Sisällysluettelo - Edita Publishing · Muistikaavojen hyödyllisyyshän perustuu lähinnä...
Transcript of Sisällysluettelo - Edita Publishing · Muistikaavojen hyödyllisyyshän perustuu lähinnä...
Summa 1 • Opettajan materiaali • Näytesivuja
2
Sisällysluettelo
1 Laskutoimituksia 3
Peruslaskutoimitukset luvuilla 3
Peruslaskutoimitukset polynomeilla 5
Prosentti 7
Prosenteilla vertaaminen 9
Kuvaaminen koordinaatistossa 11
2 Lausekkeesta yhtälöksi 13
Lineaarinen riippuvuus 13
Yhtälö 15
Ongelmasta yhtälöksi 17
Suhde ja verranto 19
Verrannollisuus 21
3 Toisen asteen yhtälö 23
Toisen asteen polynomifunktio 23
Ratkaisukaava 25
Toisen asteen yhtälön sovelluksia 28
Summa 1 • Opettajan materiaali • Näytesivuja
3
1 Laskutoimituksia
Peruslaskutoimitukset luvuilla
Luvun tavoitteet
Tavoitteena on kerrata kokonaislukujen ja murtolukujen yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolasku
sekä laskujärjestys. Lisäksi kerrataan laskutoimitusten yksinkertaistamiseen liittyvät vastaluvun ja
käänteisluvun käsitteet.
Ehdotus ajankäytöksi
• 45-minuuttisilla oppitunneilla 2 x 45 min
• 75-minuuttisilla oppitunneilla 1 x 75 min
• 90-minuuttisilla oppitunneilla 1 x 90 min
Tehtäväsarjat
Sarja 1 on jaettu väliotsikoilla kahteen osaan. Otsikon peruslaskutoimitukset ja laskujärjestys alla
olevissa tehtävissä kerrataan kokonaislukujen peruslaskutoimituksia. Näiden yhteydessä
harjoitellaan myös sulkeiden sekä pitkän murtoviivan vaikutusta laskujärjestykseen. Murtoluvut-
otsikon alla olevat tehtävät harjoittavat peruslaskutoimituksia murtoluvuilla, ensin mekaanisilla ja
lopuksi sanallisilla tehtävillä. Viimeinen tehtävä harjoittaa vastaluvun ja käänteisluvun käsitteitä.
Sarjan 2 tehtävissä on sekoitettu kokonaisluku- ja murtolukulaskuja. Tehtävissä 19, 20 ja 22
esiintyy kokonaislukuja ja tehtävissä 17, 18, 21, 23, 25 ja 26 murtolukuja. Sanallinen tehtävä 24
tavanomaisesti ratkaistuna ei oikeastaan kuulu puhtaasti kumpaankaan luokkaan.
Oheismateriaali
Oheismateriaalissa on esimerkkitehtävä laskujärjestyksen kertaamisesta (vastaa kirjan esimerkkiä
2b), merkkisäännöistä, murtolukujen yhteen- ja vähennyslaskusta sekä murtolukujen kerto- ja
jakolaskusta.
Laskujärjestyksestä ja merkkisäännöistä on esimerkkien jälkeen vastaavat yhteenvedot kuin
kirjassa.
Murtolukuesimerkit vastaavat sisällöltään kirjan esimerkkejä 4, 5, 6 ja 7. Niitä ei kuitenkaan ole
tehty sanallisiksi erotuksena kirjan vastaaviin esimerkkeihin.
Summa 1 • Opettajan materiaali • Näytesivuja
4
Ajatuksia luvun aihepiirin opettamisesta
Luvun sisällöt kertaavat laskutoimitusten perusteita, joten niihin kannattaa käyttää aikaa. Erityisesti
murtolukujen laskutoimitukset tulevat seuraavan kerran vastaan vasta kertauskurssin kirjassa.
