Optimiranje nosilnih konstrukcij -...

1

Univerza v Ljubljani - Fakulteta za strojništvo

KKTS - LASOK

Optimiranje nosilnih konstrukcij

doc.dr. Boris Jerman, univ.dipl.inž.str.

Govorilne ure:

• pisarna: FS - 414

• telefon: 01/4771-414

• [email protected]

(Tema/Subject: ONK - ...)

Soavtor gradiva: i.prof.dr. Janez Kramar, univ.dipl.inž.str.

2

Metode linearnega programiranja za

optimalno konstruiranje

Če so linearne:• cenilna funkcija in • vse pogojne (enakostni pogoj) in • vse omejitvene (neenakostne omejitve) funkcije, je optimizac. naloga „naloga linearnega programiranja“ (LP).

Take naloge se pojavljajo tudi na mnogih inženirskih področjih: • vodni viri, • upravljanje virov, • nadzor prometnih tokov, • inženirstvo prometa, • sistemsko inženirstvo, • elektrotehnika, ....

2

3

Konstrukcijske naloge niso linearne.Možna uporaba zaporedja linearnega programiranja za njihovo iterativno numerično reševanje.

Vsakršna linearna funkcija se v splošni obliki zapiše kot:

ci ... konstante,xi ... spremenljivke (pri optimiranju KS), i = 1 do n,n ... število spremenljivk (pri optimiranju KS).

Met

od

eL

P

4

Splošen zapis linearne naloge optimiranja:

Konstrukcijske spremenljivke so povezane v vektor ��:

Išče se konstrukcijsko rešitev ��, da bo vrednost CF (skalar):

minimalna, �

Met

od

eL

P

3

5

ob upoštevanju p enakostnih pogojev:

in m neenakostnih omejitev:

kjer so:

konstante.

Met

od

eL

P

6

• Vse nastopajoče funkcije so linearne, �• možno območje (feasible region) je vedno konveksno,• CF je linearna in torej tudi konveksna.

V splošnem je problem LP v standardni obliki lahko:• bodisi nedopusten (ni možnih rešitev);• bodisi neomejen (linearna CF brez omejitve pada proti -hhhh);• bodisi ima optimalno rešitev.M

etod

eL

P

4

7

• Če optimalna rešitev obstaja, je ta globalna. • Naloga LP ima optimum vedno na meji dopustnega

območja, četudi ima taka naloga neenakostne omejitve. • Vsaj ena taka omejitev je vedno aktivna.

• V kolikor bi se iskalo optimum samo iz odvodov CF:

se dobi nesmiselna (trivialna) situacija – CF je ukinjena.

(CF: )

Met

od

eL

P

8

Met

od

eL

P

Teorem 4.1: Oglišča in osnovne (bazne) možne rešitve

Množica vseh možnih rešitev naloge LP tvori konveksno množico, katere oglišča ustrezajo osnovnim (baznim) možnim rešitvam.

gi ... neenakostne omejitve

5

9

Met

od

eL

PTeorem 4.2: Osnovni teorem LP

Naj ima m x n dimenzionalna matrika A koeficientov omejitvenih enačb aji poln vrstični rang: r = rang(A) = m �_____________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________

�

˗ Rang matrike je število linearno neodvisnih vrstic oziroma stolpcev. (Linearna neodvisnost vrstic ali stolpcev pomeni, da se posamezne vrstice ali stolpci ne morejo izraziti z drugimi.)˗ Rang matrike je torej določen z najvišjim

redom poddeterminante, ki je še različna od 0.˗ Možne vrednosti ranga matrike: 0 ≤ r ≤

min(m, n)

10

Met

od

eL

P

Teorem 4.2: Osnovni teorem LP

tedaj veljata izjavi:1) če obstaja možna rešitev, tedaj obstaja tudi osnovna (bazna)

možna rešitev;2) če obstaja optimalna možna rešitev, tedaj obstaja tudi

optimalna osnovna (bazna) možna rešitev.

