Trong các kì thi ta thường thấy xuất hiện một số bài toán trong hình học phẳng.

Những bài toán đó nếu ta gặp dạng của chúng và biết được các phương pháp giải của từng

dạng thì đó là điều khá đơn giản. Tuy vậy có những bài toán có độ khó nhất định đối với học

sinh bởi vì sự đa dạng của nó và để giải được thì chúng ta cần kết hợp nhiều kiến thức liên

quan đến chúng. Trong đó phương pháp vectơ và tọa độ đóng vai trò quan trọng và ứng

dụng nó trong việc giải quyết một số dạng Toán nêu trên.

Xuất phát từ tầm quan trọng của nội dung và thực trạng trên, để học sinh có thể dễ dàng và tự

tin hơn khi gặp một số bài toán hình học phẳng. Giúp các em phát huy được khả năng phân

tích, tổng hợp, khái quát hóa qua các bài tập nhỏ thông qua một số kiến thức, lựa chọn công

cụ phù hợp để giải các bài toán là việc làm rất cần thiết, chọn được công cụ thích hợp tất

nhiên lời giải sẽ tốt nhất.

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP VÉCTƠ VÀTỌA ĐỘ GIẢI MỘT SỐBÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG THƯỜNG GẶP

1.Các bài toán cơ bản

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho 2 vectơ : và 2 đường thẳng và lần lượt có phương trình tổng quát sau :

1.1. a) Bài toán vuông góc

b) Bài toán cùng phương Vectơ và vectơ cùng phương 1.2. Toạ độ giao điểm của 2 đường thẳngToạ độ giao điểm của và là nghiệm của hệ phương trình :

1.3. Góc giữa và được tính bằng công thức sau :

1.4. Khoảng cách từ điểm M0( x0 ; y0 ) đến đường thẳng d

d ( M0 , d ) =

2. Phương trình đường tròn Đường tròn tâm I ( a ;b ) bán kính R có phương trình là : ( x - a )2 + ( y - b )2 = R2

Đặc biệt tâm I là gốc toạ độ và bán kính R thì phương trình là x2 + y2 = R2

3. Xây dựng quy trình giải bài toán hình học bằng phương pháp toạ độ a .Diễn đạt sự kiện hình học bằng ngôn ngữ vectơ

- Điểm M trùng với điểm N ( với O là điểm bất kỳ ).

- I là trung điểm của đoạn thẳng AB

- G là trọng tâm

- Đường thẳng a song song với đường thẳng b

( với vectơ có giá là a, vectơ có giá là b ) - Ba điểm A, B, C thẳng hàng - Đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b ( với vectơ có giá là a, vectơ có giá là b )

- Tính độ dài đoạn thẳng AB

Sử dụng công thức

b. Diễn đạt ngôn ngữ vectơ bằng ngôn ngữ toạ độ Trong hệ trục toạ độ Oxy

với M ( x1 ; y1 ) và N ( x2 ; y2 )

với A ( x1 ; y1 ) và B ( x2 ; y2 )

với A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) và C ( x3 ; y3 ). 2

Vectơ và vectơ cùng phương với

4. Thực hành phương pháp hướng dẫn học sinh lớp 10 giải toán hình học bằng phương pháp vectơ và tọa độ

Dựa vào phương pháp toạ độ do chính mình phát minh Descartes đã sáng lập ra môn hình học giải tích. Qua đó cho phép chúng ta nghiên cứu hình học bằng ngôn ngữ đại số thay cho ngôn ngữ hình học. Việc này giúp bỏ đi thói quen tư duy cụ thể, trực quan, nhằm đạt tới đỉnh cao của sự khái quát hoá và trừu tượng của toán học và nhiều lĩnh vực khác.

