Solucionario - Guía de Ciencias Trigonometría
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GUÍA DE CIENCIAS - TRIGONOMETRÍA
Prof. Erick Farfán Alarcón - 1 -
EXAMEN Nº 1 Para Principiantes
01. 27 9
S10 c
= +
27 9
9k10 10k
= + 1
k2
∴ =
k 1
R20 20 2 40π π π = = =
CLAVE : B
02.
L 2 r= π�
4 2 rπ = π r 2∴ =
1
x4
= 4⋅L
cos8
⋅ → L
x L cos8
= ⋅
CLAVE : C
03. ( )( ) ( )cosx cosx cot x
R− − −
=( ) ( ) ( )sec x sec x cot x
4R cos x= −
CLAVE : C
04. ( )24 1 cos x 3
A1 2cosx
− −=
+ ;
1cos x
2≠ −
21 4cos x
A1 2cosx−
=+
→→→→ A 1 2cos x= −
1 cos x 1− ≤ ≤
1 1 2cosx 1− ≤ − ≤
{ }A 1,0,1,2,3= − A 1∴ =
CLAVE : D
05. ( ) ( )2 senx cos x 1 2 senx cos x 1 1
H1 cos2x 1 cos2x 4
⋅ + ⋅ += + +
− +
sen2x 2 sen2x 2 1
H1 cos2x 1 cos2x 4
+ += + +
− +
2 2sen2x 4 1
H 2csc 2x2sen2x 2
+ = = +
1 csc 2x 1≤ ≤ −
5 1 3
2csc 2x2 2 2
≤ + ≤ −
9
H4
≤ < +∞
∴ ∈ +∞
9 H ;
4
CLAVE : D
06. 5x x
P 2cos3x cos2x 2cos cos 2cos5x cosx2 2
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
3cos
13
6 4 5 10 2P 8cos cos cos cos cos cos
13 13 13 13 13 13π
−
π π π π π π= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
�����
61
2
2 3 5 6P 8 cos cos cos cos cos cos
13 13 13 13 13 13π π π 4π π π
= − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅���������������������
1P
8∴ = −
CLAVE : A
07. ( ) ( )2H 2sen 35 cos 5= θ + ⋅ θ + °�
( )2H sen 2 40 sen30= θ + ° + �
( )1 1H sen 2 40
2 4= π + ° +
150 160≤ θ ≤� �
( )340 2 40 360≤ θ + ≤� � �
( )sen 2 40 0θ + =�
( )1 1 1H 0
2 4 4= + =
CLAVE : D
GUÍA DE CIENCIAS - TRIGONOMETRÍA
Prof. Erick Farfán Alarcón - 2 -
08. tan x 2tan y 3 tan z k= = =
tanx k= ; k
tanx2
= ; k
tanz3
=
tanx tany tanx tanz tany tanz 1⋅ + ⋅ + ⋅ =
2 2 2k k k
12 3 6
+ + =
k 1= ( ) ( ) ( )T 3 1 4 2 5 3 26∴ = + + =
CLAVE : D
09.
21 2 sen sen
5 15Wsen
15
π π − ⋅ =
π
1 71 2 cos
2 15Wsen
15
π − − =
π
72cos 2sen
15 30Wsen 2sen cos
15 30 30
π π
= =π π π
⋅
1W
n∴ =
CLAVE : B
10.
( ) 2 2 2 2 2 2f a sen b cos b sec tan2θ = θ + θ + θ − 4 θ
( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2f a 1 cos b cos b sec 4 sec 1θ = − θ + θ + θ − θ −
( ) 2 2 2 2 2 2
0 0
f a cos a b sec b 4 4 θ = − − + θ − + ����� ���
2 2a b=
2b 4= 2 2a b 8∴ + =
CLAVE : D
11.
1 sen10 1 sen50
cos10 cos50J
1 sen70
cos70
+ + =
+
� �
� �
�
�
cos40 cos20
sen40 sen20Jcos10
sen10
⋅=
� �
� �
�
�
( ) ( )( ) ( )
4cos20 cos 60 20 cos 60 20J
4sen20 sen 60 20 sen 60 20
⋅ − +=
⋅ − +
� � � � �
� � � � �
cos60 3
J ctg603sen60
= = =�
�
�
CLAVE : A
12. ( ) ( )2sen3 sen 2aα + β ⋅ α − β =
( ) ( )2cos3 cos 2bα + β ⋅ α − β =
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
cos 2 4 cos 4 2 2a I
cos 4 2 cos 2 4 2b II
+ ↓ α + β − α + β = − − −
− ↑ α + β + α + β = − − −
( )cos 2 4 a bα + β = +
( )cos 4 2 b aα + β = −
( )( )
cos 2 4 a bP
cos 4 2 b a
α + β += =
α + β −
CLAVE : B
13. b c a
sec x cosxa b c+
= → =+
a c b
sec y cos yb a c+
= → =+
a b c
sec z coszc a b+
= → =+
1 cosx 1 cosy 1 cosz1 cosx 1 cos y 1 cosz
− − −+ +
+ + +
a b c1 1 1
b c a c a b 1a b c
1 1 1b c a c a b
− − −+ + ++ + =
+ + ++ + +
CLAVE : A
14. ( )2k cos 2 1 cos= θ + − θ
2k cos 2cos 1 1= θ − θ + +
( )2k cos 1 1= θ − +
2
1 cos2
− < θ ≤
( )20 cos 1 4≤ θ − ≤
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( )2
K
1 cos 1 1 5≤ θ − + ≤������� { }k 1,2,3,4,5=
Suma =15
CLAVE : C
15. ( ) ( )
( )4 9k 3 10k 6 rad
rad2 10k 9k 11 330180
− π π θ = = ⋅ = −
� �
�
L 210 2330
π= ⋅ =
CLAVE : A
16.
( )2 2sen cos 2cosα + α = α
1 sen2 1+ α = cos2+ α
22 30′α = �
CLAVE : A
17.
2
2
2
sen A ctgA 1
N sen A ctgB 1
sen C ctgC 1
=
= ⋅ + ⋅ + ⋅
− ⋅ − ⋅ − ⋅
2 2 2
2 2 2
N sen A cotB sen B cotC sen C cot A
cotB sen C sen A cotC sen B cot A
( ) ( )( )
2 2 2 2
2 2
N cotB sen A sen C cot A sen C sen B
cotC sen B sen A
= − + −
+ −
( ) ( )N cosB sen A C cosA sen C B
cosC sen(B A)
= ⋅ − + ⋅ −
+ ⋅ −
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
N sen B A C sen B A C sen A C B
sen A C B sen C B A sen C B A
= + − − − + + + −
− − + + + − − − +
N 0=
CLAVE : D
18. ( )
θ−
− θ ⋅ θθθθ = =θ + θ ⋅ θ+θθ
2
2
1 sen1 sen coscoscosf
1 sen 1 sen coscoscos
( ) 2 sen2f
2 sen2− θ
θ =+ θ
, 1 senx 1− ≤ ≤
( ) 1N f min
3= θ = ∧ ( )M f max 3= θ =
( )∴ + =3 M N 10
CLAVE : C
19. 2a b a 2b a b+ > + → >
2c a 4a c c a+ < − → <
2 2 2a b c∴ = +
CLAVE : C
20.
=�tan3
tan⋅ �tan6 ⋅ �tag9 − − − − − − �tan53 ⋅ �
�
tan60
tan57 ⋅ �tan54 ⋅ �tag51 − − − − �tan46 ⋅ �tan43
θ = �tan tan60 60∴ θ = � ; 30φ = �
CLAVE : B
EXAMEN Nº 2
01. Del grafico tenemos:
( )90 90 360α + + −β − =� � 360∴α = + β�
CLAVE : C
02. Se plantea: ( )gy 24 x 90′+ − = �
( )gg
9 1y 24 x 90
6010′⋅ + − ⋅ =
′
� ��
9y 24 x
9010 60
−+ =
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54y x 24 5400− + =�����
T 24 5400+ = T 5376∴ =
CLAVE : D
03. Tenemos:
( ) ( )60 4,25 60 22 ,15 180′ ′′+ + − =� � � �
x 60 18 60′= =� � →→→→ g1
x 60 18 361854
′ ′= = ⋅′
�
gx 57∴ =
CLAVE : D
04. Correcto Incorrecto
60 rad3π
≤� =c 609 10
c 54=
g54 rad200
π→ = ⋅� →→→→
27rad
100π
=�
Error: 27 19
3 100 300π π π
− =
CLAVE : B
05. S 9k , c 10 y R k20π
= = =
Dato:
( ) ( ) ( ) ( ) π π + + = + +
6 6 6 55 59k 10k 20 k k
5 9k 10k9 10 11 20 20
5 56 5 5 5 5 5k 9 10 5k 9 10
20 20
π π + + = + +
k 5= π
∴ = R4
CLAVE : C
06. Sea " "α la medida del � en el sistema sexagesimal.
( )gg10 10
S 180 20099
→ α = − α ⋅ = − α
�
�
( )C 90α = − α �
Dato: 10
200 90 5 1359
− α + − α = → α =
π π
= ⋅ =�
��
rad 3135 rad
4180
CLAVE : D
07. Tenemos: w50 90= �
w ww
9028,125 28,125 50,625
50→ = ⋅ =
��
50 37 30′ ′′= �
CLAVE : B
08. Sabemos: a 9k , b 10k a k20π
= = ∧ =
Datos: ( ) 21 2
10k k 10k 9k k20π
⋅ = − ⋅ → =π π
2
2 1d
20 10π
∴ = ⋅ =ππ
CLAVE : C
09. π ⋅′ ′′ ′ ′′α = = ⋅ = =
π
� �� �13 180 13 180
1a b31c rad 18 4312125 rad 125
a 8 , b 4 c 2→ = = ∧ =
( )N 4 4 8 0= − ⋅ =
CLAVE : A
10. Hacemos: 2x 9x c+ =
S 3a 90 C 8a 72→ = + ∧ = +
= → + = + → =S c
30a 900 72a 648 a 69 10
s R
S 1089
20
→ = → =π
3
R5π
∴ =
CLAVE : C
11. 1rad 5m=
α → Angulo formado a las 3h y 18 min.
5m
9 rad20 1radπ
α = = ⋅� →→→→ m4π
α =
CLAVE : A
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12. Sabemos: ′′= → = =� g s m9 10 162 500 5
→ = = =
x y zk
500 162 5
=
=
=
x 500k
y 162k
z 5k
( )500T 500k 324k 5k 171
500k= − − =
CLAVE : D
13. Recordamos: k
S 9k, C 10k R20π
= = ∧ =
Datos: 2x (9k)x 10k 0+ + =
1 2 1 2x x 10k x x 9k→ ⋅ = ∧ + =
Además: ( ) ( )2 21 2x x 0,01− −+ =�������
( )
( )
21 2 1 2
21 2
x x 2x x 1100x x
+ − ⋅=
⋅
−
→ = → =2
2
81k 20k 1 1 k
100 4100k
π π
∴ = ⋅ =1
R20 4 80
CLAVE : A
14. Recordamos: S 9k C 10k= ∧ =
100 30k 18k 120< − <
�K mayor entero 9
8,3 k 10=
< <
π ⋅ π
∴ = =9 9
R20 20
CLAVE : A
15. C 10k ; S 9k R k20π
= = ∧ =
Dato: ( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
xn y x ny10k 9k
x y x y
+ + −− =
+ − −
( )2 2 2
2
2
x y n 1 x yk n 1
4xy 4 y x
≥
+ += + = +
���
+
=2
mínn 1
k2
( )2
2n 1R n 1
20 2 40
π + π∴ = ⋅ = + ⋅
CLAVE : B
16. Del grafico tenemos:
( ) ( )1 2 3l a ; l a b 3 l a 2b= ⋅ α = + α ∧ + α
( ) ( )
( )a a 2b 2(a b) 2
ka b 3 3(a b) 3
α + + α + α= = =
+ α + α
CLAVE : B
17. inicial final
cant = θ� cant 2= θ�
Radio r= radio r 3= −
Área 2r
2θ ⋅
= Área( ) ( )22 r 3
2
θ −=
( )2 2
12 r 3 1 r
r 2 No2 2 2
θ − θ ⋅→ = ⋅ → = →
2r 6 Si= →
CLAVE : D
18.
Por semejanza: = → =2
22
b a a r
a r b
2 2
1a b
r2−
=
( )2 2
1 1
a bl r
2
−= θ ⋅ = θ
2
2 2a
l rb
θ ⋅= θ ⋅ =
( )2
22 22 2
1
al abl a ba b
b
θ ⋅
= =−−
θ
CLAVE : C
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19. Del gráfico: ( )( )
= →
2
2
OC 2
3OA
( )( )OC 2 k
OA 3 k
=
=
Además: AOD EOC= = θ� �
( )22
2kS
2
θ= ;
( )21
3kS
2
θ= → =1
2
S 3
S 2
CLAVE : A
20.
