smile/skew現象を構造的に有している証券市場モデルとしての幾何Levy過程モデルについての考察

要旨

平成１５年度修士論文

提出日

平成１６年　１月　８日

名古屋市立大学大学院経済学研究科

経済政策専攻

主指導教員　　宮原孝夫教授　　　　　

副指導教員　　三澤哲也教授　　　　　

　　　　　　　茨木　智助教授　　　　

学籍番号　　０２３７０３　　　　　　　　　　　　

氏　　名　　森脇成彦　　　　　　　　　　　　　　

1 はじめに

Black and Scholes (1973)により与えられた証券市場モデルは，Black-Scholes市場モデ

ルと呼ばれており，最も基本的な市場モデルとして位置づけられている．そして，この

Black-Scholesモデルを敲き台として様々な市場モデルが考えられてきた．

近年，現実の証券市場が持つ２つの特徴が注目されている．それは

1. 実際の株価収益率の分布は，左右非対称な分布をしている．また，正規分布よりも分

布の裾が厚く，尖っている

2. smile/skew現象 ( volatility smiles or skewsの存在 )

というものである．これら２つの特徴は，実証分析の結果明らかとなった特徴であり，ま

た，Black-Scholesモデルには組み込まれていない特徴である．そして，これらの特徴に焦

点を当てた議論が活発になされており，これらの特徴を捉えられるように Black-Scholesモ

デルを拡張したモデルが多く考えられている．

幾何 Levy過程モデルのクラスには，現実の株価収益率の特徴を捉えることのできる市場

モデルが多く属しており，この点で，市場モデルとしては，幾何 Levy過程モデルが望まし

いと考えられている．本論文は，「(収益率の分布の特徴をうまく捉えられるという点で )市

場モデルとしては，幾何 Levy過程モデルを用いるべきである」という広く受け入れられて

いる結論を前提とし，「この結論を受け入れた場合，一般に，幾何 Levy過程モデルは非完

備市場であるから，ヨーロッパ型コールオプションの価値をどのように評価すべきであろ

うか」という疑問を持つところから出発した．そして，この疑問に対する１つの解として

[GLP & EMM] 評価モデルに注目した．すなわち，本論文では，リスク証券の価格過程とし

て幾何 Levy過程を用い，「デリバティブ証券の価格は，同値マルチンゲール測度の下での，

その割引現在価値に等しい」ものと考えた．

このとき，デリバティブ証券の価格は同値マルチンゲール測度に依存している．したがっ

て，同値マルチンゲール測度としていかなる測度を選択すべきと考えられるか，さらなる議

論が必要となる．本論文では，経済学的な観点から理論的に妥当と思われる３つの同値マル

チンゲール測度に注目した．そして，これらの測度の中でどの測度を選択すべきと考えられ

るかを実証的な観点から検証するために，smile/skew現象に注目した．すなわち，[GLP &

EMM] 評価モデルは少なくとも現実の市場で観察されている smile/skew現象を構造的に有

1

しているべきであると考えたのである．

本論文の目的は，「オプション価格は [GLP & EMM] 評価モデルにより定まる」との設定

の下で，幾何 Levy過程モデルが volatility smile/skewという特徴を捉えられる構造をもって

いるかどうかについて調べることにある．すなわち，各オプション評価モデルごとに，その

モデルが smile/skew現象を構造的に有しているかどうかをみた．

本論文では，ヨーロッパ型コールオプションの価格を得るために，Carr and Madan (1998)

により提案された高速フーリエ変換法を利用した評価法を用いた．また，実際の計算は

MATLAB 6.5 を用いて行った．

2 論文の構成とその内容

１章　序論

２章　 smile/skew現象

いま，CBS(St,K, τ, σ)でヨーロッパ型コールオプションに対する Black-Scholesの公式を

表すことにする．また，C∗t (K,T) ∈ ((St − Kerτ)+,St)で実際に得られたヨーロッパ型コール

オプションの市場価格を表すことにする．このとき，CBSは σに関して単調増大であること

より

∃Σt(K,T),　 CBS(St,K, τ,Σt(K,T)) = C∗t (K,T)

