Slides Sensibilidad e

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Anlise da SensibilidadeAnlise da Sensibilidade

Bertolo, L.A.UNIUBE

Anlise da sensibilidadeEm todos os modelos de programao linear, os coeficientes da funo objetivo e das restries so considerados como entrada de dados ou parmetros para os modelos. As solues timas solues timas que obtemos so baseadas nos valores destes coeficientes que, na prtica, so raramente conhecidos com absoluta certezacom absoluta certeza.Cada variao nos valores destes coeficientes muda o problema de programao linear que pode afetar a soluo tima encontrada anteriormente.

A anliseanlise dede sensibilidadesensibilidade nos ajuda a entender como esta soluo tima mudarmediante a entrada dos novos coeficientes. Custo reduzido, preo sombra, limites doscoeficientes da funo objetivo e das restries so termos cujo entendimento necessrio para conduzirmos a anlise de sensibilidade.Para proporcionar um melhor entendimento sobre o assunto, trabalharemos,

Programao Linear e Anlise de Sensibilidade 2

Para proporcionar um melhor entendimento sobre o assunto, trabalharemos, novamente, com o caso da confeco de roupas, que foi apresentado no nosso ltimo roteiro.

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Exemplo do ltimo roteiro12345

A B C D E F GSaia Cala Bermuda

Quantidades 214,3 714,3 464,3Margemunitria 2 4 7MargemTotal 428,57 2.857,14 3.250,00 6.535,71

Funo Objetivo56

78910

FunoObjetivo

EspaoFsico(m2) 4 1 2 2500

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Relatrio de RespostasCluladedestino(Mx)

Clula Nome Valororiginal Valorfinal$E$4 MargemTotal 6.428,57 6.500,00

ClulasajustveisjClula Nome Valororiginal Valorfinal$B$2 QuantidadesSaia 214,3 0,0$C$2 QuantidadesCala 714,3 750,0$D$2 QuantidadesBermuda 464,3 500,0

RestriesClula Nome Valordaclula Frmula Status Transigncia$E$7 EspaoFsico(m2)FunoObjetivo 1750 $E$7

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Para entender o Custo Reduzido, tenteisto{ Faa uma cpia da planilha, e mude o

valor da clula B3 de 1,5 para 1,6.{ Use Solver para resolver o problema{ Use Solver para resolver o problema

(novamente).{ O que aconteceu?


Nada mudou!

12345


Quantidades 0,0 750,0 500,0Margemunitria 1,6 4 7MargemTotal 0,00 3.000,00 3.500,00 6.500,00

FunoObjetivo


6

789


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5

Agora tente isto { Faa uma cpia da planilha, e mude o

valor da clula B3 de 1,6 para 1,7.{ Use o Solver para resolver o problema{ Use o Solver para resolver o problema



Tranquilo, nada aconteceu.

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Funo Objetivo


56

789

FunoObjetivo


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Agora faa isto{ Faa uma cpia da planilha, e mude o

valor da clula B3 de 1,7 para1,83335.1,83335.

{ Use o Solver para resolver o problema(novamente).

{ O que aconteceu?


O valor timo da quantidade de saia no mais zero.

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FunoObjetivo


6

789


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{ Quando o valor da clula B3 aumentou para 1,83335, O valor timo daquantidade de saia no mais zero.

{ De onde veio este 1,83335?1,5 + 0,33335= 1,83335

Explicao.

, , ,O coeficiente objetivo original da quantidade de saia menos o custoreduzido (acrscimo permissvel).

{ No problema original, o valor valor timotimo da varivel de deciso quantidadede saia foi zero. O custo reduzido , portanto, a quantia que o coeficiente objetivo da varivel de deciso quantidade de saia teve queaumentar (num problema de maximizao) para o valor timo destavarivel de deciso quantidade de saia ficar positivo e maior que zero.


Num problema de minimizao, o custo reduzido a quantia que o seucoeficiente objetivo tem que diminuirr para o valor timo de daquela varivel de deciso ficar positivo.

Interpretando o custo reduzido a quantia que o coeficiente da varivel de deciso na funo objetivo teria que melhorar antes que fosse vantajoso dar varivel de deciso em questo um valor positivo (diferente de zero) na soluo tima.

a quantia de penalidade que voc teria que pagar para poder introduzir uma unidade daquela varivel de deciso na soluo tima.

O custo reduzido s se aplica a variveis que na soluo tima so zero


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Agora, tente isto{ Faa uma cpia do problema

original, com a margemunitria da varivel dedeciso quantidade de saiacomo 1 5como 1,5.

{ Adicione uma restrio forando a varivel de deciso quantidade de saia =1.