Tehtäväsarjan 1 väliotsikointi on tehty niin, että yhteisen opetuksen voi luontevasti jakaa kahteen
osaan: kokonaislukujen laskutoimitusten ja laskujärjestyksen kertaamiseen sekä murtolukujen
laskutoimitusten kertaamiseen.
Oheismateriaalissa olevat esimerkit murtolukujen laskutoimituksista eivät ole sanallisia toisin kuin
kirjan vastaavat esimerkit. Kirjan esimerkkien ajatuksena on, että ne toimisivat paitsi murtolukujen
laskutoimitusten kertaamisen myös sanallisten tehtävien ratkaisemisen apuna. Oppitunnilla tällainen
käsittely vaatisi kuitenkin enemmän aikaa kuin lukuun tässä kohdassa on ajateltu käytettävän.
Murtolukujen jakolasku on sekä kirjassa että oheismateriaalin esimerkissä otettu kahdella eri
tavalla: sekä perinteisesti että ensin samannimisiksi laventamalla. Tapa saattaa tuntua oudolta. Sen
ajatus on tulkita lasku sisältöjaoksi, jolloin laskussa voi pitää paremmin ymmärryksen mukana.
Tämä saattaa auttaa heikompia oppilaita, joille erilaiset mekaaniset ulkoa opetellut laskutemput
menevät helposti sekaisin.
Jos ryhmässä on paljon lähtötasoltaan heikkoja opiskelijoita, sanalliset murtolukutehtävät sekä
käänteisluvun ja vastaluvun käsitteen voi hyvin jättää pois yhteisestä opetuksesta.
Summa 1 • Opettajan materiaali • Näytesivuja
5
Peruslaskutoimitukset polynomeilla
Luvun tavoitteet
Tavoitteena on kerrata polynomien peruslaskutoimitukset sekä polynomeihin liittyviä nimityksiä.
Ehdotus ajankäytöksi
• 45-minuuttisilla oppitunneilla 2 x 45 min
• 75-minuuttisilla oppitunneilla 1 x 75 min
• 90-minuuttisilla oppitunneilla 1 x 90 min
Tehtäväsarjat
Sarjan 1 tehtävät on jaettu väliotsikoilla kahteen osaan: monomien peruslaskutoimituksiin ja
polynomien peruslaskutoimituksiin. Sarjan alussa on kaksi on kaksi yksireikäisellä napilla
merkittyä helppoa tehtävää, jotka pohjatiedoiltaan paremmat opiskelijat voivat hypätä yli.
Sarjan 2 tehtävissä ainoastaan tehtävässä 43 esiintyy pelkkiä monomeja. Tehtävissä 44, 45, 46, 49,
51, 52 ja 53 esiintyy polynomien yhteen-, vähennys- ja kertolaskuja joko yhdistettynä tai sitten
erillisinä alakohtina. Tehtävä 48 on pelkkää kertolaskua. Jakolaskua tarvitaan ainoastaan tehtävissä
47 ja 50.
Oheismateriaali
Oheismateriaalissa on esimerkkitehtävät, jotka vastaavat kirjan esimerkkejä 3, 2, 5, 6 ja 7b. Lisäksi
siinä on polynomien nimityksiä kertaava dia.
Ajatuksia luvun aihepiirin opettamisesta
Polynomien laskutoimituksia osataan peruskoulusta tultaessa kovin kirjavasti. Eri oppikirjasarjat
painottavat aihepiiriä eri tavoin. Joissain peruskoulun oppikirjoissa kahden polynomin tulo on
merkitty ylikurssiksi. Siksi on mahdollista, että osalle opiskelijoista asia on ihan uusi. Tästä syystä
oheismateriaalissa on myös kirjan esimerkin 6 tilanne, jossa laskusääntö ”johdetaan” pinta-
alamallin avulla.
Oheismateriaalin ensimmäinen esimerkki sopii hyvin monomien laskutoimitusten kertaamisen
aloittamiseen. Siinä havainnollistetaan pituus- ja pinta-alamallin avulla monomien yhteenlaskua ja
kertolaskua. Koska esimerkit ovat lyhyitä, opetuksessa kannattanee kerrata kaikki tilanteet kerralla.
