Simpleks metoda za rješavana problema linearnog

programiranja

(15.3. i 22.3. 2017)

Doc. dr. sc. Tunjo Perić

Osnovni principi simpleks metode

• Simpleks metoda spada u kategoriju numeričkih iterativnih

metoda.

• Pri rješavanju problema polazi se od početnog bazičnog

rješenja, koje mora biti dopustivo.

• Početno se bazično rješenje poboljšava kroz niz koraka

(iteracija) dok se ne postigne optimalno rješenje u skladu s

postavljenim ciljem.

• Simpleks metoda predstavlja opći algoritam za rješavanje svih

oblika problema LP.

• Algoritam simpleks metode sastoji se iz dva koraka:

• Korak 1. Određivanje početnog bazičnog dopustivog rješenja i

• Korak 2. Poboljšanje dobivenog bazičnog rješenja kroz konačan broj

iteracija.

• Da bismo odredili početno bazično dopustivo rješenje

potrebno je najprije opći model LP prevesti na kanonski oblik

(sva ograničenja moraju biti oblika jednakosti (=)).

• Prevođenje općeg/standardnog oblika linearnog modela na

kanonski oblik ovisi o obliku ograničenja i vrsti linearnog

problema.

• Lijevoj strani ograničenja oblika manje ili jednako

dodaju se dopunske varijable s koeficijentom 0 uz tu

varijablu u funkciji cilja, kako za problem maksimuma tako i

za problem minimuma.

• Lijevoj strani ograničenja oblika jednakosti (=) dodaje se tzv.

artificijelna (umjetna) varijabla s koeficijentom –M uz tu

varijablu u funkciji cilja za problem maksimuma, odnosno M

za problem minimuma. “M” je nespecificirano veliki broj.

( )

• Lijevoj strani ograničenja oblika veće ili jednako ( ) dodaje se dopunska varijabla s predznakom minus (–), s koeficijentom 0 u funkciji cilja te artificijelna varijabla s koeficijentom u funkciji cilja –M za problem maksimuma odnosno M za problem minimuma.

• Tablično prikazano prevođenje općeg na kanonski oblik problema LP izgleda ovako:

• Artificijelne (umjetne) varijable (ART) uvode se samo kao računsko sredstvo u simpleks metodi s ciljem osiguranja dopustivog bazičnog rješenja.

Oblik ograničenja

Dopunske i umjetne varijable

Koeficijenti u funkciji cilja

max min

DOP ART DOP ART

<= + DOP 0 0

= + ART -M M

>= - DOP+ART 0 -M 0 M

• Bazično rješenje formiraju bazične varijable, koje se

nalaze uz bazične vektore. Bazu tvore linearno nezavisni

jedinični vektori koje nazivamo bazičnim vektorima.

• Da bi se osigurao izlazak svih artificijelnih varijabli iz

bazičnog rješenja, u funkciji cilja im se pridružuje koeficijent

–M kod problema maksimuma, odnosno M kod problema

minimuma.

• Bazu vektorskog prostora čine m jediničnih vektora,

koji su međusobno linearno nezavisni. Bazično rješenje

čine m bazičnih varijabli koje se nalaze uz jedinične

vektore koji formiraju jediničnu matricu.

• Vektor b se izražava kao linearna kombinacija vektora baze.

Budući da se uz bazične vektore nalaze bazične varijable, onda

nije teško pročitati vrijednost svake bazične varijable.

Vrijednost bazične varijable jednaka je vrijednosti koeficijenta

u vektoru b koji odgovara retku u kojem se nalazi jedinica u

bazičnom vektoru.

mR

• Dobiveno rješenje je neupotrebljivo dokle god su u bazi

vektori koji se nalaze uz artificijelne varijable (artificijelni

vektori). Nakon izlaska iz baze svih artificijelnih vektora dobiva

se prvo upotrebljivo rješenje.

• Bazično dopustivo rješenje čini skup od m bazičnih varijabli

(odnosno onoliko koliko ima ograničenja), čije vrijednosti moraju

biti pozitivne.

• Dopustivo bazično rješenje može biti:

• Nedegenerirano – ima točno m pozitivnih vrijednosti bazičnih

varijabli,

• Degenerirano – ima manje od m pozitivnih vrijednosti

bazičnih varijabli.

• Varijable u simpleks metodi klasificiraju se na bazične i

nebazične.

• Nebazičnim varijablama smo u programu dodijelili

vrijednost nula.

• Bazične varijable nalaze se uz bazične vektore. One

predstavljaju dopustivo bazično rješenje. Imaju vrijednosti

veće od nula i ima ih onoliko koliko ima ograničenja.

• Dopustivo bazično rješenje ima sljedeće osobine:

• Sadrži sve pozitivne vrijednosti varijabli osim kod degeneracije,

• Svaka varijabla iz dopustivog bazičnog rješenja može se pojaviti samo

u jednom ograničenju sa strukturnim koeficijentom 1, tj. strukturni

koeficijenti u ograničenjima uz bazične varijable čine jediničnu

matricu,

• Početno dopustivo bazično rješenje čine: (1) dopunske varijable

uvedene u ograničenja nejednakosti oblika i (2) artificijelne

varijable uvedene u ograničenja jednakosti i nejednakosti oblika .