O t ?


O que aconteceu?

Veja o que aconteceu!

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56

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g , , , ,FunoObjetivo

EspaoFsico(m2) 4 1 2 1753,5

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{ O custo reduzido de uma varivel de deciso(cujo valor timo correntemente zero) ataxa em que o valor da funo objetivo

Explicando...

q jpenalizada quando uma varivel foradanuma soluo tima anteriormente.

{ Adicionamos uma restrio forando avarivel de deciso quantidade de saia =1, eo valor da funo objetivo LUCRO


penalizado (diminudo) por 1 * 0,33.

{ O que acontece se tentarmos forar a quantidade desaia para =100?Resp: 33,33

Custo Reduzido

Entendendo o Preo Sombra(Shadow Price)

a quantidade em que a funo objetivo (lucro no nosso exemplo)melhoraria se o limite da restrio (RHS) aumentasse em uma unidade.

1A B C D E F G HMicrosoftExcel12.0Relatriodesensibilidade

23456789101112

Planilha:[MetQuantitatEtapaVvol4.xlsm]ExemploPL1.2Relatriocriado:24/06/200917:20:20

ClulasajustveisFinal Reduzido Objetivo Permissvel Permissvel

Clula Nome Valor Custo Coeficiente Acrscimo Decrscimo$B$2 QuantidadesSaia 0,0 0,3 1,5 0,333333333 1E+30$C$2 QuantidadesCala 750,0 0,0 4 10 0,5$D$2 QuantidadesBermuda 500,0 0,0 7 1 2


12131415161718

RestriesFinal Sombra Restrio Permissvel Permissvel

Clula Nome Valor Preo LateralR.H. Acrscimo Decrscimo$E$7 EspaoFsico(m2)FunoObjetivo 1750 0 2500 1E+30 750$E$8 Tecido(m)FunoObjetivo 4000 0,166666667 4000 3000 2250$E$9 Horasmquina(hm)FunoObjetivo 3500 1,666666667 3500 1500 1500

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{ Faa uma cpia da planilha, e mude o valor da clula G8 de 4.000 para4.100.

Para entender o Preo Sombra, tente isto

4.100.{ Use Solver para resolver o problema



A Funo Objetivo melhorou!

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F Obj ti56

789

FunoObjetivo


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{ Faa uma cpia da planilha, e mude o valor da clula G9 de 3.500 para 3.600.

{ Use Solver para resolver o problema

Tente isto agora para entender o PreoSombra

{ Use Solver para resolver o problema(novamente).

{ O que aconteceu?

O preo sombra assim chamado


p porque diz quanto voc estaria dispostoa pagar pelas unidades adicionais deum recurso.

Acrscimo e decrscimo permissvelEstes limites mostram at onde voc pode mudar um coeficiente nafuno objetivo sem causar mudana nos valores timos das variveis dedeciso, ou mudar o limite da restrio de uma fila sem fazer com quequaisquer dos valores timos dos preos sombras ou custo reduzido

dmudem.

importante atentarmos para o fato de que esses valores so apenas vlidos seestamos planejando alterar um nico coeficiente da funo objetivo ou dos limitesdas restries. possvel, portanto, mudar um coeficiente de qualquer quantidadeque indicada nos limites permissveis sem causar uma mudana na soluotima.


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Anlise do exemploA partir deste ponto, aprenderemos que possvel , sem utilizao deNOVAS TENTATIVAS de resoluo no Excel, medir o impacto dasvariaes nos coeficientes da funo objetivo.O relatrio de sensibilidade poderia nos ajudar a responder vrios

ti tquestionamentos:

PREO SOMBRA:Se a confeco tivesse que fazer uma manuteno preventiva, diminuindo em 50horas-mquinas na capacidade mxima de produo, quanto seria reduzido namargem de contribuio total da empresa?

RESPOSTA:No relatrio de sensibilidade observamos que o preo sombra para hora


No relatrio de sensibilidade , observamos que o preo sombra para hora-mquina de R$ 2,00, ou seja, para cada unidade de hora-mquina queretiramos ou colocamos no problema em questo ir afetar a margem decontribuio total da empresa em R$ 2,00.Assim, uma reduo de 50 horas (o decrscimo permissvel de 1.500 h) irreduzir a margem de contribuio em 50 x 2,00 = R$ 100,00, fazendo que onovo valor da margem de contribuio total seja R$ 6.400,00.