Determinamos el ángulo " "θ que gira el centro de la rueda pequeña:
( )ππ π
θ = = → θ = =+
�2 22 r 2 120
R r 6 3
Elaborando el esquema, determinarás lo pedido reconociendo que el OMN∆ es rectángulo y pitagórico, luego;
2 2x 4 8 2 4 8cos60= + − ⋅ ⋅ � 16 64 2= + −1
322
⋅ ⋅
x 48 4 3 m∴ = =
CLAVE : E
EXAMEN Nº 3
01.
PAQ ≅ ( )QBR ALA
→ + = → = 3k 4k 7 k 1
∴ + = → = a 3k 4k a 1
CLAVE : A
02.
= + + α θ
1 1E 1 1
tan tan
α θ + α + θ +=
α ⋅ θ
tan · tan tan tan 1E
tan tan
= +α ⋅ θ
2E 1
tan tan
Por: MA MG≥
α + θ
→ ≥ α ⋅ θtan tan
tan tan2
→ ≥ α ⋅ θ ≥1
tan tan 04
�m
21 9
tg tg+ ≥
α ⋅ θ m 9∴ =
CLAVE : E
03. Sea ABC el rombo y L su lado:
22S R= π →→→→ 2R Lsen= θ
21S L sen= θ
2
12R
S sensen → = ⋅ θ θ
2
14R
Ssen
=θ
→→→→
⋅ θ = π
21
SS sen 4
→ θ =π
2
1
4Ssen
S 2
1
4Sarcsen
S
∴ θ =
π
CLAVE : E
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04. Graficando el triangulo ABC:
Como:
22senB sen A=
= → =2
22
b a2 2bc a
c c
Pero: 2 2 2a c b= − → = −2 2 2bc c b
Completando cuadrados y ordenando se tendrá:
( )C 2 1 b a 2 2 2b= + ∧ = +
Finalmente calculamos se sec A y cotB
c a
sec A 2 1 cotB 2 2 2b b
= = + ∧ = = +
Luego en el problema: 4 2E Sec A 6cot B= −
( ) ( )24
17 12 2 12 12 2
2 1 6 2 2 2
+ +
= + − +����� �������
E 5∴ =
CLAVE : E
05. Recordemos: a;b +∈
≥
= + θ + θ + −�������
2 ab
K ab acot b tan 1 ab
( )2mínK ab 2 ab 1 ab ab 1 ab= + + − = + −
K 1=
CLAVE : D
06.
A ⋅= −
22 k cot1
k2
A( ) ( )
2
2k 2 1
k2
= =
sombA = A A
⋅= − −
→ = ⋅
22 2
2somb
k cot 1Asomb k k
2
2A k cot 1
CLAVE : D
07.
( ) ( ) − θ= ∀ − θ = π∀ → =
π
n tanl n tan k 2 k
2
CLAVE : C
08.
( )1
sen 2 cosS 2 2sen cos sen2
2
θ 2 θ= ⋅ = θ ⋅ θ = θ
( )2 21 2 2
2 2 cosS S S 4 cos sen2
2
θ θ+ = → = θ θ − θ
( )θ⋅+ = → = θ − θ θ
2
2 3 3
2 2S S S Sen2 2 cos2
2
CLAVE : D
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09. Tenemos: cos3 sen3 3 3 90θ − α → α + θ = �
30α + θ = �
( ) +
=
� sensen 30
k
θ3
cos α3tang ( )θ + α ⋅2 tan ( )
= °
+= =
θ + α�����������
E 90
11 32
1 22
CLAVE : C
10.
h 2cos= θ ; b 2 2cos= − θ
s4(1 cos )(cos )
A2
− θ θ=
21 1As 2 cos
4 2
= − θ −
Para mínimo:
1 1cos 0 cos
2 2θ − = → θ = 60∴ θ = �
CLAVE : D
11.
-Por ser N punto medio de AB, se tiene que AN y AD están en relación de 1 a 2.
-Trazamos PQ ⊥ AB para ubicar A " "θ en
un triangulo rectángulo
En AQP: 6
tan5
θ =
CLAVE : C
12. Dato: α = θ +θ
1tan 2sen
2sen
1
NA MG 2sen 22sen
≥ → θ + ≥θ
Piden mínimo: 1
tg 2 sen2
α = ∧ θ =
2 2 4sec 5 sec
3→ α = ∧ θ =
4
L 5 3 93 = + =
CLAVE : B
13.
θ = ∧ θ =r m
tan tann r
2r mn→ = → = ⋅ r m n
θ = =n n
cotmmn
CLAVE : B
14.
+ − −
= ⋅ θ = ⋅ θ
2 2m n m n m nA tan tan
2 2 4
CLAVE : D
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Prof. Erick Farfán Alarcón - 9 -
15.
Del grafico: 3a 4a 245 a 35+ = → =
24
BC 3a 3actg16 105 105 4657
= + ° = + ⋅ =
CLAVE : D
16.
( )= θ + θ ⋅ θa sen 1 tan2 tan4
θ θ
→ θ = → =α θ
tan tancos2 x
cos2
( )θ + θ ⋅ θ
→ θ = → =θ
sen 1 tan2 tan4acos5 y
y cos5
( )
θθ=
θ + θ ⋅ θ
θ
tanx cos2
sen 1 tan2 tan4y
cos5
( )θ ⋅ θ
=θ ⋅ θ + θ ⋅ θ
x cos5 tany cos2 sen 1 tan2 tan4
= θ ⋅ θ ⋅ θ ⋅ θx
sec sec 2 cos5 cos4y
CLAVE : A
17.
2cos 45 2cos sen452 2
As2
α α − ⋅ =
� �
α α
= + + = α + α +
1 cos senasen bcos c
2 2 2
→ + + = + + = =1 1 1 3
a b c 1,52 2 2 2
CLAVE : C
18. ABC ( )B 90= �
( ) ( )2a c 2 ab bc ac→ + = − +
+ +�����2
2 2
b
a c 2ac = − +2ab 2bc 2ac
2b 2b= ( )a c−
� �
senA cos A
1 a c 1senA cosA
2 b b 2= − → − =
CLAVE : C
19. Hacemos: ED 1 EF= =
= θ =AD cot AF
Del grafico:
θ−
θ= θ + = θ + θθ
tan21
tancot x tan2 tan2 csc 2tan2
CLAVE : A
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20.
Piden: � �BC BC+
Del ∆ BOC: BC 2Rcos= θ
Luego: � ( )BC 2 R= π − θ ⋅
( )Piden 2 R 2Rcos→ = π − θ + θ
2R cos2π = + θ − θ
CLAVE : B
EXAMEN Nº 4
01.
→ = < ⋅ =� x 3cot30 3 3 3m
CLAVE : C
02.
= ⋅ = ⋅ ⋅ =� �x hcot30 tan60 h 3 3 3h
CLAVE : D
03. Graficando de acuerdo al enunciado se obtiene la siguiente figura:
FARO(1)
FARO(2)
Barco alas 8:24 p.m
Barco alas 8 p.m
Barco
Trayectoria del barco S 80° O
- como el tiempo transcurrido es
24min2
h5
<> y la velocidad que lleva el barco
es de km
65h
se tendrá que el espacio
recorrido es 26km 52km∴ φ =
CLAVE : C
04.
CLAVE : E
05.
→ θ =+D
h R
CLAVE : C
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Prof. Erick Farfán Alarcón - 11 -
06.
h sec 4cos⋅ θ = θ →→→→ 2hcos
H= θ
CLAVE : D
07. Del problema:
LineaEcuatorial
Además:R +H = Rsecθ
( )R h R L= + θ →→→→ hL
R1 sen
θ=
− θ
θ
+ = ⋅ θ− θ
hsenR H sec
1 sen
θ∴ + =
θ −
hsec R H
csc 1
CLAVE : B
08. Graficando de acuerdo al enunciado se tendrá la figura siguiente:
En la figura se observa que:
dsen2 Hcosα = α
d 2sen cos Hcos⋅ α ⋅ α = α
1 H
sen2 d → α =
Como: 25H 14d=
1 14 7
sen2 25 25 → α = =
7
tan24
∴ α =
CLAVE : D
09.
4 70
x 103 50
→ = +
4 70 10
h 10 10 8 23 50 50
→ = + − = +
CLAVE : D
10. Del enunciado:
Área 2 2R R cos2= + α →→→→ Área 2 22R cos= α
CLAVE : D
11. Graficando de acuerdo al enunciado se tendrá la figura siguiente:
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En el triangulo formado en la primera observación se tiene que los catetos son iguales.
En EL tramo de ascenso se observa que:
13k 260= → k 20=
En el triangulo formado en la ultima observación se tiene que los catetos guardan relación 4 a 3 .
−
→ =−
H 100 4
H 290 3 H 860m∴ =
CLAVE : C
12. Del enunciado:
( )→ = α + θh 2 3 tan tan
CLAVE : D
13.
= =� 1 · 5 1tan 27
3 2 ∴ = x 5,5m
CLAVE : A
14.
( )x 40 sen10 cos10 tg25= + ⋅� �
sen25
x 40 sen10 cos10cos25
= + ⋅
�� �
�
x 40sen35 sec 25= ° ⋅ °
CLAVE : E
15.
12
x 12 32 3
= ⋅ −+
( )x 12 3 12 2 3= ⋅ − −
x 12 3 24 12 3= ⋅ − +
( )x 24 3 1∴ = −
CLAVE : D
16.
x 2 2cos74 2 x sec⋅ + = ⋅ ⋅ θ�
1 cos74 sec+ = θ →→→→ 27
1 sec25
+ = θ
2
4 sec5
= θ → =7
tan5
CLAVE : B
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17.
α = = =125 1
tan 0 , 1251000 8
θ
→ = =θ2
h 8htantan x
h8htan
→ = θθ2
18 tan
8 tan
= θ = θ =31 1tan tan
64 4
⋅
→ = = ∴ = �
18
4tanx 2 x 63 ,301
CLAVE : A
18.
= + α = + βx h a tan 2h b tan
α − β =a tan b tan h
∴ = α − β x 2a tan b tan
CLAVE : E
19.
H h 10∴ − =
CLAVE : D
20.
→ α ⋅ β = ⋅ =x 5a
tan cot 59 x
CLAVE : C
EXAMEN Nº 5
01. − α ≥ → α ≤6 tan 0 tan 6
α − ≥ → α ≥tan 6 0 tan 6
∴ α = tan 6
θ − =4cos 6 0
θ = ∴ θ =6 4
cos sec4 6
∴ θ ⋅ α = ⋅ =4
sec tan 6 46
CLAVE : D
02.
< θ <� �16 60
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�
1 24cos
2 25< θ <
1 x / 2 242 50 25
< <
∴ < <50 x 96
CLAVE : D
03. < θ <� �30 90
< θ <1
sen 12
→ < θ <1 csc 2
< θ <2 4sen 4
∴ < θ + θ < 3 4sen csc 6
∈N 3;6
CLAVE : D
04.
R =2r r =1R = 2
θ + θ =2cot tan AB
θ − θ + =2tan ABtan 2 0
− ≥2AB 8 0 ∴ ≥AB 2 2
mínAB 2 2=
θ − θ + =2tan 2 2 tan 2 0
θ =tan 2 ∴ θ =sec 3
CLAVE : C
05. ( )= + θ − − θ −θ
222
1E cos 2 cos 3
cos
( )
( )θ −
= − θ −θ
222
2
cos 1E cos 3
cos
= θ − = − = −5 7
E sec 3 34 4
CLAVE : E
06.
α = ⋅ → α =2 2R cot 4R 2R cot 2 2
− α = θ → α = − θ� �90 2 90 2
α = θ =cot tan2 2 2
θ + θ − =22 2 tan 2tan 2 2 0
∴ θ =1
tan2
N 2 2 2 3 2= + =
CLAVE : D
07. −
φ = = → =+
2 2b a btan a 2b
a b b
= =b 1 , a 2
= +r 4 2 2
( ) ( )= + + −2 2
E 4 2 2 2 1 ∴ =E 7
CLAVE : E
08. α − − α ≥ → α =21 1sen sen 0 sen
4 2
α = �30
− θ + θ − ≥ → θ =2 1 2cos 2 cos 0 cos
2 2
θ = �45
= + +� �2 2M 3sec 30 cot 45 1
( ) = + + =
222
M 3 1 1 63
CLAVE : C
09.