Prvi del (1)) govori o dejstvu: če obstaja kakršnakoli možna rešitev, tedaj mora biti kot možno vključeno vsaj eno oglišče (vrh) konveksnega možnega območja.

Drugi del (2)) govori o dejstvu: če ima naloga optimalno

rešitev, tedaj je ta najmanj na enem od oglišč (vrhov) konveksnega poliedra možnih rešitev.

6

11

Met

od

eL

PTeorem 4.2: Osnovni teorem LP

f ... izolinije CF za različne konstantne vrednosti F1 do F5gi ... neenakostne omejitve

12

Met

od

eL

P

Naloga LP ima pri n spremenlji-vkah in m pogojnih enačbah naslednje število osnovnih rešitev:

• Izmed osnovnih rešitev se poišče tiste, ki so hkrati tudi možne - izpolnijo pogoje nenegativnosti.

• Med osnovnimi možnimi rešitvami je vsaj ena optimalna. • Kadar je CF

vzporedna eni od pogojnih funkcij, lahko obstaja mnogo enakovrednih optimalnih rešitev:

7

13

Met

od

eL

PSimpleks metoda (neposredna metoda)

je razširitev standardnega Gauss-Jordanovega eliminacijskegapostopka za reševanje sistema linearnih enačb Ax� = b,

kjer je: A ... matrika dimenzij m x n (m < n), x� ... vektor dimenzije n

b ≥ � ... vektor dimenzije m.

Simpleks ali n-simpleks je v geometriji n-razsežen analogentrikotnik:- v 1D prostoru 2 točki, ki tvorita daljico;- v 2D prostoru 3 točke, ki tvorijo trikotnik;- v 3D prostoru 4 točke, ki tvorijo tetraeder;- v splošnem nD prostoru tvori simpleks konveksna jata n+1

točke, ki ne leži v isti hiperravnini.

14

Met

od

eL

P

Kanonična oblika - splošna rešitev enačbe Ax = b

Sistem m linearnih enačb z n spremenljivkami, kjer ima matrika A rang m, je v kanonični obliki, če ima vsaka od enačb eno spremenljivko, ki je ni v nobeni drugi enačbi:

Za dosego kanonične oblike je uporabna Gauss-Jordanova eliminacijska metoda.

Rang matrike je število linearno neodvisnih vrstic oziroma stolpcev. Rang matrike je

določen z najvišjim redom poddeterminante, ki je še različna od 0.

8

15

Posredne numerične metode reševanja nalog

brez omejitev

• Realne naloge na področju tehnike �� lahko zelo veliko KS. • CF je skoraj vedno nelinearna funkcija teh KS.

Splošen koncept numeričnega reševanja

• Skupen matematičen zapis:

naslednja rešitev:

vsebuje prejšnjo vrednost KS in spremembo KS.

Posr

edn

e n

um

erič

ne

met

od

e(n

alo

ge

bre

z om

ejit

ev)

16Posr

edn

e n

um

erič

ne

met

od

e(n

alo

ge

bre

z om

ejit

ev)

Spremembo KS ∆��(�) se prikaže kot zmnožek dveh faktorjev:

kjer sta:

s čimer se dobi dve lažje obvladlivi podnalogi pri iskanju optimuma: smerni vektor in velikost koraka.

Ker je CF v splošnem nelinearna, sta obe nalogi še vedno zelo kompleksni.

Ob koncu vsake izboljšave (iteracije) naj se preverja ali nova rešitev že izpolnjuje pogoje optimalnosti.

9

17Posr

edn

e n

um

erič

ne

met

od

e(n

alo

ge

bre

z om

ejit

ev)

l. korak: Ocena razumne začetne konstrukcije ��().2. korak: Izračun želenega smer. vektorja �(�)v konstrukcij.

prostoru. Ta izračun pri nalogah brez omejitev v splošnem zahteva vrednost CF in njenega gradienta.

3. korak: Kontrola konvergentnosti postopka. Če jekonvergenca dosežena, se iterativni proces zaustavi.

4. korak: Izračun pozitivne velikosti koraka ��.5. korak: Izračun nove konstrukcijske rešitve:

Števec se tako dvigne (k � k + 1) in na vrsti je nova iteracija.