Anlise do exemploCUSTO REDUZIDO:Se existisse um pedido firme de 100 saias para um grande distribuidor local,qual seria o impacto do seu atendimento no lucro da empresa?RESPOSTA:L b SOLVER i d i id d l d iLembremos que o SOLVER sugeriu no produzir quantidade alguma de saias,porm, informou quanto o custo reduzido dela no relatrio de sensibilidade.O valor de -0,3 pode ser interpretado como sendo uma reduo no valor totalda margem de contribuio para cada unidade produzida de saia, ou seja, paraum aumento de zero para 100, teremos uma reduo na margem decontribuio de 100 x 0,3 = R$ 30,00.


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Anlise do exemploCUSTO REDUZIDO:Quanto deveria ser reduzido nos custos da saia para que ela se torneatrativa para ser produzida?RESPOSTA:A i d d id d d i i 0 3A saia pode ser produzida, desde que sua margem unitria aumente em 0,3,zerando o custo reduzido no relatrio. Assim, temos que o custo referente saia deve diminuir em R$ 0,30 por unidade para que sua produo se tornevivel.

As quantidades informadas pelas grandezas Preo Sombra e Custo Reduzido refletem as conseqncias de alteraes unitrias;

Alteraes diferentes da unidade provocaram conseqncias proporcionais


Entretanto, estes valores s podem ser garantidos dentro de intervalos.

Intervalos de validao do Preo Sombra e do Custo Reduzido

{ O Custo Reduzido tambm possui intervalos nos quais ele vlido;

{ A anlise de sensibilidade determina estes{ A anlise de sensibilidade determina estes intervalos em que o Custo Reduzido e o Preo Sombra so vlidos;

{ Existe uma outra razo para estabelecer estes intervalos: o problema da certeza dos

fi i t

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coeficientes

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Anlise de Sensibilidade

{ A anlise de sensibilidade serve tambm para amenizar a hiptese de certeza nos coeficientes e constantese constantes.

{ Em uma anlise de sensibilidade queremos responder basicamente a trs perguntas:z Qual o efeito de uma mudana num

coeficiente da funo objetivo?Qual o efeito de uma mudana numa

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z Qual o efeito de uma mudana numa constante de uma restrio?

{ A perguntaz Qual o efeito de uma mudana num

coeficiente de uma restrio?


coeficiente de uma restrio?tambm parece importante de ser respondida, e . Entretanto, a Anlise de Sensibilidade geralmente no responde esta pergunta{ A quantidade de coeficientes muito grande!

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{ Existem dois tipos bsicos de anlise de sensibilidade:Estabelece limites inferiores e superioresEstabelece limites inferiores e superiores

para todos os coeficientes e constantes:{Lindo/Excel;{Hiptese de uma alterao a cada

momento;Verifica se uma ou mais mudanas em um

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problema alteram a sua soluo tima:{Mais complicado;{Pode ser feito atravs da alterao do

problema e sua nova resoluo.

A anlise de sensibilidade atravs de limites

{ Vamos nos dedicar ao primeiro tipo de anlise. A anlise dos limites dos coeficientes da funo objetiva e das constantes das jrestries no problema

{ Vamos entender o processo da anlise dos coeficientes da funo objetivo primeiro.

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Anlise de Sensibilidade Constantes das Restries

{ A constantes das restries tambm esto submetidas limites;

{ Entretanto estes limites dizem respeito aos{ Entretanto estes limites dizem respeito aos Preos de Sombra, e no soluo timaz Veja que os Preos de Sombra equivalem

soluo tima do dual, onde as constantes das restries so os coeficientes da F. Objetivo;

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j ;{ O estudo dos limites feito de maneira muito

similar.

O Limite dos coeficientes da Funo Objetivo - Excel

{ Para aquele problema o Excel oferece a

ConstraintsFinal Shadow Constraint Allowable Allowable

{ Para aquele problema, o Excel oferece a seguinte resposta:

infinito

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Cell Name Value Price R.H. Side Increase Decrease$D$8 20 33,33333333 20 1,5 6$D$9 4 0 5 1E+30 1$D$10 21 44,44444444 21 9 2,25

Variaes permitidas s constantes das restries!

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Analisando todas as respostas do Excel

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Solicitando os relatrios

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Ateno para pedir todos os relatrios!

