12

SİNYALLER VE SİSTEMLERİN MATLAB YARDIMIYLA BENZETİMİ

2.1. Sinyal Üretimi Bu laboratuarda analog sinyaller ve sistemlerin sayısal bir ortamda benzetimini yapacağımız için örneklenmiş sinyaller üzerinde işlem yapacağız. Sürekli zamanlı bir sinyal olan ( )cX t ’yi N boyutlu bir vektör ile örneklenmiş ve kuantalanmış (bölütlenmiş) olarak c 0 c 1 c N[X (t ) X (t ) ... X (t -1)] şeklinde ifade edilebilir. Burada sinyalin zaman aralığı ot ile 1Nt − arasındadır. Örnekleme aralığı s i+1 iT =t -t ifadesiyle belirtilmektedir. Örnekleme aralığı yeteri kadar büyük seçilmelidir ki MATLAB’ de sinyal sürekli zaman gibi görülebilsin. Sinyalin en büyük frekansının yaklaşık 10 katı bir değer (örnekleme frekansı) işlemler için yeterli olacaktır. Ancak sinyalin fazının çizdirilmesi işleminde alınacak değer 100 katı olması yapılacak işlemin doğruluğunu artıracaktır. Örnekleme frekansı ile örnekleme zaman aralığı arasındaki bağıntı 1/s sf T= ’ dir.

10sf Hz= ’lik bir sinüzoidal sinyal aşağıdaki gibi üretilir:

%program ch2_1.m close all % Ekranda daha önce çizilmiş şekil varsa bu şekilleri kapatır. clear all % Daha önceden yapılmış bir işlem varsa hafızayı temizler. clc % Komut penceresi ekranını temizler. fm=10; % İşaretin frekansı 10 Hz fs=100*fm; %Sinyalin örnekleme frekansı Hz; ts=1/fs; n=[0:(1/fs):1]; % Sinyal 0'dan 1 saniyeye kadar faz=0; %30 tsy=cos(2*pi*n*fm+faz); % İşaretimiz plot(n,tsy, 'k' ); %işaretin zaman izgesinde çizimi title('Cosinus dalgasi') xlabel('saniye'); ylabel('genlik');

13

Şekil 2.1: Kosinüs Dalgası

Şekilden görüleceği üzere 1 saniyede 10 adet kosinüs dalgası vardır.

2.2. Fourier Dönüşümü Fourier dönüşüm yöntemi sinyalin içindeki bilgilerin elde edilebilmesi için, sinyallerin işlenmesinde kullanılan çok önemli bir yöntemdir. Bu bilgiler, Fourier dönüşümü ile MATLAB tarafından yeniden kullanılmaya uygun bir veri formatına çevrilir. Fourier dönüşümüyle bir sinyal, farklı genlik, frekans ve fazlarda kosinüs ve sinüs temel bileşenlerinin toplamı olarak ifade edilir. Her bileşenin frekans ve genliği ile birlikte tablolaşması, bilgisayarla verilerin işlenmesi sırasında kolaylık sağlar.

Denklem (2.1) Sürekli Zamanlı Fourier Dönüşümü, Denklem (2.2) ise Ayrıklı Zamanlı Fourier Dönüşümü’ nü göstermektedir. MATLAB’ de kullandığımız dönüşüm ise hem zamanda hem de frekansta ayrık olduğu için DFT ve IDFT kullanırız.

1

0

2( ) ( ) k

Njw n

kn

X k x n e w kNπ−

−

=

= =∑ (2.3)

1

0

1( ) ( ) k

Njw n

nx n X k e

N

−−

=

= ∑ (2.4)

Denklem (2.3) Ayrık Fourier Dönüşümü (DFT), Denklem (2.4) ise Ters Ayrık Fourier Dönüşümü (IDFT)’ dür.

( ) ( )jw jwtcX e X t e dt

+∞−

−∞

= ∫ (2.1)

( ) ( )jw jwnX e x n e∞

−

−∞

= ∫ (2.2)

14

Bu dönüşüm hesaplamaları maalesef çok masraflı hesaplamalardır. Hızlı Fourier dönüşümü tekniği, bir yandan hesaplamalar sürerken, bir yaklaşım olarak ilk elde edilen değerlerin kullanıma sunulduğu bir alternatif yazılım tekniğidir.