• Svaka iteracija simpleks metode sastoji se iz tri koraka:

• Korak 1. Utvrđivanje je li dobiveno rješenje optimalno i ako nije

određuje se nebazična varijabla koja će ući u bazično rješenje, pri čemu

vektor koji se nalazi uz tu varijablu ulazi u bazu: (1) ako se radi o

linearnom modelu za maksimum logično je (ali ne i neophodno) uvesti

u bazično rješenje varijablu koja najviše povećava vrijednost funkcije

cilja, (2) ako se radi o linearnom modelu za minimum logično je uvesti

u bazično rješenje varijablu koja najviše smanjuje vrijednost funkcije

cilja.

• Korak 2. Određivanje varijable koja napušta bazično rješenje (postaje

nebazična), pri čemu vektor koji se nalazi uz tu varijablu napušta bazu.

• Korak 3. Transformacija strukturnih koeficijenata i koeficijenata u

funkciji cilja nakon čega se vraćamo na korak 1.

• Simpleks metoda se može provoditi:

• Rješavanjem sustava ograničavajućih jednadžbi,

• Tablično i

• Matrično.

Suština simpleks metode

• Simpleks metoda je algebarska procedura. Međutim, temeljni

koncepti su geometrijski. Razumijevanje osnovnih

geometrijskih koncepata osigurava jak intuitivni osjećaj o

tome kako radi simpleks metoda i što je čini tako efikasnom.

• Riješimo geometrijski sljedeći primjer:

1 2

1

2

1 2

1 2

max 3 5

p.o. 4

2 12

3 2 18

0, 0

z x x

x

x

x x

x x

x1(4, 0) (6, 0)(0, 0)

(4, 3)

(4, 6)(2, 6)(0, 6)

(0, 9)

3x1 + 2x2 = 18

2x2 = 12

x1=4

x2 = 0

Skup dopustivih

rješenja

1 2

1

2

1 2

1 2

max 3 5

p.o. 4

2 12

3 2 18

0, 0

z x x

x

x

x x

x x

x2

Z(2, 6)=36Z(0, 6)=30

Z(4, 3)=27

Z(4, 0)=12Z(0, 0)=0

U ovom primjeru svaka ekstremna točka leži na presjeku dvaju

ograničenja.

Za bilo koji problem LP s n varijabli odlučivanja dvije

ekstremne dopustive točke su susjedne jedna drugoj ako dijele

n-1 ograničenja (uključena su i ograničenja nenegativnosti

varijabli). Dvije susjedne dopustive ekstremne točke povezane su

linijskim segmentom koji predstavlja rub skupa dopustivih rješenja.

Budući da je u našem primjeru n = 2, dvije dopustive ekstremne

točke su susjedne ako imaju jedno ograničenje zajedničko. Npr. (0,

0) i (0, 6) su susjedne pošto imaju zajedničko ograničenje x1 0.

Svaka dopustiva ekstremna točka ima dvije susjedne dopustive

ekstremne točke.

Test optimalnosti. Razmotrimo bilo koji problem LP koji ima

najmanje jedno optimalno rješenje. Ako dopustiva ekstremna

točka nema susjednu dopustivu ekstremnu točku koja je bolja

(mjereno prema z), onda ona mora biti optimalno rješenje.

U našem primjeru točka (2, 6) mora biti optimalno rješenje pošto je

njezino z = 36 veće od z = 30 za (0, 6) i z = 27 za (4, 3).

Ovaj test optimalnosti se koristi kod simpleks metode za određivanje

kad je postignuto optimalno rješenje.

Rješavanje primjera:

Inicijalizacija: odabrati (0, 0) kao početno dopustivo rješenje.

Testiramo rješenje (0, 0) i zaključujemo da nije optimalno rješenje:

susjedna dopustiva ekstremna točka daje veću vrijednost za z.

Iteracija 1: kretati se prema boljoj susjednoj dopustivoj ekstremnoj

točki u sljedeća 3 koraka:

1. Razmatrajući dva ruba skupa dopustivih rješenja (linijski

segment koji spaja dvije ekstremne točke) kretati se rubom duž

osi x2 pošto os x2 povećava z po bržoj stopi od kretanja duž osi

x1 (z = 3x1 + 5x2).

2. Stati na prvoj ekstremnoj točki koja je nastala kao presjek

ograničenja x1 = 0 i 2x2 = 12. To je točka (0, 6).

3. Test optimalnosti: zaključujemo da (0,6) nije optimalno rješenje.

Susjedna dopustiva ekstremna točka je bolja.

Iteracija 2: kretati se prema boljoj susjednoj dopustivoj ekstremnoj

točki (2, 6) primjenom sljedeća 2 koraka:

• Kretati se duž ruba dopustivih rješenja (linijski segment koji spaja

dvije ekstremne točke) te se zaustaviti na ekstremnoj točki koja je

nastala kao presjek ograničenja 3x1 + 2x2 = 18 i 2x2 = 12. To je

točka (2, 6).

• Test optimalnosti: Budući da ne postoji susjedna dopustiva

ekstremna točka koja daje veću vrijednost za z, zaključujemo da je

(2, 6) optimalno rješenje. Time je proces rješavanja završen.

Osnovni koncepti simpleks metode

• Koncept rješavanja 1: Simpleks metoda se fokusira samo na

dopustive ekstremne točke (rješenja). Za svaki problem s najmanje

jednim optimalnim rješenjem, nalaženje optimalnog rješenja

zahtijeva samo nalaženje najbolje dopustive ekstremne točke

(rješenja).

