Apresentação de slides oficina de prognóstico ambiental 06.08
Slides Oficina Matemática Financeira V0415
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Matemtica FinanceiraMarco A Cunha
Um Fundamento da Gesto FinanceiraConceito do Lucro EconmicoConceito de jurosJuros a seu favor (ou contra)Descontos de bancosAplicaes financeirasClculo de prestaes (financiamentos)Como a Matemtica Financeira est presente em sua vida2Matemtica Financeira
O princpio fundamental da matemtica financeira que existe valor do dinheiro no tempo. Um real hoje vale mais do que um real no futuro.3Conceitos Iniciais
Conceito de JurosO conceito fundamental de juros o prmio que um poupador receber por no gastar seu dinheiro, ou seja, a postergao desse direito de gasta-lo. um valor equivalente a um aluguel, s que de dinheiro, e no de um imvel.4Conceitos Iniciais
Analisa operaes de carter financeiro que envolvam entradas e sadas de dinheiro ocorridas em momentos distintos, ou seja:
Estuda o valor do dinheiro ao longo do tempo
A Matemtica Financeira uma ferramenta de auxlio tomada de deciso financeira tima:visam maximizao da riqueza5Conceitos Iniciais
As anlises da matemtica financeira utilizam o conceito de Fluxo de Caixa
Em um momento (T0) ocorre uma sada (de caixa (investimento p/ exemplo): sinal ()
Em outro momento (T1) ocorre uma entrada de caixa (resgate da aplicao): sinal (+)6Fluxo de Caixa
Avalia fluxos de caixa visando a tomada de deciso:Entradas Lquidas de Caixa FC1, FC2, FC4, e FCn
Sadas Lquidas de Caixa FC0 e FC3
FC103...Perodos124n(unid tempo)
Fluxo de Caixa
FC3FC4FCnFC2
FC0
Anlise financeira de um investimento
8
FC1FC2FC3FC4FCn01234n -Io
Capital, Juros e Montante As operaes financeiras, por exemplo, emprstimos, envolvem pelo menos 2 valores:O valor que o devedor (tomador de recursos) necessita, e;O valor a ser devolvido ao credor ao trmino do prazo da operao
O credor vai querer receber juros9
Capital, Juros e MontanteJuros a quantidade cobrada pelo credor ao tomador de recursos pelo uso do seu capital, denominado Capital Inicial ou Principal, por um perodo determinado.Findo esse perodo, o credor passa a possuir um novo capital, denominado Montante, que nada mais que o capital inicial mais os juros10
Capital, Juros e Montante
Montante = Principal + Juros
Relao fundamental de equivalncia de capitais: VF = VP + JSendo:Montante ou Valor Futuro= VF (FV)Capital ouValor Presente= VP (PV)Juros= J (i)
Equivalncia de Capitais
Para um perodo (n=1):
R$ 10.000 hoje equivalente a R$ 11.000 daqui a um ano, considerando a taxa de juros de 10% a.a.