%program ch2_2.m fm=10; % Isaretin frekansi fs=1000*fm; %Sinyalin ornekleme frekansi ts=1/fs; n=[0:(1/fs):1]; % Sinyal 0'dan 1 saniyeye kadar faz=0 %-60;%30 tsy=sin(2*pi*n*fm+faz); % isaretimiz % cos((pi/2)-a)=cos(a-(pi/2)) tsyf=fft(tsy)/length(tsy); % Sinyalin frekans izgesinde gösterilimi tsyfm=abs(tsyf); % Sinyalin fourier dönüşümü yapılınca karmaşık %faz temizle% for i=1:(fs+1); if abs(tsyf(i))<0.01; tsyf(i)=0; end end tsyfa=angle(tsyf); figure SUBPLOT(2,1,1) plot(tsyfm); AXIS([0 100 0 1]) title('Sekil 2a'); %text(3000,0.3,'-pi +pi araligi için ') SUBPLOT(2,1,2) plot(tsyfa); AXIS([0 100 -2 2]) title('Sekil 2b'); xlabel('Hertz'); % Sinyalin frekansının bulunması [A,B]=max(tsyfm(1:(fs/2))); disp('Sinyalin frekansi') disp(B-1) tsyfa(B) Şekil 2.2.a.’ da sinyalin frekans cevabının mutlak değeri çizilmişken Şekil 2.2.b.’ de faz cevabı çizilmiştir. Burada dikkat edilmesi gereken husus faz cevabı bulunurken örnekleme frekansının yeterince büyük seçilmesinin gerekliliğidir.

15

Şekil 2.2 a) Sinyalin Frekans Cevabının Mutlak Değeri b) Sinyalin Faz Cevabı

Sinyalin Fourier dönüşümünden sonra sıfıra yakın sayılar oluşmaktadır. Bu sayıların oluşumundan dolayı faz cevabı anlaşılır şekilde çıkmamıştır. Bu problemin çözülebilmesi için DFT işleminden sonra sıfıra yakın sayılar sıfırlanır. Bu işlem verilen örnekte faz temizleme ile kısmında gerçekleştirilmiştir. 2.3. Süzgeç Yapıları Süzgeçler yapılarına göre Sonlu Dürtü Yanıtlı (FIR, Finite Impluse Response) ve Sonsuz Dürtü Yanıtlı (IIR, Infinite Impluse Response) süzgeçler olmak üzere ikiye ayrılır. Ayrıca süzgeçler verdikleri frekans cevabına göre Alt Geçiren (LP, Low Pass), Üst Geçiren (HP, High Pass), Band Geçiren (BP, Band Pass), Band Bastıran ‘Geçirmeyen’ (BR, Band eject), Tüm Geçiren (AP, All Pass) şeklinde ayrılmaktadır. 2.3.1. Sonsuz Dürtü Yanıtlı Süzgeç Yapıları Bu bölümde Butterworth süzgeç tasarımı verilecektir. Örnekte verilen tasarım alt geçiren süzgeç tasarımıdır ancak %’li kısımlar kaldırılarak diğer tasarımların da nasıl yapılabileceği görülebilir.

16

%program ch2_5.m close all wg=[0.25]; % Alt geçiren wd=[0.5]; %wg=[0.5] % Üst geçiren %wd=[0.1] %wg=[0.25 0.5]; % Band geçiren %wd=[0.1 0.7]; %wg=[0.25 0.5]; % Band Durduran %wd=[0.1 0.7]; gddb=1; sddb=40; [N,Wn]=buttord(wg,wd,gddb,sddb); [B,A] = BUTTER(N,Wn); fs=1000; [H,W] = FREQZ(B,A,1000); Hg=20*log10(abs(H)); plot(W/pi,Hg) grid on AXIS([0 1 -40 5]) xlabel('W/pi'); ylabel('Kazanç,dB'); title('IIR,Buttordworth Alt Geçiren Süzgeç') figure plot(abs(H)); grid on xlabel('Hz'); ylabel('Kazanç'); AXIS([0 1000 0 1.2]) for i=1:(length(H)); if abs(H(i))<0.01; H(i)=0; end end Ha=angle(H); figure plot((Ha/pi)*180); xlabel('Hz'); ylabel('Faz'); grid on