Summa 1 • Opettajan materiaali • Näytesivuja
6
Kirjan kummassakin tehtäväsarjassa esiintyy pituus-, pinta-ala- ja tilavuusmalliin liittyviä tehtäviä.
Tehtävät kiinnittävät kirjainlaskentaa konkretiaan ja pohjustavat lisäksi geometrian sanallisten
tehtävien mallintamiseen tarvittavia taitoja, joita tässä kirjassa tarvitaan luvuissa Ongelmasta
yhtälöksi ja Toisen asteen yhtälön sovelluksia.
Kirjassa on karsittu terminologiaa niin, että nimityksiä binomi ja trinomi ei kerrata. Ne eivät ole
lyhyessä matematiikassa mitenkään keskeisiä. Muistikaavoja ei myöskään käytetä, vaan tyyppiä (4x
– 1)2 olevat laskut puretaan ensin kertolaskuksi. Joku opiskelijoista on saattanut käyttää
muistikaavoja peruskoulussa, mutta lyhyessä matematiikassa ne eivät ole mitenkään tarpeellisia.
Muistikaavojen hyödyllisyyshän perustuu lähinnä tilanteisiin, joissa jokin polynomi pitää tulkita
binomin neliöksi. Tällaiset tilanteet – lähinnä ympyrän yhtälöt ja funktioiden raja-arvotarkastelut –
eivät kuulu oppimäärään. Itse asiassa opiskelijat tarjoavat huomattavasti harvemmin tyyppiä (a +
b)2 olevan laskuun virheellistä vastausta a
2 + b
2, jos he tottuvat systemaattisesti purkamaan kaikki
binomin neliöt tuloiksi.
Summa 1 • Opettajan materiaali • Näytesivuja
7
Prosentti
Luvun tavoitteet
Tavoitteena on kerrata prosenttilaskennan kaksi perustilannetta: kuinka paljon on p prosenttia
luvusta a ja kuinka monta prosenttia a on b:stä. Lisäksi kerrataan lyhyesti muuttuneen arvon
laskemista suoraan prosenttikertoimen avulla ja opetellaan promillen käsite.
Muutos- ja vertailuprosentti sekä prosenttiyksikkö kerrataan seuraavassa luvussa Prosenteilla
vertaaminen. Tuntemattoman perusarvon ratkaiseminen kerrataan yhtälönratkaisun
sovellustilanteena luvussa Ongelmasta yhtälöksi. Prosenttilausekkeita, joissa lähtöarvoja merkitään
kirjaimilla, harjoitellaan enemmän vasta kurssissa 3.
Ehdotus ajankäytöksi
• 45-minuuttisilla oppitunneilla 2 x 45 min
• 75-minuuttisilla oppitunneilla 1 x 75 min
• 90-minuuttisilla oppitunneilla 1 x 90 min
Tehtäväsarjat
Tehtäväsarjan 1 alussa on kolme tukitehtävää, jotka on tarkoitettu aivan heikoimmille opiskelijoille.
Sarjan 1 perustehtävät on jaettu kahden väliotsikon alle: perustapaukset ja promille.
Perustapauksissa on sekoitettu tilanteet p prosenttia luvusta a ja kuinka monta prosenttia a on b:stä
niin, että niitä esiintyy vuorotellen. Seassa on myös muutama tehtävä, joissa harjoitellaan
muuttuneen arvon laskemista suoraan prosenttikertoimen avulla. Promillen käsite on oppilaille
arkikielestä tuttu, mutta matemaattisena käsitteenä se ei kuulu peruskoulun opetussuunnitelman
keskeisiin sisältöihin. Siksi tehtävät alkavat promillejen muuttamisesta desimaaliluvuksi ja toisin
päin. Sovellustilanteissa promillea käytetään paitsi veren alkoholipitoisuuden mittaamiseen myös
korujen arvometallipitoisuuden ilmoittamiseen. Veren alkoholipitoisuutta mittavaa esimerkkiä 5 on
yksinkertaistettu niin, että siinä ei huomioida alkoholin vettä pienempää tiheyttä 0,79 g/cm3.