0
2sen sen 1
<
θ + − θ =�����
θ =3sen 1 1
sen3
→ θ =
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= θ − θ − θ = θ =R csc cot csc cot 2 2
CLAVE : C
10. ( )θ − + θ − = − θ2sen 1 5sen 4 3 1 sen
θ =4
sen5
∴ θ = �53
( )− θ + − θ = 3 1− θ1 2sen 4 5sen sen
θ =1
sen2
∴ θ = �30
CLAVE : E
11. ( )( )− − >n 2 3 n 0
∈n 2;3
< <1,41 n 3 ∴ =n 2
φ =tan 2 ∴ φ ⋅ φ = ⋅ =2 1 2
sen cos55 5
CLAVE : C
12. < ≤� �0 A,B,C 360
− ≥1 cosA 0 =cos A 1
− ≥cos A 1 0 ∴ = �A 360
= −senB 1 ∴ = �B 270
− =tanC 1 1 ∴ = �C 180
∴ + + = �A B C 810
CLAVE : C
13. α − ≥cos 1 0
α + ≥cos 8 0
α ≥ ∴ α =cos 1 cos 1
α + ≥sen 3 0 α = �0
π
= = =3
E 3 tan33
CLAVE : C
14.
( )[ ]= − θ + θ2E n 1 tan sec
( ) += − +
− −
22
2 22n n 1
E n 1n 1 n 1
( )= − + 2E n 1
CLAVE : D
15. α − = + + +2tan 2 2 2 2 ...
( ) ( )α − = → α =2 2tan 2 2 tan 4
Como α ∈ IIC : tan( ) 2α = −
( ) ( )( ) ( )
( )α + α
= + αα − α
sen 2cosw cotan
sen cos
( )( )
( )α + = + α = + − α −
tan 2 1w cotan 0
tan 1 2
w 1/ 2= −
CLAVE : B
16.
( )− − − −
θ = = = − − −
� �
�
sec 45 csc 45 2 2tan 2
14 cos60 42
= θ + θ = −3 2
E tan cot2
CLAVE : D
17.
π
=tan
7R
π+
2tan
7π
+3
tan4
π+ + π +
π
... tan tan7
cos5
π+
2cos
5π
+3
cos5
+ + π... cos
π = −
R tan
7
CLAVE : B
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18. ( ) ( ) ππ + + π − =senx cosx senx cosx
2
=1
senx4
π π
= + + −
2 2 3A tan x cot x
2 2
= +2 2A cot x tan x
( ) = +
22 1
A 155
=256
A15
CLAVE : B
19.
y = 2x - 4
0 2a 4 a 2= − ∴ =
2 y
12 y 122⋅
= ∴ =
12 2x 4 x 8= − ∴ =
∴ θ = = =x 12 3
tany 8 2
CLAVE : B
20. α − β = 360n
β
= → α = β =α + β
17 420n
8
β − β = → β =7 360n 60n
< α + β <� �500 1000
< <� �500 480n 1000
< < ∴ =1,04 n 2,8 n 2
( )α = = �420 2 840
CLAVE : D
EXAMEN Nº 6
01. ( )( )3 sec 3
3sec 2sec 3
φ+φφ =
sec 3 ; ademas cos 0→ φ = φ >
sec 0φ >
IV C→ φ ∈
( )= − φ + φ = φ + φ =��� ���
2 2 2 2
8 9
P tan sec tan sec 17
CLAVE : B
02. Del grafico:
Por R.M.
= ⋅ → = → α =h 3 1 h 3 tan 3
60→ α = � 105→ θ = �
( ) ( )θ + θ = +� �sen cos sen 105 cos 105
θ + θ = − =� � 2sen cos cos15 sen15
2
CLAVE : D
03. Tenemos:
θ − θ = → θ =5
12sen 5cos 0 tan12
Del grafico:
90 180 90− θ − α = → α = − − θ
( )θ→ = ⋅ − − θ N sen tan 90
2
−= ⋅
121 1213N
2 5
=6 26
N65
CLAVE : B
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04. Para n 1=
( )( )
( )( )
+ α − α= α ⋅ = α ⋅ = α
+ α − α
sen 180 senM tan tan tan
cos 90 sen
Para n 3=
( )( )− α α − α
= α ⋅ ⋅ ⋅ = α− α − α α
3sen sen senM tan tan
sen cos cos
→ Para n = αnM tan
CLAVE : D
05. Tenemos:
( ) ( ) π π = α ⋅ π + π − α ⋅ − − α
A sen cos 4680 tan 466
2 2
= α ⋅ − α ⋅ α = − α ⋅ α ⋅ αsen ( cos ) cot sen cos cot
( ) π π π π = π+π−α ⋅ + +α ⋅ − −α
B sen 124 sen 156 tan 156
2 2 2 2 = α ⋅ α ⋅ αB sen cos tan
− α ⋅ α ⋅ α
→ = = − αα ⋅ α ⋅ α
2A sen cos cot cot
B sen cos tan
CLAVE : D
06. Piden: H R sen6= β
2
2 R sen3 cos6As s
2− β ⋅ β
= =
2
24s
sen6R
−→ β = ∴ = =
2
2
4sH R 2s
R
CLAVE : B
07. “ θ ” y “ ( )4α − β ” coterminales:
( )4 360→ θ − α − β = →→→→ 360 4θ + β = + α
Dato:
315 135− ≤ θ + β + α ≤� �
���
315 360 5 135− ° ≤ ° + α ≤ °
135 40− ≤ α ≤ −� �
2
cos 1;2
→ α ∈ − −
CLAVE : C
08. Graficamos de acuerdo a las condiciones:
tan cot∴ θ = α
CLAVE : A
09. ( ) ( )( )r 1 sen ; r 1 cos+ α − + α
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Por regla práctica:
r + 1
r + 1
0
0
0
0
0 0 r + 1
(r + 1)senαsenα (r + 1)(-cosa)
(r + 1) 2
(r + 1) 2
(r + 1) 2
(r + 1) 2
α(r + 1) 2 (-cos )
(sen - cos )α α
( ) [ ]2sA r 1 1 cos sen→ = + + α − α
CLAVE : D
10.
sen( - 1/2) = 1π
s
1sen cos
sen2A
2 2
θ θ + θ = =
1
cos2
→ θ = +↓
60θ = °
CLAVE : B
11. 21 1
6t cosx cosx 8 0
t ⋅ − + ≤
1 14 2
cos x cosx 0t t
− − ≤
14 2
cos xt t
→ ≤ ≤ t 0∧ <
� �1456 9128 4tcos x 16
≈ ≈
→ ≤ ≤
Recorre por lo menos una vuelta
1 p 1∴ − ≤ ≤
CLAVE : B
12. 4
t 4t 27 2 7π π π
< ≤ → − < ≤ π
≤ ≤ π�������
0 4t 2
Barre una vuelta
[ ]
[ ]
[ ]
−
−
− −
π = + +
�������
�������
�������
1; 1
2 ; 2
1; 3
H 2sen 4t 16
CLAVE : D
13. Nos piden: 2 2 2H cos A cos B cos C 3= + + −
Tenemos:
2 2 2 2 2 2
2 2 2
tan A tan B tan A tan C Ctan Btan C
1 2tan A tan B tan C
∗ ⋅ + ⋅ + =
− ⋅ ⋅
∗ ⋅ + ⋅ + ⋅
+ ⋅ ⋅ =
2 2 2 2 2 2
2 2 2
tan A tan B tan A tan C tan B tan C
2 tan A tan B tan C 1
( ) ( )
−
−
∗ + + + ⋅ +
+ ⋅ =
����� �����
�����
�������
2 2
2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
sec C sec B
2 2
sec C 1
tan Bsec C tan B
tan A tan B 1 tan C tan A tan C 1 tan B
tan B tan C 1
( )−
∗ ⋅ + + ⋅
= +
����� �������
�����
2 2
2
2 2 2 2 2 2
sec B 1 sec A
2
sec B
tan B sec C tan A 1 tan A tan Csec B
1 tan B
∗ −
+ =
2 2 2 2 2
2 2 2 2
sec A sec Bsec C sec A sec C
tan A tan Csec B sec B
Todo por: 2 2 2cos A cos B cos C⋅ ⋅
2 2 2 2 21 cos B sen A sen C cos A cos C− + ⋅ = ⋅
2 2 2 2 21 cos B cos A cos C sen A sen C= + ⋅ − ⋅
( ) ( )−
= + + ⋅ −�����������
2 2
2
cos A sen C
1 cos B cos A C cos A C
( )2 2 21 cos A cos B 1 cos C= + − −
2 2 2cos A cos B cos C 2→ + + =
H 1∴ = −
CLAVE : C
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14.
( ) α= α + α − α + α =
22 2 2 41 cos 2
A cos 1 tan 3 tan tan2 2
( ) ( )22 22 2 sen 2
B 1 cos 1 sen 52
α= + α + + α = −
2 2cos 2 sen 2 1 9
A B 5 52 2 2 2
α α→ − = − + = − = −
CLAVE : E
15. tenemos:
( )
+ + +
= +2
1 1senx cosx tanx cot x
senx cosx
Acsc 2x B
⋅ + + + ⋅
⋅
senx cos x 1senx cosx
cos x senx senx cosx
1
senx cosx
2 2 2 2 21 1 8
1 1sen x cos x sen xcos x sen 2x
+ + = +⋅
2 28csc 2x 1 A csc 2x B= + = +
→ − ∧ =A 8 B 1 ∴ + = + =A B 8 1 9
CLAVE : E
16. 2 4 2 4R 2sec sec 2csc csc= θ − θ − θ + θ
( ) ( )= θ + − θ − = − θθ
2 22 2 44
1csc 1 sec 1 tan
tan
− θ
=θ
8
4
1 tan
tan
CLAVE : D
17. Del dato:
( )θ − θ = θ − θ + θ − θ4 4 2 2 4 4cot tan m cot tan csc sec
( )( ) ( )
( ) ( )−−
→ θ + θ θ − θ − θ + θ
θ − θ = θ − θ
�������
�������
2 2 2 2 2 2
11
2 2 2 2
cot csc cot csc tan sec
tan sec m cot tan
( )2θ − θ = θ − θ2 2 22tan 2cot n cot tan
( ) ( )2− θ − θ = θ − θ2 2 22 cot tan m cot tan m 2∴ = −
CLAVE : A
18.
Del grafico: θ + ω = → ω = − θ� �180 180
180 180ω − α = → ω = + α� �
∧ = ω → ω = = α63
63a 9a tan tan tan9
12
sec9
→ α = −
→ ω = → θ = −1 1
cot2 cot 263 63
Piden:
1 12
H 63 3 1 4 5963
− = − + = − − = −
CLAVE : E
19. Nos piden: 2K tan x csc x= +
Del dato: ( )tanx senx 1 senx sec x 1 1+ = → + =
sec x 1 csc x→ + =
Ordenando: csc x sec x 1− =
Al cuadrado:
2 2sec x csc x 2sec x csc x 1+ − ⋅ =
�������
2 2sec xcsc x 2sec xcsc x 1 1 1− + = +
( ) �+
⋅ − = → ⋅ = +2
sec x 1sec x csc x 1 2 sec x csc x 2 1
2sec x sec x 2 1+ = +�����
2
csc x
k
tan x 1 sec x 2 1+ + = +�����
���������
K 2 1∴ = +
CLAVE : D
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20. 2 2 2x y 12 x y 5⋅ = ∧ + =
CLAVE : D
EXAMEN Nº 7
01.
( )( )5 sen 37 x
4sen 3cos x
θ − =
→ θ − θ =
� ( )2 cos 45 y
cos sen y
− θ =
θ + θ =
�
2 2i ) x y 4sen cos 4sen 3cos
3sen cos
→ ⋅ = θ ⋅ θ + θ − θ
− θ ⋅ θ
2 24sen 3cos sen cos= θ − θ + θ θ
2 2 2ii ) 2x 16sen 9cos 24sen cos→ = θ + θ − θ ⋅ θ
29 7sen 24sen cos= + θ − θ ⋅ θ
( )2iii ) 25y 25 1 2sen cos→ = + θ ⋅ θ
25 50sen cos= + θ ⋅ θ
2 225y 2x 2xy 49→ + − =
CLAVE : B
02. Dato: 02π
< θ <
( )1tan cot n ... I
sen cos→ θ + θ = =
θ ⋅ θ
A sen csc cos sec= θ + θ + θ + θ
( )
n
1A sen cos 1
sen cos = θ + θ + θ θ
������� �������
Por dato (1): n 2
n+
=
( )+→ = +
n 2A 1 n
n
CLAVE : D
03.