17

Şekil 2.3: Butterworth Alt Geçiren Süzgecin Kazanç Eğrisi (dB)

Şekil 2.4: Butterworth Alt Geçiren Süzgecin Kazanç Eğrisi

18

Şekil 2.5: Butterworth Alt Geçiren Süzgecin Faz Cevabı

Ayrıca Chebyshev, Elliptic süzgeçleri de verilen MATLAB fonksiyonları ile gerçekleştirilebilir. buttord: Geçiş bandında Rp (dB) değerinden fazla olmayan ve durdurma bandında en az Rs (dB) değeri kadar güç yetirimini veren en düşük dereceli sayısal Butterworth süzgecin derecesini verir. Wg ve Wd geçiş ve durdurma bandının 0 ile 1 arasında normalize edilmiş köşe frekanslarını göstermektedir. Fonksiyonun çıkışı olan Wn ise istenen özellikte süzgeç için gerekli olan doğal frekansı vermektedir. Alt Geçiren: Wp=0.1 Ws=0.2; Üst Geçiren: Wp=0.2 Ws=0.1; Band Geçiren: Wp=[0.2 0.7], Ws=[0.1,0.8]; Band Durduran: Wp=[0.1 0.8], Ws=[0.2 0.7]; Butter: Butterworth sayısal ve analog süzgeç tasarımı N. dereceden alt geçiren süzgeç tasarlar ve N+1 uzunluğunda B (pay) ve A (payda) süzgeç katsayılarını verir. Katsayılar kaydırmalı yapı düşünülerek z’ in sıfırın kuvvetinden N+1. kuvvetine kadar gider. Ayrıca kesim frekansı Wn ‘0.0 < Wn < 1.0’ arasındadır. Burada 1.0 örnekleme hızının yarısını göstermektedir. Eğer Wn iki bileşenden oluşuyorsa Wn = [W1 W2] 2N dereceli geçiş bandı W1 < W < W2 şeklinde olan süzgeç olur. Ayrıca üst geçiren süzgeç [B,A] = butter(N,Wn,'high') ile bant durduran süzgeç ise [B,A] = butter(N,Wn,'stop') ile tasarlanabilir. cheb1ord: Birinci çeşit Chebyshev süzgeç derecesi bulma cheby: Chebyshev birinci çeşit sayısal ve analog süzgeç tasarımı cheb2ord: İkinci çeşit Chebyshev süzgeç derecesi bulma cheby2: Chebyshev ikinci çeşit sayısal ve analog süzgeç tasarımı ellipord: Elliptic süzgeç derecesi bulma ellip: Elliptic veya Cauer sayısal ve analog süzgeç tasarımı

19

2.3.2. Sonlu Dürtü Yanıtlı Süzgeç Tasarımı FIR süzgeçlerin getirisi doğrusal faz cevabına sahip olmalarıdır. Ancak bu süzgeç yapılarında istenen frekans cevabını elde etmek için gerekli olan süzgeç uzunluğu oldukça fazladır. Dahası FIR tasarımında geçiş bandı ile durdurma bandı arası olan dönüşüm bandı IIR süzgeçler kadar keskin olmamasıdır. FIR süzgeçlerde çeşitli tasarım metotları vardır. Bunlar pencereleme, remez algoritması, en küçük kareler yöntemi gibi çeşitli yöntemlerdir. Bu bölümde bir pencereleme yöntemi ile yapılan süzgeç tasarımını vereceğiz. Bu tasarım varsayılan olarak hamming pencereleme yöntemini kullanmaktadır. %program ch2_6.m close all Wn=[0.2]; % Alt geçiren N=150; B = FIR1(N,Wn,'low') fs=1000; [H,W] = FREQZ(B,1,1000); Hg=20*log10(abs(H)); plot(W/pi,Hg) grid on AXIS([0 1 -100 5]) xlabel('W/pi'); ylabel('Kazanç,dB'); title('SDC,Hamming Pencereleme Yöntemiyle Alt Geçiren Süzgeç Tasarimi') figure plot(abs(H)); grid on xlabel('Hz'); ylabel('Kazanç'); AXIS([0 1000 0 1.2]) for i=1:(length(H)); if abs(H(i))<0.01; H(i)=0; end end Ha=angle(H); figure plot((Ha/pi*180)); xlabel('Hz'); ylabel('Faz'); grid on

