Stabilnost Konstrukcija Predavanje 1 1378921023573
-
Upload
milos-djukic -
Category
Documents
-
view
100 -
download
5
description
Transcript of Stabilnost Konstrukcija Predavanje 1 1378921023573
Matrična analiza konstrukcija 3. Stabilnost konstrukcija
1
6. STABILNOST KONSTRUKCIJA
I časMira Petronijević
Matrična analiza konstrukcija 3. Stabilnost konstrukcija
2
Literatura M. Sekulović: “ Teorija linijskih
nosača “ GK, Beograd, 2005. M. Đurić: “Stabilnost i dinamika
konstrukcija”, Građevinski fakultet, Beograd, 1977.
S. Ranković, B. Ćorić: “Stabilnost konstrukcija – Zbirka rešenih zadataka”, Građevinski fakultet, Beograd, 1983.
Matrična analiza konstrukcija 3. Stabilnost konstrukcija
3
6.1 Uvod
Stabilnost konstrukcija je sposobnost konstrukcije da pri zadatom opterećenju očuva svoj prvobitan položaj i formu ravnoteže usled dodatnih, malih poremećaja.
Matrična analiza konstrukcija 3. Stabilnost konstrukcija
4
Stabilno stanje je stanje pri kome se pri malom poremećaju javljaju mala odstupanja od ravnotežnog položaja, tako da se pri prestanku poremećaja konstrukcija vraća u prvobitno stanje.
Nestabilno stanje je stanje pri kome ne dolazi do vraćanja u prvobitno stanje, već konstrukcija zauzima nov položaj.
Gubitak stabilnosti: prelazak iz stabilnog u nestabilno stanje.
Kritično opterećenje je opterećenje pri kome dolazi do gubitka stabilnosti.
Matrična analiza konstrukcija 3. Stabilnost konstrukcija
5
Pojam stabilnosti
A-indiferentno stanje
B-nestabilno stanje
C-stabilno stanje
Matrična analiza konstrukcija 3. Stabilnost konstrukcija
6
Gubitak stabilnosti konstrukcije
Matrična analiza konstrukcija 3. Stabilnost konstrukcija
7
Kriterijumi za stabilnost nosača
Statički kriterijum stabilnosti Dinamički kriterijum stabilnosti
Matrična analiza konstrukcija 3. Stabilnost konstrukcija
8
Statički kriterijum stabilnosti
Kritično opterećenje je najmanje opterećenje konstrukcije pri kome pored prvobitnog (osnovnog) ravnotežnog položaja postoji bar još jedan ravnotežni položaj.
Matrična analiza konstrukcija 3. Stabilnost konstrukcija
9
Dinamički kriterijum stabilnosti
Kritično opterećenje konstrukcije je najmanje opterećenje pri kome mali poremećaji izazivaju kretanje konstrukcije koje nije ograničeno na neposrednu okolinu prvobitnog ravnotežnog položaja.
Matrična analiza konstrukcija 3. Stabilnost konstrukcija
10
Određivanje kritičnog opterećenja
Statički kriterijum: Kritično opterećenje
se dobija iz uslova ravnoteže susedne tj. ili iz minimuma potencijalne energije sistema
Dinamički kriterijum: Kritično opterećenje
se dobija iz diferencijalne jednačine kretanja slobodnih vibracija
Matrična analiza konstrukcija 3. Stabilnost konstrukcija
11
6.1.1 Statički kriterijum stabilnosti
Konstrukciji se zadaje nova (predpostavljena tj. očekivana) forma deformacije, pa se određuje opterećenje koje je u stanju da održi sistem u novom položaju ravnoteže.
Dve metode: - direktna - energetska
Matrična analiza konstrukcija 3. Stabilnost konstrukcija
12
a) Direktna metoda
Uslovi ravnoteže se postavljaju na novom (pretpostavljenom) ravnotežnom položaju. Na taj način se dobijaju:
- diferencijalne jednačine ravnoteže za kontinualne sisteme,
- algebarske jednačine ravnoteže za diskretne sisteme.