• Koncept rješavanja 2: Simpleks metoda je iterativni algoritam koji

se sastoji od određivanja početnog dopustivog ekstremnog

rješenja, provođenja testa optimalnosti u smislu je li postignuto

optimalno rješenje te provođenja iteracija za nalaženje boljeg

dopustivog ekstremnog rješenja.

• Koncept rješavanja 3. Kad god je moguće, simpleks metoda bira

početno dopustivo rješenje u kojem sve varijable odlučivanja

imaju vrijednost jednaku nuli. Takav odabir je moguć kad sve

varijable odlučivanja imaju ograničenje nenegativnosti, pošto

presjek tih ograničenja daje svim varijablama odlučivanja

vrijednost 0. Ako to rješenje nije moguće, potrebna je specijalna

procedura za nalaženje početnog dopustivog ekstremnog rješenja.

• Koncept rješavanja 4: Svaki put kad simpleks metoda radi jednu

iteraciju krećući se od jednog dopustivog ekstremnog rješenja

prema boljem, ona uvijek bira dopustivo ekstremno rješenje koje je

susjedno tom rješenju.

• Koncept rješavanja 5: Simpleks metoda identificira stopu

poboljšanja z koja bi se dogodila krećući se duž ruba (linijskog

segmenta) skupa dopustivih rješenja. Bira se rub (linijski segment)

s najvećom pozitivnom stopom poboljšanja te se provodi test

optimalnosti na dopustivom ekstremnom rješenju koje se nalazi na

tom rubu. U našem primjeru početno dopustivo ekstremno rješenje

je (0, 0), a možemo se kretati rubom x1 (stopa poboljšanja z je 3) ili

rubom x2 (stopa poboljšanja z je 5). Biramo rub s najvećom

stopom poboljšanja z.

• Koncept rješavanja 6. Test optimalnosti sadrži jednostavnu

provjeru postoji li rub s pozitivnom stopom poboljšanja z. Ako je

odgovor ne, dobili smo optimalno rješenje.

Osobine bazičnog rješenja

• Rješavanje problema LP s više od dvije varijable zahtijeva

primjenu linearne algebre u procesu pronalaženja optimalnog

rješenja, ako ono postoji.

• Da bismo algebarski mogli rješavati probleme LP potrebno je

najprije sustav nejednakosti u ograničenjima pretvoriti u sustav

jednakosti (ograničenje nenegativnosti varijabli odlučivanja se ne

mijenja). Kažemo da model iz standardnog ili općeg oblika

prevodimo u kanonski oblik.

• Postupak rješavanja zahtijeva pronalaženje početnog bazičnog

dopustivog rješenja te kroz iterativni postupak u konačnom broju

koraka kretati se od jednog do drugog bazičnog dopustivog

rješenja (susjednog, koje daje bolju vrijednost funkciji z).

• Postupak rješavanja slijedi geometrijski pristup, koji je prethodno

prikazan.

• Svako bazično rješenje ima sljedeće osobine:

1. Svaka varijabla je označena kao bazična ili nebazična varijabla.

2. Broj bazičnih varijabli jednak je broju funkcionalnih ograničenja

(sada jednadžbi). Funkcionalna su sva ograničenja osim

ograničenja nenegativnosti varijabli. Prema tome, broj nebazičnih

varijabli jednak je ukupnom broju varijabli umanjenom za broj

funkcionalnih ograničenja.

3. Nebazične varijable imaju vrijednost jednaku nuli.

4. Vrijednosti bazičnih varijabli dobivene su kao simultano rješenje

sustava jednadžbi (funkcionalna ograničenja u kanonskom

obliku). Skup se bazičnih varijabli naziva bazično rješenje.

5. Ako bazične varijable zadovoljavaju ograničenja nenegativnosti,

bazično rješenje je bazično dopustivo rješenje.

Algebra simpleks metode

• Za objašnjenje algebre simpleks metode koristimo se našim

prethodnim primjerom:

• Iz prehodnog sustava jednadžbi vidljivo je da ako stavimo da je x1

= 0 i x2 = 0, onda je s1 = 4, s2 = 12 i ss = 18. Prema tome, početno

bazično rješenje je (0, 0, 4, 12, 18). Vidljivo je da se ovo bazično

rješenje može odmah pročitati pošto svaka jednadžba ima jednu

bazičnu varijablu s koeficijentom 1, pri čemu su koeficijenti uz

tu varijablu u ostalim jednadžbama jednaki nuli.

1 2

1

2

1 2

1 2

max 3 5

p.o 4

2 12

3 2 18

0, 0

z x x

x

x

x x

x x

1 2 1 2 3

1 1

2 2

1 2 3

max 3 5 0 0 0

p.o. + =4

2 + =12

3 2 +

z x x s s s

x s

x s

x x s

1 2 1 2 3

=18

, , , , 0, x x s s s

• Kad se skup bazičnih varijabli mijenja, simpleks metoda koristi

algebarsku proceduru (Gauss-ova eliminacija) za pretvaranje

jednadžbi u pogodan oblik, tako da se uz svaku bazičnu varijablu

nalazi koeficijent 1. Koeficijenti uz bazičnu varijablu u ostalim

jednadžbama moraju se načiniti jednakim 0.