Với những bài toán hình học phẳng có chứa các quan hệ hình học : thẳng hàng, song song, vuông góc ... hay có chứa các yếu tố khoảng cách, tính góc, nếu ta chọn hệ toạ độ thích hợp thì ta có thể chuyển về bài toán đại số với quan hệ giữa các số và giữa các vectơ, giữa các phép toán. Các bài toán này rất có khả năng tìm ra được lời giải, thậm chí còn rất ngắn gọn. Việc giải bài tập bằng phương pháp vectơ và tọa độ đòi hỏi học sinh phải được luyện tập vận dụng tổng hợp các kiến thức liên quan. Học sinh cần nắm được quy trình :

- Chọn hệ trục toạ độ thích hợp ( đây là vấn đề mấu chốt của bài toán, nếu chọn thích hợp thì bài toan sẽ được giải quyết nhanh gọn ).

- Phiên dịch bài toán đã cho sang ngôn ngữ vectơ - Chuyển bài toán từ ngôn ngữ vectơ sang ngôn ngữ toạ độ.- Dùng các kiến thức toạ độ để giải toán.- Phiên dịch kết quả từ ngôn ngữ toạ độ sang ngôn ngữ hình học.

MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi H là trung điểm của BC, D là hình chiếu của H trên AC , M là trung điểm của HD. Chứng minh AM vuông góc BD.

Giải Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ

Khi đó: H(0,0), A(0,a), B(-c,0), D(x,y)

3

A

Y

Ta có :

Vậy , M là trung điểm của HD nên:

Vậy BD Vuông góc AM (đpcm)

Bài 2 (Đề thi vô địch Anh - năm 1981)Cho tam giác ABC cân tại A. D là trung điểm cạnh AB, I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, E là trọng tâm của tam giác ACD. Chứng minh IE vuông góc CD.GiảiChọn hệ trục như hình vẽ (O là trung điểm của BC)Khi đó : O(0,0); A(0,a); B(-c,0); C(c,0); D(-c/2, a/2); E(c/6,a/2),(a,c>0)

Gọi I(x, y)Giả thiết suy ra

4

D

xO=H C

MB

x

y

I

O

E

A

B C

D

V ậy

Bài 3 : Cho cân tại A. Gọi M là trung điểm của cạnh AB, G là trọng tâm . Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp . Chứng minh rằng .Giải :Hướng dẫn : Do cân tại A nên ta chọn hệ toạ độ có trục oy qua A và vuông góc BC, ox qua BC. Từ gt ta đi tìm toạ độ của các điểm I, G, M theo toạ độ của 3 điểm A, B, C Tính toạ độ của vectơ .Sau đó xét .Lời giải :

5

Gọi O là trung điểm cạnh đáy BC - Dựng hệ toạ độ Oxy ( như hình vẽ ) - Các điểm A, B, C có toạ độ A( 0 ;h ) , B ( - a ; 0 ), C ( a ; 0 ). ( ở đây giả sử BC = 2a, Oa = h ).Do M là trung điểm của AB nên M

NMD

A

BC

E

F

M là trọng tâm

Vậy toạ độ của điểm G là G

Gọi I ( 0 ; y0 ) mà ( 0 ; - h )

Theo giả thiết

Hay

Vậy điểm I có toạ độ là I

Ta có

Vậy ( đpcm ).Chú ý : Cách giải trên không phụ thuộc vào góc A là nhọn, vuông hay tù. Nếu giải bằng phương pháp toán học thuần tuý, thì khi vẽ hình thì phải xét 3 trường hợp trên. Đó cũng chính là lợi thế của PPTĐ.

Bài 4. (HSG 12 QB năm học 2009-2010 Vòng 1.) Cho tam giác ABC và D là chân đường cao hạ từ A. Gọi d là đường thẳng đi qua D và nằm trong mặt phẳng chứa tam giác ABC, E và F là các điểm nằm trên đường thẳng d sao cho , và E, F không trùng D. Gọi M, N là các trung điểm tương ứng của BC và EF. Chứng minh rằng .Giải.

