1

Síkidomok leírása – kicsit másként

Az idők során több meglepőnek ható síkidomforma - leírással találkoztunk. Itt megmuta -

tunk ezekből néhányat.

Szabályos háromszög – 1. ábra

1. ábra

Oldalhossza: a. Oldal - egyeneseinek egyenletei az itteni felvétel esetén:

𝑥 = 0 → 𝑥 − 𝑎 = 0 ; ( 1 / 1 )

𝑦 = ±𝑥+2∙𝑎

3 → 𝑦2 =

𝑥+2∙𝑎 2

3 → 𝑥 + 2 ∙ 𝑎 2 − 3 ∙ 𝑦2 = 0 ; ( 1 / 2 )

Ezekkel a határvonal összevont egyenlete:

𝑥 − 𝑎 ∙ 𝑥 + 2 ∙ 𝑎 2 − 3 ∙ 𝑦2 = 0 . ( 1 )

Az ( 1 ) kifejezéssel az [ 1 ] műben találkoztunk.

Az 1. ábra készítésénél még alkalmaztuk az alábbiakat is:

𝑎 = 1 ; − 3 < 𝑦 < 3 , −2 < 𝑥 . ( 1 / 3 )

( Azért nem a ≤ jelet írtuk, mert ezt a Graph adott helyén nem tudjuk beírni. )

2

Közelítőleg szabályos háromszög – 2. ábra

2. ábra

Kontúrjának paraméteres egyenletrendszere – [ 2 ] – :

𝑥 𝑡 = 𝑅 ∙ cos 𝑡 +1

3∙ cos 2 ∙ 𝑡 , 𝑦 𝑡 = −𝑅 ∙ sin 𝑡 −

1

3∙ sin 2 ∙ 𝑡 . ( 2 )

A 2. ábra R = 1 felvételével készült.

Négyzet – 3. ábra

3. ábra

3

Oldalhossza: a. Oldal - egyeneseinek egyenletei:

𝑥 = ±𝑎 → 𝑥2 = 𝑎2 → 𝑥2 − 𝑎2 = 0 ; ( 3 / 1 )

𝑦 = ±𝑎 → 𝑦2 = 𝑎2 → 𝑦2 − 𝑎2 = 0 ; ( 3 / 2 )

a kontúr összevont egyenlete ezekkel:

𝑥2 − 𝑎2 ∙ 𝑦2 − 𝑎2 = 0 . ( 3 )

A ( 3 ) szerinti implicit függvényt nem láttuk el korlátozásokkal, hogy egyszerre

megrajzolható legyen. ( A kilógó részeket levágjuk. ) A 3. ábra a = 1 választással készült.

Közelítőleg négyzet – 4. ábra

4. ábra

Kontúrjának paraméteres egyenletrendszere – [ 2 ] – :

𝑥 𝑡 = 𝑅 ∙ cos 𝑡 −1

6∙ cos 3 ∙ 𝑡 , 𝑦 𝑡 = −𝑅 ∙ sin 𝑡 +

1

6∙ sin 3 ∙ 𝑡 . ( 4 )

A 4. ábra R = 1 felvételével készült.

Megjegyzések:

M1. Úgy tűnik, a rugalmasságtani munkák élen járnak a síkidomok alakjának pontos vagy

közelítő matematikai leírásában. Ezt jól tükrözi forrásjegyzékünk is. Itt nem vettük elő

4

korábbi, a szuperellipszissel és rokonaival foglalkozó írásainkban található, köztük a

négyzet pontos, korlátozásmentes leírására alkalmas képleteinket. Ennek lelőhelye pl.:

A rektellipszis csavarmozgása során keletkező felületről című korábbi írásunk.

M2. A címben szereplő „kicsit másként” nyilván nem teljesen igaz: az itt megmutatott

közelítő síkidom - leírások egyáltalán nem egyszerűek: azokat emészteni kell. Aztán az

ember kíváncsi lehet némely egyenlet eredetére is; ekkor komoly nehézségekkel talál -

kozhat, melyek esetleg hozzáolvasást, tanulást igényelhetnek. Ez lehet a helyzet a [ 2 ] -

ből vett képletekkel is, melyek komplex függvénytani eredetűek. Ha valakit nem érdekel,

honnan és hogyan jöttek ezek, akkor csak átveszi és alkalmazza. Már az is valami.

M3. Az érdeklődő Olvasó figyelmébe ajánljuk az ún. „szuperformula” alkalmazásával

előállítható alakzatokat is – [ 3 ]. Az egyik képlet - változat az 5. ábrán látható.