( )
( )
1sen senx cos x
2H 21
cos senx cosx2
− ⋅ + =
−
( )
[ ]1;1
2; 2
H 2sen 45 2sen x 45
−
−
= + − ° �������
���������
( )35 125
2 45 2sen x 45 24 4
≈− ≤ ≤ ≈
π π→ − ≤ + − ≤ +
� �
� �
����� �����
[ ]→ = =H 2 1 2
CLAVE : E
04.
H 1 5sen cos
6 6 6= θ ⋅ + ⋅ θ
( )Hsen a
6→ = θ +
Análogamente:
( )A
sen b3
→ = α +
i ) Analizamos: ii ) Analizamos
180 270< θ <� � ( )1 sen b 1− ≤ α + ≤
0 a 90< <� � ( )3 3sen b 3→ − ≤ α + ≤
180 a 360→ < θ + <� � 3 A 3∴ − ≤ ≤
( )1 sen a 0→ − ≤ θ + <
( )6 6sen a 0→ ≤ θ + <
6 H 0∴ − ≤ <
6 ; 0→ −
CLAVE : D
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05. Tenemos:
( )+ + = ⋅ ⋅�������cos x y z cos x cosy cosz
cosx cosy⋅ cosz cosx seny senz
cosy senx senz cosz senx seny
⋅ − ⋅ ⋅
− ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅
cosx seny senz cosy senx senz0
senx seny senz seny senx senz
cosz senx senycosx cosy cosz
senz senx seny
⋅ ⋅ ⋅ ⋅= +
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅+ = ⋅ ⋅
⋅ ⋅
= + +0 cot x cot y cot z
CLAVE : C
06. Tenemos:
−
+ = + �����cot A tanA
2tanB 3 tanC csc A 2cot 2A
−
− = + �����cotB tanB
c2tan A cot cscB 2cot 2B
2
+
( )
⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅
+ + = + +��������� �����������
tanA tanB tanC A B Ccot cot cot
2 2 2
1 B c3 tanA tanB tanC cot cot cot
2 2 2
1 B C 1tanA tan tanB tan tanC tan
2 2 2 3 → ⋅ ⋅ ⋅ = ����� ����� �����
1
(sec A 1)(secB 1)(secC 1)3
− − − =
CLAVE : B
07. = =θ − θ θ + θ θ − θ
x y zsen cos sen cos tan cot
= θ − θ) → = − θ ⋅ θ2 2x k(sen cos x k (1 2sen cos )...(1)
= θ + θ) → = + θ⋅ θ)2 2y k(sen cos y k (1 2sen cos ...(2)
2 2sen cos 2kz k z ...(3)
sen cos tan(2
θ − θ −= → =
θ θ θ)
Sumando (1) y (2): 2 2 2
x y 2k ...(4)+ =
Con:
x y sen cos ysen cos sen cos sen cos x
θ + θ= ↔ =
θ − θ θ + θ θ − θ
Por proporciones: x y
tan( ) ...(5)y x
+θ =
−
En (3): ( )2
2
k 1 tan ( )2kz
2tan( ) tan( )
1 tan ( )
− − θ−= =
θ θ
− θ
En (5):
2
2 2
y xk 1
y x 4kxyz
x y x yy x
+ − − − = =
+ −−
Al cuadrado: ( )( )
2 22 2
22 2
8x yz 2k
x y
=
−
Con (4):
( )( )
( ) ( )2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2
22 2
8x yz x y · z x y 8x y x y
x y
= + ↔ − = +
−
CLAVE : D
08. Tenemos:
( )( ) ( )( )sen a b c cos2c sen a b c cos2b 0− − − + − =
Reduciendo:
( ) ( )
( )( )tana cos2c cos2b cos b c
sen b c cos2b cos2c
− − =
− +
( )[ ]( )[ ] ( )
cos b c cos2c cos2btana tana tan b c 1
sen b c cos2b cos2c
− −= ⋅ + =
− +
CLAVE : D
09. Dato: A B C 180+ + = �
( ) C 180 A B→ = − +
( )cosC cos A B= − +
2 2 2cos A cos B cos C 1+ + =
�����������
1 2cosA cosBcosC 1− =
cosA cosBcosC 0→ =
Solo si el 90= °� T.→ Rectángulo
CLAVE : C
10. Dato: ( )tanx tany m 1 tanx tany+ = − ⋅
( ) ( )tanx tanym tan x y ... 1
1 tanx tany+
= = +− ⋅
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Luego:
1 1 n
n tanx tanztanx tanz tanx tanz
+ + = ⋅ ⋅ ⋅
( ) ( ) n tan x z ... 2→ = +
De ( ) ( )1 y 2 :
( ) ( ) ( ) − − = + − + = +
n mtan z y tan x z x y
1 nm
CLAVE : B
11. De la ecuación:
sen cos 2 tan 1 2sec
x y x y x y x y
θ θ θ θ+ = → + =
+ +
Elevando el cuadrado y ordenando se obtiene:
( ) ( ) ( )2y x3x y tan 2 x y tan 3y x 0
x y− θ − + θ + − =
De donde: x
tan y
θ = →
Luego: 6 6
2 2sen cos
Ex y
θ θ= +
( ) ( )
3
2 3 2 31 x 1 y3
Ex yx y x y
= ⋅ + ⋅+ +
De: ( )2
1E
x y=
+
CLAVE : B
12. Si: x y z2π
+ + =
2 2 2
2 2 2
2sen z 2sen y 2sen x y
2cos z 2cos y 2cos x
+ −→ =
+ −
( )( )
1 cos2x cos2y cos2z
1 cos2y cos2z cos2
− + +=
+ + − θ
4senx seny senz4senx cosy cosz
⋅ ⋅=
− ⋅ ⋅
y tany tanz∴ = − ⋅
CLAVE : E
13. Dato: A B C 180+ + = �
tanA tanB x
tanB tanC y
tanA tanC z
+ =
+ = + =
x z ytanA
zx y z
tanBz
y z xtanC
z
+ −=
+ −=
+ −=
22 x z y
sec A tan A 1 1z
+ − → = + = +
2x y zsecB 1
2+ −
= +
2y z xsecC 1
2+ −
= +
2xy
H sec A secB sec Cx y z
→ = ⋅ ⋅ =+ +
CLAVE : D
14. Sabemos: A B C 180+ + = °
c A B
902 2
+ → = −
�
c A B tan cot
2 2 2
→ = +
ccos
2c
sen2
=
A Btan tan
2 2A B
1 tan tan2 2
+
− ⋅
ck cos
2→
c 1 B
ksen 1 tan tan2 2 2
→ = − ⋅
A B c
tan tan ksen 12 2 2
∴ ⋅ + =
CLAVE : B
15. Tenemos:
1 cos x3senx cosx
2 sen x vers5x−
−
π − + 6 ������������
( )
[ ]
�
1;1
7; 7
7 1; 7 1
AB
1 7sen x
−
−
− + +
+ + α →���
�������
���������
���
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A B 7 1 7 1→ + = + − + ∴ A B 2+ =
CLAVE : E
16. 2cos y cos y cos y A6 6π π + ⋅ − = −
�����������
2 2 2 2 2cos cos y sen sen y cos y A6 6π π
− = −
( )2 2 2 23 1 1cos y 1 cos y cos cos y A
4 4 4− − = − = −
1
A4
→ =
CLAVE : B
17. Los s� : a r ; a ; a r− +
3a 180 a 60→ = → =� �
( ) ( ) ( )tan60 3
tan a r tan a tan a r 4 3
=
+ + + − =
�
���
( ) ( )tan 60 r tan 60 r 3 3→ + ⋅ − =
1
senr2 3
→ = 11
tanr11
→ =
CLAVE : B
18.
69 2R 1 tan 832 1 tan
52 52 13 13 π π 156π π = + + + +
69
R 1 tan 1 tan1252 13
π π = + +
121 tan69 tan
52 13
69 12 69 12R 1 tan tan tan tan
52 13 52 13π π
− ⋅
π π π π= + + + ⋅
���������
R 2=
CLAVE : E
19. Por transformación tenemos:
2sen cos m2 2
α + β α − β ⋅ =
2sen sen n2 2
α + β α − β − ⋅ =
Luego:
( )2 2 2m n cos 4sen2
α + β − = α − β −
( ) 2
k
2mn sen 4sen2
α + β = − α − β −
�����
2 2
2 2
2mn m n1 m
mk kHn2mn m n
m nk k
− + − −− → = = −
+ + −
CLAVE : B
20. x y z 2+ + = π
Luego tenemos: x y z 120+ + = �
2
21 tan120 tan120 1 3
1cos 1204
− ⋅ −→ =
� �
�
1 3
3 n 2 2 214
−
= ⋅ ⋅ ⋅
n 3→ = −
CLAVE : A
EXAMEN Nº 8
01. Tenemos:
senA cosB sen⋅ = α
senB cosA cos⋅ = α���������
Operando: ( )2sen A B 1 2sen cos+ = + α ⋅ α
( )2 cos A B 2sen cos→ + = − α ⋅ α
Piden: ( )2
1K sen2
cos A B
= α ⋅ +
2sen cosk 1
2sen cosα ⋅ α
= = −− + α
CLAVE : B
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02.( ) ( )1 cos 90 2 1 cos 30 2
H 3 42 2
− + θ + + θ = +
� �
( )1 3 1H 3 3 sen2 4 4 sen sen
2 2 2
= − − θ + + θ − θ
1H 7 3sen 2 3 cos2 2sen
2 = + θ + θ − θ
�
( )22
mín
min 1 2 3
1H 7 sen2 2 3 cos2
2
=− +
= + θ + θ �����������
mín1
H 7 132 = −
CLAVE : E
03.
Del grafico:
a cos sen2= α ⋅ α 2x acos sen2 cos∧ = α = α ⋅ α
maximo para 30
cos2 1x sen2
2
α=
α + → = ⋅ α
���������
maxcos60 1 3 3 3 3
x sen602 4 2 8
+→ = ⋅ = ⋅ =
��
CLAVE : B
04. Tenemos:
( ) 2 4 8P x sec · sec · sec · sec
17 17 17 17π π π π
=
( ) 1P x
2 4 8cos cos cos cos
17 17 17 17
=π π π π
⋅ ⋅ ⋅
Completamos:
( )7 3 5 6
cos cos cos cos17 17 17 17P x
2 3 4 5 6 7 8cos cos cos cos cos cos cos cos
17 17 17 17 17 17 17 17
π π π π⋅ ⋅ ⋅
=π π π π π π π π
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
4 4
8
1
2P(x) 2 161
2
= = =
CLAVE : C
05.
