SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOi.vietnamdoc.net/data/file/2013/thang11/19/De-HSG... · Web...
14
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THPT BÌNH PHƯỚC NĂM HỌC 2013 - 2014 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn: Toán (Đề thi có 01 trang) Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 03/10/2013 Câu I:(THPT:4,0 điểm; GDTX: 4,0 điểm) Cho hàm số: (1) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1). 2. Viết phương trình tiếp tuyến của , biết tiếp tuyến đó cắt đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại sao cho , với . Câu II:(THPT:5,0 điểm; GDTX: 6,0 điểm) 1. Giải hệ phương trình: 2. Giải phương trình: Câu III:(THPT:4,0 điểm; GDTX:4,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ , cho hình chữ nhật có , điểm thuộc vào đường thẳng có phương trình: . Đường thẳng đi qua và trung điểm của đoạn có phương trình: . Tìm tọa độ của và , biết điểm có hoành độ dương. 2. Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn . Gọi lần lượt là các điểm di động trên cung nhỏ , sao cho thẳng hàng. Gọi , lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên các đường thẳng tương ứng và lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên các đường thẳng . Gọi là giao điểm của hai đường thẳng và . Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác (theo ). Câu IV:(THPT:3,0 điểm; GDTX:3,0 điểm) Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật, tam giác đều cạnh và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng đáy bằng . 1. Tính thể tích khối chóp theo . 2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và theo . Câu V:(THPT:2,0 điểm; GDTX:3,0 điểm) Cho là ba số dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Transcript of SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOi.vietnamdoc.net/data/file/2013/thang11/19/De-HSG... · Web...
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THPT BÌNH PHƯỚC NĂM HỌC 2013 - 2014 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn: Toán (Đề thi có 01 trang) Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 03/10/2013
Câu I:(THPT:4,0 điểm; GDTX: 4,0 điểm) Cho hàm số: (1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).2. Viết phương trình tiếp tuyến của , biết tiếp tuyến đó cắt đường tiệm cận đứng và tiệm cận
ngang lần lượt tại sao cho , với .Câu II:(THPT:5,0 điểm; GDTX: 6,0 điểm)
1. Giải hệ phương trình:
2. Giải phương trình:
Câu III:(THPT:4,0 điểm; GDTX:4,0 điểm)1. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ , cho hình chữ nhật có , điểm thuộc
vào đường thẳng có phương trình: . Đường thẳng đi qua và trung điểm của đoạn có phương trình: . Tìm tọa độ của và , biết điểm có hoành độ dương.
2. Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn . Gọi lần lượt là các điểm di động trên cung nhỏ , sao cho thẳng hàng. Gọi , lần lượt là hình chiếu vuông góc của
lên các đường thẳng tương ứng và lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên các đường thẳng . Gọi là giao điểm của hai đường thẳng và . Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác (theo ).
Câu IV:(THPT:3,0 điểm; GDTX:3,0 điểm) Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật, tam giác đều cạnh và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng đáy bằng .
1. Tính thể tích khối chóp theo .2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và theo .
Câu V:(THPT:2,0 điểm; GDTX:3,0 điểm) Cho là ba số dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Câu VI:(THPT:2,0 điểm) Cho dãy số được xác định: .
Xét dãy số . Tìm .
------------------HẾT------------------ Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.
Lưu ý: Đối với thí sinh học tại các trung tâm GDTX thì không làm câu VI.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BÌNH PHƯỚC CẤP TỈNH THPT NĂM HỌC 2013 – 2014(Hướng dẫn chấm có 06 trang) MÔN: TOÁN
Ngày thi: 03/10/2013
ĐỐI VỚI THÍ SINH THPTCâu Ý Lời giải ĐiểmI 1
Cho hàm số: . Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số .2,0
TXĐ: 0,25
phương trình đường TCN: y = 2
phương trình đường TCĐ: x = 2
0,5
Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định. Hàm số không có cực trị.