• Test optimalnosti: Funkcija cilja je z = 3x1 + 5x2. Njena vrijednost

je 0 za početno bazično dopustivo rješenje. Koeficijenti uz

nebazične varijable ukazuju na stopu poboljšanja z. Stope

poboljšanja z su pozitivne i iznose 3 i 5. Prema tome, bazično

rješenje (0, 0, 4, 12, 18) nije optimalno i može se poboljšati.

• Određivanje pravca kretanja: Povećanje jedne nebazične

varijable (pri čemu se prilagođavaju vrijednosti bazičnih varijabli

kako bi i dalje zadovoljavali sustav jednadžbi) odgovara kretanju

duž jednog ruba od tekućeg dopustivnog ekstremnog rješenja.

Prema konceptima optimalnosti 4 i 5, odabir varijable koju ćemo

poboljšati vrši se na taj način da se bira varijabla s najvećom

stopom poboljšanja (x2).

• x2 nazivamo varijablom koja ulazi u bazično rješenje (postaje

bazična). Povećanje te nebazične varijable pretvorit će tu varijablu

u bazičnu za novo bazično dopustivo rješenje.

• Određivanje gdje stati. Povećanje x2 povećava z, pri čemu želimo

ići toliko daleko koliko je moguće bez napuštanja skupa dopustivih

rješenja. Zahtjev da se zadovolje funkcionalna ograničenja u

kanonskom obliku znači da povećanje x2 odnosno uvođenje u bazu

vektora uz varijablu x2 (dok je vrijednost nebazične varijable x1 =

0), mijenja vrijednosti nekih od bazičnih varijabli kako je to niže

prikazano:

1

1 1 1

2 2 2 2

1 2 3 3 2

1 2 3 4 5

0, tako da je

4 4

2 12 12 2

3 2 18 s 18 2

, , , , 0

x

x s s

x s s x

x x s x

x x x x x

• Nebazične varijable (uključujući i varijablu koja ulazi u bazično

rješenje) su nenegativne. Mi želimo provjeriti na koliko možemo

povećati x2 bez narušavanja uvjeta nenegativnosti za bazične

varijable.

• Prema tome x2 se može povećati na 6, tako da s2 bude jednako

nuli. Povećanje x2 preko 6 dovelo bi do toga da s2 bude negativno.

• Ta računanja odnose se na test minimalnog kvocijenta. Cilj ovog

testa je odrediti koja bazična varijabla će prva imati vrijednost 0

kad se povećava varijabla koja postaje bazična. Smanjenje

vrijednosti bazične varijable na 0 pretvorit će je u nebazičnu

varijablu u sljedećem bazičnom dopustivom rješenju.

1 2

2 2 2

3 2 2

4 0 nema gornje granice na

1212 2 0 6 minimum

2

1818 2 0 9.

2

s x

s x x

s x x

Presjek ova dva

intervala daje x2 6.

• Rješavanje za dobivanje novog bazičnog mogućeg rješenja.

Povećanje x2 = 0 na x2 = 6 pomiče nas s početnog bazičnog

dopustivog rješenja na novo bazično dopustivo rješenje:

• Svrha ovog koraka je pretvoriti sustav jednadžbi u prihvatljivu

formu (za primjenu Gauss-ove eliminacije) za provođenje testa

optimalnosti i, ako je potrebno, sljedeću iteraciju s novim

dopustivim bazičnim rješenjem. U tom procesu ovaj oblik također

će identificirati vrijednosti s1 i s3 za novo rješenje.

• Napišimo naš model u sljedećem obliku:

1 2 1 2

1 2 3 1 2 3

Početno DB rješenje Novo DB rješenje

Nebazične varijable 0, 0 0, 0

Bazične varijable 4, 12, 18 ?, 6, ?

x x x s

s s s s x s

• Umjesto s2 bazična postaje varijabla x2. Primjenom Gaussovih

eliminacija dobit ćemo da su svi koeficijenti uz varijablu x2

jednaki 0, osim u retku (2) gdje treba biti jedinica. Na taj način

transformirani sustav izgleda ovako:

1 2

1 1

2 2

1 2 3

(0) 3 5 0

(1) + 4

(2) 2 + 12

(3) 3 2 =18

z x x

x s

x s

x x s

1 2

1 1

2 2

1 2

5(0) 3 + 30

2

(1) + 4

1(2) + 6

2

(3) 3

z x s

x s

x s

x s

3 6s

• Ključni koncept za ovu metodu jesu elementarne algebarske

operacije za reduciranje originalnog sustava jednadžbi u

odgovarajuću formu za Gauss-ovu eliminaciju, gdje je svaka

bazična varijabla eliminirana iz svih osim jedne jednadžbe (njezine

jednadžbe), a njezin koeficijent je 1 u toj jednadžbi.

• Test optimalnosti za novo bazično moguće rješenje: Jednadžba

(0) daje vrijednosti funkcije cilja za dane nebazične varijable:

• Povećavajući bilo koju od nebazičnih varijabli od 0 rezultirat će

kretanjem prema dva susjedna bazično moguća rješenja. Pošto x1

ima pozitivan koeficijent, povećanje x1 će rezultirati susjednom

bazičnom mogućem rješenju koje je bolje od postojećeg rješenja.

Prema tome, postojeće rješenje nije optimalno.

• Iteracija 2 i rezultirajuće optimalno rješenje:

1 2

530 3 .

