Taylor polynomi usean muuttujan funktiolle
-
Upload
zia-mcfadden -
Category
Documents
-
view
36 -
download
0
description
Transcript of Taylor polynomi usean muuttujan funktiolle
Taylor polynomi usean muuttujan funktiolle
Yhden muuttujan reaaliarvoiselle funktiolle f(x) tunnetaan (m. asteen) Taylor-polynomipisteen c ympäristössä, kun f(x):llä on (ainakin) m+1 asteen jatkuvat derivaatat c:nsisältämällä välillä:
Kun f(x) on ’riittävän säännöllinen’ pisteen c läheisyydessä, voidaan se lisäksi esittääTaylor kehitelmänsä avulla eli lausekkeena
m)m(
m )cx(!m
)c(f...)cx(
!
)c(''f)cx(
!
)c('f)c(f)x(p 2
21
Nämä käsiteet voidaan yleistää n:n muuttujan reaaliarvoiselle funktiolle f(x). Funktionf(x1,...,xn) m. asteen Taylor polynomi pisteen c = (c1,...,cn) ympäristössä on
'.välissän:cjan:'xonmissä
,)cx()!m(
)(f)cx(
!m
)c(f...)cx(
!
)c(''f)cx(
!
)c('f)c(f)x(f m
)m(m
)m(
1
12
121
)cx()cx)((!m
...)cx)(cx)((!
)cx)((!
)(f)(p
mm
m
m
iiii
n
i...ii ix...ixix
f
jjii
n
ji jxix
fii
n
i ix
fm
11
2
1 221
2
c1
c2
1c
1
1cx
1
11
111
kaikki m:n asteen sekaderivaatat... ...pisteessä C
...kertaa vastaavienkoordinaattien erotus
Erikoistapauksia Taylor polynomistaTarkastellaan kahden muuttujan funktiota f(x,y). Sen ensimmäisen kertaluvun Taylor-polynomi pisteen c = (a,b) ympäristössä on
)by)(b,a(f)ax)(b,a(f)b,a(f)y,x(p yx 1
Mutta tämähän on pinnan z = f(x,y) pisteeseen (a, b, f(a,b)) piirretyn tangenttitasonyhtälö, jota myös f(x,y):n ensimmäisen kertaluvun approksimaatioksi sanotaan.
Kun muistamme, että pinnan z = f(x,y) pisteeseen (a,b,f(a,b)) piirretyn gradienttivektorin f(a,b) lauseke oli f(a,b) = fx(a,b)i + fy(a,b)j (missä luettiin ’nabla’) ja huomaamme,että f(c)·(x – c) = [fx(a,b)i + fy(a,b)j] ·[(x - a)i + (y - b)j]
),by)(b,a(f)ax)(b,a(f yx
voimme päätellä, että 1. kl. Taylor polynomi voidaan kätevästi esittää gradientin avulla: p1(x) = f(c) + f(c)·(x – c).Tarkemmin ajatellen kyseinen kaava pätee kaikille n:n muuttujan funktioille!
Tarkastellaan seuraavaksi kahden muuttujan funktiota f(x,y). Sen toisen kertaluvun Taylor polynomi pisteen c = (a,b) ympäristössä sisältää ’sekaderivaattatermit’
])by)(b,a(f)by)(ax)(b,a(f)ax)(b,a(f[ yyxyxx22
2
1 2
Muodostamalla f(x,y):n Hessen matriisi pisteessä c voidaan todeta (kotitehtävänä!), että
))(()( T ccHc2
1 xx
Siten toisen kertaluvunTaylor polynomille saadaan lauseke:
Toisen kertaluvun Taylor polynomin lauseke (joka itse asiassa pätee kaikille n:n muuttujan funktioille f(x)): ))(()()()(f)(f)(p T ccHcccc
2
12 xxxx
Esimerkki. Laskettava (a) nollannen (b) ensimmäisen ja (c) 2. asteen Taylor-polynomifunktiolle f(x,y) = x3y4 kehityskeskuksessa c = (1,2).