Razvitih je mnogo metod, ki so prilagojene naravi posameznih optimizacijskih problemov.

18Posr

edn

e n

um

erič

ne

met

od

e(n

alo

ge

bre

z om

ejit

ev)

Ideja korakov spuščanja

• Minimum CF je njena najmanjša vrednost. • Predpostavimo, da smo trenutno v točki ��(�), ki ni minimum

�

• obstaja točka ��(� �), za katero velja:

• Na levi strani neenačbe se zamenja ��(� �) z izrazom:

• in dobimo:

• Dobljen izraz se razvije v Taylorjevo vrsto okrog trenutne konstrukcijske točke ��(�) do vključno linearnega člena:

10

19Posr

edn

e n

um

erič

ne

met

od

e(n

alo

ge

bre

z om

ejit

ev)

• kar je v približku:

• Vrednost CF je skalar. • Tudi skalarni produkt dveh vektorjev je skalar. • Leva stran neenačbe mora biti manjša od desne �• Drugi člen leve strani mora biti negativen:

• Ker mora biti skalar �� pozitiven,mora veljati tudi:

• Ker je gradient CF izračunljiv, • mora smerni vektor �(�) tvoriti z gradientom CF kot, ki je

večji od 90° in manjši od 270°, da bo neenačba izpolnjena (da bo produkt negativen).

20Posr

edn

e n

um

erič

ne

met

od

e(n

alo

ge

bre

z om

ejit

ev)

• Zaželena smer izboljšave konstrukcije je torej vsaka smer, ki izpolni predstavljeno neenačbo.

• Taka smer se imenuje smer spuščanja po strmini CF,• pogojno neenačbo pa pogoj spuščanja po strmini.

• Numerične metode, ki slone na tej ideji, so 'metode spuščanja'.

• Če je analitično odvajanje sicer zvezne in odvedljive CF prezamudno, se pogosto uporabi numerično izvrednotenjeposameznih komponent gradienta.

11

21Posr

edn

e n

um

erič

ne

met

od

e(n

alo

ge

bre

z om

ejit

ev)

Lastnosti gradientnega vektorja

a) Gradientni vektor CF v točki �� je pravokoten na tangentno ravnino izoploskve skozi isto točko.

Gradientni vektor cenilne funkcije �� se zapiše poenostavljeno:

22Posr

edn

e n

um

erič

ne

met

od

e(n

alo

ge

bre

z om

ejit

ev)

Lastnosti gradientnega vektorja

�� = �

�

−�

��

!"#$�#!#" ravninaravninaravninaravnina

�

12

23Posr

edn

e n

um

erič

ne

met

od

e(n

alo

ge

bre

z om

ejit

ev)

Tangentni vektor je tangenten na določeno krivuljo (s) na izoploskvi:

Pogoj ortogonalnosti gradient. in tangent. vektorja:

b) Smer gradientnega vektorja v dani točki je smer

največjega naraščanja CF v tej točki.c) Vrednost največjega naraščanja CF v dani točki je

vrednost gradienta v tej točki.

24Posr

edn

e n

um

erič

ne

met

od

e(n

alo

ge

bre

z om

ejit

ev)

Algoritem najstrmejšega spuščanja

Smerni vektor spuščanja:(*� ... gradientni vektor CF)

Koraki algoritma:

l. korak: Ocenitev razumne začetne konstrukcije ��(). Postavitev konvergenčnega parametra e > O.

2. korak: Izračun gradientnega vektorja CF �(��) v točki ��(�):

13

25Posr

edn

e n

um

erič

ne

met

od

e(n

alo

ge

bre

z om

ejit

ev)

3. korak: Izračun absolutne vrednosti gradienta *�(�) in presoja konvergenčnega kriterija:

Če velja: *�(�) < 0 � ustavitev iterativnega procesa in:

��∗ = ��(�)

V nasprotnem primeru: nadaljevanje s 4. korakom.