0,5
Bảng biến thiên: 0,25
Giao điểm với trục tung: A(0; 3/2)Giao điểm với trục hoành: B(3/2;0)
0,25
Đồ thị: 0,25
2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đó cắt đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A, B sao cho , với I(2;2).
2,0
Gọi
PTTT của (C) tại M:
0,5
Do và tam giác AIB vuông tại I IA = IB nên hệ số góc của tiếp
tuyến k = 1 hoặc k = -1. vì nên ta có hệ số góc tiếp tuyến k =
-1.
0,5
0,5
có hai phương trình tiếp tuyến: ;
0,5
II 1
Giải hệ phương trình:
2,5
Đk:
0,5
Pt(2) 1,0
Pt(1)
1,25
Hệ đã cho tương đương:
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm:
0,75
2Giải phương trình:
2,5
Đk: (*)0,5
Pt tương đương: 0,75
0,75
Nghiệm thỏa mãn (*)
Phương trình có 2 họ nghiệm:
0,5
III 1 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ , cho hình chữ nhật có , điểm thuộc vào đường thẳng có phương trình: .
Đường thẳng đi qua và trung điểm của đoạn có phương trình: . Tìm tọa độ của và , biết điểm có hoành độ dương.
2,0
Gọi , M là trung điểm AB, I là giao điểm của AC và d2: 3x – 4y – 23 = 0.
Ta có đồng dạng
0,5
Mà nên ta có:
Vậy C(1;5).
0,5
Ta có: 0,5
Do 0,5
2 Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn . Gọi lần lượt là các điểm di động trên cung nhỏ , sao cho thẳng hàng. Gọi
, lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên các đường thẳng tương ứng và lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên các đường thẳng . Gọi là giao điểm của hai đường thẳng và . Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác (theo ).
2,0
Chứng minh góc Kẻ KH vuông góc với BC (H thuộc BC), ta có:
(tứ giác PEBD nội tiếp)
Suy ra:
Tương tự, ta chứng minh được:
Vậy (do PQ là đường kính)
0,5
Chứng minh :Thật vậy, xét hình thang vuông vuông tại D và D’ nên , dấu “=” xảy ra khi
0,5
Xét tam giác . Ta có:
Vậy diện tích lớn nhất của tam giác bằng khi
1,0
IV 1 Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật, tam giác đều cạnh và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa mặt phẳng
và mặt phẳng đáy bằng .1. Tính thể tích khối chóp theo .
1,5
H, M lần lượt là trung điểm của AB và CD 0,5
Ta có:
Góc giữa (SCD) và mặt đáy là 0,25
Ta có 0,25
0,5
2 2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và theo . 1,5Kẻ đường thẳng d đi qua A và d//BD. Trong mặt phẳng (ABCD) kẻ đường thẳng đi qua H , d và cắt d tại J, cắt BD tại I. trong (SHI) kẻ HK vuông góc với SI tại K.Khi đó:
0,5
Ta có đồng dạng 0,5
Xét vuông tại H, ta có:
Vậy
0,5
V Cho là ba số duơng. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2,0
0,75
0,75
Vậy
= với
0,75
0,75
f’(t)
f(t)
t 1 +4
0+ -
1/4
0 0
Vậy giá trị lớn nhất của khi
VICho dãy số đuợc xác định: .
Xét dãy số . Tìm .
2,0
Ta có .
Khi đó:
Đặt . Khi đó ta có dãy mới được xác định bởi:
0,25
Chứng minh là dãy tăng:
Xét hiệu:
Do nên suy ra dãy là dãy tăng.
0,25
Chứng minh (xn) không bị chặn hay :Giả sử (xn) bị chặn, do dãy tăng và bị chặn nên tồn tại giới hạn hữu hạn.Giả sử dãy (xn) có giới hạn hữu hạn, đặt .Từ công thức truy hồi Lấy giới hạn hai vế, ta được: (không thỏa mãn)Do đó dãy đã cho không có giới hạn hữu hạn.