が成り立つ．この Σt(K,T)は t時点の ( Black-Scholes ) implied volatilityと呼ばれている．

ここで，仮に，オプションの市場価格の決まり方が Black-Scholesの公式によりほぼ説明で

きるのであれば，implied volatilityは K に関してほぼ一定となるはずである．しかし，現実

には smile/skew現象が観察されている．ここで，smile/skew現象とは，Black-Scholesモデ

ルを前提とした下で，volatility の推定値である implied volatilityが行使価格 K に依存してい

て一定値をとらず，さらに，volatility を何らかの基準に従って１つ定めたとき (e.g. historical

volatility) の pricing error (smile/skew premium)が無視できないほどに大きいことを言う．

したがって，オプション価格評価の正確さという観点からは，Black-Scholesモデルは現実

の証券市場に対する‘よい近似モデル’であるとはいえないであろう．さらにいえば，現実の

市場に存在しているにもかかわらず Black-Scholesモデルには組み込まれていない事柄が存

在し，このことが smile/skew現象を引き起こしているのである．したがって，Black-Scholes

モデルに代わる市場モデルには，まず smile/skew現象を再現できる何らかの特徴を持たせ

る必要があると考えられる．

2

３章　幾何 Levy過程モデルと同値 martingale測度

幾何 Levy過程モデルとは，安全証券の収益率は一定であるとし，リスク証券の価格過程

{St}t5T は

St := S0eZt , S0 > 0

により与えられるとした場合をいう．このとき，{St}t5T は幾何 Levy過程と呼ばれる．ここ

で，Zt は生成要素 (σ2, ν(dx),b)により特徴付けられる Levy過程である．

本論文では，同値マルチンゲール測度として

・mean-correcting martingale measure ( MCMM )

・ Esscher transformed martingale measure ( ESSMM )

・minimal entropy martingale measure ( MEMM )

に注目した．証券価格がジャンプするリスクは各証券に固有のものであると考えられる場合

には，ジャンプ拡散過程モデルに対してMCMM を用いることは経済学的な観点から妥当な

ものであると考えられる．また，ESSMM, MEMMを用いることの妥当性については，効用

最大化問題の観点からの議論がある．

いま，確率過程 ({Zt},P)及び ({Zt}, P)は，それぞれ生成要素 (σ2, ν(dx),b)及び (σ2, ν(dx), b)

を持つ Rにおける Levy過程であるものとする．このとき，生成要素が

σ2 = σ2,

ν(dx) = ν(dx),

b = r − σ2/2−∫R\{0}

(ex − 1− x1{|x|51}

)ν(dx)

なる関係を満たすならば，PはMCMM となる．ただし，σ2 = 0の時には，事前の測度 Pが

マルチンゲール測度の場合を除き，MCMM は存在しない．

また，({Zt},P)と ({Zt}, P)は，それぞれ生成要素 (σ2, ν(dx),b)と (σ2, ν(dx), b)により特徴

付けられる Rにおける Levy過程であるものとする．このとき，生成要素が

h∗ ∈ {h ∈ L |ψ(−i(1 + h)) − ψ(−ih) = r } ;

σ2 = σ2,

ν(dx) = eh∗xν(dx),

b = r − σ2/2−∫R\{0}

(ex − 1− x1{|x|51}

)ν(dx)

3

なる関係を満たすならば，PはESSMMとなる．ただしL :={h ∈ R

∣∣∣∫ ∞−∞(ehx/2 − 1)2ν(dx) < ∞}.