b b
tan tan22a a
θ = ∧ θ =
2 2
2
2 bbb 2tan 3 aa tan2a 11 tan b
19a
θ → θ = = → =
− θ−
Reduciendo:
�2
22
2
tan
b 1cot 7
79a
θ
= → θ =
CLAVE : D
06. ( )( )
( )( )
sen 120 2 sen 120 2sen2H
sen sen 120 sen 60
− α + αα= − −
α + α + α
s
H 2=c
s
( )( )
sen 120 2 s2
sen 120
− α− =
+ αc
s
( )( ) ( )
( )( )cos 120
sen 120 2H 2 cos cos 60
sen 120
− +θ
− α= α − + α −
+ ��������
( )
( )0
sen(120 2 )H cos 120
sen 120
− α= − + α + + α ���������������
H 0→ =
CLAVE : C
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07. Tenemos:
( )( )A 2 tan40 · tan20 2 tan 2 20 tan20= + = + ⋅� �
22tan20 tan20
A 21 tan 20
⋅= +
−
2 2 2
2 2 2A ; B C
1 tan 2 1 tan 40 1 tan 80→ = = ∧ =
− θ − −
2 2 2
2 2 2
2 2 2R
sen 20 sen 40 sen 801 1 1
cos 20 cos 40 cos 80
= − − −
2cos
R 8= ⋅20
cos 4
2cos0
⋅40
cos80
2cos⋅
80cos160
( )
18
R 8 cos20 cos40 cos80 1= − ⋅ ⋅ = −�����������
CLAVE : A
08. x y z+ + + ω = π
( ) ( ) ( ) cos2x cos2y cos2z
4cos x y cos x z cos x
→ + + =
+ ⋅ + ⋅ + ω
Del dato:
2 2 2 22M 2sen x 2cos y 2sen z 2cos= + + + ω
2M 1 cos2x cos2y 1 1 cos2z cos2 1= − + + + − + ω +
( )
( ) ( ) ( )4sen x y cos y sen z y
12
2M 4 cos2y cos2 cos2 cos2z
+ ⋅ ω+ ⋅ +
= + + ω − α −���������������
�����������
1
2M 4 4 M 32
→ = + ⋅ → =
CLAVE : B
09. Tenemos:
3 2 2 2cos 2x cos 2x k cos2x k+ + =
[ ] ( )
2 2
2 2
2cos x 2sen x
cos 2x cos2 1 k 1 cos2α + = − α����� �����
cos2x
tanxk
→ =
( )2 2 V k tanx tan x 1 tan x∴ = + +
2 2
2 2
cos 2x cos 2xV k tanx 1
k k
= ⋅ + +
( )
2
2 22
kcos2x
cos2xV cos 2x k cos2x
k= + +
���������
V 1∴ =
CLAVE : D
10. Dato: sen4 0,2θ =
2 2
2 2
1 2sen cos8
T1 3sen cos
8 8
π π − + θ + θ θ → =π π − θ − θ −
2
2
2 sen 24T
2
4 3sen 24
π − + π =
π − θ −
( ) ( )2 21 1sen 2 1 sen4 sen 2 1 sen4
4 2 4 2π π
+ θ = + θ ∧ θ − = − θ
( )
( )
12 1,2 2,82T 1
1 2,84 3 0,82
−= = =
−
CLAVE : A
11. IVC IIC2θ
θ ∈ ∧ ∈
1 cos 1 cosR 2sen cos 2
2 2 2 2θ θ − θ + θ
→ = + = +
( )21R 2 1 cos 1 cos
2= − θ + + θ
1 3 1 cos 1 sen
R2 2
+ θ + − θ=
3 1 sen 1 sen
R2
+ θ + − θ=
CLAVE : A
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12. ( )2 2
xf sen x 3senxcosx 5cos x= + +
( )
[ ]
2x
2 cos2x 1
3f 1 sen2x 4cos x
2
+
= + +���
( )x3
f 3 sen2x 2cos2x2
= + +
( ) ( )
[ ]1;1
1 11;
5 5
2 6f x sen 2x 53
5 5
−
→ = + + �
�����
���������
( )x1 11
f ;2 2 → ∈
max mín11 1
f f 52 2
→ − = − =
CLAVE : C
13. Tenemos:
( )2
2 7sen2x cos2x ; x 0,
2 8
π+ = ∈
7
1 sen4x4
→ + =
3 7
sen4x cos4x4 4
→ = → =
E
1 1csc 2x cot 2x
sen2x tan2x→ − = −�������
8 4 7
4 7 4 7
+= −
− −
7 2
E3−
∴ =
CLAVE : D
14. Tenemos:
( ) ( )( ) ( )( )M sec 1 sec 120 1 sec 120 1= θ − − θ − + θ −
(1 cos )(1 cos(120 )(1 cos(120 )M 1 1
cos cos(120 )cos(120 )− θ − − θ − + θ
= + −θ − θ + θ
( ) ( )( )
11
cos3
1 cos 1 cos 120 (1 cos(120 )M 1 1
cos( )cos(120 )(cos(120 )
−θ
− θ − − θ − + θ= + −
θ − θ + θ���������������
M Exsec(3 ) 1= θ −
CLAVE : C
15.2 n
1 1 1 1A ...
senx senx2x senx2 x sen2 x= + + + +
Para: n 1=
1 1 1 1
A 1senx 2senxcosx senx 2cosx
= + = +
x
cot cot2x2
= −
Para: n 2=
2xA cot cot 2 x
2
1 1 1A
senx sen2x sen4x
= −
= + +
�����������
Para n→
nxA cot cot 2 x
2= −
CLAVE : B
16. Tenemos:
2 2 2
tan2x tan4x tan8xN ...
cos x cos 2x cos 4x= + + +
( )N 2 tan2x tanx tan4x tan2x tan8x tan4x...= − + − + −
( )nN 2 tan2 x tanx= −
CLAVE : D
17. Homogenizamos denominadores:
3 4 5 6
tan tan tan tan cos A18 18 18 18 19
π π π π π + + + = ⋅
5 6 4 5sen sen
18 18 18 18cos A
3 6 4 5 9cos cos cos cos18 18 18 18
π π π π + + π + = ⋅ π π π π ⋅ ⋅
2 2
cos A3 3 5 5 92sen cos 2sen cos18 18 18 18
π + = π π π π ⋅ ⋅
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5 3sen sen2 2 9 92
3 5 5 3sen sen sen sen
9 9 9 9
π π + + = π π π π ⋅
8 3cos A cos
3 9 9
44sen cos
9 9 A cos4 9sen sen9 3
π π⋅ =
π π⋅ π
= ⋅π π
⋅
�������
8 3
A3
→ =
CLAVE : D
18.
2sen
73 3
tg tg cos cos3 37 7 7W cos cos27 7tg tg7 7
π
π π π π − ⋅ π π= = π π +
73
sen7
2cos cos
7
π
π π⋅
7
32 2 cossen cos3 77 7W cos3 37 sen cos7 7
ππ π⋅π
= ⋅ =π π
⋅
4sen
7π
⋅
32sen
7π 3
cos7π
⋅
1W
2=
CLAVE : B
19. Nos piden: csc16xcsc x
Recordar: 2 2 2sec csc csc 2θ + θ = 4 θ
En el problema sumamos 2csc x a ambos miembros de la igualdad:
( )
( )
( )
2
2
2
2
2 2 2 2 2 2
4csc 2x
4 csc 4x
16 4csc 8x
64 4csc 16x
sec x csc x 4sec 2x 16sec 4x 64sec 8x 4csc x+ + + + =�������
�������������
�����������������
�����������������
2 2256csc 16x 4csc x→ =
2
2csc 16x 4 1
256 64csc x= =
csc16x 1csc x 8
∴ =
CLAVE : B
20. 2sec tan sen tanα ⋅ α = α + α
( )2tan sec 1 sen→ α α − = α
( )2tan tan senα α = α
( )2
23
1 1 sentan 1 cos 1
cos coscos
α α = → ⋅ ⋅ α = α αα
( )31
cos tan 12cos
α → ⋅ α ⋅ = α
CLAVE : A
EXAMEN Nº 9
01. Expresemos los ángulos en grados:
3 3 3
1 12 8
E 3cos40º cos60 cos80 cos 20 cos 60 sen 10= ⋅ ⋅ − + +� � � � ������ �����
3 3
cos120 cos40
14E 3 2cos40 cos80 4cos 20 4sen 10
2+
= ⋅ − + +� �
� � � ����������
{ }
{ }
12
14E 3cos120 3cos40 3cos20 cos60
2
3sen10 sen30
−
= + − + +
+ −
� � � �
� �
�����
{ }�cos80
4E 2 3 cos40 cos20 sen10= − + − +
�
� � �
{ }cos20
4E 2 3 2cos60 cos20 cos20= − + ⋅ −
�
� � �
�������
1E
2∴ = −
CLAVE : B
02. 4 5 6
R tan tan tan7 7 7π π π
= − −
Por reducción al primer cuadrante
5 2tan tan
7 7 ángulos suplementarios6
tan tan7 7
π π= −
π π = −
En la expresión:
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4 2
A tan tan tan7 7 7π π π = − − − −
2 4
R tan tan tan7 7 7π π π
= + +
suman π
3tan
7
2 4R tan tan tan
7 7 7π
−
π π π→ = ⋅ ⋅
���
( )propiedad 7
2 3R tan tan tan
7 7 7π π π
= − ⋅ ⋅
�����������
R 7∴ = −
CLAVE : B
03. Simplificando el dato:
42sen cos mcosθ ⋅ θ = θ
3 2sen mcos→ θ = θ
En la expresión pedida:
1cos3 cos
E 3sen sen
−θ θ = + θ θ
34cos 3cos
Eθ − θ
=3cos+ θ
1
3sen
− θ
3 3
sen 2senE
4cos 8cos
θ θ= =
θ θ
3
3mcos
E8cos
θ=
θ
mE
8∴ =
CLAVE : B
04. ( )2sen28 cos15
I sen43 cos47 sen43 sen13⋅
+ = +�
� � � ����������
( )I→ Es verdadera.
( )sen77 sen41
II 2cos59 sen18 2sen18 cos59−
⋅ = ⋅� �
� � � ����������
( )II→ Es falsa.
( ) A B CIII senA senB senC 4cos cos cos
2 2 2+ + = ⋅ ⋅
Esta igualdad se cumple solo si:
A B C 180+ + = � ; como no se da la condición ,no se cumplirá la igualdad.
( )III→ es falsa.
Finalmente:
De las tres proposiciones solo ( )I es
verdadera.
CLAVE : A
05. 1
T 4cos6sen6
= +��
( )
78
2sen12 1T 2sen12 1 csc 6
sen6
+= = +
�
�� �
�
���
( )sen3 39
T csc 6sen39
= ⋅
�
�
�
sen63
T sen117 csc 6 csc 39= ⋅�
� � ������
T sen63 csc 6 csc 39∴ = ⋅ ⋅� � �
CLAVE : D
06. Sean:
3 3 32 4 8a cos , b cos c cos
3 9 9π π π
= = ∧ =
Entonces se reduce:
3 3 3 1a b c 0 abc
2+ + = ∧ = −
3 3 3 3 3 3 3a b a c b c
4+ + = −
Luego nos piden “ 3L ”; donde: L ab bc ac= + +
Elevamos al cubo
( )
( )
3 3 3 3 3 3
3 L4
2 2 2 2 2 2
14
L a b b c a c 3 ab ab ac
a b ab c abc 3a b c
−
= + + + + +
+ + −
��������� �������
�����
� ( )�
3
1 12 2
3 3L 3L abc abc
4 4− −
= − + ⋅ −
( )3 3 3L LS... I
2 2= − −
Calculemos S: S a b c= + +
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( )( ) �3 3 3 3
10 S L2
S a b c 3 a b c ab bc ac 3abc
−
= + + + + + + + −������� ������������
( )3 3S 3LS ... II
2= +
Multiplicando ( ) ( )I y II y ordenando se tendrá:
3 3 2 28L S 36L S 54LS 18 0+ + + =
( )3
3 9 32LS 3 9 LS
2−
+ = → =
Remplazando en “ I ”
3
3 3 3 9 3L
2 2 2
−= − −
( )3 33L 1 9
4∴ = −
CLAVE : D
07.
3 1 1 3 1senx cosy seny cosy cos x senx
2 2 2 2 2
+ + − =
( ) ( )senx 3 cosy seny cos y cos x 3senx 1+ + − =
3senx cos y⋅ senx seny cos x cosy
3senx cosy
+ ⋅ + ⋅
− ⋅ 1=
( )cos x y 1→ − = x y 360 k∴ − = �
CLAVE : C
08. como PQ QR∧ son los catetos el área será:
( )1 1PQ QR cosmx cosnx
2 16⋅ = −
8sen cos2x sen2x cosx cosmx cosnx⋅ ⋅ ⋅ = −
sen2x
sen4x
2 2 2senxcosx cos2x sen2x cosmx cosnx⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = −�������
�����������
2sen4xsen2x cosmx cosnx= −
cos2x cos6x cosmx cosnx− = −
m 2 n 6→ = ∧ = −
m n 4∴ − = −
CLAVE : B
09.