5. ábra – forrása:[ 4 ]

Ez egy r = r ( θ ) polárkoordinátás kapcsolat, benne ( a, b, p, q, m, n ) paraméterek.

M4. Most tekintsük a 6. ábrát!

6. ábra – forrása: [ 2 ]

Itt azt látjuk, hogy a

𝜁 𝜗 = 𝜌 ∙ 𝑒𝑖∙𝜗 ( k1 )

komplex változó

5

𝜔 𝜁 = 𝑅 ∙ 1

𝜁−

1

6∙ 𝜁3 ( k2 )

komplex függvényéből indulnak ki. Most ( k1 ) és ( k2 ) - vel:

𝜔 𝜁 = 𝑅 ∙ 1

𝜌∙𝑒 𝑖∙𝜗−

1

6∙ 𝜌3 ∙ 𝑒3∙𝑖∙𝜗 ; ( k3 )

majd a

𝜌 = 1 ( k4 )

választással élve, ( k3 ) és ( k4 ) - gyel:

𝜔 𝜁 = 𝑅 ∙ 𝑒−𝑖∙𝜗 −1

6∙ 𝑒3∙𝑖∙𝜗 ; ( k5 )

ezután az Euler - formula alkalmazásával:

𝜔 𝜁 = 𝑅 ∙ cos 𝜗 − 𝑖 ∙ sin 𝜗 −1

6∙ cos 3𝜗 + 𝑖 ∙ sin 3𝜗 =

= 𝑅 ∙ cos 𝜗 −1

6∙ cos 3𝜗 − 𝑖 ∙ 𝑅 ∙ sin 𝜗 +

1

6∙ sin 3𝜗 = 𝑥 + 𝑖 ∙ 𝑦 , innen:

𝑥 𝜗 = 𝑅 ∙ cos 𝜗 −1

6∙ cos 3𝜗 , 𝑦 𝜗 = −𝑅 ∙ sin 𝜗 +

1

6∙ sin 3𝜗 ( k6 )

adódik, egyezésben ( 4 ) - gyel.

Látjuk, hogy itt a ( k2 ) ( közelítő ) komplex függvény kiválasztásával kezdődik a feladat.

A 6. ábrán adott egyéb információk megértését segíti a 7. ábra.

7. ábra – forrása: [ 5 ]

Például, hogy

~ 𝑅 = 𝑐 =3

5∙ 𝑎 ; valamint, hogy

~ az a méretet hogyan kell értelmezni; továbbá, hogy

~ a közelítő négyzet sarkában a lekerekítési sugárra: 𝑟 =3

50∙ 𝑎 .

6

Érdemes tudni róla, hogy a 7. ábrán is említett irodalmi forrás éppen a [ 2 ] mű.

Most tekintsük a 8. ábrát!

8. ábra – forrása: [ 2 ]

A szóban forgó függvény a 8. ábra szerint:

𝜔 𝜁 = 𝑅 ∙ 1

𝜁−

1

6∙ 𝜁3 +

1

56∙ 𝜁7 +

1

176∙ 𝜁11 . ( k7 )

Most az előzőhöz hasonlóan eljárva:

𝜔 𝜁 = 𝑅 ∙ 1

𝜁−

1

6∙ 𝜁3 +

1

56∙ 𝜁7 +

1

176∙ 𝜁11 =

= 𝑅 ∙ 𝑒−𝑖∙𝜗 −1

6∙ 𝑒3∙𝑖∙𝜗 +

1

56∙ 𝑒7∙𝑖∙𝜗 +

1

176∙ 𝑒11∙𝑖∙𝜗 =

= 𝑅 ∙ [ cos 𝜗 − 𝑖 ∙ sin 𝜗 −1

6∙ cos 3𝜗 + 𝑖 ∙ sin 3𝜗 +

+1

56∙ cos7 𝜗 + 𝑖 ∙ sin 7𝜗 +

1

176∙ cos11 𝜗 + 𝑖 ∙ sin 11𝜗 ] ,

𝜔 𝜁 = 𝑅 ∙ [ cos 𝜗 −1

6∙ cos 3𝜗 +

1

56∙ cos7 𝜗 +

1

176∙ cos11 𝜗 +

+𝑖 ∙ − sin 𝜗 −1

6∙ sin 3𝜗 +

1

56∙ sin 7𝜗 +

1

176∙ sin 11𝜗 ] = 𝑥 + 𝑖 ∙ 𝑦 , ( k8 )

innen:

𝑥 𝜗 = 𝑅 ∙ cos 𝜗 −1

6∙ cos 3𝜗 +

1

56∙ cos7 𝜗 +

1

176∙ cos11 𝜗 , ( k9 / 1 )

𝑦 𝜗 = −𝑅 ∙ sin 𝜗 +1

6∙ sin 3𝜗 −

1

56∙ sin 7𝜗 −

1

176∙ sin 11𝜗 . ( k9 / 2 )

Látjuk, az első két tagig bezárólag megegyezik ( k6 ) és ( k9 ).