4. korak: Postavitev smeri premika v točki ��(�): Pri tem je očitno:

5. korak: Izračun velikosti koraka �� tako, da bo vrednost CF v novi točki najmanjša, kot sledi.

26Posr

edn

e n

um

erič

ne

met

od

e(n

alo

ge

bre

z om

ejit

ev)

Potreben pogoj za to je:

Parcialni odvod prvega faktorja je očitno:

drugi, pa je viden iz kratkega računa:

Ob upoštevanju , dobi potreben pogoj za

optimalno dolžino koraka obliko:

14

27Posr

edn

e n

um

erič

ne

met

od

e(n

alo

ge

bre

z om

ejit

ev)

Zanimivost: Iz prejšnjega zapisa sledi, da če se uporabi optimalne dolžine korakov, sta smeri dveh zaporednih korakov med seboj vedno ortogonalni, zaradi česar nadalje velja:

V praksi je ta ortogonalnost zaradi različnih zaokrožitev le približna.

6. korak: Izračun nove konstrukcijske rešitve:

Vstop v novo iteracijo:Povečanje števca za ena: k => k+ l. Vrnitev na 2. korak.

28

Posredne numerične metode

reševanja nalog z omejitvami

• Običajno imajo optimizacijske naloge s področja tehnike omejitve.

• V realnih optimizacijskih nalogah je veliko KS. • CF ter enakostni pogoji in neenakostne omejitve so skoraj

vedno nelinearne funkcije omenjenih KS.

Običajno ni težko napisati: � Lagrange-ove funkcije in � potrebnih pogojev za iskanje kandidatnih optimalnih točk, vendar zelo redko uspe določevanje kandidatnih točk po analitični poti.

Posr

edn

e n

um

erič

ne

met

od

e(n

alo

ge

z om

ejit

vam

i)

15

29Posr

edn

e n

um

erič

ne

met

od

e(n

alo

ge

z om

ejit

vam

i)Normalizacija omejitev

Numerični izračuni - zelo zaželena uporaba iste tolerance eeee za vse neenakostne pogoje. To ni vedno možno � razmislek:

Dva zelo pogosta pogoja v konstrukterstvu sta:

Številčne vrednosti dopustne napetosti in upogibkov so večinoma zelo različne in različnih enot �� normalizacija omejitev

...

30Posr

edn

e n

um

erič

ne

met

od

e(n

alo

ge

z om

ejit

vam

i)

Normalizacija omejitev

...Take omejitve praviloma normaliziramo z delitvijo z dopustno vrednostjo:

Omejitve se zapiše:

Možne tudi drugačne vrste omejitev (znak > namesto <):

od koder dobimo:

in končno:

16

31Posr

edn

e n

um

erič

ne

met

od

e(n

alo

ge

z om

ejit

vam

i)Funkcija spuščanja

Pri optim. problemih brez omejitev• se zahteva zmanjševanje vrednosti CF pri vsakem koraku. • Funkcija, ki vodi napredovanje proti minimumu, se imenuje

funkcija spuščanja in je običajno CF.

Tudi pri optimizacijskih nalogah z omejitvami• je funkcija spuščanja zelo pomembna. • Uporaba CF kot funkcije spuščanja je tu omejena oz.

celo nezadostna.

• Uporablja se številne druge funkcije spuščanja. • Osnovna ideja je izračunati dober smerni vektor �(�) in

dolžino koraka.• Vrednost minimuma izbrane funkcije spuščanja mora biti

(znotraj dovoljenega območja) enaka kot pri prvotni CF.

32Posr

edn

e n

um

erič

ne

met

od

e(n

alo

ge

z om

ejit

vam

i)

Konvergentca

Pri nalogah z omejitvami je razmislek o konvergenci zelo pomemben. Robusten algoritem omogoča dosego optimuma iz poljubno izbrane začetne točke.

Konvergentni algoritem izpolnjuje naslednji zahtevi:

1) Za algoritem obstaja funkcija spuščanja, katere vrednost se bo manjšala v vsakem koraku;

2) Smer konstrukcijskih sprememb �(�) je zvezna funkcija KS!

