Sistemas de Ecuaciones Lineales
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Ejemplos: x – 5 = y 2x – 3y = 7
2x + y = 113z – 4y = -19 x – 2z = - y
2 ecuaciones con 2 incógnitas
3 ecuaciones con 3 incógnitas
Es aquel conjunto de ecuaciones de primer grado, donde el número de incógnitas debe
ser igual al número de ecuaciones existentes.
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Una ecuación es de primer grado (o lineal) cuando el
exponente de todas las incógnitas es la unidad.
En este tema trataremos específicamente los
sistemas de ecuaciones lineales con dos
incógnitas
ax + by = c mx + ny = p
Incógnitas: x , yLas soluciones de una ecuación de
primer grado con dos incógnitas son pares de números (pares ordenados)
que verifican la ecuación.
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA
Cada ecuación representa una recta
x + 2y = 72x + y = 8-
---------
- - - - - - - - - - -
x + 2y = 7
2x + y = 8
.(3 ; 2)
El punto de intersección de ambas rectas representa la única solución del sistema de ecuaciones (conjunto solución)
C.S. = {(3;2)}
x
y
Es un error muy frecuente que el alumno de por
terminado el ejercicio al encontrar el valor de la
primera incógnita.Falta aun hallar el valor de
la segunda incógnita
Es importante insistir en que la solución de un sistema de ecuaciones es una pareja de
valores.
MÉTODO DE RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES
LINEALES
Sin embargo también es práctico la resolución de sistemas de
ecuaciones lineales haciendo uso de la calculadora
Un métodos algebraico importante para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales es el MÉTODO DE REDUCCIÓN.
HACIENDO USO DE LA CALCULADORA
Botón MODE
Presionamos el botón con el numero 5
Presionamos el botón con el numero 1
Se ingresan los datos
con el botón =
Se visualiza el resultado con el botón
=
Se visualiza el otro
resultado con el botón =
La solución para este caso es:X = -1Y = 2
7x + 8y = 9 x + 2y = 3
MÉTODO DE REDUCCIÓN
En este método se preparan las dos ecuaciones para que una de las incógnitas tenga el mismo coeficiente en ambas. Al sumar o restar las ecuaciones nos queda una ecuación con una sola incógnita.
Resolver el siguiente sistema: x + 2y = 22 . . . . . . . . . . (1°) 4x - y = 7 . . . . . . . . . . . (2°)
CASO 01
Eliminamos la incógnita “y” multiplicando por 2, a toda la segunda ecuación: x + 2y = 22 . . . ……. .(1°)
8x - 2y = 14 . . .. .. . .…(2°)
Sumando tenemos entonces: 9x = 36 x=4
Luego hallamos la otra incógnita reemplazando el valor hallado:
Reemplazando x = 4 en la ecuación (1°), tenemos: x + 2y = 22 . . . ……. .(1°) 4 + 2y = 22despejando y: y = (22 – 4)/2 = 18/2 y = 9
Resolver el siguiente sistema:y = 22 - 3x . . . . . (1°)4x = -1 + 3y . . . . . .(2°)
Primero se debe ordenar las ecuaciones, pasando las incógnitas al lado izquierdo y los términos independientes al lado derecho.Y NOS QUEDA ASI:
3x + y = 22 . . . . . . (1°)4x - 3y = -1 . . . . . . .(2°)
CASO 02
Ahora se elimina la incógnita “y”, multiplicando toda la primera ecuación por “3”:x3: 3x + y = 22 . . . . . . (1°) 4x - 3y = -1 . . . . . . .(2°)
Y nos queda así: 9x +3y = 66 . . . . . . (1°) 4x - 3y = -1 . . . . . . .(2°) Sumando tenemos entonces: 13x = 65 x=5
Luego hallamos el valor de la otra incógnita:
Reemplazando x = 5 en la ecuación (1°), tenemos: 3 x + y = 22 . . . ……. .(1°) 3(5) + y = 22despejando y:
y = 22 –15 y = 7
CASO 03
12303y
332x
554y
23x
Resolver el siguiente sistema:
m . c . m ( 2 ; 5 ) = 10 Si observas denominadores recuerda: Primero hay que calcular el M.C.M. de ellos en cada
ecuación
Ahora multipliquemos a la primera ecuacion por 10 y a
la segunda por 6
m . c . m ( 3 ; 2 ) = 6
1)2303y
332x
5)54y
23x
(6)(6)(6
(10)(10)(10
1)2303y
332x
5)54y
23x
(6)(6)(6
(10)(10)(10
Simplificando:
6)(3)(2
50)(2)(5
303y32x
4y3xObtenemos:
6-909y64x
5082y155x
Eliminando los paréntesis y dando forma:
90-9y4x
732y5x
Ahora se elimina la incógnita “y”, multiplicando toda la primera ecuación por “9” y a la segunda por "2":x9: 5x + 2y = 73 . . . . . . (1°)x2: 4x - 9y = -90 . . . . . . .(2°)
Y nos queda así: 45x +18y = 657 . . . . . . (1°) 8x - 18y = -180 . . . . . . (2°) Sumando tenemos entonces: 53x = 477 x=9
Luego hallamos el valor de la otra incógnita:
Reemplazando x = 9 en la ecuación (1°), tenemos: 5 x + 2y = 73 . . . ……. .(1°) 5(9) + 2y = 73despejando y:
y = (73 –45)/2 y = 14