20

Şekil 2.6: FIR Alt Geçiren Süzgecin Kazanç eğrisi (dB)

Şekil 2.7: FIR Alt Geçiren Süzgecin Kazanç Eğrisi

21

Şekil 2.8: FIR Alt Geçiren Süzgecin faz cevabı

Unwrap: Daha önce FIR süzgeç yapısı doğrusal bir faz cevabı verirken IIR yapılar bu cevabı veremez demiştik. Bu ifade çizdirilen faz grafiklerinde tam olarak görülememektedir. Bu yüzden unwrap denilen π ’ den büyük atlama fazlarını 2π ’ nin katlarına dolayan işlev kullanılır ve sürekli hali görüntülenebilir. Ha=angle(H); komutundan sonra Ha=unwrap(Ha); komutu kullanılarak yapılırsa sonlu ve sonsuz darbe cevaplı süzgeçler için aşağıdaki şekiller elde edilebilir. Buradan görülebileceği üzere sonsuz darbe cevaplı süzgecin faz eğrisi doğrusal iken bu eğri sonlu dürtü cevaplı süzgeç için doğrusala yakın ancak doğrusal değildir.

Şekil 2.9: Sonlu Dürtü Cevaplı Süzgeç İçin Faz Cevabı Düzenlenmiş Eğri

22

Şekil 2.10: Sonsuz Dürtü cevaplı Süzgeç İçin Faz Cevabı Düzenlenmiş Eğri

2.4. Sinyallerim Süzgeçlenmesi

1 1 1 2 2 2( ) .cos(2 ) .sin(2 )c cy t A f t A f tπ θ π θ= + + + şeklinde verilen ( )y t sinyalini

1 2 1 2 1 23, 5, 10 , 300 , 30, 0A A f Hz f Hz θ θ= = = = = = değerleri için benzetimini yaparak daha sonradan 1 1( ) .cos(2 )k cy t A f tπ= sinyalini elde etmek için alt geçiren sonlu cevaplı süzgeçten geçirelim. Dikkat edilmesi gereken husus süzgeç tasarımı yaparken süzgeç tasarım kriterini 0 ile π arasında göz önüne alınmasıdır. Örneğin örnekleme frekansımız 10000 olsun ve kullanacağımız süzgeç bant geçiren olsun ve geçirme frekansları da 180 ile 220 Hz arasında olsun, bu durumda durdurma frekanslarını da 100 ile 300 seçelim. Süzgecimizin en büyük frekansı / 2sf olacak şekilde almamız gereken değerler basit bir oran orantı ile [ ]w 0.036 0.044g = , [ ]dw 0.02 0.06 = olarak bulunur. Burada önemli bir nokta bu tasarımda bile seçtiğimiz değerlere karşılık gelen B değerinin çok küçük olmasıdır. Bu açıdan dar bantlı bir süzgeç tasarımının ve gerçekleştirilmesinin zor olduğu görülmektedir. Örneğin tasarımda B’ nin değeri direkt sıfır olarak alınırsa süzgeç çalışmaz. % Sinyal uretimi ve filtreleme islemi close all clear all hold on fs=10000; % pi=5000 %Sinyalin ornekleme frekansi ts=1/fs; n=[0:(1/fs):1]; % Sinyal 0'dan 1 saniyeye kadar fm1=10; %150 % Isaretin frekansi fm2=200; faz1=(pi/6); faz2=0; A1=4; A2=3;

