SISTEM KOORDINAT

KOORDINAT CARTESIUS Terdapat dua garis riil, yaitu garis mendatar dan

lainnya tegak, dimana keduanya saling berpotongan pada titik-titik nol dari kedua garis tersebut.

Dua garis itu dinamakan sumbu-sumbu koordinat.

Garis yang mendatar dinamakan sumbu x dan garis yang tegak dinamakan sumbu y.

Setengah bagian positif dari sumbu x adalah ke kanan dan setengah bagian positif dari sumbu y adalah ke atas.

Pada gambar titik P dapat dinyatakan dengan sepasang bilangan, yang dinamakan koordinat-koordinat Cartesiusnya. Apabila garis mendatar dan tegak yang melalui P masing- masing memotong sumbu x dan sumbu y di a dan b maka P mempunyai koordinat (a,b). Kita sebut (a,b) suatu pasangan terurut bilangan-bilangan karena akan berbeda jika urutannya dibalik. Dimana bilangan a adalah koordinat x (absis) sedangkan bilangan b adalah koordinat y (ordinat).

RUMUS JARAK Dengan menggunakan koordinat, kita dapat

memperkenalkan sebuah rumus sederhana untuk jarak antara dua titik pada bidang. Ini didasarkan pada teorema phytagoras, yang menyatakan jika a dan b merupakan ukuran dua kali suatu segitiga siku-siku dan c merupakan ukuran sisi miringnya maka

a2 + b2 = c2

Penjelasan Gambar Sebaliknya, hubungan antara tiga sisi segitiga ini

hanya berlaku untuk segitiga siku-siku. Dua titik P dan Q, masing-masing dengan koordinat-

koordinat (x1, y1) dan (x2, y2), bersama dengan R titik dengan koordinat (x2, y1) P dan Q adalah titik-titik sudut sebuah segitiga siku-siku.

Panjang PR dan RQ masing-masing | x2 – x1 | dan |y2 – y1|, Bilamana teorema Phytagoras diterapkan dan diambil akar kuadrat utama dari kedua ruas maka diperoleh d (P,Q) jarak (tak berarah) antara P dan Q. d (P, Q) =

Ini disebut rumus jarak

CONTOH 1.Carilah jarak antaraa. P (-2, 3) dan Q (4, -1)b. P (√2, √3) dan Q (π, π)Penyelesaiana. d (P, Q) =b. d(P, Q) =

21,7521636)31())2(4( 22

23,2971,4)3()2( 22

Rumus tetap berlaku walaupun dua titik tersebut terletak pada garis mendatar atau garis tegak yang sama. Jadi, jarak antara P (-2, 2) dan Q (6, 2) adalah

= = 8

RUMUS LINGKARAN

Lingkaran adalah himpunan titik-titik yang terletak pada suatu jarak tetap (jari-jari) dari suatu titik tetap (pusat).

Misalnya, lingkaran dengan jari-jari 3 berpusat di (-1, 2).

Andaikan (x, y) menyatakan titik sebarang pada lingkaran ini, Menurut rumus jarak

= 3

Bilamana kedua ruas dikuadratkan, kita peroleh(x + 1)2 + (y – 2)2 = 9yang disebut persamaan dari lingkaran ini.

Secara lebih umum, lingkaran berjari-jari r dan pusat (h, k) mempunyai persamaan(x – h)2 + (y – k)2 = r2

Ini disebut persamaan baku sebuah lingkaran

Contoh 2Carilah persamaan lingkaran berjari-jari 5 dan pusat (1, -5). Car juga koordinat-koordinat y dari dua titik pada lingkaran ini dengan koordinat x adalah 2.Penyelesaian. Persamaan yang di inginkan adalah(x - 1)2 + (y + 5)2 = 25Kita masukkan x = 2 dalam persamaan dan selesaikan untuk y. (2 - 1)2 + (y + 5)2 = 25 (y +5)2 = 24 y + 5 = ± √24 y = - 5 ± √24 = - 5 ± 2 √6

RUMUS TITIK TENGAH Ada dua titik P (x1, y1) dan Q (x2, y2) di mana

x1 ≤ x2,

Maka:

2

2

1

2

12

1

2

1)(

2

1

21

21

121121

xx

xx

xxxxxx

Ini berarti bahwa titik (x1 + x2) / 2 berada ditengah-tengah antara x1 dan x2 pada sumbu x, dengan demikian titik tengah M dari potongan garis PQ memiliki absis (x1 + x2) / 2 dan begitu pula sebaliknya (y1 + y2) / 2 adalah merupakan koordinat dari M juga, maka diperoleh persamaan :