2 3 10 sen10Asen sen sen ... sen
11 11 11 11 senAπ π π π
+ + + + =
Aplicando series:
2
10 10sensen10A2 11 11 11sen
1 2 senAsen2 11
π
π π π ⋅ + ⋅ = π ⋅
�����
sen 10sen10A22senAsen
22
π =
π
A22π
∴ =
CLAVE : A
10. Factorizando adecuadamente:
4 2 5 3H tan tan tan tan tan
7 7 7 7 7π π π π π = + +
6 5 3sen sen sen sen
7 7 7 7H2 4 5 3
cos cos cos cos cos7 7 7 7 7
π π π π⋅
= ⋅ +π π π π π
⋅
2 3 2sen cos sen sen
7 7 7 7H2 3 2 3
cos cos cos cos cos cos7 7 7 7 7 7
π π π π− − ⋅ ⋅
= +π π π π π π
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
Como: 2 3 1
cos cos cos7 7 7 8π π π
⋅ =
2 3 2H 8sen 8cos sen sen
7 7 7 7π π π π
= − − ⋅ ⋅
2
5cos cos
7 7
3 2H 4 2sen 2 2cos 2sen sen
7 7 7 7π π
−
π π π π= − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅
���������
22 5H 4 1 cos 2 2cos 2cos cos
7 7 7 7π π π π
= − − − − ⋅
2 2 4 6H 4 4cos 2 1 cos cos cos
7 7 7 7π π π π
= − + − + − −
1propiedad
2
2 4 6H 6 2 cos cos cos
7 7 7
−
π π π = − + + +
�������������
H 7∴ = −
CLAVE : C
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11. ( ) ( )cot xy f x ; k z
sec x tanx= = ∈
−
y tanx cot x sec x tanx 0∈ ↔ ∧ ∈ ∧ − >
x k
2
1 senx 0tanx cot x
cosx π≠
− >→ ∧ ∈ ∧���������
�������
Como: 1 senx 0 cosx 0− > → >
2k x 2k2 2π π
→ π − < < π +
x 2k ;2k2 2π π
∈ π − π +
Además: x k2π
≠
{ }Df 2k ;2k 2k2 2π π
∴ = π − π + − π
CLAVE : C
12. ( ) 4 4y f x sec x tan x= = −
( ) ( )( )2 2 2 2
1
y f x sec x tan x sec x tan x
= = + −���������
( ) 2 y f x 1 2tan x→ = = +
Se sabe: 20 tan x≤ < +∞
21 1 2tan x≤ + < +∞
2
y
1 1 2tan x≤ + < +∞�������
Rf 1;= + ∞
CLAVE : E
13. Nos piden: “ 32H ”
Donde: 3 3 32 4 8H cos cos cos
9 9 9π π π
= + +
Según el problema 6:
3 3 32cos cos cos S
9 9 9π 4π 8π
+ + =
3 3H S S LS
2→ = ∧ = +
Como: 3 9 3
LS2−
=
3
3 3 9 3S 3
2 2
−→ = +
3 32S 3 9 6→ = − pero S H=
3 32H 3 9 6∴ = −
CLAVE : E
14. Calculando los periodos de cada función:
( ) ( )F x cos cosx senx= −
( ) ( ) ( )
� �F x t cos cos x t sen x t
π π
+ = + − +
( ) ( )( )F x t cos cos x senx+ = − − −
( ) ( )F x t cos cosx senx + = − −
( ) ( ) ( )F x t cos cosx senx F x+ = − =
F→ es periódica: FT = π
( )G x senx cosx= +
( ) ( ) ( )
� �
2 2
G x t sen x t cos x t
π π
+ = + + +
( ) ( )senx
G x t cos x senx G x+ = + − =�����
G→ es periódica: GT2π
=
Finalmente: F
G
TT1T2 T
2
π= =
π
T12
T2∴ =
CLAVE : B
15. Para analizar las proposiciones se recomienda graficar la función:
( )y f x tanx tan x= = +
Si: tanx 0 tanx tan x≥ → =
Luego: y 2tanx=
Si: tanx 0 tanx tan x< → = −
Luego: y 0=
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Esbozamos la grafica de “F”
y=tanx+|tanx|
CLAVE : E
16. como: 2x16 9
2 2π π< ≤
x x x4 3 3 4 4 3π π π π π π
→ < ≤ → − ≤ < − ∨ < ≤
Simplificando la expresión:
( ) ( )2 2y csc 4x cot 4x sen x cos x= − −
( )( )y tan2x cos2x= −
4x
3 4y sen2x ó
x4 3
π− ≤ < −
→ = − π π < ≤
Graficamos:
]1 1Rf 1; ;1
2 2
∴ = − − ∪
CLAVE : C
17. ( ) ( )2 2 2 2y 2cos 3x sec x 2sen 3x csc x= +
y sec x csc x∈ ↔ ∧ ∈ x k2π
→ ≠
Simplificando la expresión:
2 2sen3x cos3xy 2
senx cosx
= +
( ) ( )
( )2
2 2
2 4cos 2x 1
y 2 2cos2x 1 2cos2x 1
+
= + + − �������������
cos4x 1
4x 2k
y 12 8cos4x x k2
≠
≠ π
π→ = + ∧ ≠
�����
�����
Como: 1 cos4x 1− ≤ <
8 8cos4x 8− ≤ <
y
4 12 8cos4x 20≤ + <�������
Rf 4;20∴ =
CLAVE : A
18.
y=2.senx
y=f(x)=cos(8x)
. Calculamos las coordenadas de P
1
2senx 1 senx2
= → =
5
x x6 6π π
→ = ∧ =
Se puede observar en la figura que:
1 5 2
Tf Tf Tf4 6 3
π π+ = → =
Pero: 2
Tf B 3Bπ
= → =
( )y f x cos3x= =
CLAVE : D
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19. Para resolver este problema graficamos las funciones.
( ) ( )f x senx cosx g x 2 senx= + ∧ = −
En el mismo plano y en el intervalo de:
[ ];2−π π
∴ Hay dos intersecciones
CLAVE : B
20. Graficamos la función para analizar cada una de las proposiciones:
( ) 4 4 2 2f x sen x cos x sen x cos x= π − π = π − π
( ) f x cos2 x→ = − π
2
Tf 12
π= =
π
VFVF∴
CLAVE : B
EXAMEN Nº 10
01. Los puntos de discontinuidad de la función se obtienen cuando el denominador de la función sea cero.
2sen2x senx cos3x 0→ + ⋅ =
( )2sen2x senx cosx 2cos2x 1 0+ ⋅ − =
( )4sen2x sen2x 2cos2x 1 0+ − =
( )0
sen2x 2cos2x 3 0
≠
+ =�������
sen2x 0 2x k→ = → = π
x k k2π
∴ = ∈�
CLAVE : D
02. Calculando cada uno de los periodos
( ) �2 2 2
3 5
f x csc x 3sen3x 5sen5xπ π π
= + +��� ���
F2 2
T MCM 2 ; 23 5π π
→ = π + = π
( )2
2 2
3 5
x xg x cos x sec cos
3 5π
π πππ π
π π= π + +���
����� ���
( ) tan MCM 2,6,10 30→ = =
Finalmente: F
G
TT1 2T2 T 30
π= =
T1T2 15
π∴ =
CLAVE : E
03. La función cortara al eje cuando:
( )y f x 0= =
Entonces: cos x cos2x cos3x 0+ + =
2cos2xcos x cos2x 0+ =
( )cos2x 2cosx 1 0+ =
cos2x 0= ∨ 1
cos x2
= −
( )2x 2n 12π
= + 2 4
x ;3 3π π =
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( )x 2n 14π
= +
3 5 7
x , , ,4 4 4 4π π π π =
∴ Existen seis intersecciones
CLAVE : C
04. Expresamos todo en función del arco seno.
( )f x marcsenx n arcsenx2π = + −
( ) ( ) ( )f x m n arcsen x n2π
→ = − +
Como: ( )m n− es positivo; entonces:
( )f x es el máximo cuando ( )arc sen x2π
=
máx f m2π
→ =
( )f x es mínimo cuando ( )arc sen x2π
= −
( )mín f 2n m2π
→ = −
( )max mínf f m n∴ − = − π
CLAVE : D
05. simplificando ( )f x
( )f x 2senxcos x 2sen x sen 2x4 4π π = + − −
( )f x sen3x= ( )senx cos x cos 3x2π + + − −
sen3x�������
( )f x senx cosx→ = +
Como: ( )( )arcsen f x 02π
− < ≤
( )�
1 f x 0→ − < ≤
1 2sen x 04π − < + ≤
2
sen x 02 4
π − < + ≤
x 04 4π π
→ − < + ≤ x ;2 4π π∴ ∈ − −
CLAVE : B
06. ( ) x 1f x arcsen arccos
2 4 − π = +
( ) x 1f x ;0 arccos
2
x 11 arccos 1
2
− ∈ ↔ ≤ ≤ π ∧
− − ≤ ≤
x 1
0 arc cos 12−
→ ≤ ≤
( ) ( )0
2
x 1arc sen 0 arc sen arccos arcsen 1
2π
− ≤ ≤
����� �����
(x)f
x 1 3arcsen arccos
4 2 4 4 π − π π ≤ + ≤
���������������
f3
R ;4 4π π
∴ =
CLAVE : C
07. 1 x
arcsen x arccos2 6 2
π − = +
xcos
2
1 xx sen arccos
2 6 2
θ→ θ=
π → − = +
�����
1
x sen csc sen cos2 6 6
π π− = θ + θ
21 1 x 3 4 x
x2 2 2 2 2
−− = ⋅ + ⋅
24x 2 x 3 4 x− = + ⋅ −
23x 2 12 3x− = −
Efectuando se tiene:
1 33
x2 6
= ± Pero: x 0>
1 33
x2 6
= +
CLAVE : E
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08. Nos piden:
( ) ( )N 4cos arccot x arccos z = − +
( ) ( )N 4cos arctan x arc sen z2 2π π = − − + −
( ) ( )( )
5
N 4cos arctan x arcsen z
π
= − π − + ���������
N 4 cos 4cos5 5π π = − − =
5 1
N 44
+=
N 5 1∴ = +
CLAVE : C
09. ( )( )
( )sen 3arc sec 6
Hsen 5arctan 5
=
Sea: ( )arctan 5 tan 5= α → α =
( )sec 6
arc sec 6
→ α =
→ α =
Luego nos piden: sen3
Hsen5
α=
α
Calculando:
3 5sen3 3sen 4sen
3 6α = α − α = −
4 3 2 5sen5 5sen cos 10sen cos sen
5 5
9 6
α = α α − α α + α =
−
sen3 3H
sen5 5α
∴ = =α
CLAVE : C
10. De: 1 1 x
arctan1 1 x
+ −θ = + +
Se tiene: 1 1 x
tan1 1 x
+ −θ =
+ +
tan 1 1 x 1 x tanθ − = − + + θ
Elevando al cuadrado y ordenando se obtiene:
2
xtan2
1 1 xθ =
− −2
2tan2sen4 x
1 tan 2
θ→ θ = =
+ θ
( )4 arcsen x→ θ = ( )1arcsen x
4∴ θ =
CLAVE : A
11. ( ) ( ) ( )
( )arcsen x2
f x 0 x 1 y arcsen x arccos x
π−
∈ ↔ ≤ ≤ ≥�����
( )0 x 1 y arcsen x4π
≤ ≤ ≥
2
0 x 1 y 1 x2
≤ ≤ ≥ ≥
2x 1
2→ ≤ ≤
Simplificando:
( )( ) ( )arccos x arccos x
2f x
2
π − − =
π
( ) ( )4 f x 1 arccos x→ = −
π
Como: 2
x 12
≤ ≤
( ) ( )0
4
2arccos 1 arccos x arccos
2
π
→ ≤ ≤
������������
( )41 arccos x 0− ≤ − ≤
π
( )40 1 arccos x 1≤ − ≤
π
( )
( )f x
40 1 arccos x 1≤ − ≤
�������
[ ]Rf 0;1=
CLAVE : B
12. Del dato:3
0 x3
≤ ≤
( ) ( )arccos 3x arccos 2x2π
= −
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( )3x cos arccos 2x2π → = −
( )( )3x sen arccos 2x=
( )2 2 23x 1 2x 3x 1 2x= − → = −
1
x5
→ =
Luego nos piden:
( ) ( ) ( )F x arcsen x arcsen 2x= +
( )
1 1arctan arc cot
2 2
1 2F x arcsen arcsen
5 5
= +
������� �������
( )F x2π
∴ =
CLAVE : C
13. Ordenando convenientemente:
( )
cos8x cos2x
cos x 2cos5xcos3x cos8x 0
+
− >�������
( ) ( )2cos x cos2x 0 cos x 2cos x 1 0> → − >
( ) ( )cos x 2 cosx 1 2 cos x 1 0+ − >
2cosx 0
2→ − < < ó
2cosx 1
2< ≤
En el grafico del coseno
3
x 0; ;4 2 4
π π π∴ ∈ ∪
CLAVE : D
14. Del dato: � �9 8 9 8
xcot 17 2 72 9 8
2+ ⋅
= + = +
� �
2 1 21
xcot 3 2 2 2 1
2+ ⋅
= + = +
x
cot csc cot cot2 4 4 8
π π π= + =
x2 8
π→ = x
4π
∴ =
CLAVE : D
15.
