Sistemas de Ecuaciones No Lineales
Transcript of Sistemas de Ecuaciones No Lineales
Matemática Superior aplicada
Sistemas de Ecuaciones No Lineales
Profesor: Dr. Alejandro S. M. Santa CruzJTP: Dr. Juan Ignacio ManassaldiAux. 1ra: Ing. Amalia Rueda
Extraído del libro “Problemas de Ingeniería Química” - Ocon Tojo
Capítulo 1 – Transporte de fluidos (conducciones ramificadas) Pag. 29
Ejemplo
Una instalación petrolífera descarga petróleo en dos depósitosA y B situados a 25m y 10m de altura sobre un tercer depósitoalmacén C. De los depósitos A y B parten sendas tuberías de30cm de diámetro que confluyen en el punto D, conectándoseallí con una tubería de diámetro 50cm que va hasta el depositoC. La longitud de las tuberías que parten de los depósitos A y Bes de 800m y la que va desde la confluencia de la tuberíasanteriores hasta C mide 200m. Si en las condiciones detransporte la viscosidad del petróleo es 7.10-4 Kg/m.seg, y ladensidad 870 kg/m3, determínese el caudal horario depetróleo descargado en C.
A
B
D
C
10m
25m
µ = 7.10-4 Kg/m.segρ= 870 Kg/m3
PA = PB = PC = 1 atm
Ø = 50cmL = 200m
Ejemplo: Diagrama
2 2
2 1 2 12 1 0
2.f
P P u uZ Z h
g g
− −+ + − + =
2 12 1 0f
P PZ Z h
g
−+ − + =
Balance de Energía Mecánica
Ejemplo: Balance de Energía
Ecuaciones para tuberías rectas:
No hay trabajo ni cambios de velocidad dentro de cada cañería
1 2
2 12 1 0f
P PZ Z h
g
−+ − + =
Relaciona la caída de presión, el cambio de altura y la perdida de carga por fricción de un fluido no
compresible en cada tramo de cañería.
Ejemplo: Balance de Energía
1 2
Balance de Energía Mecánica
2 12 1 0f
P PZ Z h
g
−+ − + =
Ejemplo: Balance de Energía
Ecuaciones para tuberías rectas:
1 2
2 12 1 0f
P PZ Z h
g g − + − + =
2 12 1 0f
P PZ Z h
g g
+ − + + =
g
PZh += Altura estática
Ejemplo: Balance de Energía
Ecuaciones para tuberías rectas:
1 2
fhhh −=− 12
2 12 1 0f
P PZ Z h
g g
+ − + + =
g
u
D
Lfh f
.2
2
=
Cálculo de perdidas por fricción
Permite el cálculo de la perdida de carga por fricción hf
cuando se conoce el valor de f (factor de fricción).
Ejemplo: Perdida de carga por fricción
10
1 2.512
Re.Log
f f
= −
Cálculo para el factor de fricción
En general, f se obtiene mediante gráficos (Moody) porque las buenas correlaciones son no-lineales y requieren métodos iterativos.
Esta ecuación es para tubos lisos.
Ejemplo: Factor de fricción
..Re
Du=
Ejemplo: Resumen
g
u
D
Lfh f
.2
2
= Cálculo de perdidas por fricción
Cálculo para el factor de fricción
..Re
Du= Número de Reynolds
Balance de Energía Mecánicafhhh −=− 12
10
1 2.512
Re.Log
f f
= −
Ejemplo: Resumen
Balance de Energía Mecánica
g
u
D
Lfh f
.2
2
= Cálculo de perdidas por fricción
Cálculo para el factor de fricción
..Re
Du= Número de Reynolds
fhhh −=− 12
10
1 2.512
Re.Log
f f
= −
Ejemplo: Resumen
g
u
D
Lfhh
2
2
12 −=−
10
1 2.512
. .Log
f u D f
= −
1x
f=Redefinimos:
2
1f
x→ =
2
2 1 2
1
2
L uh h
x D g− = − 10
2.512
. .x Log x
u D
= −
Ejemplo: Ecuaciones finales
Cada tramo debe verificar estas ecuaciones
2
2 1 2
1
2
L uh h
x D g− = − 10
2.512
. .x Log x
u D
= −
1 2
Ejemplo: Tramo A-D
32
2
8708.9
m
N101325
25
m
kg
seg
mmhA +=
mhA 884.36=
10
2.512AD AD
AD AD
x Log xu D
= −
2
2
1
2
AD ADD A
AD AD
L uh h
x D g− = −
Ejemplo: Tramo B-D
32
2
8708.9
m
N101325
10
m
kg
seg
mmhB +=
mhB 884.21=
10
2.512BD BD
BD BD
x Log xu D
= −
2
2
1
2
BD BDD B
BD BD
L uh h
x D g− = −
Ejemplo: Tramo D-C
32
2
8708.9
m
N101325
0
m
kg
seg
mmhC +=
mhc 884.11=
10
2.512DC DC
DC DC
x Log xu D
= −
2
2
1
2
DC DCC D
DC DC
L uh h
x D g− = −
Ejemplo: Resumen
10
2.512AD AD
AD AD
x Log xu D
= −
2
2
1
2
AD ADD A
AD AD
L uh h
x D g− = −
10
2.512BD BD
BD BD
x Log xu D
= −
2
2
1
2
BD BDD B
BD BD
L uh h
x D g− = −
10
2.512DC DC
DC DC
x Log xu D
= −
2
2
1
2
DC DCC D
DC DC
L uh h
x D g− = −
¿Incógnitas?