(a) 0. asteen Taylorpolynomi on f(c) = 13·24 = 16
(b) 1. asteen Taylorpolynomia varten pitää ’nablata f’ ja laskea pistetulo:
)2y1,(xf(1,2) 2)y1,(x)y,4xy(3x 3342 2)y1,(x)21,421(3 3342 2)y1,(x(48,32)
11232y48x2)(32y1)48(x
Siten 1. asteen Taylor polynomi on p1(x) = 48x + 32y – 96.
(c) 2. asteen Taylorpolynomia varten muodostetaan aluksi f:n Hessen matriisi:
2
432
x
)yx(
2
432
y
)yx(
yx
)yx(
432
xy
)yx(
432
46xy 32y12x
32y12x 23y12x
Siten erityisesti
H(1,2) =
4896
9696
Lasketaan sitten matriisitulo ))(()( T ccHc2
1 xx1222
212
1
2y
1x
4896
96962)y1,(x
2y
1x2)]48(y1)2),96(x96(y1)[96(x
2
1
2)}2)](y48(y1)[96(x1)2)](x96(y1){[96(x2
1
1222
21 2y
1x
4896
96962)y1,(x
2
1
]2)48(y2)1)(y96(x1)2)(x96(y1)[96(x 222
1
22 2)24(y1)2)(x96(y1)48(x
2. asteen Taylor polynomi saadaan nyt lisäämällä p1(x):n lausekkeeseen nämä termit:
22 24y+192y-96yx+336+288x-48x
:= ( )p2 x 240 240 x 160 y 48 x
296 y x 24 y
2
Hetkonen, mihin näitä Taylor polynomeja oikein tarvitaan?
Insinööritieteissä tarvitaan useinmm likiarvoja. Taylor polynomiaon helpo integroida, derivoida, laskea raja-arvoja, likiarvoja, jne. jne... Lähellä kehityskeskustase käyttäytyy likimain kuin alku-peräinen funktio.
Usean muuttujan vektoriarvoisista funktioista (Edwards&Penney Luku 13.7)
Matriisiteorian yhteydessä lienee jo tutustuttu lineaarikuvauksiin :Rn→Rm (niitä, jotkavoidaan esittää matriisikertolaskun avulla AX = Y ja joille (l(x + y)) = l(x) + l(y).Usean muuttujan vektoriarvoinen funktio f kuvaa n-ulotteisia vektoreita m-ulotteisiksivektoreiksi, esim.
2
3
2
)zyln(
ex
)ycos()xsin(
z
y
x
f z
on kuvaus f:R3→R5
jonka arvopisteessä
on
1
02
2
0
2
2
10
0
1
0
2
4
3
1
22
2
2
e
)ln(
e
)cos()sin(
f)(
Tässä funktiot sin(x) + cos(y), x2, ez ln(y+z3) ja 2 ovat f:n komponenttifunktiot, merkään niitä seuraavasti:
25
34
3
22
1
)z,y,x(f
)zyln()z,y,x(f
e)z,y,x(fx)z,y,x(f
)ycos()xsin()z,y,x(f
z
Varoitus: merkintä fi
ei ole yksikäsitteinen,sehän voisi tarkoittaasamaa kuin useanmuuttujan funktioni:s osittaisderivaatta
Jatkossa tarkastellaan yleisiävektoriarvoisia usean muuttujanfunktiota f:Rn→Rm , missäm, n ³ 1. Monet niiden omi-naisuuksista palautuvat kompo-nettifunktioiden ominaisuuksiin:
* f on määritelty pisteessä x0 täsmälleen silloin kuin jokainen komponettifunktio on määritelty tässä lähtöavaruuden Rn pisteessä, ts. f:n määrittelyalue on komponettifunktioiden määrittelyalueiden leikkaus* funktiolla f on raja-arvo pisteessä x0 täsmälleen silloin kun jokaisella komponetti- funktiolla on raja arvo tässä pisteessä,* f on jatkuva pisteessä x0 silloin ja vain silloin kun sen jokainen komponettifunktio on jatkuva tässä pisteessä [vastaavasti f:n jatkuvuus jossakin alueessa].Esimerkki. Olkoon f:R2→R4 kuvaus 2- ja 4-ulotteisten Euklidisten avaruuksien välilläja määritelty ehdolla
)y,x(f
)y,x(f
)y,x(f
)y,x(f
))yx(sin(
yx
yxy
)y,x(f
yx
yx4
3
2
1
224
4416
2
2
23
2
(a) Mikä on f:n määrittelyjoukko Deff? Ratkaisu. Tarkastellaan komponettifunktioden määrittelyjoukkoja:
f1 ja f3 on selvästi määritelty aina eli Deff1
= Deff3 = R2.