また，ψ(u)は Pの下での Levy exponent．

[GLP & MEMM] モデルは Miyahara(2001)で提案されたものであり，[GLP & MEMM]

モデルに対して以下の結果が示されている．

[宮原 (2003, p87;定理 7.1 (Fujiwara-Miyahara (2002)) )]　次の２つの条件を満たす定数 θ∗

が存在するものと仮定する．

(C1)∫{x>1} e

xeθ∗(ex−1)ν(dx) < ∞

(C2) b+(

12 + θ∗

)σ2+

∫{|x|>1} (e

x − 1) eθ∗(e∗−1)ν(dx)+

∫{|x|51}

((ex − 1) eθ

∗(ex−1) − x)ν(dx) = r

このとき次のことが成立する．

1. (MEMM の存在)　 MEMM P∗ が存在する．

2. (Levy過程)　 Zt は P∗ の下でも Levy過程で，その生成要素 (A∗, ν∗, b∗)は

A∗ = σ2

ν∗(dx) = eθ∗(ex−1)ν(dx)

b∗ = b + θ∗ + σ2 +∫{|x|51} x d(ν∗ − ν)

で与えられる．

４章　代表的な幾何 Levy過程モデル

本論文においては，幾何 Levy過程モデル (幾何 Levy過程 )として，特に

・Mertonモデル（ Geometric Normal Jump-Diffusion Process）

σ ∈ (0,∞)

ν(dx) = c1√2πv

exp

{− (x−m)2

2v

}dx, c, v > 0

b0 ∈ R・ Kouモデル（ Geometric Double Exponential Jump-Diffusion Process）

σ ∈ (0,∞)

ν(dx) = c(pc1e−c1|x|1{x<0} + qc2e−c2|x|1{x≥0}

)dx, p,q >= 0, p + q = 1, c, c1, c2 > 0

b0 ∈ R

4

・幾何 VG過程モデル（ Geometric Variance Gamma Process）

σ = 0

ν(dx) = C(I{x<0}e−c1|x| + I{x>0}e−c2|x|

)|x|−1 dx, C, c1, c2 > 0

b0 ∈ R・幾何 NIG過程モデル（ Geometric Normal Inverse Gaussian Process）

σ = 0

ν(dx) =δα

π

exp[βx

]K1(α|x|)|x| dx, 0 < |β| <= α, δ > 0

b0 ∈ Rただし，Kλ は次数 λの第２種変形ベッセル関数．

に注目した．

また，主な同値マルチンゲール測度の下で，パラメータの値を適当に与えて，幾何 Levy

過程モデルが volatility smile/skewという特徴を構造的に有しているかどうかをみた．

５章　まとめ

smile/skew現象を構造的に有しているかどうかについて検証した結果は

Mertonモデル

［GNJD & MCMM ］モデル： smile/skew現象を構造的に有している．

［GNJD & ESSMM］モデル： smile/skew現象を説明するモデルとしては適当と考え

ない．

［GNJD & MEMM ］モデル：今回の検証では smile/skew現象を再現できなかった．

Kouモデル

［GDEJD & MCMM ］モデル： smile/skew現象を構造的に有している．

［GDEJD & ESSMM］モデル： smile/skew現象を構造的に有している．

［GDEJD & MEMM ］モデル： smile/skew現象を構造的に有している．

幾何 VG過程モデル

［GVG & ESSMM］モデル： smile現象を構造的に有す (skew現象は観察できなかった)．

［GVG & MEMM ］モデル： skew現象を構造的に有す (smile現象は観察できなっかた)．

幾何 NIG過程モデル

5

［GNIG & ESSMM］モデル： smile現象を構造的に有す (skew現象は観察できなかっ

た)．

［GNIG & MEMM ］モデル： smile現象を構造的に有す (skew現象は観察できなかっ

た)．

というものであった．

残された課題は，smile/skew現象を構造的に持っている評価モデルのパラメータを推定

し，現実により近い状況を再現するモデルを探すことにある．株式市場のデータを用いて，

パラメータを推定する方法が，宮原 (2003,第５章)に述べられている．ここで提案されてい

る方法を用いれば，パラメータを容易に推定することができる．

参考文献

Black, F. and Myron Scholes, 1973, The pricing of options and corporate liabilities,Journal

Political Economy, Vol. 81, pp. 637–659.