23

tsy=A1*cos(2*pi*n*fm1+faz1)+A2*sin(2*pi*n*fm2+faz2); % isaretimiz %gy2=A2*sin(2*pi*n*fm2+faz2); süzgeçleme isleminden sonra istenen sinyal %.....................Sekil 1: sinyalin zaman izgesinde çizimi plot(tsy); AXIS([0 2000 -10 10]); xlabel('Örnek sayisi, Toplam 0.2 saniye'); ylabel('Genlik Degeri,Volt'); %..................... tsyf=fft(tsy)/length(tsy); tsyfm=abs(tsyf); %faz temizle% for i=1:(fs+1); if abs(tsyf(i))<0.1; tsyf(i)=0; end end tsyfa=angle(tsyf); %............... % 0-2 pi araliginda olan izgeyi -pi +pi araligina goturme islemi tsyfm=fftshift(tsyfm); tsyfa=fftshift(tsyfa); eks=[-fs/2:1:fs/2]; %.......Süzgeç Tasarimi..........(Burada süzgeçin frekans çiziminin %gösterimi için gerekli islemler yapilmaktadir.) wg=[0.036 0.044]; % Band geçiren wd=[0.02 0.06]; gddb=1; sddb=40; [N,Wn]=buttord(wg,wd,gddb,sddb); [B,A] = BUTTER(N,Wn); %B=0; [H,W] = FREQZ(B,A,fs/2+1); eH=flipud(H); H=[eH(1:fs/2);H]; %............................... %.............................. figure subplot(2,1,1); plot(eks,abs(H));grid on AXIS([0 500 0 1.2]) %.............faz temizle

24

for i=1:(fs+1); if abs(H(i))<0.1; H(i)=0; end end subplot(2,1,2) plot(eks,angle(H)),grid on AXIS([0 500 -10 10]); xlabel('Hertz'); %................................... %.......................y(t) sinyali'nin cizimi........... figure SUBPLOT(2,1,1) plot(eks,tsyfm); hold on plot(eks,abs(H));grid on AXIS([-500 500 0 2]) hold on SUBPLOT(2,1,2) plot(eks,(tsyfa/pi)*180); AXIS([-500 500 -180 180]); hold on %....................... plot(eks,angle(H));grid on %AXIS([0 500 -5 5]); xlabel('Hertz'); %.......Süzgeçleme islemi......... suz_tsy=filter(B,A,tsy); %................................. suz_tsyf=fft(suz_tsy)/length(tsy); for i=1:(fs+1); if abs(suz_tsyf(i))<0.1; suz_tsyf(i)=0; end end suz_tsyfa=angle(suz_tsyf); suz_tsyfm=abs(suz_tsyf); suz_tsyfm=fftshift(suz_tsyfm); suz_tsyfa=fftshift(suz_tsyfa); %.............Sekillerin çizdirimi........ figure SUBPLOT(2,1,1) plot(eks,suz_tsyfm);grid on AXIS([-500 500 0 2]);

25

SUBPLOT(2,1,2) plot(eks,(suz_tsyfa/pi)*180); AXIS([-500 500 -180 180]);grid on xlabel('Hertz') figure plot(suz_tsy); gy2=A2*sin(2*pi*n*fm2+faz2); hold on plot(gy2,'r'); AXIS([0 1000 -5 5]); xlabel('Örnek Sayisi, Toplam 0.1 saniye')

Şekil 2.11: y(t) işareti

Şekil 2.12: Kullanılan Bant Geçiren Süzgecin Kazanç ve Faz Cevabı

26

Şekil 2.13: Y(F)’İn Genlik Ve Faz Cevabı Üzerine Kullanılan Süzgecin Genlik Ve Faz Cevabının

Gösterimi

Şekil 2.14: Süzgeçleme İşleminden Sonra İşaretin Frekans Cevabı

27

Şekil 2.15: Süzgeçlenmiş Ve Gerçek İşaretin Gösterimi