Vastaavissa tehtävissä 75, 76 ja 84 ongelma on kierretty ilmaisemalla nautitun alkoholin määrä 12
g:n ravintola-annoksina. Alkoholilaskujen on ajateltu toimivan valistustarkoituksessa: kun tietää
veren alkoholipitoisuuden ja alkoholin palamisen takana olevaa matematiikkaa, alkoholin käytön
rajoja on helpompi hahmottaa. Metin ja Marvin sukupuolet tehtävissä 75 ja 76 näkee esimerkistä 5.
Tehtäväsarjassa 2 tilannetta p prosenttia luvusta a harjoittavat tehtävät 78, 79 ja 82. Kuinka monta
prosenttia a on b:stä –tehtäviä ovat 77, 80, 81 ja 85. Tehtävä 84 on ainoa promilletehtävä.
Oheismateriaali
Summa 1 • Opettajan materiaali • Näytesivuja
8
Luvun kustakin kolmesta tilanteesta on opettajan materiaalin esimerkkitehtävät, joita voi
halutessaan käyttää yhteisesti käytävinä esimerkkeinä. Ensimmäinen tehtävä vastaa oppikirjan
esimerkkiä 1, toinen tehtävä esimerkkejä 3 ja 4 ja kolmas tehtävä esimerkkiä 5.
Ajatuksia luvun aihepiirin opettamisesta
Tehtäväsarjan 1 otsikointi mahdollistaa yhteisen opetuksen jakamisen luontevasti kahteen palaan:
prosenttilaskennan perustapauksiin ja promilleen.
Perustapaukset on sekoitettu jo sarjassa 1 siksi, että opiskelijat harjaantuisivat tunnistamaan,
kummasta tilanteesta on kysymys.
Jos ryhmässä on paljon pohjatiedoiltaan heikkoja opiskelijoita, promillen käsitteen ja veren
alkoholipitoisuuden laskemisen voi hyvin jättää pois yhteisestä opetuksesta ja ohjata nopeammat
tutustumaan aiheeseen kirjan tekstin ja esimerkin avulla.
Summa 1 • Opettajan materiaali • Näytesivuja
9
Summa 1 • Opettajan materiaali • Näytesivuja
10
Sisällysluettelo
1 Laskutoimituksia 3
Peruslaskutoimitukset luvuilla 3
Peruslaskutoimitukset polynomeilla 7
Prosentti 11
Prosenteilla vertaaminen 17
Kuvaaminen koordinaatistossa 22
Kertaustehtäviä 28
2 Lausekkeesta yhtälöön 31
Lineaarinen riippuvuus 31
Yhtälö 36
Ongelmasta yhtälöksi 49
Suhde ja verranto 55
Verrannollisuus 63
Kertaustehtäviä 69
3 Toisen asteen yhtälö 72
Toisen asteen polynomifunktio 72
Ratkaisukaava 80
Toisen asteen yhtälön sovelluksia 99
Kertaustehtäviä
Summa 1 • Opettajan materiaali • Näytesivuja
11
2 Lausekkeesta yhtälöön
Lineaarinen riippuvuus
146. a) 30 km
b) 45 km
c) 10 min
147. a) 2 000 €
b) 2 800 €
c) 7,5 vuoden kuluttua
d) 2 000 €
148. a) 2,40 €
b) 7,20 €
c) 0,96 €
d) 1,20x €
e) y = 1,20x
149. a) 70 € f)
b) 90 €
c) 130 €
d) (0,40x + 50) €
e) y = 0,40x + 50
Summa 1 • Opettajan materiaali • Näytesivuja
12
150. a) y = 1,94x + 5,08 b)
c) 34 €/kk
d) 23 m3
e) Suora leikkaa y-akselin perusmaksua
vastaavassa kohdassa
y = 5,08.