FV(1 + i)PV =FV =PV x (1+ i)e
12
Taxa de Juros A taxa de juros i caracteriza o valor do aluguel do dinheiro por um determinado perodo
Pode ser expressa nas seguintes formas equivalentes:forma percentualforma decimal (forma percentual dividido por 100)10% 0,10
JurosJPrincipalPVi ==
O processo de incorporao deste juro ao capital denominado capitalizao, e pode ser por 2 mtodos (regimes):Regime de juros simplesRegime de juros compostos14Regimes de Capitalizao
Regime de Juros Simples
Juros simples
Regime de Juros Compostos
Juros compostos
Regime de Capitalizao17
Fator de CapitalizaoRegime de juros simples:
Fator de capitalizao: (1 + i x n)
Frmula de equivalncia: FV = PV (1+i x n)Regime de juros compostos:
Fator de capitalizao: (1 + i )n
Frmula de equivalncia: FV = PV (1+i)n18
Frmulas de Juros SimplesClculo dos juros a partir do capital:Jn = PV x i x n
Clculo do montanteFV = PV (1 + i x n)
Clculo do capital FV (1 + i x n)PV =19
Clculo do nmero de perodos
Clculo da taxa de juros
Frmulas de Juros Simples
Frmulas de Juros CompostosClculo dos juros a partir do capital:Jn = PV[(1 + i)n -1]
Clculo do montanteFV = PV (1 + i)n
Clculo do capital FV (1 + i)nPV =21
Clculo do nmero de perodos
Clculo da taxa de juros
Frmulas de Juros Compostos
Taxas pr e ps-fixadasPr-fixadas: Operao quando investidor e devedor j conhecem, no dia da transao, a taxa e o valor do ttulo no dia do resgate.Ps-fixada: Quando o aplicador e o devedor conhecem, no dia de sua efetivao, a taxa de juros e o ndice de atualizao monetria pactuado na operao, porm, o valor nominal s ser conhecido no dia do resgate 23
Taxa de juros realcorresponde ao juro recebido descontado a inflao no perodo. calculada atravs da seguinte frmula:
Sendo:Ir a taxa de juros reaisIj a taxa de juros da operaoIi a taxa de inflao
Taxas de juros reais
Taxa de juros realExemplo (perodo ano): Capital = $ 1.000 Juros = 17,6% e Inflao = 5%
1 + 0,1761,1761 + 0,051,05ir ==-1-1=1,12 - 1=0,12
FV1.176PV1.0500,12 (12%)i =-1 =-1 = =1,12 - 1
Taxas de juros reais
Sries de Pagamentos / RecebimentosSries uniformes antecipadas, postecipadas e diferidas; Perpetuidades; Sries no uniformes26
Srie uniforme de pagamentos
(1 + i)n - 1PMTe =PV(1 + i)n i
3
Srie de pagamentos postecipadaPMT0124 . . . .nPerodos
Srie uniforme de pagamentos
(1 + i)n i(1 + i)n - 1(1 + i)PMTb =PV
3
Srie de pagamentos antecipadaPMT012 . . . .nPerodos
Frmulas para clculo do valor de PMT em sries postecipadas (end) e sries antecipadas (begin):
(1 + i)n i(1 + i)n - 1(1 + i)n - 1(1 + i)PMTb =PMTe =PV(1 + i)n iPV
Frmulas para clculos PMT
FVi(1 + i)n - 1FV =PMT(1 + i)n - 1iPMT =PMT =PV(1 + i)n i(1 + i)n - 1PV =PMT(1 + i)n - 1(1 + i)n i
30Frmulas para clculos (modo end)
Anuidades e perpetuidadesUma anuidade consiste numa srie uniforme de pagamentos (ou recebimentos) iguais e sucessivos feitos ao final de n perodos de tempoQuando uma anuidade no tem prazo para terminar, ou seja, o fluxo infinito, ento chamada de perpetuidade. Nestes casos, o PV no pode ser calculado da mesma forma que as sries finitas31
Anuidades e perpetuidades
Em ambiente perpetuidade, o PV calculado da seguinte forma:
PV = PMT i
32
Fluxos no uniformesOcorre quando a srie de pagamentos (ou recebimentos) no constante. Nestes casos, necessrio calcular o valor presente (PV) de cada prestao individualmente, e somando-se os resultados encontramos o valor presente (PV) do fluxo
33
Exemplo de fluxo no uniformeCalculando o PV de um fluxo no uniforme (i = 10%)
T0 T1 T2 T3 T4
100170200140
34
Exemplo de fluxo no uniformeCalculando o PV de um fluxo no uniforme (i = 10%)
T0 T1 T2 T3 T4
100170200140
VP (T1) = 90,9090VP (T2) = 140,4959VP (T3) = 150,2630VP (T4) = 95,6219