Carr, P. and Dilip B. Madan, 1998, Option valuation using the fast Fourier transform,Journal

of Computational Finance, Vol. 2, pp. 61–73.

Miyahara, Y., 2001, [ Geometric Levy processes & MEMM ] pricing model and relating

estimation problems,Asian-Pacific Financial Markets, Vol. 8, No. 1, pp. 45–60.

宮原孝夫、2003、株価モデルとレヴィ過程、金融工学の基礎 1、朝倉書店。

6

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.50.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

strike

implied volatility

σ = 0.1σ = 0.2σ = 0.4σ = 0.5

(a) NJD(µ = 0.2,m = −0.2,v = 0.2, c = 1), µ =

0.10516

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.50.45

0.5

0.55

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

strike

implied volatility

m = -0.2, µ = 0.10516m = -0.1, µ = 0.01m = 0 µ = -0.095171m = 0.3 µ = -0.48182

(b) NJD(µ = 0.2, σ = 0.3,v = 0.2, c = 1)

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

strike

implied volatility

v = 0.1, µ = 0.14929v = 0.3, µ = 0.058771v = 0.4, µ = 0.01v = 0.5, µ = -0.041271

(c) NJD(µ = 0.2, σ = 0.3,m = −0.2, c = 1)

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.50.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

strike

implied volatility

c = 0.1, µ = 0.019516c = 0.5, µ = 0.057581c = 1, µ = 0.10516c = 3, µ = 0.29549

(d) NJD(µ = 0.2, σ = 0.3,m = −0.2,v = 0.2)

Fig. 1 mean-correcting martingale measureの下での implied volatility curve；r = 0.01,T = 0.5,S0 = 1

7

0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.30.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

strike

implied volatility

µ = -0.2, h = 1.0849 µ = 0.05, h = 0.19351 µ = 0.1, h = 0.017834 µ = 0.3, h = -0.61469

(a) NJD(σ = 0.3,m = −0.2,v = 0.2, c = 1)

0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.50.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0.55

strike

implied volatility

σ = 0.15, h = -0.39872 σ = 0.2, h = -0.37317 σ = 0.3, h = -0.31457 σ = 0.4, h = -0.25698

(b) NJD(µ = 0.2,m = −0.2,v = 0.2, c = 1)

0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.50.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

strike

implied volatility

m = -0.2, h = -0.31457 m = -0.1, h = -0.6367m = 0, h = -0.98335 m = 0.3, h = -2.0394

(c) NJD(µ = 0.2, σ = 0.3,v = 0.2, c = 1)

0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.50.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6

0.65

strike

implied volatility

v = 0.1, h = -0.24167 v = 0.3, h = -0.35394 v = 0.4, h = -0.37847 v = 0.5, h = -0.39521

(d) NJD(µ = 0.2, σ = 0.3,m = −0.2, c = 1)

0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.250.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

strike

implied volatility

c = 0.01, h = -3.484 c = 0.05, h = -2.3145 c = 0.10, h = -1.7632 c = 0.15, h = -1.4454

(e) NJD(µ = 0.2, σ = 0.3,m = −0.2,v = 0.2)

Fig. 2 Esscher transformed martingale measureの下での implied volatility curve; r = 0.01,T =

0.25,S0 = 1

8

0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.50.2

0.22

0.24

0.26

0.28

0.3

0.32

0.34

0.36

0.38

0.4

strike

implied volatility

µ = 0.05, θ = -0.4444 µ = 0.1, θ = -1 µ = 0.2, θ = -2.1111 µ = 0.3, θ = -3.2222

(a) NJD(σ = 0.3,m = −0.2,v = 0.2, c = 1), r =

0.01,T = 0.5,S0 = 1

0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

strike

implied volatility

σ = 0.2, θ = -7.25 σ = 0.25, θ = -4.64 σ = 0.3, θ = -3.2222 σ = 0.35, θ = -2.3673

