxMxyEIxyEIxM

xEI

TxEI

Mxyxy

xxEI

TxEI

Mxyyxy

EITyA

EIMyD

EITC

EIMB

CEIyyEITT

BEIyEIMM

CAyyDByy

=′+′′′−=

++′=′′−=

−−−′=′

−−−−′

+=

+′

=−=−==

−=′+′′′−==

=′′−==

+=′=′+==

α

αα

ααα

αα

αα

α

ααα

αα

αα

ααααα

αα

α

α

P P

P PM EI EI

T y

M

∆ ∆

∆1

1 2

2

α α

Primjena :


VII. METODA KONAČNIH DIFERENCIVII. METODA KONAČNIH DIFERENCI

• Prijelaz s diferencijalnih na diferencijske izraze:dy

ydz z

y

z

ii

∆ ∆

∆∆

i-1 i i+1z z

( )211

2

211

2

2

2

2

02

2

0

2 ,2

lim ,lim

zyyy

zy

zyy

zy

zy

zy

dzyd

zy

zy

dzdy

iii

i

ii

i

zz

∆+−

=

∆∆

∆−

=

∆∆

∆∆

≅∆∆

=∆∆

≅∆∆

=

+−−+

→∆→∆

EIPyy ==+′′ 22 ,0 αα

2222

22

11 02

zEIPz

yz

yyy

ii

iiiii

∆=∆=

=+∆

+− +−

αβ

α

( ) 02 12

1 =+−+ +− iiii yyy β

STABILNOST konstrukcija

Documents

Transcript of STABILNOST konstrukcija