},y2x)y,x{(Deff 22R2
},y2x&yx4)y,x{(DefSiten f 2222R
},yx4)y,x{(Def Edelleen, f222R
4
(b) Laske raja-arvo),()y,x()(flim
21x Ratkaisu: Tutkitaan
komponettien raja-arvoja:
6212)(limf 23
),()y,x(1
21
x
5)(limf(1,2)y)(x,
2
x 1)sin()(limf(1,2)y)(x,
3
3x
2
224
224224
224
4416x
yx
)yx)(yx(
(1,2)y)(x,
yx
yx
(1,2)y)(x,(1,2)y)(x,4
lim
lim)(limf
8
)(flim),()y,x(
x21
8
1
5
6
(c) Miten f(x) tulisi määritellä joukossa, jossa 4x2 = y2, jotta siitä tulisi jatkuva?Ratkaisu. Edellisen raja-arvotarkastelun nojalla ongelmallinen on 4. komponettifunktio.Koska
224
224224224
4416xyx
)yx)(yx(
yx
yx4 )(f
änmääritellä
,yxkun aina, )yx( 2222 44 224 yxjoukossa
y4x
y))(xsin(
2yx
yxy
)y,x(f
222
π
2
23
Funktioiden f:Rn→Rm ja g:Rm→Rk yhdistetty funktio on kuvaus g○f:Rn→Rk, joka on määritelty kaavalla
gf Def)f(jaDefkun aina,(f(g)(fg xxx))x
Esimerkki. Olkoot funktiot f:Rn→Rm ja g:Rm→Rk määritelty kaavoilla
x
z
y
x
)z,y,x(g,
y
xy
x
)y,x(f4
2
23
f:n määrittelyalue on koko R2 taso,mutta g:tä ei ole määritelty, jos xon negatiivinen eli Defg = {(x,y,z)ÎR3, x³0}
))y,x(f(g)y,x(fg )y,xy,x(g 3
3
4
2
23
x
y
)xy(
)x(
23
4
22
6
x
y
yx
x
Yhdistetyn funktion määrittelyalue:jossDef)y,x( fg x
joss Def)y,x(g jaDef)y,x( gf
joss Def)y,xy,x( jaR)y,x( g 32
joss x jaR)y,x( 032
02 x jaR)y,x(
Siis
0} x:Ry){(x,Def 2fg
)yxja( 22
Differentioituvuus, kokonaisderivaatta, Jacobin matriisiOlkoon f:Rn→Rm määritelty jossakin n-ulotteisen avaruuden pisteen X0 ympäristössä.Jos on olemassa lineaarikuvas :Rn→Rm [eli itse asiassa matriisi Amn !] ja funktiog:Rn→Rm siten, että tässä ympäristössä on aina voimassa
0XX
XX
XXXXXX
0
0
0
000
0
)(glimmissä
),(g)()(f)(f
XX
on f differentioituva pisteessä X0.f on differentioituva jossakin alueessa,jos se on differentoituva tämän alueenkaikissa pisteissä
Riittävä ehto f:n differentioituvuudelle on kaikkien komponenttifunktioiden fi, i=1,...,mkaikkien osittaisderivaattojen ∂fi/∂xj, j=1,...,n olemassaolo jatkuvina pisteessä X0.Lineaarikuvauksen rooliin tulee silloin funktion f Jacobin matriisi
)(f
)(f
)(f
)(J
m
f
0
02
01
0
X
X
X
X
nm
1
1
x
f
2
1
x
f
nx
f
1
1
2
x
f
2
2
x
f
nx
f
2
1x
fm
2x
fm
n
m
x
f
0XX
Arvoa Jf(X0)sanotaan funktion fkokonaisderivaataksipisteessä X0.