Trong mặt phẳng (ABC), ta chọn hệ toạ độ trực chuẩn sao cho A(0,0), D(xD ; 1), E(xE ; 1), F(xF ; 1). (gốc toạ độ tại A và đặt trục hoành sao cho đường thẳng qua D, E, F vuông góc với nó) thì , xD, xE, xF khác 0 và xE, xF khác xD (vì E, F khác D)

Vì hệ số góc của đường thẳng AE là nên hệ số góc của BE là – xE

và BE có phương trình là Tương tự BC có phương trình .Giải hệ hai phương trình trên ta được tọa độ điểm B là (xD + xE ;1 - xDxE).Hoàn toàn tương tự ta được toạ độ của điểm C là (xD + xF ;1 - xDxF).Từ đó, ta có

M và N .

Vì vậy hệ số góc của AN là và của MN là .

Vậy

Bài 5. (HSG 12 QB năm học 2010-2011 Vòng 1.) Cho hình vuông ABCD. Trên đoạn BD lấy điểm M không trùng với B, D. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của M trên các cạnh AB, AD. Chứng minh rằng:

a) CM vuông góc EF. b) Ba đường thẳng CM, BF, DE đồng quy. Giải.

Xét hệ trục tọa độ như hình vẽ:Khi đó ta có:A(0;0), B(a;0), C(a;a), D(0;a)Với a = AB = AD = CD = BC (a > 0)

a)Đặt: b = AE (0 < b < a)Ta có: M(b ; a - b); E(b ; 0); F(0; a - b)Do đó:

. = - b(b - a) - b(a - b) = 0

AB

CD

M

E

F

G

x

y

8

b) Phương trình của DE:

Phương trình của BF:

Gọi G là giao điểm của DE và BF thì tọa độ của G là nghiệm của hệ:

(*)

Ta có = (b - a; - b) (**)Từ (* )(**) ta được

G, C, M thẳng hàng.

Hay ba đường thẳng BF, DE, CM đồng quy.

Bài 6 : Cho , M là điểm di động trên cạnh BC. Hạ MN, PQ tương ứng vuông góc và song song với AB ( N AB, Q BC ). Gọi P là hình chiếu của Q trên AB, I là tâm của hình chữ nhật MNPQ. Tìm quỹ tích tâm I khi M chạy trên cạnh AB.Giải : Hướng dẫn :- Gọi O là chân đường cao hạ từ C xuống AB.- Chọn hệ trục toạ độ Oxy sao cho A ox, oy qua BC- Tìm toạ độ của N, Q, I theo toạ độ của điểm A, B, C, M - Tìm mối liên hệ tung độ và hoành độ của điểm I chú y điều kiện của điểm MLời giải :

9

- Gọi O là chân đường cao hạ từ C xuống AB - Chọn hệ trục toạ độ Oxy ( như hình vẽ ).Giả sử toạ độ các đỉnh A, B, C là :A ( a;0 ), B ( b;0 ), C ( 0; h ) , h > 0 Phương trình đường thẳng AB theo đoạn chắn :

Phương trình đường thẳng BC theo đoạn chắn :

. Giả sử MQ có phương trình y = m

Toạ độ của điểm Q là nghiệm của hệ phương trình

Tương tự ta có : . Toạ độ của điểm P là

Gọi I là tâm của hình chữ nhật ABCD. Suy ra I là trung diẻm của MP

Khi đó (*)

Từ (1) suy ra

(2) suy ra m = 2yI . Vì nên

(**)

Từ (*) và (**) suy ra quỹ tích tâm I của hình chữ nhật MNPQ là đoạn KH, ở đây K, H lần lượt là trung điểm của OC và AB. (đpcm)Chú ý : Mọi lập luận ở đây không phụ thuộc vào hình dáng của

Bài 7 : Cho đường tròn ( C ) có đường kính AB không đổi, một điểm M di động trên ( C ). Gọi H là hình chiếu của M trên AB. Tìm quỹ tích trung điểm I của MH.Giải :Hướng dẫn :- Để phương trình của đường tròn đơn giản ta chọn hệ trục toạ độ có gốc O trùng với

tâm O của đường tròn - Trục Ox đi qua AB- Tìm toạ độ trung điểm I của MH theo toạ độ điểm M - Tìn mối liên hệ giữa tung độ và hoành độ của điểm I

Lời giải :

- Chọn hệ trục toạ độ Oxy ( như hình vẽ )

- Đặt R = , R là không đổi .