VP total = 477,2898
35
35
Sistemas de AmortizaoSistema Price, SAC e SAA36
Sistemas de amortizaoO processo de quitao de um emprstimo consiste em efetuar pagamentos peridicos (prestaes) de modo a liquidar o saldo devedor.Tais prestaes so formadas por duas parcelas: a amortizao (A) e os juros (J), correspondentes aos saldos do emprstimos ainda no amortizados. Prestao = amortizao + juros 37
Sistemas de amortizaoAmortizao o pagamento do capital, efetuado por meio de parcelas pagas periodicamente. a devoluo do capital emprestado.Os juros so calculados sobre o saldo devedor do perodo anterior.38
Sistemas de amortizaoOs sistemas principais (e mais utilizados) de amortizao de emprstimos so:
Sistema de amortizao francs (Price)
Sistema de amortizao constante (SAC)
Sistema de amortizao americano (SAA)39
Sistema PriceO valor principal acrescidos dos juros so pagos em prestaes iguais e consecutivas (sries uniformes de pagamento).Como os juros incidem sobre o saldo devedor, que por sua vez decresce medida que as prestaes so quitadas, eles sero decrescentes e, portanto, as amortizaes do principal sero crescentes.40
Exemplo de sistema PriceUm emprstimo de $ 100.000 (PV) ser pago em 5 (n = 5) prestaes (PMT) mensais postecipadas, com uma taxa de juros de 5% a.m. (i = 5). O valor da parcela (PMT) ser ento de:PMT = $ 23.097,48
41
Planilha de amortizao Price
MsPrestaoJurosAmortizaoS. devedor(n)(PMT)(Jn = SDn-1 x i)(An = PMTn - Jn)(SDn = SDn-1 - Na)00,000,000,00100.000,00123.097,485.000,0018.097,4881.902,52223.097,484.095,1319.002,3562.900,17323.097,483.145,0119.952,4742.947,69423.097,482.147,3820.950,1021.997,60523.097,481.099,8821.997,600,00115.487,4015.487,40100.000,00
42
Pagando, neste perodo, os juros devidosPlanilha de amortizao Price com carncia
MsPrestaoJurosAmortizaoS. devedor(n)(PMT)(Jn = SDn-1 x i)(An = PMTn - Jn)(SDn = SDn-1 - Na)00,000,000,00100.000,0015.000,005.000,000,00100.000,0025.000,005.000,000,00100.000,00323.097,485.000,0018.097,4881.902,52423.097,484.095,1319.002,3562.900,17523.097,483.145,0119.952,4742.947,69623.097,482.147,3820.950,1021.997,60723.097,481.099,8821.997,600,00125.487,4025.487,40100.000,00
No pagando, neste perodo, os juros devidosPlanilha de amortizao Price com carncia
MsPrestaoJurosAmortizaoS. devedor(n)(PMT)(Jn = SDn-1 x i)(An = PMTn - Jn)(SDn = SDn-1 - Na)00,000,00100.000,0010,005.000,000,00105.000,0020,005.250,00110.250,00325.464,975.512,5019.952,4790.297,53425.464,974.514,8820.950,1069.347,43525.464,973.467,3721.997,6047.349,83625.464,972.367,4923.097,4824.252,35725.464,971.212,6224.252,350,00127.324,8627.324,86100.000,00
0,000,00
Sistema SACNeste sistema, as prestaes so decrescentes, as amortizaes constantes e os juros decrescentesCalcula-se a amortizao dividindo o principal (PV) pelo nmero de perodos de pagamento (n)Os juros so calculados sobre o saldo devedor do perodo anterior, como na Price45
Exemplo de sistema SACUm emprstimo de $ 100.000 (PV) ser pago em 5 (n = 5) prestaes (PMT) mensais poste-cipadas, com uma taxa de juros de 5% a.m. (i = 5). O valor da 1a parcela (PMT) ser ento de: PMT1 = (100.000 / 5) +(100.000 x 0,05)PMT1 = 20.000 + 5.000PMT1 = $ 25.00046
Planilha de amortizao SAC
MsPrestaoJurosAmortizaoS. devedor(n)(PMT)(Jn = SDn-1 x i)(An = PMTn - Jn)(SDn = SDn-1 - Na)00,000,000,00100.000,00125.000,005.000,0020.000,0080.000,00224.000,004.000,0020.000,0060.000,00323.000,003.000,0020.000,0040.000,00422.000,002.000,0020.000,0020.000,00521.000,001.000,0020.000,000,00115.000,0015.000,00100.000,00
47
Sistema Americano SAANeste sistema, a amortizao do capital ocorre na ltima parcela, com ou sem pagamentos peridicos de juros (cupom).