4z x s

• Budući da je z se može povećati povećanjem

x1, ali ne s2. Prema tome, korak 1 bira x1 kao varijablu koja ulazi u

bazično rješenje. Analogno prethodnom, iz bazičnog rješenja izlazi

varijabla s3. Dakle u bazu ulazi vektor koji se nalazi uz varijablu

x1, a iz baze izlazi vektor uz varijablu s3.

• Primjenom Gauss-ovih eliminacija dobivamo:

• Prema tome, novo bazično moguće rješenje je

1 2

530 3 ,

2z x s

2 3

1 2 3

2 2

1 2 3

3(0) + =36

2

1 1(1) + 2

3 3

1(2) + = 6

2

1 1(3) 2

3 3

z s s

s s s

x s

x s s

1 2 1 2 3( , , , , ) (2,6,2,0,0)x x s s s

• Primjenom testa optimalnosti za novo dopustivo bazično rješenje,

vidimo da bi u jednadžbi (0)

povećanje varijabli s2 i s3 ne bi dovelo bi do povećanja vrijednosti

z, pa ne postoji niti jedno susjedno dopustivo bazično rješenje koje

bi povećavalo z. Prema tome z je postiglo svoju optimalnu

vrijednost na danom skupu dopustivih rješenja.

• Dakle, kod problema maksimuma kriterij optimalnosti za ulazak

nebazične varijable u bazično rješenje je najveća negativna

vrijednost (u apsolutnom iznosu) uz nebazičnu varijablu u retku 0.

• Kriterij za izlazak bazične varijable iz bazičnog rješenja je

minimalna vrijednost omjera odgovarajuće desne strane

ograničenja i odgovarajućeg koeficijenta uz varijablu koja ulazi u

bazično rješenje.

• Optimalno rješenje je postignuto kad više nema negativnih

vrijednosti uz nebazične varijable u retku 0.

2 3

336

2z s s

Rješavanje standardnog problema LP za maksimum pomoću

simpleks tablice

• Primjer: Poduzeće Delta proizvodi pisaće stolove, kuhinjske

stolove i stolce. Za proizvodnju je potrebno osigurati drvenu građu

i dva tipa obučenih radnika: završna obrada i stolarstvo. Potrebni

podaci dani su u sljedećoj tablici:

Raspoloživo je 48 ft drvene građe, 31 sati rada završne obrade i 19 sati rada

stolarstva. Pisaći stol se prodaje za $30, kuhinjski stol za $20, a stolac za $10.

Poduzeće vjeruje da je potražnja za pisaćim stolovima i stolcima neograničena, a

da se najviše može prodati 3 kuhinjska stola.

Resursi Pisaći stol Kuhinjski stol Stolac

Drvena građa (ft) 8 4 1

Završna obrada (h) 5 3 2

Stolarstvo (h) 3 2 1

Pošto su raspoloživi resursi već kupljeni, poduzeće želi

maksimizirati ukupan prihod od prodaje proizvedenog namještaja.

• Rješenje.

Varijable odlučivanja su:

x1 = broj proizvedenih pisaćih stolova,

x2 = broj proizvedenih kuhinjskih stolova,

x3 = broj proizvedenih stolaca.

Lako se vidi da poduzeće treba riješiti sljedeći problem LP:

max z = 30x1 + 20x2 + 10x3

p.o. 8x1 + 4x2 + x3 48

5x1 + 3x2 + 2x3 31

3x1 + 2x2 + x3 19

x2 3

x1, x2, x3 0

• Prethodni model napisan u kanonskom obliku izgleda ovako:

max z = 30x1 + 20x2 + 10x3 + 0 s1 + 0 s2 + 0 s3 + 0 s4

p.o. 8x1 + 4x2 + x3 + s1 = 48

5x1 + 3x2 + 2x3 + s2 = 31

3x1 + 2x2 + x3 + s3 = 19

x2 + s4 = 3

x1, x2, x3, s1, s2, s3 0

• Podatke iz modela u kanonskom obliku upišimo u simpleks

tablicu:

Tablica 1. Početna simpleks tablica

• Iz tablice 1 vidimo da su bazične varijable s1, s2, s3 i s4 s vrijednostima 48, 31,

19 i 3, respektivno. Vrijednost funkcije cilja je 0. Vrijednosti nebazičnih

varijabli jednake su nuli (uvijek je vrijednost nebazičnih varijabli jednaka nuli).

Budući da u retku 0 imamo negativne koeficijente uz nebazične varijable,

početno bazično dopustivo rješenje nije optimalno i može se poboljšati

prevođenjem nebazične varijable s najvećim negativnim koeficijentom u retku

nula u bazičnu. To je varijabla x1.

Nebazična postaje varijabla s1, pošto ona osigurava minimalni kvocijent

odgovarajućih elemenata vektora b i odgovarajućih elemenata vektora x1.

Redakci

cj - 30 20 10 0 0 0 0 -

Baza z x1 x2 x3 s1 s2 s3 s4 bi

0 - z 1 -30 -20 -10 0 0 0 0 0

1 0 s1 0 8 4 1 1 0 0 0 48

2 0 s2 0 5 3 2 0 1 0 0 31

3 0 s3 0 3 2 1 0 0 1 0 19

4 0 s4 0 0 1 0 0 0 0 1 3

• Sada je potrebno Gauss-Jordanovim postupkom transformirati

početnu simpleks tablicu na način da koeficijenti uz varijablu x1

koja ulazi u bazično rješenje budu jednaki 1 u retku 1, a u ostalim

recima 0.