Ejemplo: Resumen
10
2.512AD AD
A ADD
x xu
LogD
= −
2
2
1
2
ADD
A D
ADA
D A
Lh
D g
uh
x− = −
10
2.512BD
BD BD
BDxu
xLogD
= −
2
2
1
2
BDD
B D
BDB
D B
Lh
D g
uh
x− = −
10
2.512DC DC
D DCC
x xu
LogD
= −
2
2
1
2
DCC
DC
DCD
DC
Lh
D
u
x gh− = −
Ejemplo: Ecuaciones e Incógnitas
Nro. de ecuaciones: 6
Nro. de incógnitas: 7
¿Podemos Resolverlo?
10
2.512AD AD
A ADD
x xu
LogD
= −
2
2
1
2
ADD
A D
ADA
D A
Lh
D g
uh
x− = −
10
2.512BD
BD BD
BDxu
xLogD
= −
2
2
1
2
BDD
B D
BDB
D B
Lh
D g
uh
x− = −
10
2.512DC DC
D DCC
x xu
LogD
= −
2
2
1
2
DCC
DC
DCD
DC
Lh
D
u
x gh− = −
D DC DC AD AD BD BDh x u x u x u
NO
El flujo de masa que ingresa a D es igual que el que lo abandona
..Aum =
DCBDAD mmm =+
...... DCDCBDBDADAD AuAuAu =+
Ejemplo: Balance de materia en D
DCDCBDBDADAD AuAuAu ... =+
2 2 2
4 4 4AD AD BD BD DC DCu D u D u D
+ =
2 2
2 2
AD BDAD BD DC
DC DC
D Du u u
D D+ =
Ejemplo: Ecuaciones e Incógnitas
Nro. de ecuaciones: 6
Nro. de incógnitas: 6
¿Podemos Resolverlo?
10
2.512AD AD
A ADD
x xu
LogD
= −
2
2
1
2
ADD
A D
ADA
D A
Lh
D g
uh
x− = −
10
2.512BD
BD BD
BDxu
xLogD
= −
2
2
1
2
BDD
B D
BDB
D B
Lh
D g
uh
x− = −
D DC AD AD BD BDh x x u x u
SI
2 2
2 2
1
10
2.512 AD BD
DC DC
AD BDDC
C
DC
D
D D
D Du ux Log
D
x
−
+
= −
22 2
2 2 2
1
2
DC ADD AD B
D
D
D
BDC
D C DCC C
L D Dh h u u
x D g D D
− = − +
Sistema de ecuaciones y vector de incógnitas
10
2.512 0AD AD
AD AD
x Log xu D
+ =
2
2
10
2
AD ADD A
AD AD
L uh h
x D g− + =
10
2.512 0BD BD
BD BD
x Log xu D
+ =
2
2
10
2
BD BDD B
BD BD
L uh h
x D g− + =
22 2
2 2 2
10
2
DC AD BDC D AD BD
DC DC DC DC
L D Dh h u u
x D g D D
− + + =
2 2
2 2
1
10
2.512 0AD BD
AD BD
DC DC
DCDC
DC
D Du u
D D
xx Log
D
−
+
+ =
Sistema de ecuaciones y vector de incógnitas
2 2
2 2
2
2
2
2
22 2
2 2 2
10
10
1
10
1
2
1
2
1
2
2.512
2.512
22 AD BD
AD BD
DC DC
AD ADD A
AD AD
BD BDD B
BD BD
DC AD BDC D AD BD
DC DC DC DC
AD AD
AD AD
BD BD
BD BD
DC
D Du u
D D
L uh h
x D g
L uh h
x D g
L D Dh h u u
x D g D Df
x Log xu D
x Log xu D
x Log
−
+
− +
− +
− + +
+
+
+
.51 DC
DC
x
D
( ) 0f x→ =
Aproximaciones Sucesivas
2 2
2 2
2
2
2
2
22 2
2 2 2
10
10
1
10
1
2
1
2
1
2
2.512
2.512
22 AD BD
AD BD
DC DC
AD ADD A
AD AD
BD BDD B
BD BD
DC AD BDC D AD BD
DC DC DC DC
AD AD
AD AD
BD BD
BD BD
DC
D Du u
D D
L uh h
x D g
L uh h