Os juros so calculados sobre o saldo anterior
48
Pagando periodicamente os jurosPlanilha de amortizao SAA
MsPrestaoJurosAmortizaoS. devedor(n)(PMT)(Jn = SDn-1 x i)(An = PMTn - Jn)(SDn = SDn-1 - Na)00,000,000,00100.000,0015.000,005.000,000,00100.000,0025.000,005.000,000,00100.000,0035.000,005.000,000,00100.000,0045.000,005.000,000,00100.000,005105.000,005.000,00100.000,000,00125.000,0025.000,00100.000,00
Deciso de investimentoAnlise de Fluxos de Caixa50
Anlise de fluxos de caixaSo dois os mtodos mais importantes de avaliao de fluxo de caixa no uniformes:Mtodo de valor presente lquido VPLMtodo da taxa interna de retorno TIR
Para a avaliao, necessria estabelecer uma taxa de juros para descapitalizar os fluxos de caixa, chamada de taxa mnima de atratividade (TMA) ou custo de oportunidade
Taxa Mnima de Atratividade
(+) Custo de oportunidade Selic, no mnimo(+) Prmio associado ao risco pelo tipo do negcio(+) Prmio associado a durao do investimento
(=) Expectativas dos Investidores
52
Valor Presente de um AtivoAvaliao de ativos pelo mtodoFLUXO DE CAIXA DESCONTADO
53
Exemplo
Devemos projetar os resultados futuros deste investimento pelos prximo 3 anos Avaliando um projeto que tenha uma vida economicamente til de 3 anos54
Projetar os Resultados Futuros
T0 T1 T2 T3 VPFC1FC2FC355
55
Descontar os Fluxos de Caixa
T0 T1 T2 T3 VPFC1FC2FC3
56
56
Somatrio dos VPs dos FCs projetados
VP = + +Valor do Projeto hoje57
57
ExemploUm projeto paga os seguintes fluxos de caixa para os prximos 3 anos:
T1 T2 T311.000 12.10013.310
Considere a taxa de juros de 10% a.a.58
Exemplo Representando de forma integral os fluxos de caixa do projeto: T0 T1 T2 T3 11.00012.10013.31010.00010.00010.00030.000
59
Valor Presente Liquido VPLMEDE $$$$$$Queremos saber se o projeto custa mais do que vale ou vale mais do que custa.VPL positivo o LUCRO. VPL negativo o PREJUZO. VPL = Valor (t0) Custos (t0) VPL = VP I060
Anlise do VPL:
Deciso atravs do VPL
Exemplo Projeto A Um projeto precisa de R$ 27.000,00 e gera os seguintes fluxos de caixa para os prximos 3 anos:
1 Ano:11.0002 Ano:12.1003 Ano:13.31062
Exemplo Projeto ARepresentando de forma integral os fluxos de caixa do Projeto B:
T0 T1 T2 T3-27.00011.00012.10013.310
Considere Taxa de desconto de 10%63
Exemplo Projeto ASoluo:Taxa= 10%VP = 30.000I0 = 27.000VPL = VP I0 VPL = 30.000 27.000 = 3.000
Taxa de desconto de 10%
64
Exemplo Projeto ALanamentos na Calculadora HP12C
27.000 CHSgCfo11.000gCfj12.100gCfj13.310gCfj10 ifNPV = 3.000,00
65
Taxa Interna de Retorno TIRTambm chamada de taxa interna de jurosMEDE Taxa %Queremos saber se um investimento apresenta taxas de retorno maiores ou menores que a taxa de seu custo de capitalA TIR deve ser maior que a TMA do projeto para ser vivel a taxa que Zera o VPL66
Anlise da TIR ou TIJ:Deciso atravs da TIR ou TIJ
Taxa Interna de Retorno TIR
Projeto X
T0 T1 (1.000)1.200
TIR = ?
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Taxa Interna de Retorno TIR
Projeto X
T0 T1 (1.000)1.200
TIR = 20% a.a.
69
Taxa Interna de Retorno TIR
Projeto X na Calculadora
1.000 chsgCfo 1.200gCfj fIRR = 20%70
Exemplo Projeto ASoluo:Taxa= 10%VP = 30.000Inv.= 27.000VPL = 3.000TIR = 16,00% a.a.71
FimObrigado e sucesso a todos
72