A ( k9 ) egyenletrendszer grafikonját együtt ábrázoltuk a ( k6 ) - éval a 9. ábrán, R = 1 - re.

Észrevehető, hogy nincsen meg az a radikális javulás, mint amit a 8. ábra mutat.

Ennek szövegéből azt vettük ki, hogy egy

négytagú ( közelítő ) komplex függvény

alkalmazásával sokkal egyenesebb négy -

zet rajzolható meg, melynek sarkában a

lekerekítési sugárra: 𝑟 = 0,014 𝑎 . né

7

9. ábra

Ehhez, vagyis hogy a négyzet oldalai ne legyenek ( ennyire ) hullámosak, feltehetőleg még

sokkal több tagú kifejtés kellene. Esetleg maradhatunk a 4. ábra két tagú kifejtésénél, ha

zavaró a több kisebb hullám.

Viszont tényleg jobban kiegyenesednek a négyzet oldalai, ha ( k7 ) helyett a

𝜔 𝜁 = 𝑅 ∙ 1

𝜁+

1

6∙ 𝜁3 +

1

56∙ 𝜁7 +

1

176∙ 𝜁11 ( k10 )

közelítő függvénnyel dolgozunk – [ 2 ].

Ekkor a görbe paraméteres egyenletrendszere:

𝑥 𝜗 = 𝑅 ∙ cos 𝜗 +1

6∙ cos 3𝜗 +

1

56∙ cos7 𝜗 +

1

176∙ cos11 𝜗 , ( k11 / 1 )

𝑦 𝜗 = 𝑅 ∙ −sin 𝜗 +1

6∙ sin 3𝜗 +

1

56∙ sin 7𝜗 +

1

176∙ sin 11𝜗 . ( k11 / 2 )

A ( k11 ) - nek megfelelő grafikont a 10. ábra mutatja R = 1 - re.

Látjuk, hogy ugyanakkor a négyzet 45º - kal elfordult, az előzőhöz képest.

8

10. ábra

M5. Most nézzük meg a szuperformula alkalmazását is, a közel szabályos három - és

négyszögre! Ehhez tekintsük a 11. ábrát is!

A „háromszög” polárkoordinátás egyenlete a 4. ábra jelöléseivel:

𝑟 𝜃 = cos 3

4∙ 𝜃

10+ sin

3

4∙ 𝜃

10

−2/9

, ( p1 / 1 )

azaz a 4. ábrán alkalmazott paraméter - jelölésekkel:

𝑎 = 𝑏 = 1 ; 𝑚 = 3 ; 𝑝 = 𝑞 = 10 ; 𝑛 =9

2 . ( p1 / 2 )

A „négyszög” esetére ugyanezek:

𝑟 𝜃 = cos 4

4∙ 𝜃

15+ sin

4

4∙ 𝜃

15

−1/12

, ( p2 / 1 )

𝑎 = 𝑏 = 1 ; 𝑚 = 4 ; 𝑝 = 𝑞 = 15 ; 𝑛 = 12 . ( p2 / 2 )

9

11. ábra

Ezek a „játékok” persze csak számítógépes segítséggel működnek. Nem véletlen, hogy az

újabb – számítógépes – időkben ilyen komoly fellendülés tapasztalható síkidomok és felü -

letek leírása esetében is. Ugyanis „gyalogosan” ezek az ábrázolások reménytelen feladatok

lennének.

Természetesen más paraméterekkel a 11. ábra közelítő négyzete sokkal jobban is kinézhet.

Javasoljuk az érdeklődő Olvasónak, hogy játszadozzon a mutatott képletekkel, különböző

paraméterek alkalmazásával.

M6. E dolgozat írása közben az interneten nézelődve találkoztunk a [ 6 ] művel. Ebben a

botanikus szerző kifejti elgondolásait – pl. a saját nevét viselő transzformációját is – a két -

és háromdimenziós növényi alakzatok matematikai leírását illetően. Úgy tűnik, lényeges

előrelépés történt itt is. Tanulmányozása erősen ajánlott.

Ez alapján ábrázoltuk a csúcsára állított pontos négyzetet is – 12. ábra.