151. a) y = 0,70x + 5 000
b)
152. a) T(x) = 110x c)
b) K(x) = 60x + 15 000
d) 110x = 60x + 15 000 | –60x
50x = 15 000 | : 50
x = 300 (kpl)
e) 55 000 – 45 000 = 10 000 (€)
153. a) f(5) = 20 · 5 + 600 = 700
b) f(6) = 20 · 6 + 600 = 720
c) f(7) = 20 · 7 + 600 = 740
d) Funktion arvo kasvaa 20:llä.
Summa 1 • Opettajan materiaali • Näytesivuja
13
Summa 1 • Opettajan materiaali • Näytesivuja
14
Sisällysluettelo
1 Lähtötasotestit 3
Lähtötasotesti 3
Kysely matematiikan opiskelusta 8
2 Muita testejä ja lisäharjoituksia 9
Testi 1 Prosenttilaskenta 9
Testi 2 Yhtälöt 12
Testi 3 Ratkaisukaava 16
Lisäharjoituksia: Toisen asteen yhtälöitä 19
3 Koetehtäviä 25
Polynomi- ja yhtälötehtäviä 25
Prosenttilaskennan perustapauksia 26
Funktiot ja kuvaajat 27
Sanallisia yhtälötehtäviä 28
4 Koetehtävien ratkaisut 29
Polynomi- ja yhtälötehtäviä 29
Prosenttilaskennan perustapauksia xx
Funktiot ja kuvaajat xx
Sanallisia yhtälötehtäviä xx
Summa 1 • Opettajan materiaali • Näytesivuja
15
1 Lähtötasotestit
Lähtötasotesti Nimi:_______________________________
1. Laske.
a) =−−− )5(:)50(100
b) =−−
23
115
2. Laske.
a) =−+
5
2
10
11
b) =⋅
3
2
4
7
c) =4:5
1
3. Sievennä.
a) =++ 742 aa
b) =+ )74(2 a
c) =⋅ aa 42
4. a) Laske, kuinka paljon on 15 % luvusta 2000.
b) Laske, kuinka monta prosenttia luku 50 on luvusta 2000.
c) Laske, kuinka monta prosenttia 2500 € on suurempi kuin 2000 €.
Summa 1 • Opettajan materiaali • Arviointi
16
5. Piirrä koordinaatisto ja merkitse sinne pisteet A = (–1, 2) ja B = (2, –1). Yhdistä pisteet janalla.
Onko origo (0, 0) janalla AB?
6. Piirrä suora y = –2x + 1.
7. a) Ratkaise yhtälö.
17395 +=+ xx
b) Ratkaise x verrannosta.
8
15
320=
x
Summa 1 • Opettajan materiaali • Arviointi
17
Lähtötasotestin ratkaisut
1.
a) =−−− )5(:)50(100
90
10100 =−
b) =−−
23
115
4
22
23
6
−
=−−
=−−
2.
a) =−+
5
2
10
11
)2
10
7
10
4110
10
4
10
1
10
10
=−+
=−+
b) =⋅
3
2
4
7
6
7
32
7
34
27 2(
=
⋅
=
⋅
⋅
c) =4:5
1
20
1
4
1
5
1=⋅
3. a) 76742 +=++ aaa
b) 148)74(2 +=+ aa
c) 2842 aaa =⋅
4. a) Lasketaan, kuinka paljon 15 % on luvusta 2000.
1 % luvusta 2000 on .20100
2000=
15 % luvusta 2000 on 15 · 20 = 300.
b) Lasketaan, kuinka monta prosenttia luku 50 on luvusta 2000.
025,02000
50=
0,025 = 2,5 %
Summa 1 • Opettajan materiaali • Arviointi
18
c) Lasketaan, kuinka monta prosenttia 2500 € on suurempi kuin 2000 €.
2500 – 2000 = 500
25,02000
500=
0,25 = 25 %
5. Piirretään koordinaatisto ja merkitään sinne pisteet A = (–1, 2) ja B = (2, –1). Kun pisteet
yhdistetään janalla, huomataan, että origo ei ole janalla AB.