x D g
L D Dh h u u
x D g D Df
x Log xu D
x Log xu D
x Log
−
+
− +
− +
− + +
+
+
+
.51 DC
DC
x
D
AD
BD
D
AD
BD
DC
u
u
hx
x
x
x
=
Aproximaciones Sucesivas
( )( )
( )( )
2 2
2 2
2
2
22 2
2 2 2
10
10
1
10
2
2
1
2
2.512
2.512
2.512 AD BD
AD BD
DC DC
A D AD AD AD
B D BD BD BD
DC AD BDC AD BD
DC DC DC DC
AD
AD AD
BD
BD BD
DC
DC
D Du u
D D
h h x D g L
h h x D g L
L D Dh u u
x D g D D
FLog x
u D
Log xu D
xLog
D
−
+
−
−
+ +
−
−
−
AD
BD
D
AD
BD
DC
u
u
hx
x
x
x
=
Aproximaciones Sucesivas
( )( )
( )( )
2 2
2 2
2
2
22 2
2 2 2
10
10
1
10
2
2
1
2
2.512
2.512
2.512 AD BD
AD BD
DC DC
A D AD AD AD
B D BD BD BD
DC AD BDC AD BD
DC DC DC DC
AD
AD AD
BD
BD BD
DC
DC
D Du u
D D
h h x D g L
h h x D g L
L D Dh u u
x D g D D
FLog x
u D
Log xu D
xLog
D
−
+
−
−
+ +
−
−
−
AD
BD
D
AD
BD
DC
u
u
hx
x
x
x
=
Aproximaciones Sucesivas
Valor de arranque
10 0.89
5.12862log 9.26
Rex x
= − → =
15Dh =
. . ReRe 2.6819
.
u Du
D
= → = =
Re 1 6e=
( )0
2.6819
2.6819
15
9.26
9.26
9.26
x
=
¡Es Clave!Hay que interpretar físicamente el problema
Ecuación de Bahr
Aproximaciones Sucesivas
( )0
2.6819
2.6819
15
9.26
9.26
9.26
x
=
( )( )0
10.471
4.5281
2.2283
0.0074
0.0074
0.1657
f x
− −
= − − −
( ) ( )( )1 0
3.7138
2.0829
12.7716
9.2674
9.2674
9.4257
x F x
= =
( )( )1
2.263
2.2393
0.1129
0.282
0.2202
0.0520
f x
− −
= − −
( )( )011.6257f x =
( )( )13.2063f x =
Función de Aproximación (I)
( )12
4.0124
2.3327
13.0529
9.5871
9.1560
9.5453
x
=
( )( )120.0000252f x =( )( )12
2.07 5
1.42 5
2 7
1.4 6
2.5 6
6.621 8
e
e
ef x
e
e
e
− −
− −
= −
− − − −
Implementación en SciLab
function out=sistema(x)
//x=(1: uAD,2: uBD,3: hD,4: xAD,5: xBD,6: xDC)
g=9.8 ; //m/s2
mu=7e-4; //kg/(m.s)
rho=870; //kg/m3
PA=101325; //N/m2
PB=101325; //N/m2
PC=101325; //N/m2
zA=25; //m
zB=10; //m
zC=0; //m
DAD=0.3; //m
DBD=0.3; //m
DDC=0.5; //m
LAD=800; //m
LBD=800; //m
LDC=200; //m
hA=zA + PA/(g*rho);
hB=zB + PB/(g*rho);
Implementación en SciLab
hC=zC + PC/(g*rho);
uAD=x(1);
uBD=x(2);
hD =x(3);
xAD=x(4);
xBD=x(5);
xDC=x(6);
uDC = (uAD*DAD^2 + uBD*DBD^2)/(DDC^2);
out(1,1) = hD - hA + LAD*(uAD^2)/((xAD^2)*DAD*2*g);
out(2,1) = hD - hB + LBD*(uBD^2)/((xBD^2)*DBD*2*g);
out(3,1) = hC - hD + LDC*(uDC^2)/((xDC^2)*DDC*2*g);
out(4,1) = xAD + 2*log10(2.51*mu*xAD/(uAD*DAD*rho));