(b) NJD(µ = 0.3,m = −0.2,v = 0.2, c = 1), r =

0.01,T = 0.5,S0 = 1

0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.40.2

0.22

0.24

0.26

0.28

0.3

0.32

0.34

0.36

0.38

0.4

strike

implied volatility

m = -0.4, θ = -2.1111 m = 0, θ = -2.1111 m = 0.1, θ = -2.1111 m = 0.2, θ = -2.1111

(c) NJD(µ = 0.2, σ = 0.3,v = 0.2, c = 1), r =

0.01,T = 0.5,S0 = 1

0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.40.2

0.22

0.24

0.26

0.28

0.3

0.32

0.34

0.36

0.38

0.4

strike

implied volatility

v = 0.2, θ = -2.1111 v = 0.3, θ = -2.1111 v = 0.4, θ = -2.1111 v = 0.5, θ = -2.1111

(d) NJD(µ = 0.2, σ = 0.3,m = −0.2, c = 1), r =

0.01,T = 0.5,S0 = 1

0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.40.2

0.22

0.24

0.26

0.28

0.3

0.32

0.34

0.36

0.38

0.4

strike

implied volatility

c = 0.1, θ = -2.1111 c = 1, θ = -2.1111 c = 2, θ = -2.1111 c = 3, θ = -2.1111

(e) NJD(µ = 0.2, σ = 0.3,m = −0.2,v =

0.2), r = 0.01,T = 0.5,S0 = 1

Fig. 3 [GNJD & MEMM] modelの下での implied volatility curve

9

0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.40.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0.55

strike

implied volatility

σ = 0.05σ = 0.1σ = 0.2σ = 0.4

(a) DEJD(µ = 0, p = 0.4, c1 = 10, c2 = 20, c =

2), µ = 0.019569

0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.40.3

0.32

0.34

0.36

0.38

0.4

0.42

0.44

strike

implied volatility

p = 0.2, µ = -0.037847 p = 0.3, µ = -0.0091388 p = 0.5, µ = 0.048278 p = 0.7, µ = 0.10569

(b) DEJD(µ = 0, σ = 0.3, c1 = 10, c2 = 20, c =

2)

0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.40.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6

0.65

0.7

strike

implied volatility

c1 = 1, µ = 0.026667

c1 = 2, µ = 0.01

c1 = 4, µ = -0.0033333

c1 = 5, µ = -0.0066667

(c) DEJD(µ = 0, σ = 0.3, p = 0.5, c2 = 4, c =

0.2)

0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.40.3

0.32

0.34

0.36

0.38

0.4

0.42

0.44

0.46

0.48

strike

implied volatility

c2 = 4, µ = 0.0016667

c2 = 5, µ = 0.01

c2 = 6, µ = 0.015

c2 = 8, µ = 0.020714

(d) DEJD(µ = 0, σ = 0.3, p = 0.5, c1 = 3, c =

0.2)

0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.40.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6

0.65

strike

implied volatility

c = 0.1, µ = 0.01 c = 0.2, µ = 0.01 c = 0.3, µ = 0.01 c = 0.6, µ = 0.01

(e) DEJD(µ = 0, σ = 0.3, p = 0.5, c1 = 3, c2 = 5)

Fig. 4 [ GDEJD & MCMM ] pricing modelの下での implied volatility; S0 = 1, r = 0.01,T = 0.25

10

0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.40

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

strike

implied volatility

σ = 0.05, h = 2.2407 σ = 0.10, h = 1.5497 σ = 0.20, h = 0.71069 σ = 0.40, h = 0.22842

(a) DEJD(µ = 0, p = 0.4, c1 = 10, c2 = 20, c =

2), µ = 0.019569

0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.40.3

0.32

0.34

0.36

0.38

0.4

0.42

strike

implied volatility

p = 0.2, h = 0.25593 p = 0.3, h = 0.3192 p = 0.5, h = 0.43134 p = 0.7, h = 0.52789

(b) DEJD(µ = 0, σ = 0.3, c1 = 10, c2 = 20, c =

2)

0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.40.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6