1 3sen arc tan arctan
2 4A
1 3cos arctan cos arctan
2 4
α θ
+ =
⋅ ������� �������
Haciendo:1 3
arctan arctan2 4 α = ∧ θ =
Se tiene: 1 3
tan tan2 4
α = ∧ θ =
Luego nos piden:
( )sen tan tan
A1 3cos cos2 4
α + θ α θ= = +
α θ A 1,25∴ =
CLAVE : E
16. De: ( ) x 3y f x arcsen
2π = = + π
x
y 1 1 x∈ ↔ − ≤ ≤ → −π ≤ ≤ ππ
[ ]Df ;→ = −π π
[ ] xx ; arcsen
2 2π π ∀ ∈ −π π → − ≤ ≤ π
y
x 3arcsen 2
2π → π ≤ + ≤ π π
���������
[ ]y 2 Rf ;2π ≤ ≤ π → = π π
{ }Df Rf∴ ∩ = π
CLAVE : C
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17. De: ( )Y A arccos BX C D= ⋅ + +
Y D
1 BX C 1 0A−
− ≤ + ≤ ∧ ≤ ≤ π
� �
�
50 4 4 4
1 C 1 Cx D y A D
B B π π
− − −≤ ≤ ∧ ≤ ≤ π +���
Efectuando: 1
B ; C 1 ; A 1 ; D2 4
π= = − = =
CLAVE : A
18. De La ecuación:
2cos2x 1 2 cos 2x 1 2
2 48 2 8 2
+ += → =
2 2 22cos 2x 1 1 cos4x 1
2 2= + → + = +
2 2
cos4x 4x 2k arccos2 2
= → = π ±
4x 2k4π
= π ± x k2 16π π
∴ = ±
CLAVE : D
19. como: ( )0 arccos x≤ ≤ π
( ) ( )arccos x arccos x→ =
La ecuacion planteada se transforma en :
( ) ( )2 212 arccos x 7 arccos x 0 ⋅ − π + π =
4arccos(x)
3arccos(c)
−π
−π
( )( ) ( )( )4arccos x 3arccos x 0− π − π =
Igualando cada factor a cero:
( ) 2arccos x x cos
4 4 2π π
= → = =
( ) 1arccos x x cos
3 3 2π π
= → = =
2 1
soluciones2+
∴ ∑ =
CLAVE : B
20. De la inecuación:
2sen2xcosx 1 cos2x> +
( ) ( )2 2senxcos x cosx 1 2cos2x 1> + −
2 24senxcos x 2cos x 0− >
( )2
x
2cos x 2senx 1 0 ; cos x 0∀ ∈
− > ≠
���
( ) ( )2senx 1 ; x 2k 12π
+ → > ≠ +
En la C.T. 1
1 senx2
> >
{5x 2k ;2k 2k
6 6 2π π π∈ π + π+ − π +
CLAVE : C
EXAMEN Nº 11
01. como: x 0 x x< → = −
En la ecuación:
( )x arctan x 0− + − >
( )x arctan x− >
Graficando se tendrá:
x ;0∴ ∈ −∞
CLAVE : D
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02. De: z 9 40i= +
( )2 2 40z 9 40 41 arg z arctan
9 = + = ∧ =
( )( )z 41cis 2k arg z→ = π +
( )( )i 2k arg z
z 41 eπ+
→ = ⋅
( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( )�
1
i 2k arg z
i 2k arg z In e
In z In 41 In eπ+
π+ ⋅
→ = ⋅ ���������
( ) ( ) 40In z In 41 i 2k arctan
9 ∴ = + π +
CLAVE : B
03. Multiplicando (I) · i y lo sumamos con (II)
cosx cos y cosz 0( )i senx i seny i senz 0
cis(x) cis(y) cis(z) 0
+ + =↓ ++ + =
+ + =
[ ] [ ] [ ]33 3 cis(x) cis(y) cis(z) 3cis(x)·cis(y)·cis(z)→ + + =
cis(3x) cis(3y) cis(3z) 3cis(x y z)+ + = + +
Igualando las partes imaginarias se tendrá:
sen3x sen3y sen3z 3sen(x y z) k
+ + = + +↓
k 3∴ =
CLAVE : C
04. De la función:
( ) a bf x
senx cos x 2 senx cosx 2= −
+ + + −
senx cosx 2 senx cosx→ + ≠ ± → ≠
Derivando ( )f x se tendrá:
( ) ( )
( )( )
( )2 2
a cosx senx b cosx senxf x
senx cosx 2 senx cosx 2
− − − −′ = −
+ + + −
( )( ) ( )2 2
b af cosx senx
senx cosx 2 senx cosx 2
′ = − − + − + +
Como: ( )senx cos x f x 0′≠ → =
( ) ( )2 2
b a
senx cos x 2 senx cosx 2↔ =
+ − + +
De donde: a b
senx cos x 2a b
++ = −
Luego el mínimo de ( )f x se obtendrá
remplazando: senx cos x+
a b
f mina b a b
2 2 2 2a b a b
= − + +
+ − − −
( )2
mín
a bf
2 2
−∴ =
CLAVE : A
05. De las ecuaciones dadas
( ) ( )3cos 3 mcos ... Iα − θ = θ
( ) ( )3sen 3 mcos ... IIα − θ = θ
Haciendo ( ) ( )I cos3 II sen3⋅ θ ∧ ⋅ θ
( ) 3cos 3 cos3 mcos cos3α − θ θ = θ θ
( ) 3sen 3 sen3 msen sen3α − θ θ = θ θ
Restando las expresiones:
3 3cos mcos cos3 msen sen3α = θ θ − θ θ
Degradando: 3sen cos3θ ∧ θ
3cos cos3 3sen sen3cos m cos3 m sen3
4 4θ + θ θ − θ
α = θ − θ
( )2 2mcos 3cos3 cos cos 3 3sen3 sen sen 3
4α = θ θ + θ − θ θ + θ
( ) ( )mcos 3cos4 1 ... III
4→ α = θ +
Calculamos “ cos4θ ”de las ecuaciones
( ) ( )I y II .
( )
( )
2 2
2 2 6
22
2
cos 3 m cos6
sen 3 m sen
5 3cos4 8 5m1 m cos4
8 3m
α − θ = ⋅ θ
α − θ = θ ↓ +
+ θ − = → θ =
Remplazando cos4θ en ( )III :
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2
2
m 8 5m cos 3 1
4 3m
− → α = +
22 m
cosm−
∴ α =
CLAVE : E
06. expresamos cos4x en términos del cos x
22 2cos4x 2cos 2x 1 2 2cos x 1 1 = − = − −
4 2cos4x 8cos x 8cos x 1→ = − +
Luego:
( )4 2
2
8cos x 8sec x 1f x
cos x
− +=
( )2 2
2 2
2 8cos x sec x
f x 8cos x sec x 8
≥ ⋅
= + −���������
( )f x 4 2 8→ ≥ −
( )f x 4 2 8;∴ = − + ∞
CLAVE : E
07. Ordenando convenientemente:
22sen4x 3cos2x 5 8sen2xsen x+ = −
( )2sen4x 3cos2x 5 4sen2x 1 cos2x+ = − −
2sen4x 3cos2x 5 4sen2x 2sen4x+ = − +
2
2 21 tan x 2tanx
3 4 51 tan x 1 tan x
− + = + +
Efectuando se obtiene: 1
tanx2
=
1
x k arctan2 ∴ = π +
CLAVE : C
08. Transformamos la ecuación de la función en otra mas asequible.
2 2f(x) 1 sen x 1 cos x 0= + + + >
( )22 2f(x) 1 sen x 1 cos x 0= + + + >
2 2 f(x) 3 2 2 sen xcos x→ = + +
De: 1 1
senxcosx2 2
− ≤ ≤
2 2 10 sen xcos x
4≤ ≤
2 2 92 2 sen xcos x
4≤ + ≤
2 22 2 2 2 sen xcos x 3≤ + ≤
( )2
2 2
2 1
3 2 2 3 2 2 sen xcos x 6
+
+ ≤ + + ≤�����
2 2
f(x)
2 1 3 2 2 sen xcos x 6
+ ≤ + + ≤�������������
f R 2 1; 6 ∴ = +
CLAVE : B
09. Efectuando:
( )( ) ( )( )a bcos t b acos t a bsent b asent+ + = + +
( ) ( )2 2 2 2 2 2a b cos t abcos t a b sent absen t+ + = + +
( ) ( ) ( )2 2 2 2a b cos t sent ab cos t sen t 0+ − + − =
( ) ( )2 2cos t sent a b ab cos t sent 0 − + + + =
cos t sent 0 sent cos t→ − = → =
t4π
∴ =
CLAVE : B
10. Para resolver la desigualdad:
( ) ( )cos senx sen cos x>
Graficamos las funciones
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En la figura se observa que x∀ ∈
( ) ( )cos senx sen cos x> x∴ ∈
CLAVE : D
11. De:
13arctan
4 5T1 1
arctan arctan5 239
π − =
−
Calculamos:1
3arctan5
Sabemos que:
( )3
2
3x x3arc tan x arc tan
1 3x
−=
−
1 37
3arc tan arc tan5 55
→ =
Luego en “T”:
( ) 37
arc tan 1 arc tan55
T1 1
arc tan arc tan5 239
− =
−
9arc tan
46T
9arc tan
46
=
T 1∴ =
CLAVE : D
12.