2
122
f
f
e)z,y,x(f
zyxz
xyEsimerkki. Olkoon funktio f:Rn→Rm määritelty kaavalla
Lasketaan sen kokonaisderivaattapisteessä (x,y,z) = (1, -1, 2):
)(J f 0X
),,(X 211
x
f
1
y
f
1
z
f
1
x
f
2
y
f
2
z
f
2
z
yz
x2z
xy
22 zyxe 22 zyxe2y 22 zyxe2z
64
1
62
1
62
1
4e2ee
Yhdistetyn funktion derivaatta, yleinen ketjusääntö Yhden muuttujan yhdistetyn funktion derivaatan ketju- sääntö D(g(f(x)) = g’(f(x)f(x) on opittu jo lukiossa, näimme myös derivoinnin ketjusäännön usean muuttujan muuttujan reaaliarvoisille funktioille. Nyt tämä sääntö esitetään kaikkein yleisimmässä muodossaan Jacobin matriisin avulla: Olkoot funktiot f:Rn→Rm ja g:Rm→Rk differentioituvia. Silloin yhdistetyn funktiong○f:Rn→Rk kokonaisderivaatalle pätee: nkfg )](J[ 0X nmfmkg )](J[))](f(J[ 00 XX
g:n Jacobi pisteessä f(X0)f:n Jacobi pisteessä X0
matriisitulo
Esimerkki. Todennetaan kaava nmfmkg )](J[))](f(J[ 00 XXnkfg )](J[ 0X
32
3
2
1
2 RR:feli
)y,x(f
)y,x(f
)y,x(f
yx
xy
)y,x(fefunktioill
y
x
),()y,x(pisteessäRR:geli
)z,y,x(g
)z,y,x(g
)z,y,x(g
)z,y,x(g
zyx
xyz
zx
)z,y,x(gjax
yz14
432
43
4
3
2
122
1° Lasketaan ensin yhdistetty funktio g○f ja sitten sen Jacobin matriisi Jg○f:Koska
y
x
yx
xy
g))y,x(fg( y)f(x,g 2
y
xxy
y
x
)yx(
)yx(xy
y
x)yx(xy
y
xyx
4232
2
2
2
222
y
xyxxyyy
xyxx
y
xyx
4632
22
2
23
2
222
4
3
2
1
)fg(
)fg(
)fg(
)fg(
on Jacobin matriisi Jg○f =
x
)fg(
1
y
)fg(
1
x
)fg(
2
y
)fg(
2
x
)fg(
3
y
)fg(
3
x
)fg(
4
y
)fg(
4
22 2
2y
xxy
3
22 2
2y
xyx
xyx 43 2 22x
2
1
y23
22
yy
x
yy
423
2
426
y
xx
16 0
64 32
1 10
9 2
2° Lasketaan ensin Jacobin matriisit Jg(f(4,1)) ja Jf((4,1) ja sitten näiden matriisitulo.Tarvitsemme myös arvoa f(4,1) = (4,6,4).
))](f(J[ g 0X
x
g
1
y
g
1
z
g
1
x
g
2
y
g
2
z
g
2
x
g
3
y
g
3
z
g
3
x
g
4
y
g
4
z
g
4
x2 0 z2
yz xz xy
2x
yz
x
z
x
y
2 3 4
4
24
8
3
1
16
0
2
24
8
2
3
2
3
)(J f 0X
x
f
1
y
f
1
x
f
2
y
f
2
x
f
3
y
f
3
2y
x
y
1
2
x
1
y
4
2
4
1
1
1
Siten matriisituloksi saadaan
)]4,1(J[))]4,1(f(J[ fg
4
24
8
3
1
16
0
2
24
8
2
3
2
3
4
2
4
1
1
1
2-
10
32
0
9
1
64
16 Samatulos!
Yhdistetyn funktion derivoimiskaavan nkfg )](J[ 0X nmfmkg )](J[))](f(J[ 00 XX
yleinen todistus on suoraviivainen, mutta teknisesti hankalahko; ensin todetaan että koska f on differentioituva pisteessä X0, on sitä myös yhdistetty funktio. Tämän jälkeen muodostetaan yhdis-tetyn funktion Jacobin matriisi ja tarkastellaan sen paikalla (i,j) olevaa alkiota. Matriisin kertolas-kuominaisuuksista seuraa, että tämä alkio on sama kuin tulomatriisin vastaavalla paikalla oleva alkio.
Acrobat Document