0.65

strike

implied volatility

c1 = 1, h = 0.15295

c1 = 2, h = 0.073189

c1 = 4, h = -0.028179

c1 = 5, h = -0.057886

(c) DEJD(µ = 0, σ = 0.3, p = 0.5, c2 = 4, c =

0.2)

0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.40.3

0.32

0.34

0.36

0.38

0.4

0.42

0.44

0.46

0.48

strike

implied volatility

c2 = 4, h = 0.013435

c2 = 5, h = 0.086479

c2 = 6, h = 0.13468

c2 = 8, h = 0.19285

(d) DEJD(µ = 0, σ = 0.3, p = 0.5, c1 = 3, c =

0.2)

0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.40.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6

0.65

strike

implied volatility

c = 0.1, h = 0.09727 c = 0.2, h = 0.086479 c = 0.3, h = 0.077834 c = 0.6, h = 0.059855

(e) DEJD(µ = 0, σ = 0.3, p = 0.5, c1 = 3, c2 = 5)

Fig. 5 [ GDEJD & ESSMM ] pricing modelの下での implied volatility; S0 = 1, r = 0.01,T = 0.2511

0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.30.18

0.2

0.22

0.24

0.26

0.28

0.3

0.32

0.34

0.36

0.38

strike

implied volatility

µ = -0.01, θ = -0.2118 µ = 0.05, θ = -1.3499 µ = 0.1, θ = -2.351 µ = 0.2, θ = -4.4266

(a) DEJD(σ = 0.2, p = 0.5, c1 = 20, c2 = 10, c =

1)

0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.30.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

strike

implied volatility

σ = 0.1, θ = -0.9089 σ = 0.3, θ = -0.2062 σ = 0.4, θ = -0.1238 σ = 0.5, θ = -0.0818

(b) DEJD(µ = 0, p = 0.5, c1 = 20, c2 = 10, c =

1)

0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.30.2

0.22

0.24

0.26

0.28

0.3

0.32

0.34

0.36

0.38

0.4

strike

implied volatility

p = 0.2, θ = -1.2227 p = 0.3, θ = -0.9874 p = 0.4, θ = -0.743 p = 0.6, θ = -0.2173

(c) DEJD(µ = 0, σ = 0.2, c1 = 25, c2 = 10, c =

1)

0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.30.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

strike

implied volatility

c1 = 10, θ* = -0.0017

c1 = 15, θ* = -0.2513

c1 = 20, θ* = -0.3953

c1 = 30, θ* = -0.5506

(d) DEJD(µ = 0, σ = 0.2, p = 0.5, c2 = 10, c =

1)

0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.30.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

strike

implied volatility

c2 = 5, θ = -0.9788

c2 = 8, θ = -0.6024

c2 = 12, θ = -0.2286

c2 = 15, θ = -0.0401

(e) DEJD(µ = 0, σ = 0.2, p = 0.5, c1 = 20, c = 1)

0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.30.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

strike

implied volatility

c = 0.5, θ = -0.1228 c = 1.5, θ = -0.6087 c = 2, θ = -0.7827 c = 3, θ = -1.0527

(f) DEJD(µ = 0, σ = 0.2, p = 0.5, c1 = 20, c2 =

10)

Fig. 6 [ GDEJD & MEMM ] pricing modelの下での implied volatility curve;S0 = 1, r = 0.01,T =

0.2512

0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.30

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

strike

implied volatility

C = 1, h* = 3.5185

C = 5, h* = 2.3059

C = 10, h* = 2.153

C = 20, h* = 2.0765

(a)c1 = 15, c2 = 20,b0 = 0, r = 0.01,T =

0.25,S0 = 1

0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.40.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0.55

strike

implied volatility

c1 = 10, h = 4.5562

c1 = 15, h = 2.0765

c1 = 20, h = -0.40006

c1 = 30, h = -5.3438

(b) C = 20, c2 = 20,b0 = 0, r = 0.01,T =

0.25,S0 = 1

0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.40.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6

