Ecuaciones parciales Ecuaciones diferenciales 5. Introducción a las ecuaciones en derivadas...
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Ecuaciones parciales
Ecuacionesdiferenciales
5. Introducción a las ecuaciones en derivadas parciales
ObjetivoEl alumno conocerá las ecuaciones en derivadas parciales y aplicará el método de separación de variables en su resolución
Ecuaciones parciales
• Ecuaciones diferenciales parciales (EDP)• Tipos de EDP homogéneas con coeficientes constantes• Solución de una EDP• EDP clásicas• Obtención de una EDP a partir de una solución dada
Ecuaciones diferencialesparciales
Ecuaciones parciales
Ecuación diferencial parcial linealde segundo orden
GuFyu
Exu
Dyu
Cxyu
Bxu
A
2
22
2
2
• Los coeficientes A, B, C, D, E, F son constantes o dependen sólo de las variables independientes
• El término G es constante o depende sólo de las variables independientes
• La función u(x,y) y todas sus derivadas tienen potencia 1
Ecuaciones parciales
Tipos de EDP lineales homogéneas con coeficientes constantes
02
22
2
2
uFyu
Exu
Dyu
Cxyu
Bxu
A
Tipo de EDP Condición
• Hiperbólica
• Parabólica
• Elíptica 04
04
04
2
2
2
ACB
ACB
ACB
Ecuaciones parciales
Solución de una EDP
La forma de la solución de una EDP para el caso unidimensional puede ser de dos formas:
)()(),(
)()(),(
ygxfyxu
ygxfyxu
• Es una función de dos o más variables independientes• Satisface a la EDP en alguna región dada• El número de variables independientes en la solución depende de las dimensiones del problema• El número de funciones arbitrarias presentes en la solución indica el orden de la EDP
Ecuaciones parciales
Solución completa de una EDPSon las soluciones que contienen el mismo número de funciones arbitrarias que de variables independientes en una EDP
Solución general de una EDPEs una solución que contiene un número de funciones arbitrarias igual al orden de la EDP
Ecuaciones parciales
Problema de difusión de calor
f(x)
T
x
Distribución de temperatura a lo largo de la barra en un instante de tiempo cualquiera
0 ,2
2
ktT
xT
k
k es la conductividad térmica del material
Ecuaciones parciales
Ley de enfriamiento de Newton:
M
t
M
T = M
T ≠ M
M es la temperatura constante del medioT es la temperatura de un objetot es el tiempo
)( TMkdtdT
Modelo matemático:
Problema que resuelve:¿En cuánto tiempo el cuerpo inmerso adquiere la temperatura del medio?
t0
tf = ?
Ecuaciones parciales
Consolidación unidimensional de los suelos
tu
zu
Cv
2
2
Cv es el coeficiente de consolidación del suelo
Suelo compresible, Cv
H = ?
H
w0
El modelo predice la distribución de presión de poro en el suelo
Ecuaciones parciales
Problema de la cuerda vibrante
2
2
2
22
tu
xu
v
http://www.math.ubc.ca/~feldman/demos/demo6c.html
v es la velocidad de propagación de la onda
Ecuaciones parciales
Propagación de ondas sísmicas
Roca
Estrato de suelo, v
Movimiento de entrada(sismo)
Movimiento de salida(respuesta)
2
2
2
22
tu
zu
v
Ecuaciones parciales
Ecuación de Laplace
02
2
2
2
yu
xu
Este modelo se presenta en problemas independientes del tiempo relacionados con potenciales electrostáticos, gravitacionales y con la velocidad en mecánica de fluidos. También puede interpretarse como una distribución de temperatura de estado estable:
Ecuaciones parciales
Flujo bidimensional de agua en medios porosos
02
2
2
2
yu
kxu
k yx
kx, ky son las permeabilidades del suelo en las direcciones x, y respectivamente
El modelo calcula el potencial hidráulico (cabeza de agua) en la región de interés
Ecuaciones parciales
Soluciones gráficas de la ecuación de Laplace para distintas condiciones de frontera: redes de flujo
Ecuaciones parciales
Obtención de una EDP a partir de una solución dada
La EDP se obtiene mediante el proceso de eliminación de funciones arbitrarias:
• Identificar el orden de la EDP• Derivar parcialmente de acuerdo con este orden• Sumar algebraicamente aquellas derivadas que se anulen