Contoh 3Tentukan persamaan lingkaran yang mempunyai potongan garis dari (1, 3) ke (7, 11) sebagai garis tengahnya.Penyelesaian. Pusat lingkaran terletak di tengah – tengah garis tengahnya sehingga titik pusat mempunyai koordinat (1 + 7) / 2 = 4 dan (3+11) / 2 = 7. Maka diperoleh rumus panjang garis tengah :[(7 – 1)2 + (11 – 3)2]1/2 = [36 + 64] ½ = 10Berarti jari-jari lingkarannya adalah 5, jadi persamaan lingkaran :(x – 4)2 + (y – 7)2 = 25

Garis lurus – kemiringan garis Umumnya gambar berikut untuk sebuah garis

yang melalui A (x1, y1) dan B (x2, y2) dengan x1 ≠ x2 , kemiringan m dari garis itu didefinisikan oleh:

12

12

xx

yy

larian

kenaikanm

Yang penting adalah bahwa koordinat-koordinat yang dikurangkan dalam urutan sama di pembilang dan penyebutnya.

BENTUK KEMIRINGAN TITIK Ambillah sembarang titik pada garis misalnya

titik dengan koordinat (x, y). Jika kita gunakan titik ini dan titik (3, 2) untuk mengukur kemiringannya, pasti diperoleh 2/5 yaitu :

)3(5

22

5

2

3

2

xy

x

y

Garis yang melalui titik (tetap) (x1, y1) dengan kemiringan m mempunyai persamaan : y – y1 = m (x – x1)

Ini dinamakan kemiringan titik dan sebuah garis.

Contoh 4Cari persamaan garis yang melalui (- 4, 2) dan (6,-1)Penyelesaian. Kemiringan m adalah (- 1 - 2) / (6 + 4) = - 3/10. Sehingga, dengan menggunakan (-4,2) sebagai titik tetap, maka di dapatkan persamaan :

)4(10

32

10

3

4

2

xy

x

y

BENTUK KEMIRINGAN PERPOTONGAN (intersep) Persamaan suatu garis dapat dinyatakan

bermacam-macam bentuk. Semisal diberikan slope m untuk suatu garis dan b perpotongan sumbu y di (0, b). Dengan memilih (0, b) sebagai (x1, y1) dan menerapkan bentuk kemiringan titik maka diperoleh :y – b = m (x – 0) atau y = mx + b

Yang disebut bentuk kemiringan perpotongan/intersep.

Misal, lihat persamaan ;3x – 2y + 4 = 02y = 3x + 4 y = (3/2)x + 2 ini adalah persamaan garis dengan kemiringan 3/2 dan intersep y = 2.

PERSAMAAN GARIS VERTIKAL Persamaan garis tegak bisa dituliskan :

x = kdi mana k adalah suatu konstanta. Patut dicatat bahwa persamaan suatu garis dapat juga dituliskan y = k.

BENTUK Ax + By +C = 0 Misal :1. y – 2 = - 4 (x + 2) dengan memindahkan

semuanya ke ruas kiri 4x + y + 6 = 0

2. y = 5x – 3-5x + y + 3 = 0

3. x = 5 x + 0y + - 5 = 0

Semuanya berbentuk :Ax + By + C = 0, A dan B keduanya tidak 0

contohCarilah persamaan tiap garis dalam bentuk Ax +

By + C = 0 Melalui (2, 3) dengan kemiringan 4.

Jawab :2x + 3y + 4 = 0

Melalui (3, - 4) dengan kemiringan – 2.Jawab :3x – 4y – 2 = 0

Dengan intersep = 4 dan kemiringan – 2.Jawab :-4 x + y – 2 = 0

GARIS – GARIS SEJAJAR Jika dua garis mempunyai kemiringan sama,

maka keduanya sejajar. Jadi, y = 2x + 2 dan y = 2x + 5 merupakan garis sejajar ; keduanya memiliki kemiringan 2. Garis yang kedua adalah 3 satuan di atas yang pertama untuk setiap nilai x.