0.65

strike

implied volatility

c2 = 10, h = -2.961

c2 = 20, h = 2.0765

c2 = 30, h = 7.1265

c2 = 40, h = 12.189

(c) C = 20, c1 = 15,b0 = 0, r = 0.01,T =

0.25,S0 = 1

0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.50.32

0.34

0.36

0.38

0.4

0.42

0.44

strike

implied volatility

b0 = -0.05, h = 2.4587

b0 = -0.01, h = 2.153

b0 = 0.05, h = 1.6941

b0 = 0.1, h = 1.3126

(d) C = 20, c1 = 15, c2 = 20, r = 0.01,T =

0.25,S0 = 1

Fig. 7 [GVG & ESSMM] modelにおける implied volatility curve

13

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

strike

implied volatility

C = 50, θ = -6.0691C = 35, θ = -6.3171C = 25, θ = -6.6478C = 10, θ = -8.3738

(a)c1 = 30, c2 = 20,b0 = 0.1, r = 0.01,T =

0.25,S0 = 1

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

strike

implied volatility

c1 = 19, θ = -1.1436

c1 = 20, θ = -1.7062

c1 = 25, θ = -4.543

c1 = 30, θ = -7.4182

(b) C = 15, c2 = 20,b0 = 0.1, r = 0.01,T =

0.25,S0 = 1

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

strike

implied volatility

c2 = 15, θ = -9.5775

c2 = 25, θ = -5.2935

c2 = 35, θ = -1.1491

c2 = 37.5, θ = -0.135

(c) C = 15, c1 = 30,b0 = 0.1, r = 0.01,T =

0.25,S0 = 1

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

strike

implied volatility

b0 = -0.2, θ = -2.2352

b0 = 0, θ = -5.3317

b0 = 0.05, θ = -6.1334

b0 = 0.2, θ = -8.5318

(d) C = 20, c1 = 30, c2 = 20, r = 0.01,T =

0.25,S0 = 1

Fig. 8 [GVG & MEMM] modelにおける implied volatility curve

14

0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.30.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

strike

call option price

α = 6, h = 2.3008α = 8, h = 2.234α = 10, h = 2.1673α = 12, h = 2.1006

(a)β = −3, δ = 0.3,b0 = 0.02, r = 0.01,T =

0.25,S0 = 1

0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

strike

call option price

δ = 0.1, h = 1.9051δ = 0.4, h = 2.3506δ = 1, h = 2.4402δ = 1.2, h = 2.4502

(b) α = 6, β = −3,b0 = 0.02, r = 0.01,T =

0.25,S0 = 1

0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.50.3

0.32

0.34

0.36

0.38

0.4

0.42

0.44

0.46

0.48

0.5

strike

call option price

b0 = -0.01, h = 2.6494

b0 = 0, h = 2.5747

b0 = 0.05, h = 2.2014

b0 = 0.1, h = 1.8316

(c) α = 6, β = −3, δ = 0.8, r = 0.01,T =

0.5,S0 = 1

Fig. 9 [GNIG & ESSMM] modelにおける implied volatility curve

15

0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.250.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

strike

implied volatility

α = 0.3, θ = -0.795 α = 0.4, θ = -0.864 α = 0.5, θ = -0.935 α = 0.7, θ = -1.0788

(a)β = −0.2, δ = 0.06,b0 = 0.01, r = 0.01,T =

0.25,S0 = 1

0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.250.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

strike

implied volatility

β = -0.5, θ = -0.5394 β = -0.3, θ = -0.8537 β = -0.1, θ = -1.1573 β = 0.4, θ = -1.8748

(b) α = 0.6, δ = 0.06,b0 = 0.01, r = 0.01,T =

0.25,S0 = 1

0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.30

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

strike

implied volatility

δ = 0.05, θ = -0.6978 δ = 0.1, θ = -0.69783 δ = 0.2, θ = -0.69783 δ = 0.5, θ = -0.69783

(c) α = 0.6, β = −0.4,b0 = 0.01, r = 0.01,T =

0.5,S0 = 1

Fig. 10 [GNIG & MEMM] pricing modelにおける implied volatility curve

16