out(5,1) = xBD + 2*log10(2.51*mu*xBD/(uBD*DBD*rho));
out(6,1) = xDC + 2*log10(2.51*mu*xDC/(uDC*DDC*rho));
endfunction
Función de aproximación en SciLab
Solo se debe modificar la salida de la función anterior
out(1,1) = sqrt((hA-hD)*((xAD^2)*DAD*2*g)/LAD);
out(2,1) = sqrt((hB-hD)*((xBD^2)*DBD*2*g)/LBD);
out(3,1) = hC + LDC*(uDC^2)/((xDC^2)*DDC*2*g);
out(4,1) = -2*log10(2.51*mu*xAD/(uAD*DAD*rho));
out(5,1) = -2*log10(2.51*mu*xBD/(uBD*DBD*rho));
out(6,1) = -2*log10(2.51*mu*xDC/(uDC*DDC*rho));
Método de Newton
2 2
2 2
2
2
2
2
22 2
2 2 2
10
10
1
10
1
2
1
2
1
2
2.512
2.512
22 AD BD
AD BD
DC DC
AD ADD A
AD AD
BD BDD B
BD BD
DC AD BDC D AD BD
DC DC DC DC
AD AD
AD AD
BD BD
BD BD
DC
D Du u
D D
L uh h
x D g
L uh h
x D g
L D Dh h u u
x D g D Df
x Log xu D
x Log xu D
x Log
−
+
− +
− +
− + +
+
+
+
.51 DC
DC
x
D
AD
BD
D
AD
BD
DC
u
u
hx
x
x
x
=
Matriz Jacobiana
( )
( )
( )
( )
2
1 2
2
2 2
22 2
3 2 2 2
4
1, , , , ,
2
1, , , , ,
2
1, , , , ,
2
, , , , , 2
AD ADAD BD D AD BD DC D A
AD AD
BD BDAD BD D AD BD DC D B
BD BD
DC AD BDAD BD D AD BD DC C D AD BD
DC DC DC DC
AD BD D AD BD DC AD
L uf u u h x x x h h
x D g
L uf u u h x x x h h
x D g
L D Df u u h x x x h h u u
x D g D D
f u u h x x x x
= − +
= − +
= − + +
= +
( )
( )2 2
2 2
10
5 10
1
6 10
2.51
2.51, , , , , 2
2.51, , , , , 2 AD BD
AD BD
DC DC
AD
AD AD
AD BD D AD BD DC BD BD
BD BD
DCAD BD D AD BD DC DC
DC
D Du u
D D
Log xu D
f u u h x x x x Log xu D
xf u u h x x x x Log
D
−
+
= +
= +
Matriz Jacobiana
( )
( )
2
1 2
2
1 2 3
1, , , , ,
2
2 20 1 0 0
2 2
AD ADAD BD D AD BD DC D A
AD AD
T AD AD AD AD
AD AD AD AD
L uf u u h x x x h h
x D g
L u L uf x
x D g x D g
= − +
− =
( )
( )
2
2 2
2
2 2 3
1, , , , ,
2
2 20 1 0 0
2 2
BD BDAD BD D AD BD DC D B
BD BD
T BD BD BD BD
BD BD BD BD
L uf u u h x x x h h
x D g
L u L uf x
x D g x D g
= − +
− =
Matriz Jacobiana
( )
( )
22 2
3 2 2 2
2 2 2 2 2 2
3 2 2 2 2 2 2 2 2
3
1, , , , ,
2
2 2
2 2
21 0 0
DC AD BDAD BD D AD BD DC C D AD BD
DC DC DC DC
T DC DCAD BD AD AD BD BDAD BD AD BD
DC DC DC DC DC DC DC DC DC DC
DC
DC D
L D Df u u h x x x h h u u
x D g D D
L LD D D D D Df x u u u u
x D g D D D x D g D D D
L
x D
= − + +
= + +
−−
22 2
2 22
AD BDAD BD
C DC DC
D Du u
g D D
+
( )
( )( ) ( )
4 10
10 10
4
2.51, , , , , 2
2 20 0 1 0 0