Jadi dapat ditarik kesimpulan bahwa dua garis tak vertikal adalah sejajar jika dan hanya jika keduanya mempunyai kemiringan yang sama.

contoh

Carilah persamaan garis yang melalui (6,8), yang sejajar dengan garis yang mempunyai persamaan 3x – 5y = 11Penyelesaian. 3x – 5y = 11 untuk y kita peroleh:

di dapat kemiringan garis adalah 3/5, jadi persamaan garis yang di inginkan yaitu :

atau, sama dengan 3x – 5 y + 22 = 0

5

11

5

3 xy

)6(5

38 xy

GARIS – GARIS TEGAK LURUS Syarat kemiringan sederhana yang mencirikan tegak lurus

ialah dua garis tak vertikal saling tegak lurus jika dan hanya jika kemiringan keduanya saling berkebalikan negatif. Andaikan P1 (x1, y1) suatu titik pada l1 dan P2 (x2, y2) titik pada l2 . Menurut Teorema Pythagoras dan kebalikannya P1 OP2 merupakan sudut siku-siku jika[d (P1 , O)]2 + [d (P2, O)]2 = [d (P1, P2)]2

Setelah penguraian dan penyederhanaan, persamaannya menjadi 2x1 x2 + 2y1 y2 = 0 atau

Jadi y1 / x1 adalah kemiringan dari l1, sedangkan y2 / x2 adalah kemiringan dari l2.

contohCarilah persamaan garis yang melalui titik potong garis-garis dengan persamaan 3x + 4y = 8 dan 6x – 10y = 7, yang tegak lurus dengan garis yang pertamaPenyelesaian. Untuk mencari titik potong dua garis ini, persamaan yang pertama di kalikan – 2 dan hasilnya ditambahkan pada persamaan yang kedua.-6x - 8y = -16 6x – 10y = 7 - 18 y = -9

y = 1/2

Dengan mensubstitusikan y = ½ akan dihasilkan x = 2. Titik potongnya adalah (2, ½). Bilamana persamaan pertama diselesaikan untuk y, diperoleh y = -3/4x + 2. Garis tegak lurusnya mempunyai kemiringan 4/3 jadi didapat persamaany – ½ = 4/3 (x – 2)

Grafik Persamaan Grafik persamaan dalam x + y terdiri atas

titik-titk dibidang yang koordinat-koordinatnya (x, y) nya memenuhi persamaan artinya membuatnya suatu persamaan yang benar

contohGambar grafik persamaan y = x2 – 3

X -3 -2 -1 0 1 2 3

F(x) 6 1 -2 -3 -2 1 6

Jika koordinat dilipat sepanjang sumbu y, kedua cabang akan berimpit. Misalnya (3, 6) dengan (-3 , 6), (2, 1) dengan (-2, 1) dan secara lebih umum, (x, y) berimpit dengan (-x, y). (lihat Gambar 3) dimana kedua grafik itu simetris terhadap sumbu y.

Grafik dari suatu persamaan adalah :1. Simetris terhadap sumbu y bila penggantian

x dengan –x memberuikan persamaan yang setara (sebagai contoh y = x2).

2. Simetris terhadap sumbu x bila penggantian y dengan –y memberikan persamaan yang setara (sebagai contoh y = 1 + y2).

3. Simetris terhadap titik asal bila penggantian x dengan –x dan y dengan –y memberikan persamaan yang setara (y = x3 merupakan contoh yang bagus karena y = (-x)3 setara dengan y = x3).

contohSketsakan grafik dari y = x3

Penyelesaian. Simetri terhadap titik asal sehingga hanya perlu memperoleh total nilai untuk x yang tak negatif.

X Y

0 0

1 1

2 8

3 27

4 64

intersep Titik-titik pada grafik suatu persamaan

memotong kedua sumbu koordinat y = 0 bila x = - 2, 1, 3

bilangan = - 2, 1 dan 3 disebut intersep x.x = 0 bila y = 6sehingga 6 disebut intersep y.

contohSketsakan grafik dari y2 – x + y – 6 = 0, dengan memperlihatkan semua intersep dengan jelas.Penyelesaian. y = 0 dalam persamaan maka diperoleh x = - 6, sehingga intersep x = - 6.Dengan meletakkan x = 0 maka diperoleh y2 + y – 6 = 0, atau (y + 3) (y – 2) = 0 ; jadi intersep y adalah – 3 dan 2.

Jika suatu persamaan berbentuk : y = ax2 + bx + c atau x = ay2 + by + c dengan a ≠ 0, grafiknya akan selalu berupa parabola.Grafik terbuka ke atas atau kebawah jika a > 0 atau a < 0Grafik terbuka ke kanan atau kekiri jika a > o atau a < 0

contohCari titik-titik perpotongan garis y = -2x + 2 dan parabola y = 2x2 – 4x – 2 dan sketsakan kedua grafik tersebut pada bidang koordinat yang sama.Penyelesaian. – 2 x + 2 = 2x2 – 4x – 2

0 = 2x2 – 2x – 40 = 2 (x – 2) (x + 1)x = -1 ; x = 2

Melalui substitusi, ditemukan nilai y adalah 4 dan – 2, karena itu titik-titik perpotongannya adalah (-1, 4) dan (2, -2).