Tablica 2. Simpleks tablica nakon 1. iteracije

Dakle, bazična postaje varijabla x3, a nebazična postaje varijabla s2.

Nakon primijenjenog Gauss-Jordanovog postupka nad elementima

tablice 2, dobivena je sljedeća simpleks tablica.

Redak ci

cj - 30 20 10 0 0 0 0biBaza z x1 x2 x3 s1 s2 s3 s4

0 - z 1 0 -5 -6.25 3.75 0 0 0 180

1 30 x1 0 1 0.5 0.125 0.125 0 0 0 6

2 0 s2 0 0 0.5 1.375 -0.625 1 0 0 1

3 0 s3 0 0 0.5 0.625 -0.375 0 1 0 1

4 0 s4 0 0 1 0 0 0 0 1 3

Tablica 3. Simpleks tablica nakon 2. iteracije

U retku 0 koeficijent uz varijablu x2 je negativan pa ta varijabla

postaje bazična. Nebazična postaje varijabla s3. Nakon provedenog

postupka Gauss-Jordanove eliminacije, dobivena je sljedeća

tablica.

Redak ci

cj - 30 20 10 0 0 0 0 0

Baza z x1 x2 x3 s1 s2 s3 s4 bi

0 - z 1 0 -2.7273 0 0.9091 4.5455 0 0 184.54

1 30 x1 0 1 0.4545 0 0.1818 -0.0909 0 0 5.91

2 10 x3 0 0 0.3636 1 -0.4545 0.7273 0 0 0.73

3 0 s3 0 0 0.2727 0 -0.0909 -0.4545 1 0 0.55

4 0 s4 0 0 1 0 0 0 0 1 3.00

Tablica 4. Sipmleks tablica nakon 3. iteracije

Dobiveno je rješenje dopustivo, ali je i degenerirano jer je u bazi

varijabla s3 = 0. U retku 0 imamo negativnu vrijednost koeficijenta

uz varijablu s1, pa ta varijabla postaje bazična. Nebazična postaje

varijabla s3. Nakon postupka Gauss-Jordanovih eliminacija, dobili

smo sljedeću tablicu:

Redak ci

cj - 30 20 10 0 0 0 0

biBaza z x1 x2 x3 s1 s2 s3 s4

0 - z 1 0 0 7.5 -2.5 10 0 0 190

1 30 x1 0 1 0 -1.25 0.75 -1 0 0 5

2 20 x2 0 0 1 2.75 -1.25 2 0 0 2

3 0 s3 0 0 0 -0.75 0.25 -1 1 0 0

4 0 s4 0 0 0 -2.75 1.25 -2 0 1 1

Tablica 5. Simpleks tablica nakon 4. iteracije

U retku 0 više nema koeficijenata s negativnom vrijednosti, pa je

dobiveno bazično moguće rješenje optimalno. Maksimalna

vrijednost funkcije cilja je 190, a vrijednosti bazičnih varijabli su:

x1 = 5, x2 = 2, s1 = 0 i s4 = 1, dok su vrijednosti nebazičnih varijabli

x3 = s2 = s3 = 0.

Redak ci

cj - 30 20 10 0 0 0 0

biBaza z x1 x2 x3 s1 s2 s3 s4

0 - z 1 0 0 0 0 0 10 0 190

1 30 x1 0 1 0 -1 0 2 -3 0 5

2 20 x2 0 0 1 -3 0 -3 5 0 2

3 0 s1 0 0 0 1 1 -4 4 0 0

4 0 s4 0 0 0 0 0 3 -5 1 1

Rješavanje općeg problema za minimum pomoću simpleks

tablice

• Primjer. Poduzeće proizvodi specijalno bezalkoholno piće od

naranče, nazvano „N“, kombinirajući narančinu sodu i

narančin sok. Svaka unca narančine sode sadrži 0.5 oz šećera i

1 mg vitamina C. Svaka unca narančinog soka sadrži 0.25 oz

šećera i 3 mg vitamina C. Poduzeće košta 2 centa proizvodnja

jedne unce narančine sode i 3 centa proizvodnja jedne unce

narančinog soka. Marketing služba poduzeća je odlučila da

svakih 10 boca pića „N“ mora sadržavati najmanje 20 mg

vitamina C i najviše 4 oz šećera.

• Potrebno je formirati model LP za određivanja optimalnog

rješenja minimiziranjem troškova proizvodnje i dobiveni

model riješiti simpleks metodom.

• Rješenje.

Neka je

x1 = broj unci narančine sode u 10 boca „N“

x2 = broj unci narančinog soka u 10 boca „N“

• Onda je odgovarajući model LP

min z = 2x1 + 3x2

p.o. 0.5x1 + 0.25x2 4

x1 + 3x2 20

x1 + x2 = 10

x1, x2 0.

• Gornji model u kanonskom obliku izgleda ovako:

• min z = 2x1 + 3x2 + 0 s1 + 0 e2 + Ma2 + Ma3

p.o. 0.5x1 + 0.25x2 + s1 = 4

x1 + 3x2 – e2 + a2 = 20

x1 + x2 + a3 = 10

x1, x2, s1, e2, a2, a3 0.