6. Piirretään suora y = –2x + 1.
Summa 1 • Opettajan materiaali • Arviointi
19
7. a)
17395 +=+ xx | –3x – 9
91735 −=− xx
82 =x | : 2
4=x
b)
8
15
320=
x
Verranto ratkaistaan kertomalla ristiin.
153208 ⋅=x | : 8
600
1540
8
15320
=
⋅=
⋅=
x
x
x
3 Koetehtäviä
Polynomi- ja yhtälötehtäviä
1. Laske. a) )54(3 +−− aa , b) )7)(2( +− xx , c) 35
3 xx−
2. a) Kumpi luvuista on suurempi 7
2 vai
10
3?
b) Laske funktion arvo f(5), kun f(x) = –x2 + 3x + 4.
c) Ratkaise yhtälö 4x – 2 = 1 – 5x
3. a) Laske (3x – 5)2.
b) Laske lausekkeen x2 – 4x arvo, kun x = –5.
c) Ratkaise yhtälö 2x + 15 = 5x – 8.
4. Muodosta ja sievennä suorakulmion a) piirin, b) pinta-alan lauseke.
5. Ratkaise yhtälöt.
a) 5x – (x + 4) = 3 + x
b) 232
=−−xx
x
6. Ratkaise yhtälöt.
a) 4(2x – 1) = 8x + 4
b) 12
5
3
2=
−x
7. Ratkaise yhtälöt.
a) 068302 2=−− xx
b) 0144 2=+ xx
8. Ratkaise yhtälöt.
a) 025010 2=−x
b) xx 49920 2=+
9. Ratkaise yhtälöt
x – 1
2x + 2
Summa 1 • Opettajan materiaali • Tuntisuunnitelmat 21
a) x2 – x – 6 = 0
b) 3x2 + 1 = 2x
10. Ratkaise yhtälöt.
a) (4x + 2)(x – 11) = 0
b) 532=+ xx
11. Laske lukujen 5
3 ja
3
4 a) osamäärä, b) vastalukujen erotus, c) käänteislukujen summa.
12. a) Ratkaise yhtälö 2x(x + 3) – 3(2x – 1) = 9 – 4x.
b) Laske lausekkeen 422 2)32)(( aaaaa −+− arvo, kun 3
1=a .
13. a) Millä k:n arvolla yhtälön 3(x + k) = 5 + k ratkaisu on x = –3?
b) Sievennä lauseke x
x
x
x
2
2:
36 ++.
Prosenttilaskennan perustapauksia
14. a) Vapaa-ajan kengistä saa 20 %:n alennuksen. Laske 87,50 € maksavien kenkien
alennettu hinta.
b) Suomessa syntyy 106 poikaa kohti 100 tyttöä. Kuinka monta prosenttia syntyvistä lapsista
on tyttöjä?
15. Vuoden 2006 Euroviisuissa Suomi voitti ja sai 292 pistettä, toisena oli Venäjä 248
pisteellä ja kolmantena Bosnia-Hertsegovina 229 pisteellä.
a) Kuinka monta prosenttia enemmän pisteitä Suomi sai kuin Venäjä?
b) Kuinka monta prosenttia vähemmän pisteitä Bosnia-Hertsegovina sai kuin Suomi?
16. a) Junalipun hintaa 6,30 € nostettiin 4,8 %. Mikä oli lipun uusi hinta?
b) Pelikonsolin hinta oli 15 prosentin alennuksen jälkeen 237,15 €. Mikä oli konsolin
alkuperäinen hinta?
17. a) Sisu Pastilli maksoi 6,95 €:n hampurilaisateriasta 5,45 €. Kuinka monta prosenttia
alennus oli?
b) Opettaja valmisti liuoksen, johon tuli 11,0 g suolaa ja 78,0 g vettä. Mikä oli liuoksen
suolapitoisuus?