( ) ( )2 4H 4arccos x arccos 1 8x 8x
θ
= − − − +
⇓
�����
cos x ;θ = como :2
0 x2
≤ ≤
⇓
Luego: 2
4 2π
≤ θ ≤
( )2 4H 4 arccos 1 8cos 8cos = θ − π − − θ + θ
⇓
( )2 2H 4 arccos 1 8sen cos= θ − π + − θ θ
( )2H 4 arccos 1 2sen 2= θ − π + − θ
( )H arccos cos4= θπ − π + θ
⇓
[ ]4 0 ; θ ∉ π
( )2 4
H 4 arccos cos 2 4
π− θ
= θ − π + π − θ �����������
H∴ = π
CLAVE : C
13. Graficando de acuerdo a los datos.
Por el teorema del coseno
2 2 21
D a b 2abcos120= + − �
2 2 22
D a b 2abcos60= + − �
Dividiendo:
22 2 2 2
12 2 2 22
2
D a b ab 19 a b ab
7a b ab a b abD
+ + + += → =
+ − + −
( )2 2 2 22 a b19 7 a b 13
19 7 2ab ab 6
++ += → =
−
a b 2 3b a 3 2
+ = + a 2b 3
∴ =
CLAVE : C
14. graficando se tendrá:
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Se puede observar:
3
cot 2 cot2
θ = ∧ φ =
Además: m 4cot= α
Como: 2π
α + θ + φ =
cot cot cot cot cot cot→ α + θ + φ = α ⋅ θ ⋅ φ
3 3
cot 2 cot 22 2
α + + = α ⋅ ⋅
7 7
cot 3cot cot2 4
+ α = α → α =
m 4cot 7→ = α =
∴ Menor lado 13=
CLAVE : C
15. Debemos transformar el primer miembro de la igualdad en otra de la forma:
a bcos c cos2+ θ + θ
( )( )
42
4 2cos i 2sen cos1 cos icos 2 2 2Pcos2 isen2 cis 2
θ θ θ + ⋅ + θ + θ = =θ + θ θ
( )
( )4
4 42cos cis 2 cos cis 22 2 2Pcis 2
θ θ θ⋅ ⋅ θ = =
θ ( )cis 2θ
4 4 3 4cos cos2P 2 cos 16
2 8θ + θ + θ = =
P 6 8cos 2cos2
a b c
→ = + θ + θ
↓ ↓ ↓
a c
1b+
∴ =
CLAVE : C
16. Recuerde que:
Si: x 0→ ( )cos x cos xsenθ − = θ + θ
Nos piden:
( )�
x
cos 59 15 cos cos sen3 240 3 240 3π π π π π ′ = − = +
�
1 3 1 3
cos59 15 0,52 240 2 2 240
π π′ = + ⋅ = +
�
cos59 15 0,511′∴ =�
CLAVE : B
17. Del dato se tiene:
senx 1733 1
senx 1 xx 1734 1734
= → = −
Aproximando el “ senx ”por las series:
3 2x 1 x
senx x 1 x x 13! 1734 6
= − → − = −
2
2x 1 1x
6 1734 289→ = → =
1
x17
→ = 1x 17−∴ =
CLAVE : D
18. 8 8
x4
cos sen xE lím
cos x senxπ→
−=
− evaluando se
obtiene una indeterminación de la forma00
( )
x4
cos x senxE lím
π→
−=
( )( )4 4cos x senx cos sen x
cosx senx
+ +
−
( )4 4 4
2 2 2 2 2E 2
2 2 2 2 2
= + + = ⋅
2E
2∴ =
CLAVE : C
19. Expresando la longitud de la escalera en términos de la variable “ θ ”
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L acsc bsec= θ + θ
El mínimo se obtiene derivando e igualdad a cero dicha función:
( ) ( )L a csc cot b sec tan′ = − θ ⋅ θ + θ ⋅ θ
2 2
sen cosb a
cos sen
θ θ→ ⋅ = ⋅
θ θ
3 atan
b→ θ =
1 3 atan
b−
∴ θ =
CLAVE : B
20. Como el ángulo de la rotación es
45θ = � se tendrá:
( )1x x cos y sen x x y
2′ ′ ′ ′= θ − θ → = −
( )1y y cos x sen y x y
2′ ′ ′ ′= θ + θ → = +
Luego en la ecuación:
2 2x xy y 6 0− + − =
( ) ( ) ( )2 22 21 1 1x y x y x y 6
2 2 2′ ′ ′ ′ ′ ′− − − + + =
( ) ( )2 2 2 22 x y x y 12′ ′ ′ ′+ − − =
2 2x 3y 12′ ′∴ + =
CLAVE : D
EXAMEN Nº 12 Para expertos
01. Graficando de acuerdo a los datos se tendrá:
( ) ( )2 2 2 21S tan 11 8 7 9
4 = θ + − +
�
[ ]133 tan 185 130
4= θ −
33�3
4 tan 55⋅ = θ ⋅�5
12
tan5
→ = θ
tan∴ θ = 2,4
CLAVE : B
02. ( ) ( )2 2 2H csc x csc 60 x csc 60 x= + − + +� �
( ) ( )2 2 2
1 1 1M
sen x sen 60 x sen 60 x= + +
− +� �
( ) ( )( ) ( )
2 2
2 2 2
sen 60 x sen 60 xH
sen xsen 60 x sen 60 x
+ ⋅ −=
− +
� �
� �
( )
( ) ( )2 2
2 2 2
sen x sen 60 x
sen xsen 60 x sen 60 x
⋅ −+
− +
�
� �
( )
( ) ( )2 2
2 2 2
sen xsen 60 x
sen xsen 60 x sen 60 x
++
− +
�
� �
( ) ( ) ( )2 2 2 22 2
2 2
sen x sen 60 x sen 60 xsen 60 sen xH
1 1sen3x sen3x
4 4
+ + −− = +
� ��
( )2
2 2 2 2 2 2 23H 16csc 3x sen x sen x 2 sen 60 cos x sen x cos 60
4
= − + ⋅ ⋅ + ⋅
� �
2 2 4 2 2 29 3 3 116csc 3x sen x sen x 2sen x cos x sen x
16 2 4 4
− + + +
2 2 4 2 2 49 3 3 116csc 3x sen x sen x sen xcos x sen x
16 2 2 2
− + + +
sen x43
2
2H 9csc 3x∴ =
CLAVE : C
03. como: x y z xyz+ + =
Hacemos: x tan , y tan , z tan= α = β = θ
Tal que: kα + β + θ = π
Luego en expresión:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 21 y 1 z 1 x 1 z 1 x 1 yN
y z x z x y
− − − − − −= + +
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2cot 2 2cot 2 2cot 2 2cot 22cot 2 2cot 2
1 1 1 1 1 1N y z x z x y
y z x z x yθ α θ αβ β
= − − + − − + − − ����� ���������� ���������� �����
( )propiedad I 2 2 2 2k
cot2 cot2 cot2 cot2 cot 2 cot 2N 4
α+ β+ θ= π
α ⋅ β + α ⋅ θ + θ ⋅ β =
���������������������
N 4∴ =
CLAVE : D
04. Nos piden: ( )tan322 30 tan 360 37 30′ ′= −� � �
tan322 30 tan37 30′ ′= −� �
( )tan322 30 csc75 cot75′ = −� � �
2 3 6 2
tan322 30 cot75 csc 75− −
′ = −� � ������ �����
tan322 30 2 2 3 6′∴ = + − −�
CLAVE : D
05. Calculamos AB por el teorema de Pitágoras:
AB 3=
Calculamos los lados a y b en los triángulos ABM y BNC respectivamente aplicando el teorema del coseno.
�22 2
33
a 1 3 2 · 1 · 3 cosA a 2= + − → =
�22 2
63
b 1 6 2 · 1 · 6 cosC b 3= + − → =
∆MBN: teorema del coseno
2 2 21 a b 2abcos= + − θ
1 2 3 2 6 cos= + − θ
6 cos
3∴ θ =
CLAVE : E
06. 2 2 2cos x cos 2x cos 3x
H1 2cosx cos2x cos3x
+ +=
+ ⋅ ⋅
Multiplicamos por 2:
( )
2 2 22cos x 2cos 2x 2cos 3xH
2 1 2cos x cos2x cos3x+ +
=+ ⋅ ⋅
( )
1 cos2x 1 cos4x cos6x 1H
2 1 2cosx cos2x cos3x+ + + + +
=+ ⋅ ⋅
( )
22 2cos x 2cos5x · cos xH
2 1 2cos x cos2x cos3x+ +
=+ ⋅ ⋅
2
H =[ ]( )1 cos x · cos5x cosx
2
+ + +
( )1 2cosx cos2x cos3x+ ⋅ ⋅
1 cos x 2cos3x cosxH
1 2cos x cos2x cos3x+ ⋅ ⋅
=+ ⋅ ⋅
H 1∴ =
CLAVE : A
07.
( )( )A B
H sec 40 3 csc 40 sec80 3 csc80= + −� � � �
��������� ���������
Calculo de A
( )2sen 40 60sen40 3 cos40
A1sen40 cos40 sen802
++= =
⋅
� �� �
� � �
4 sen100
A =�
sen80�A 4→ =
Cálculo de B
( )2sen 80 60sen80 3 cos80
B1sen80 cos80 sen1602
−−= =
⋅
� �� �
� � �
4 sen20
B =�
sen160�B 4→ =
Luego: H AB 16= =
H 4∴ =
CLAVE : C
08. ( ) ( )2 26 332cos x 2 4cos x 2 3cos x cos3x= = +
( )6 2 232cos x 2 9cos x 6cos3x cosx cos 3x= + ⋅ +
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6 2 2
1 cos2x cos4x cos2x 1 cos6x
32cos x 9 2cos x 6 2cos3x cos x 2cos 3x+ + +
= ⋅ + ⋅ ⋅ +����� ������� �����
632cos x cos6x 6cos4x 15cos2x 10∴ = + + +
CLAVE : A
09. Como: 3
tan4
θ = 37→ θ = �
7cot 21∴ φ =
CLAVE : B
10. Colocando los datos en la figura, se observa:
( ) 360θ + α + β = � ( )cos cos→ θ = α + β
33
cos cos cos sen sen65
θ = α ⋅ β − α ⋅ β =
Luego: 2 2047cos2 2cos 1
4225θ = θ − = −
Finalmente nos piden :
4225
tan2 tan sec 2 1 12047
θ ⋅ θ = θ − = − −
6272
tan2 tan2047
∴ θ ⋅ θ = −
CLAVE : E
11. Graficando de acuerdo a los datos se observa: x yθ = −
( )tan tan x y→ θ = −
Donde:
1tanx
91
tany10
= =
1 1 19 10 90tan
1 911
90 90
−→ θ = =
+
1tan
91∴ θ =
CLAVE : C
12. Para que la función intersecte el eje de abscisas se debe cumplir que ( )f x 0=
sen3x cos x 0→ + =
sen3x sen x 02π + − =
2sen x cos 2x 04 4π π + − =
sen x 0 cos 2x 04 4π π → + = ∨ − =
x k4π
+ = π ∨ 2x k4 2π π
− = π +
x k4π
= π − ∨ k 3
x2 8π π
= +
3
x ; 4 4π π = −
3 7x ; ;
8 8 8π π π = −
Entre ;2π − π
hay cinco valores para los
cuales la función se anula luego intersecará al eje x en cinco oportunidades.
CLAVE : D
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13. De: ( ) ( )4 4f x arcsen sen x cos x= +
( )
A
3 cos4xf x arcsen
4+ =
�������
Calculemos el intervalo de A
3 cos4x
A ;4
+= Como: 1 cos4x 1− ≤ ≤
A
1 3 cos4x1
2 4+
→ ≤ ≤�����
( )( )
( )f x
26
1arcsen arcsen A arcsen 1
2π
π
≤ ≤ ����� �����
�����
( )R f ;6 2π π ∴ =
CLAVE : A
14. Determinación del dominio:
f(x) 1 x 1 arccos(x) 0∈ ↔ − ≤ ≤ ∧ ≠
�1
1 x 1 x cos0→ − ≤ ≤ ∧ ≠
1 x 1→ − ≤ ≤
[Dom 1 ; 1= −
Determinación del rango:
2 arc cos x2f(x) 1arccosx
π − = +
f(x) 1arccos(x)
π→ = −
[x 1 ; 1 0 arccos(x)∀ ∈ − → < ≤ π
arccos(x)0 1< ≤
π
1arccos(x)
π≤ < +∞
f(x)
0 1arc cos(x)
π≤ − < +∞�������
[Ran 0 ; = +∞
[ [ Dom 1 ; 1 Ran 0 ; ∴ = − ∧ = +∞
CLAVE : A
15. Expresamos la ecuación en términos de senos y cosenos.
1 cosx sec x 1 cosx 2senx cosx 0− + − = − ≠
sec x 2cos x 2senx= −
21 2cos x 2senx cos x= − ⋅
sen2x cos2x=
( )
4
tan2x 1 2x k arctan 1
π
= → = π +�����
x k2 8π π
= + k∀ ∈�
5
x ;8 8π π
→ =
3
sol4π
∴ ∑ =
CLAVE : C
16. Ordenando la ecuación
3 3 3cos x cos 3x cos 9x cosx cos3x cos9x+ + = + +
Multiplicamos por 4
3 3 34cos x 4cos 3x 4cos 9x 4cosx 4cos3x 4cos9x+ + = + +
(3cos x cos3x) (3cos3x cos9x) (3cos9x cos27x)
4cosx 4cos3x 4cos9x
+ + + + + =
+ +
3cosx 4cos x+ 4cos9x+ cos27x 4cosx
4cos3x
+ = +
4cos9x+
cos27x cos x 0→ − =
2sen13xsen14x 0− =
sen13x 0= ∨ sen14x 0=
13x k= π ∨ 14x n= π
x k13π
= ∨ x n14π
=
k∀ ∈� n∀ ∈�
x13π
= x14π
=
xmin14π
∴ =
CLAVE : E
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17. i i i3 tan 2003 2004 2005θ = + +
Dando forma conveniente a la expresión
( ) ( ) ( )i i iln2003 ln2004 ln20053 tan e e eθ = + +
( ) ( ) ( )iln2003 iln2004 iln2005
1 1 1
3 tan e e eθ = + +����� ����� �����
3 tan 3 tan 1θ = → θ =
k4π
→ θ = π + k∀ ∈�
Como: 2 ; 32π
θ ∈ − π −
Para: k 2 24π
= − → θ = − π +
74π
∴ θ = −
CLAVE : B
18. ( ) ( )sen ix icos ix 2i+ =
cis ix 2cis2 2π π − =
cis ix2 2
cis2
π − =
π
( )cis ix
2−
=⇓
( )i ix 2ke 2− + π =
i( ix 2ke 2− + π) =
x 2k i ln2→ − π =
( )x 2k i ln 2∴ = π +
CLAVE : D
19. Evaluando M se obtiene una indeterminación
de la forma 1∞
( ) ( )2 2 2
21 1 1
cos xcot x cos x2 22 2tan xx x 0
M lím sec x lím 1 tan x⋅
→∞ →= = +
( )2
x 02
1lím cos x1 2
2 tan xx 0
e
M lím 1 tan x→
→
= + �����������
2
x 0
1lím cos x
2M e →
=
12M e∴ =
CLAVE : A
20. Las coordenadas del centro de la hipérbola serán las coordenadas del origen de un nuevo sistema luego de aplicarle una adecuada rotación y traslación.
2 27x 48xy 7y 20x 110y 100 0+ − + − − =
( )7 7 7
cot 2 3748 24
− −→ θ = = → θ = �
Haciendo la rotación eliminamos el término xy :
4x 3y
x x cos y sen x5
′ ′−′ ′= θ − θ → =
4y 3x
y y cos x sen y5
′ ′+′ ′= θ + θ → =
En la ecuación de la hipérbola:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2 2
2 2
4x 3y 4x 3y 4y 3x 4x 3y7 48 7
25 25 25
4x 3y 4y 3x 20 110 0
5 5
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′− − + −+ − +
′ ′ ′ ′− −− =
Efectuando queda:
( ) ( )2 2x 1 y 2 1′ ′− − + =
Haciendo la translación:
x x h x 1 h 1′′ ′ ′= − = − → =
y y k y 2 k 2′′ ′ ′= − = + → = −
De donde las coordenadas del centro serán:
( ) ( )C hik 1; 2= −
coord 1∴ ∑ = −
CLAVE : D