• Iz gornjeg sustava jednadžbi jednostavno možemo formirati

početno bazično rješenje s varijablama s1 = 4, a2 = 20 i a3 = 10, dok

su nebazične varijable x1 = x2 = e2 = 0. Funkcija cilja za takvo

početno bazično rješenje ima beskonačnu vrijednost zbog

koeficijenata uz umjetne varijable koji imaju beskonačno veliku

vrijednost.

• Naš cilj je minimizacija funkcije cilja pa sve dok se umjetne

varijable nalaze u skupu bazičnih varijabli, ostvaruje se

beskonačno velika vrijednost funkcije cilja.

• Simpleks procedura osigurava izlazak umjetnih varijabli iz

bazičnog rješenja, ako problem ima dopustivo rješenje.

• Ako u optimalnom rješenju ostane neka umjetna varijabla to znači

da problem nema dopustivo rješenje.

• Simpleks metoda koja rješava ovakve probleme često se naziva

metodom velikog M.

Opis metode velikog M

• Korak 1. Modificirati ograničenja tako da desna strana svakog

ograničenja bude nenegativna.

• Korak 1'. Identificirati ograničenja tipa i =.

• Korak 2. Svako ograničenje tipa nejednakosti konvertirati u formu

jednakosti tako da lijevoj strani svakog ograničenja tipa dodamo

jednu dopunsku varijablu si, a lijevoj strani svakog ograničenja tipa

oduzmemo jednu varijablu viška ei.

• Korak 3. Ograničenjima tipa i = dodati po jednu umjetnu

varijablu ai. Također dodati znak restrikcije ai 0.

• Korak 4. Ako se radi o problemu minimuma LP, funkciji cilja

dodati (za svaku umjetnu varijablu) Mai. Kod problema

maksimuma LP, funkciji cilja dodati (za svaku umjetnu varijablu) –

Mai.

• Korak 5. Pošto će svaka umjetna varijabla biti u početnoj bazi, sve

umjetne varijable moraju biti eliminirane iz retka 0 prije početka

simpleks procedure.

• To nam omogućuje da počnemo s kanonskom formom.

• Nakon toga transformirani problem riješiti simpleks metodom.

• Ako su umjetne varijable jednake nuli u optimalnom rješenju, onda

smo pronašli optimalno rješenje originalnog problema.

• Ako je neka umjetna varijabla pozitivna u optimalnom rješenju

onda problem nema mogućih rješenja.

• Rješenje primjera 4.

• Korak 1. Pošto niti jedno ograničenje nema negativnu desnu stranu,

nije potrebno množiti s –1 desnu stranu niti jednog ograničenja.

• Korak 1'. Drugo i treće ograničenje zahtijevaju umjetne varijable.

• Korak 2. Dodati dopunsku varijablu s1 retku 1 i od retka 2 oduzeti

varijablu viška e2.

• Korak 3. Retku 2 dodati umjetnu varijablu a2, a retku 3 dodati

umjetnu varijablu a3.

• Korak 4. Pošto rješavamo minimizacijski problem, funkciji cilja

dodajemo Ma2 + Ma3. Ovo čini varijable a2 i a3 jako neatraktivnim,

pa minimizacija z će prouzročiti da u simpleks proceduri a2 i a3

budu jednake 0.

• Korak 5. Redak 0 je sada

z – 2x1 – 3x2 – Ma2 – Ma3 = 0

• Pošto su a2 i a3 u našem početnom bazičnom mogućem rješenju

(zbog toga smo ih uveli), oni moraju biti eliminirani iz retka 0. Da

bi eliminirali a2 i a3 iz retka 0, jednostavno zamjenjujemo redak 0 s

retkom 0 + M(redak 2) + M(redak 3). Dakle, imamo

Novi redak 0: z + (2M – 2)x1 + (4M – 3)x2 – Me2 = 30M.

• Kombiniranjem novog retka 0 s recima 1 – 3 dobivamo inicijalnu

tablicu:

• Tablica 6. Početna simpleks tablica

• Pošto rješavamo minimizacijski problem u bazično rješenje ulazi

varijabla s najvećim pozitivnim koeficijentom u retku 0, a to je

varijabla x2 s koeficijentom 4M – 3. Određivanje varijable koja

izlazi iz bazičnog rješenja i postaje nebazična vršimo na osnovi

minimalnog omjera odgovarajućih elementa vektora b i

odgovarajućih elementa vektora koeficijenata uz varijablu x2, pa

varijabla a1 napušta bazično rješenje.

Redak Baza z x1 x2 s1 e2 a2 a3 bi

0 z 1 2M-2 4M-3 0 -M 0 0 30M

1 s1 0 1 0 0 0 4

2 a2 0 1 3 0 -1 1 0 20

3 a3 0 1 1 0 0 0 1 10

1

2

1

4

• Nakon provedenih Gauss – Jordanovih transformacija nad recima

prethodne tablice s ciljem dobivanja jediničnog vektora uz

varijablu koja ulazi u bazično rješenje (s jedinicom na mjestu koje

označava varijablu koja izlazi iz bazičnog rješenja), dobivena je

sljedeća tablica:

Tablica 7. Simpleks tablica nakon 1. iteracije

• Iz retka 0 vidimo da se uz varijablu x1 nalazi maksimalni pozitivni

element. Dakle, varijabla x1 ulazi u bazično rješenje, a minimalni

omjer je u trećem retku pa varijabla a3 izlazi iz bazičnog rješenja.