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Anlise de Sensibilidade - Excel

Valor Mximo

Valor das Variveisno ponto de Mximo

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Valor Mximo

Excel Relatrio de Respostas

Agrupar => LHS=RHSSem Agrupar=> LHSRHS

VariveisDe Folga

4567891011121314

A B C D E F G

Cluladedestino(Mx)Clula Nome Valororiginal Valorfinal$E$4 MargemTotal 6.428,57 6.500,00

ClulasajustveisClula Nome Valororiginal Valorfinal$B$2 QuantidadesSaia 214,3 0,0$C$2 Q id d C l 714 3 750 0

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141516171819202122

$C$2 QuantidadesCala 714,3 750,0$D$2 QuantidadesBermuda 464,3 500,0

RestriesClula Nome Valordaclula Frmula Status Transigncia$E$7 EspaoFsico(m2)FunoObjetivo 1750 $E$7

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Anlise Econmica do Excel

Valores das variveisdo Problema Dual

A B C D E F G H123456789101112

A B C D E F G HMicrosoftExcel12.0RelatriodesensibilidadePlanilha:[MetQuantitatEtapaVvol4.xlsm]ExemploPL1.2Relatriocriado:24/06/200917:20:20



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12131415161718



Anlise Econmica do ExcelA interpretao para o Preo Sombra so as seguintes:A quantidade pela qual a funo objetivo ser aumentada dado um incremento de uma unidade na constante de uma restrio.Quanto estaramos dispostos a pagar por uma unidade adicional de um recurso.

1234567891011




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12131415161718



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Anlise Econmica do ExcelExistem duas interpretaes para o CustoReduzidoA quantidade que o coeficienteda funo objetivo de uma varivel original deveaumentar antes desta varivel se tornar bsica.A quantidade de penalizao que ser pago sequisermos tornar uma varivel bsica.

123456789



Clula Nome Valor Custo Coeficiente Acrscimo Decrscimo$B$2 QuantidadesSaia 0,0 0,3 1,5 0,333333333 1E+30

39 / 63

101112131415161718

$ $ Q , , , ,$C$2 QuantidadesCala 750,0 0,0 4 10 0,5$D$2 QuantidadesBermuda 500,0 0,0 7 1 2



Anlise de SensibilidadeExcel Relatrio de Sensibilidade

Variaes de incremento e decremento, as quais cada coeficiente da Funo Objetivo, isoladamente,

pode ter sem que a soluo tima ( valores finais de X1, x2 e X3) se altere.

123456789



Clula Nome Valor Custo Coeficiente Acrscimo Decrscimo$B$2 QuantidadesSaia 0,0 0,3 1,5 0,333333333 1E+30

40 / 63

101112131415161718

$ $ Q , , , ,$C$2 QuantidadesCala 750,0 0,0 4 10 0,5$D$2 QuantidadesBermuda 500,0 0,0 7 1 2



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Anlise de SensibilidadeExcel Relatrio de Sensibilidade

Variaes de incremento e decremento, as quais cada constante das Restries, isoladamente, podem ter sem que os valores dos Preos de p q

Sombra se alterem.

12345678910



Clula Nome Valor Custo Coeficiente Acrscimo Decrscimo$B$2 QuantidadesSaia 0,0 0,3 1,5 0,333333333 1E+30$C$2 Quantidades Cala 750 0 0 0 4 10 0 5

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101112131415161718

$C$2 QuantidadesCala 750,0 0,0 4 10 0,5$D$2 QuantidadesBermuda 500,0 0,0 7 1 2



Anlise de SensibilidadeExcel Relatrio de Limites

A coluna Limite Inferior indica o menor valor que cada varivel pode assumir, considerando que todas as outras varivel pode assumir, considerando que todas as outras no se alterem, mantendo a soluo vivel. Mostra tambm o valor que a funo objetivo assume nesta configurao de soluo.

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A B C D E F G H I JMicrosoftExcel12.0RelatriodelimitesPlanilha:[MetQuantitatEtapaVvol4.xlsm]Relatriodelimites2Relatriocriado:24/06/200917:20:20

Destino

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789101112131415

Clula Nome Valor$E$4 MargemTotal 6.500,00

Ajustvel Inferior Destino Superior DestinoClula Nome Valor Limite Resultado Limite Resultado$B$2 QuantidadesSaia 0,0 0,0 6.500,0 0,0 6.500,0$C$2 QuantidadesCala 750,0 0,0 3.500,0 750,0 6.500,0$D$2 QuantidadesBermuda 500,0 0,0 3.000,0 500,0 6.500,0

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Anlise de SensibilidadeExcel Relatrio de Limites

A coluna Limite Superior indica o maior valor que cada varivel pode assumir considerando que todas as outras varivel pode assumir, considerando que todas as outras no se alterem, mantendo a soluo vivel. Mostra tambm o valor que a funo objetivo assume nestes casos.