0,5
Ta có:
Mà:
0,5
Do đó, ta có:
Mà nên
0,5
Chú ý: Nếu thí sinh làm cách khác mà đúng thì vẫn chấm điểm tối đa.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BÌNH PHƯỚC CẤP TỈNH THPT NĂM HỌC 2013 – 2014(Hướng dẫn chấm có 06 trang) MÔN: TOÁN
Ngày thi: 03/10/2013
ĐỐI VỚI THÍ SINH HỌC TẠI CÁC TRUNG TÂM GDTXCâu Ý Lời giải Điểm
I 1Cho hàm số: . Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm
số .
2,0
TXĐ: 0,25
phương trình đường TCN: y = 2
phương trình đường TCĐ: x = 2
0,5
Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định. Hàm số không có cực trị.
0,5
Bảng biến thiên: 0,25
Giao điểm với trục tung: A(0; 3/2)Giao điểm với trục hoành: B(3/2;0)
0,25
Đồ thị: 0,25
2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đó cắt đường tiệm 2,0
cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A, B sao cho , với I(2;2).
Gọi
PTTT của (C) tại M:
0,5
Do và tam giác AIB vuông tại I IA = IB nên hệ số góc của
tiếp tuyến k = 1 hoặc k = -1. vì nên ta có hệ số góc tiếp
tuyến k = -1.
0,5
0,5
có hai phương trình tiếp tuyến: ;
0,5
II 1
Giải hệ phương trình:
3,5
Đk:
0,5
Pt(2) 1,0
Pt(1)
1,25
Hệ đã cho tương đương:
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm:
0,75
2Giải phương trình:
2,5
Đk: (*)0,5
Pt tương đương:
0,75
0,75
Nghiệm thỏa mãn (*)
Phương trình có 2 họ nghiệm:
0,5
III 1 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ , cho hình chữ nhật có , điểm thuộc vào đường thẳng có phương trình: .
Đường thẳng đi qua và trung điểm của đoạn có phương trình: . Tìm tọa độ của và , biết điểm có hoành độ dương.
2,0
Gọi , M là trung điểm AB, I là giao điểm của AC và d2: 3x – 4y – 23 = 0.Ta có đồng dạng
0,5
Mà nên ta có:
Vậy C(1;5).
0,5
Ta có: 0,5
Do 0,5
2 Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn . Gọi lần lượt là các điểm di động trên cung nhỏ , sao cho thẳng hàng. Gọi
, lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên các đường thẳng tương ứng và lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên
các đường thẳng . Gọi là giao điểm của hai đường thẳng và . Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác (theo ).
2,0
Chứng minh góc Kẻ KH vuông góc với BC (H thuộc BC), ta có:
(tứ giác PEBD nội tiếp)
Suy ra:
Tương tự, ta chứng minh được:
Vậy (do PQ là đường kính)
0,5
Chứng minh :Thật vậy, xét hình thang vuông vuông tại D và D’ nên
, dấu “=” xảy ra khi
0,5
Xét tam giác . Ta có:
Vậy diện tích lớn nhất của tam giác bằng khi
1,0
IV 1 Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật, tam giác đều cạnh và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng đáy bằng .
3. Tính thể tích khối chóp theo .
1,5
H, M lần lượt là trung điểm của AB và CD
Ta có: 0,5
Góc giữa (SCD) và mặt đáy là 0,25
Ta có 0,25
0,5
2 4. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và theo . 1,5Kẻ đường thẳng d đi qua A và d//BD. Trong mặt phẳng (ABCD) kẻ đường thẳng đi qua H , d và cắt d tại J, cắt BD tại I. trong (SHI) kẻ HK vuông góc với SI tại K.Khi đó:
0,5
Ta có đồng dạng 0,5
Xét vuông tại H, ta có:
Vậy
0,5
V Cho là ba số duơng. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 3,0
0,75
0,75
Vậy
= với
0,75
0,75
f’(t)
f(t)
t 1 +4
0+ -
1/4
0 0
Vậy giá trị lớn nhất của khi
Chú ý: Nếu thí sinh làm cách khác mà đúng thì vẫn chấm điểm tối đa.