Redak Baza z x1 x2 s1 e2 a2 a3 bi

0 z 1 0 0 0

1 s1 0 0 1 0

2 x2 0 1 0 0

3 a3 0 0 0 1

2 3

3

M

5

121

32

5

3

3

M

1

121

3

1

3

3 4

3

M

1

12

1

31

3

60 10

3

M

7

320

310

3

• Nakon provedenih Gauss – Jordanovih transformacija nad recima

dobili smo sljedeću tablicu.

Tablica 7. Simpleks tablica nakon 2. iteracije

• U retku 0 više nema pozitivnih koeficijenata uz nebazične

varijable, pa je dobiveno optimalno rješenje koje se ne može dalje

poboljšavati. Minimalna vrijednost funkcije cilja je z = 25.

Optimalne su vrijednosti varijabli: x1 = 5, x2 = 5, s1 = , e1 = 0.

Umjetne su varijable a2 i a3 jednake nuli.

Redak Baza z x1 x2 s1 e2 a2 a3 bi

0 z 1 0 0 0 25

1 s1 0 0 0 1

2 x2 0 0 1 0 5

3 x1 0 1 0 0 5

1

2

1

8

1

2

1

2

1 2

2

M

1

81

21

2

3 2

2

M

5

8

1

2

3

2

1

4

1

4

Prekidi u simpleks metodi

Varijabla koja ulazi u bazično rješenje: Korak 1 svake iteracije

bira vektor s najvećom apsolutnom vrijednošću (među negativnim

vrijednostima) u retku 0 kao vektor koji ulazi u bazu. Varijabla uz

taj vektor postaje bazična varijabla. Ako pretpostavimo da dva ili

više nebazičnih vektora imaju takvu istu najveću apsolutnu

vrijednost, postavlja se pitanje koji će od tih vektora prije ući u

bazu. Odgovor je da odabir vektora koji prije ulazi u bazu može

biti arbitraran. Optimalno rješenje će se postići bez obzira koji je

od tih vektora odabran. Arbitraran izbor vektora koji ulazi u bazu,

odnosno izbor nebazične varijable koja ulazi u bazično rješenje,

mogao bi imati za posljedicu veći broj iteracija u postupku

dolaženja do optimalnog rješenja.

Varijabla koja izlazi iz bazičnog rješenja – degeneracija: Ako

pretpostavimo da za dvije ili više bazičnih varijabli imamo isti

najmanji kvocijent, postavlja se pitanje ima li utjecaja koji će

vektor uz bazičnu varijablu prije napustiti bazu.

Teorijski da, ako se pojave sljedeće okolnosti. Prvo, sve te bazične

varijable dosežu nulu istovremeno kad se bazična varijabla

povećava. Prema tome, varijable koje nisu odabrane kao varijable

čiji vektori napuštaju bazu također će imati vrijednost nula u

novom bazičnom mogućem rješenju.

Bazične varijable s vrijednošću nula nazivaju se degeneriranim

varijablama. Drugo, ako jedna od tih degeneriranih bazičnih

varijabli zadrži vrijednost nula kad je njezin vektor odabran da

napusti bazu, odgovarajuća bazična varijabla također mora

zadržati vrijednost nula (pošto se ne može povećati bez da

varijabla koja postaje nebazična bude negativna), tako da

vrijednost z mora ostati nepromijenjena. Treće, ako z zadrži istu

vrijednost na svakoj sljedećoj iteraciji, simpleks metoda će ići u

krug, periodički ponavljajući ista rješenja bez postizanja

optimalnog rješenja.

Na sreću iako je kretanje u krug kod simpleks metode moguće,

ono se rijetko pojavljuje u praktičnim situacijama. Ako se takvo

kretanje u krug pojavi, uvijek se može iz njega izaći mijenjanjem

odabira vektora koji napušta bazu. Razvijena su i specijalna

pravila za prekid takvih krugova.

Ne postoji vektor koji napušta bazu – neograničeno z: ovo će

se pojaviti kad su svi koeficijenti u stupcu uz varijablu koja treba

ući u bazično rješenje negativni ili su jednaki nuli.

U tom slučaju ograničenja ne sprečavaju da se vrijednost funkcije

cilja poveća na beskonačno. Tada se simpleks metoda zaustavlja s

porukom da je z neograničeno. To je znak da je problem pogrešno

formuliran ili su ispuštena neka važna ograničenja.

Višestruko optimalno rješenje: Može se pojaviti slučaj kada se

optimalno rješenje nalazi u dvije ekstremne točke. U tom slučaju

svaka konveksna kombinacija tih rješenja predstavlja optimalno

rješenje problema LP: gdje su

odgovarajući vektori optimalnih rješenja, a w1+ w2 = 1.

*' *' * *

1 2 1 1 2 2( , )x x w x w x * *

1 2 i x x

• Simpleks metoda se automatski zaustavlja kad je pronađeno

jedno optimalno rješenje. Nakon što simpleks metoda pronađe

jedno optimalno rješenje može se provjeriti postoji li neko

drugo optimalno rješenje, i ako postoji, pronaći ga. Uvijek kad

problem ima više optimalnih rješenja, najmanje jedna

nebazična varijabla ima koeficijent 0 u retku 0, tako da

povećanje (uvođenje u bazu) takve varijable neće utjecati na z.