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A B C D E F G H I JMicrosoftExcel12.0RelatriodelimitesPlanilha:[MetQuantitatEtapaVvol4.xlsm]Relatriodelimites2Relatriocriado:24/06/200917:20:20

Destino

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Clula Nome Valor$E$4 MargemTotal 6.500,00

Ajustvel Inferior Destino Superior DestinoClula Nome Valor Limite Resultado Limite Resultado$B$2 QuantidadesSaia 0,0 0,0 6.500,0 0,0 6.500,0$C$2 QuantidadesCala 750,0 0,0 3.500,0 750,0 6.500,0$D$2 QuantidadesBermuda 500,0 0,0 3.000,0 500,0 6.500,0

Mudanas Simultneas em Coeficientes

{ A anlise de sensibilidade s valida quando apenas um dos coeficientes alterado isoladamente.

{ Porm existem situaes que podemos utilizar a anlise de sensibilidade feita pelo Excel para garantir que a soluo tima no se altera.

{ Esta regra conhecida como Regra de 100%.Regra de 100%.

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{ Caso 1:{ Caso 1:Quando todas as variveis cujos coeficientes da funo objetivo se alterarem tiverem Custo Reduzido diferentes de zero

{ Neste caso a soluo tima permanece inalterada, desde que, todos os coeficientes

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alterados permaneam dentre dos limites permitidos.


C 2{ Caso 2Quando pelo menos uma das variveis cujos coeficientes da funo objetivo se alteram, tem Custo Reduzido com valor igual a zero.

{ Neste caso devemos calcular uma razo entre a alterao do coeficiente e a variao

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a alterao do coeficiente e a variao permitida, para todas as variveis que tiverem seus coeficientes alterados.

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{ Para cada varivel com coeficiente alterado calcule:

=0 se ,

0 se ,

jj

j

jj

j

j

cDc

cIc

r

OndeOnde

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OndeOnde

CCjj = Valor original do coeficiente= Valor original do coeficienteCCjj = Variao do Coeficiente= Variao do CoeficienteIIjj = Incremento Permitido do Coeficiente= Incremento Permitido do CoeficienteDDjj = Decremento Permitido do Coeficiente= Decremento Permitido do Coeficiente


{ Caso mais de uma alterao seja feita simultaneamente a soluo tima permanecer constante sepermanecer constante se

1 jr1> jr Isto no significa dizer que se a soluo Isto no significa dizer que se a soluo

tima tem que se alterar significa apenas que a tima tem que se alterar significa apenas que a

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tima tem que se alterar, significa apenas que a tima tem que se alterar, significa apenas que a regra no pode garantir que ela permanecer regra no pode garantir que ela permanecer constante.constante.

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{ Se existir apenas uma alterao, a soluo tima ser inalterada se rj 1tima ser inalterada se rj 1.

{ Isto tem o mesmo significado da regra original, significando que o numerador da razo (alterao no coeficiente) menor que o denominador (alterao mxima permitida).

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Exemplo da regra do 100%

Ser que a soluo tima se manter se mudarmos o coeficiente de x1 para 50 e o de x2 para 45?

50 / 63 2015

2010

2

2

1

1

==

==

IC

IC

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Exemplo

2015

2010

2

2

1

1

==

==

IC

IC

75,02015

5,02010

2

22

1

11

===

===

ICr

ICr

51 / 63

2 2

25,175,05,0 =+= jrLogo, este no um acrscimo per

Anlise de Sensibilidade - Soluo Degenerada{ A soluo de um problema de Programao

Linear, algumas vezes, apresenta uma anomalia conhecida como degenerao.

{ Uma soluo de um LP dita degenerada quando o valor de incremento ou decremento de uma restrio igual a zero.

{ A presena de degenerao altera a interpretao da anlise de sensibilidade em um certo nmero de maneiras

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em um certo nmero de maneiras.

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Anlise de SensibilidadeSoluo Degenerada{ Quando a soluo tima degeneradaz O valor do Custo Reduzido pode no ser

nico.z O valor de incremento e decremento dos

coeficientes da funo objetivo so ainda validos. De fato os valores podem se alterar substancialmente acima deste valores sem que a soluo tima se altere.

z O valor do Preo Sombra e seus

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z O valor do Preo Sombra e seus intervalos podem continuar sendo interpretados da mesma maneira, contudo podem no ser nicos.

Limites do relatrio de sensibilidade{ Precisamos resolver o modelo PL quando:

z Quando se quer saber uma nova distribuio das variveis de deciso que forneceria a soluo timaresultante de uma variao nas restriesresultante de uma variao nas restries.

z Quando se quer saber o efeito de variar umarestrio alm do acrscimo/decrscimo permitido restrio.

z Quando se quer saber o efeito de variar vriasrestries quando a regra do 100% no se mantiver.

z Quando se quer saber os valores das variveis de


deciso aps os coeficientes objetivos mudarem maisque o acrscimo/decrscimo permissvel

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