Đường tròn ( C ) có phương trình : .Xét điểm M ( x0; y0 ) ( C ) (1)H là hình chiếu của M trên AB H ( x0; 0 )I là trung điểm của MH

Thay vào (1) hay

Chứng tỏ quỹ tích I là elip (E) : độ dài trục lớn là 2R, trục bé là R.

Bài 8: Cho vuông tại A, AB = c, AC= b. M nằm trên cạnh BC sao cho góc

BAM bằng . Chứng minh rằng .

Giải :Hướng dẫn : - Để thuận tiện ta chọn hệ trục toạ độ Oxy sao cho 2 cạnh góc vuông của nằm trên 2

trục toạ độ - Giả sử M (x; y) - Dựa vào điều kiện vectơ và vectơ cùng phương để chứng minh.Lời giải :

12

- Chọn hệ trục toạ độ Oxy ( như hình vẽ )- Trong hệ toạ độ này A (0; 0), B (b; 0), C (0; c)

Giả sử M (x; y)

Do đó M ( ; ).Vì M BC nên vectơ và vectơ cùng phương mà

( - c )

và ( b; - c ) nên .(- c) - ( - c). b = 0 c + b - bc = 0

Hay (đpcm).

Bài 9 : Cho có trực tâm H. Trên đoạn HB, HC lấy điểm B1, C1 sao cho góc AB1C và góc AC1B bằng 1 vuông. Chứng minh rằng AB1 = AC1.Giải : Hướng dẫn : - Do bài toán cho trực tâm H nên ta chọn hệ trục toạ độ Oxy sao cho H nằm trên Oy,

BC nằm trên Ox.- Giả sử B1 ( x1; y1)- Dựa vào điều kiện vuông góc tính AB1 theo toạ độ điểm A, B, C và B1

- Tương tự tính AC1

Lời giải :- Chọn hệ trục toạ độ Oxy ( như hình vẽ - Trong hệ toạ độ này A (0; h), B (b; 0), C (c; 0) , ( ở đây h, c > 0, b < 0 )Ta có = (c; - h). Theo gt Đường cao BH qua B (b; 0) và có vectơ pháp tuyến

= (c; - h) nên có phương trình : c ( x- b) - h( y – 0 ) = 0

cx – hy – bc = 0 . Gọi B1 ( x1; y1) do B1 BH cx1 – hy1 – bc = 0 cx1 – hy1 = bc (1)

Ta có = ( x1; y1 – h ), = ( x1 – c; y1)Vì hay x1( x1 – c ) + y1( y1 – h ) = 0

(2)Mặt khác : AB1

2 = x12 + ( y1 – h )2

= x12 + y1

2 - 2hy1 + h2

= ( x12 + y1

2 - hy1 - cx1 ) + ( cx1 – hy1 ) + h2 (3)Thay (1),(2) vào (3) ta được AB1 = bc + h2

Tương tự ta có : AC1 = bc + h2

Từ đó suy ra AB1 = AC1 (đpcm).

Bài 10. (Đại học y dược TPHCM năm2000)Cho tam giác ABC có độ dài các trung tuyến va độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp lần lượt là

Chứng minh:

14

Giải

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giac ABC.Ta có:

Do đó theo bất đẳng thức Bunhiacopski:

Dấu”=” xảy ra khi tam giác ABC đều.

Bài 11. (Đề thi HSG toàn quốc – Năm 1979)Điểm M nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC. Chứng minh giá trị của

MA4 + MB4 + MC4 không phụ thuộc vào vị trí của M.Giải

Gọi I,R là tâm và bán kính của đường tròn (c) ngoại tiếp tam giác đều ABC. Dựng hệ

trục như hình vẽ, ta có

15

A

B C

Oc

a

b

Ta có:

Vậy giá trị MA4 + MB4 + MC4 không phụ thuộc vào vị trí M

16