10

12. ábra

Polárkoordinátás egyenlete:

𝑟 𝑡 =1

cos 𝑡 + sin 𝑡 , 0° ≤ 𝑡 ≤ 360°. ( p3 )

Ebből könnyű egyéb elforgatott négyzeteket rajzolni, t t + t0 szerint – 13. ábra.

13. ábra

11

A négyzetből kiindulva téglalap is készíthető – 14. ábra.

14. ábra

Egyenleteik az ábra jobb felső sarkában láthatók; nagyítás után olvashatók is.

M7. Az eddigieket áttekintve megállapítható, hogy a Gielis - féle szuperformula meglehe -

tősen sokat tud; nem kell vért izzadni ahhoz, hogy akár csak egy szimmetrikus síkidomot

is rajzoljunk, egyetlen képlettel. Eddig ez a legígéretesebb „találmány”, ahogyan látjuk.

A 15. ábra „útkereszteződésben fekvő heverő” - je is ezzel készült.

15. ábra

12

Egyenletei:

𝑟𝑘é𝑘 𝑡 =1

cos 𝑡 + sin 𝑡 , 𝑟𝑝𝑖𝑟𝑜𝑠 𝑡 =

1

cos 𝑡 − sin 𝑡 . ( p4 )

A „szuperes” szóhasználattal élve a kék „görbe” egy elfajult szuperellipszis, a piros pedig

egy elfajult szuperhiperbola.

Az említett Gielis - féle szuperformula általánosabb alakja [ 6 ] alapján – v. ö.: 5. ábra! – :

𝜌 𝜗; 𝐴, 𝐵, 𝑚1 , 𝑚2, 𝑛1 , 𝑛2, 𝑛3 = cos

𝑚 14

∙ 𝜗

𝐴

𝑛2

± sin

𝑚 24

∙ 𝜗

𝐵

𝑛3

− 1

𝑛1

. ( p5 )

M8. Az interneten sok Gielis - görbe ( Gielis curve ) lelőhelyet találtunk. Ilyen pl. [ 7 ] is.

Ezt azért emeltük ki, mert itt nem összekeverten adták meg egyes kontúrvonalak előállítási

paramétereit – 16. ábra. Több más helyen erre nem ügyeltek ennyire.

16. / 1 ábra – forrása: [ 7 ]

Az alkalmazott képlet - alak itt: 16 / 2. ábra – forrása: [ 7 ]

A 16. ábra első két görbéjéhez nagyon hasonlító görbéket mutat a 11. ábra is.

[ 7 ] - ben a Gielis - görbe olyan további általánosításairól is olvashatunk, mint a szuper

rózsa és a szuper spirál.

M9. Úgy látjuk, J. Gielis levédette képleteit – [ 8 ]. Ez új nekünk.

Ebben további általánosításokkal is találkozhatunk. Innen vettük a 17. ábrát is.

Ezen látható kiindulási síkidomaink polárkoordinátás egyenlete, illetve annak jobb oldala.

M10. Úgy tűnik, Gielis képletei nagyon népszerűek; feltehetőleg sokan alkalmazzák is

azokat. Némelyiküket per is fenyegetheti, a levédettség miatt is. Nem szép dolog. Mi nem

húzunk belőle anyagi hasznot. Ugyanakkor nem tiltjuk meg senkinek képleteink használa -

tát, illetve nem fenyegetjük peres eljárással a sikeres képlethasználókat. Nálunk ez van.

13

17. ábra – forrása: [ 8 ]

Források:

[ 1 ] – Hans Georg Hahn: Elastizitätstheorie

B. G. Teubner, Stuttgart, 1985.

[ 2 ] – G. N. Szavin: Raszpregyelenyije naprjazsenyij okolo otversztyij

„Naukova Dumka”, Kijev, 1968.

[ 3 ] – https://en.wikipedia.org/wiki/Superformula

[ 4 ] – http://matheminutes.blogspot.com/2012/03/superformula-challenge.html

[ 5 ] – V. G. Rekach: Manual of the Theory of Elasticity

MIR, Moscow, 1979.

[ 6 ] – Johan Gielis: The Geometrical Beauty of Plants

Atlantis Press, University of Antwerp, 2017.

[ 7 ] – http://www.2dcurves.com/power/powergc.html

[ 8 ] –

https://patentimages.storage.googleapis.com/d5/b8/77/2248e3cb99537c/EP1177529B1.pdf

14

Összeállította: Galgóczi Gyula

ny. mérnöktanár

Sződliget, 2020. 03. 23.