Introducción a las ecuaciones diferenciales. Ecuaciones de ...
"Simultaneas De Las Ecuaciones"
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“Simultaneas De Las
Ecuaciones”
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Ecuaciones simultaneas: Dos o más ecuaciones con dos o mas incógnitas son simultaneas cuando se satisfacen para iguales valores de las incógnitas.
Incógnita: Cantidad desconocida que es preciso determinar en una ecuación o en un problema para resolverlos.
Variable: Magnitud que puede tener un valor cualquiera de los comprendidos en un conjunto.
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Así, las ecuaciones:
X+Y = 5X-Y = 1
Son simultaneas porque x =3, y=2 satisfacen ambas ecuaciones.
Resolver un sistema de ecuaciones simultáneas es hallar el conjunto de valores
que satisfacen simultáneamente cada una de sus ecuaciones.
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Conocimientos y Habilidades: representar con literales los valores desconocidos de un problema y usarlas para plantear y resolver un sistema de ecuaciones con coeficientes enteros.
Intenciones Didácticas: que los alumnos, a partir de ejemplos ya resueltos, reconozcan y analicen las características de los diferentes métodos (simultaneas de ecuaciones) con los que se puede resolver un sistema de ecuaciones lineales, para que a partir de este análisis elijan el método idóneo según las características del sistema.
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Problema 1:La suma de dos números es 195. ¿Si el doble del primer número menos el segundo es 60, cuáles son esos números?
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Solución de un sistema de ecuaciones simultáneas
Muchos problemas tienen dos incógnitas y se pueden resolver planteando simultáneamente dos ecuaciones de primer grado. Éstas se pueden resolver de varias formas. Calculando X en la primera ecuación y luego sustituyendo su valor en la segunda. Entonces se resuelve la segunda, o bien multiplicar todos los términos de una de ellas por un valor constante tal, que iguale el coeficiente de X o de Y en la otra ecuación.
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En el fondo, la estrategia general consiste en convertir las ecuaciones en una sola para resolverla como una simple, obtener uno de los valores y con él regresar a resolver la ecuación inicial.
Ejemplo (a):
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Ejemplo (b):
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Este método consta de los siguientes pasos:1.- Mediante las propiedades de las ecuaciones, se igualan los coeficientes de una de las incógnitas.2.- Si ambos coeficientes son de signos diferentes, se suman las ecuaciones; en caso contrario, se restan, con lo que se eliminan los términos que tienen esa incógnita.3.- Como el resultado de la operación anterior es de la forma ax=b, se resuelve del ejemplo que a continuación se presentara.4.- El valor obtenido en el paso anterior se sustituye en cualquiera de las dos ecuaciones y se resuelve para la otra incógnita.
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Enseguida se muestran algunos ejemplos:Sea el sistema de ecuaciones 3x + 4y = 23; 8x – 9y =
22.
3x = 15 X = 15 / 3 = 5: La solución del sistema de ecuaciones es (5, 2)
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Este método consta de los siguientes pasos:1.- Se despeja una de las incógnitas de cualquiera de las dos ecuaciones.2.- Se sustituye el valor resultante de la incógnita en la otra ecuación. Mediante las propiedades de las ecuaciones, se le lleva a la forma ax=b y se resuelve de la manera.3.- El valor obtenido del paso anterior se sustituye en cualquiera de las dos ecuaciones y se resuelve para la otra incógnita.
El siguiente es un ejemplo de resolución de un sistema de ecuaciones lineales mediante el método de sustitución.
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Tomemos el sistema de ecuaciones del punto anterior: 3x + 4y = 23; 8x – 9y = 22.
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Este método consta de los siguientes pasos:1.- Se despeja una misma incognita de cada una de las dos ecuaciones.2.- Se igualan ambos despejes. Mediante las propiedades de las ecuaciones, se le lleva a la forma ax=b y se resuelva de la manera siguiente.3.- El valor obtenido del paso anterior se sustituye en culquiera e las dos ecuaciones y se resuelve para la otra incognita.
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Ejemplo:
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Este método consta de los siguientes pasos:1.- Se despeja una misma incógnita de cada una de las dos ecuaciones.2.-Se construye una tabla para cada ecuación, donde de le asignan valores a la incógnita no despejada.3.- Las dos tablas se complementan con las evaluaciones de cada uno de los valores de la incógnita no despejada en las ecuaciones del paso 1.4.- Se grafican los pares ordenados en el plano; obsérvese que se forman dos líneas rectas.5.- La solución grafica del sistema es el punto de intersección de estas rectas.Basándonos en el ejemplo anterior: despejando la y en cada una de las ecuaciones quedaría:
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