AD BD D AD BD DC AD AD
AD AD
T
AD AD
f u u h x x x x Log xu D
log e log ef x
u x
= +
− = +
Matriz Jacobiana
( )
( )( ) ( )
5 10
10 10
5
2.51, , , , , 2
2 20 0 0 1 0
AD BD D AD BD DC BD BD
BD BD
T
BD BD
f u u h x x x x Log xu D
log e log ef x
u x
= +
− = +
( )
( )( )
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
1
6 10
10 10
2
10 2
6
2.51, , , , , 2
2.512 2
2
AD BD
AD BD
DC DC
AD BD
AD BD
DC DC
AD BD
AD BD
DC DC
DCAD BD D AD BD DC DC
DC
DCDC
DC
AD
T DC
D Du u
D D
D Du u
D D
D Du u
D D
xf u u h x x x x Log
D
xx Log Log
D
Dlog e
Df x
−
+
+
+
= +
= − +
−
=
( )( )
2 2
2 2
2
10 210
22
0 0 0 1AD BD
AD BD
DC DC
BD
DC
DCD Du u
D D
Dlog e
log eD
x+
−
+
Método de Newton
( )0
2.6819
2.6819
15
9.26
9.26
9.26
x
=
( )( )0
10.471
4.5281
2.2283
0.0074
0.0074
0.1657
f x
− −
= − − −
( ) ( ) ( )( ) ( )( )1 0 0 01
4.27138
2.34356
13.12111
9.73740
9.16658
9.59678
x x J x f x−
= − =
( )( )1
2.41641
0.12989
0.19765
0.10941
0.00751
0.01994
f x
=
( )( )011.6257f x =
( )( )12.42255f x =
Método de Newton
( ) ( ) ( )( ) ( )( )2 1 1 11
4.01476
2.33279
13.0525
9.58904
9.15608
9.54630
x x J x f x−
= − =
( )( )20.01806f x =
( )3
4.0124338
2.3327250
13.052958
9.5871723
9.1560484
9.5453420
x
=
( )( )3 71.478449 10f x −=
Matriz Jacobiana en SciLab
out(1,1) = 2*LAD*uAD/((xAD^2)*DAD*2*g);
out(1,2) = 0;
out(1,3) = 1;
out(1,4) = -2*LAD*(uAD^2)/((xAD^3)*DAD*2*g);
out(1,5) = 0;
out(1,6) = 0;
out(2,1) = 0;
out(2,2) = 2*LBD*uBD/((xBD^2)*DBD*2*g);
out(2,3) = 1;
out(2,4) = 0;
out(2,5) = -2*LBD*(uBD^2)/((xBD^3)*DBD*2*g);
out(2,6) = 0;
Solo se debe modificar la salida de la función anterior
Matriz Jacobiana (en SciLab)
out(3,1) = 2*LDC*(uDC)*(DAD^2/DDC^2)/((xDC^2)*DDC*2*g);
out(3,2) = 2*LDC*(uDC)*(DBD^2/DDC^2)/((xDC^2)*DDC*2*g);
out(3,3) = -1;
out(3,4) = 0;
out(3,5) = 0;
out(3,6) = -2*LDC*(uDC^2)/((xDC^3)*DDC*2*g);
out(4,1) = -2*log10(%e)/uAD;
out(4,2) = 0;
out(4,3) = 0;
out(4,4) = 1 + 2*log10(%e)/xAD;
out(4,5) = 0;
out(4,6) = 0;
Matriz Jacobiana (en SciLab)
out(5,1) = 0;
out(5,2) = -2*log10(%e)/uBD;
out(5,3) = 0;
out(5,4) = 0;
out(5,5) = 1 + 2*log10(%e)/xBD;
out(5,6) = 0;
out(6,1) = -2*log10(%e)*(DAD^2/DDC^2)/uDC;
out(6,2) = -2*log10(%e)*(DBD^2/DDC^2)/uDC;
out(6,3) = 0;
out(6,4) = 0;
out(6,5) = 0;
out(6,6) = 1 + 2*log10(%e)/xDC;