Matrična analiza konstrukcija 3. Stabilnost konstrukcija
13
Direktna metoda. Primer: sistem sa jednim stepenom slobode
Matrična analiza konstrukcija 3. Stabilnost konstrukcija
14
Uslov ravnoteže na (novoj) deformisanoj konfiguraciji:
gde je: k - krutost opruge
Za mali ugao je sin cos:
0cossin0 aFPlM opA
sinkaFop
0)(0 22 kaPlkaPl
Matrična analiza konstrukcija 3. Stabilnost konstrukcija
15
Trivijalno rešenje (prvobitna konfiguracja):
Netrivijalno rešenje (nova ravnotežna konfiguracija):
0
lka
PkaPl kr
22 0
Matrična analiza konstrukcija 3. Stabilnost konstrukcija
16
Grafički prikaz: sila – pomeranje
Matrična analiza konstrukcija 3. Stabilnost konstrukcija
17
b)Energetske metodeStabilan, labilan, indiferentan položaj ravnoteže
Stabilan položaj
Nestabilan položaj
Indiferentan položaj
Matrična analiza konstrukcija 3. Stabilnost konstrukcija
18
2
2
2
- stabilan položaj
0, 0 , 0
nestabilan položaj
0, 0 , 0
indiferentan položaj
0, 0 0
min
max
Matrična analiza konstrukcija 3. Stabilnost konstrukcija
19
Ukupna potencijala energija u novoj (predpostavljenoj) ravnotežnoj konfiguraciji sistema jednaka je:
s
s s
A
A deformacioni rad
R potencijalna energija spoljašnjih sila
negativnom radu spoljašnjih sila
Matrična analiza konstrukcija 3. Stabilnost konstrukcija
20
Posle izvođenja sistema u blisko susedno stanje, izjednačuje se rad spoljašnjih sila sa prirastom potencijalne energije sistema, odnosno sa negativnim radom unutrašnjih sila
Matrična analiza konstrukcija 3. Stabilnost konstrukcija
21
Kritična sila se dobija iz stava o stacionarnosti potencijalne energije
0
gde je
( ) - varijacija energije deformacije
- varijacija rada spoljašnjih sila
s
s
s i iis
A R
A N M dx
R p vdx P
Matrična analiza konstrukcija 3. Stabilnost konstrukcija
22
Primer: sistem sa jednim stepenom slobode
Matrična analiza konstrukcija 3. Stabilnost konstrukcija
23
s s
0
R A
Princip o minimumu potencijalne energije:
s
2 2
2 2
R P Pl(1 cos )
1 1A ka sin ka sin
2 21
Pl(1 cos ) ka sin2
Matrična analiza konstrukcija 3. Stabilnost konstrukcija
24
2
2
0
Pl sin ka sin cos 0
sin ( Pl ka cos ) 0
a) trivijalno rešenje
sin 0 0
netrivijalno rešenje
2
2 2
b )
Pl ka cos 0
ka kaP cos za 1 : cos 1 P
l l
Matrična analiza konstrukcija 3. Stabilnost konstrukcija
25
Domaći zadatak
Matrična analiza konstrukcija 3. Stabilnost konstrukcija
26
Za sisteme sa više nepoznatih
Očekivana deformacija u novoj ravnotežnoj konfiguraciji se prikazuje preko konačnog broja parametara pomeranja v1, v2, ..., vn. Unoseći pretpostavljenu konfiguraciju u izraz za dobija se zavisnost sile P i parametara pomeranja:
),,,( 21 nvvvPP
Matrična analiza konstrukcija 3. Stabilnost konstrukcija
27
Iz uslova minimuma za silu P:
dobija se oblik nove ravnotežne konfiguracije i odgovarajuće kritično opterećenje
),,2,1(0 nivP
i
1 2( , ,..., )kr kr krkr nP P v v v
Matrična analiza konstrukcija 3. Stabilnost konstrukcija
28
6.1.2 Matrična formulacija elastične stabilosti linijskih nosača
U okviru ovog predmeta bavićemo se matričnom formulacijom elastične stabilosti linijskih nosača.
Matrična formulacija se zasniva na geometrijski nelinearnoj analizi štapa, odnosno na teoriji drugog reda.
Formulišu se matrice krutosti štapa K po linearizovanoj teoriji drugog reda.
Kritično opterećenje se dobija iz homogene jednačine sistema, tj. iz uslova da je
det Knn*()=0,