V konstrukcijskem prostoru je s takim algoritmom torej možno najti primerno smer spusta: • v vsakem koraku in tudi• za končni spust proti točki minimuma.

17

33Posr

edn

e n

um

erič

ne

met

od

e(n

alo

ge

z om

ejit

vam

i)

Lokalna linearizacija problemov z omejitvami

Za iskanja optimalnosti z omejitvami večina iterativnih postopkovv vsakem koraku rešuje (lokalno) linearizirano podnalogo.

V ta namen se razvrsti CF in enakostne pogoje ter neenakostneomejitve v Taylorjevo vrsto okrog trenutne konstrukcijske točke ��(�) do vključno linearnega člena:

34Posr

edn

e n

um

erič

ne

met

od

e(n

alo

ge

z om

ejit

vam

i)

Razvoj cenilne funkcije v Taylorjevo vrsto:

Razvoj enakostnih pogojev in neenakostnih omejitev v

Taylorjevo vrsto:

Približne (razvite) izraze *, **, *** bomo uporabili v

nadaljevanju.

(*)

(**)

(***)

1. člen 2. člen

18

35Posr

edn

e n

um

erič

ne

met

od

e(n

alo

ge

z om

ejit

vam

i)

�̅ = ��3(��(�)) ∙ ∆��(�)

Vrednost linearnega člena pri razvoju CF v Taylorjevo vrsto:

oziroma:

Dogovor o poenostavljenem zapisu:

36Posr

edn

e n

um

erič

ne

met

od

e(n

alo

ge

z om

ejit

vam

i)

19

37Posr

edn

e n

um

erič

ne

met

od

e(n

alo

ge

z om

ejit

vam

i)Dogovorjene okrajšave se vstavi v prej razvite (približne) izraze:

(*) Minimizirati je potrebno drugi člen v razviti CF. (Prvi člen se opusti, ker je tedaj že znan in konstanten.)

Linearizirani enakostni pogoji (**) in neenakostne omejitve (***):

(d ... premik ∆��(�); n ... gradient enakostnih pogojev; e ... – enakostni pogoj)

(a ... gradient neenakostnih omejitev; b ... – neenakostni pogoj)

1. člen 2. člen

38Posr

edn

e n

um

erič

ne

met

od

e(n

alo

ge

z om

ejit

vam

i)

N je pravokotna matrika n vrstic in p stolpcev (n x p), v kateri so stolpci gradienti p enakostnih pogojev.

A je pravokotna matrika (n x m), v kateri so stolpci gradienti mneenakostnih omejitev.

Pri tem so 5(6) in 7�(6) posamezni stolpci v omenjenih matrikah.

(n ... gradient enakostnih pogojev)

(a ... gradient neenakostnih omejitev)

20

39Posr

edn

e n

um

erič

ne

met

od

e(n

alo

ge

z om

ejit

vam

i)

Algoritem zaporednega linearnega programiranja (ZLP)

Sequential linear programming algorithm (SLP)

Prej linearizirani izrazi:

so po spremenljivkah di linearni, � za njihovo določitev seuporabi metode linearnega programiranja.

Pri vsakem koraku se za določitev konstrukcijskih sprememb uporabi linearno programiranje � metode zaporednega

linearnega programiranja.

(d ... premik; n ... gradient enakostnih pogojev; e ... – enakostni pogoj)

(a ... gradient neenakostnih pogojev; b ... – neenakostni pogoj)

40Posr

edn

e n

um

erič

ne

met

od

e(n

alo

ge

z om

ejit

vam

i)

Koraki algoritma ZLP (zaporednega linearnega programiranja):

1. korak:

(89 za omejitve in 8: za smer spuščanja)

2. korak:

z uvedenimi okrajšavami na predhodnih prosojnicah.

(b ... – neenakostni pogoj; e ... – enakostni pogoj)

21

41Posr

edn

e n

um

erič

ne

met

od

e(n

alo

ge

z om

ejit

vam

i)

Koraki algoritma ZLP (steps of SLP):

3. korak:

(c ... gradient CF; n ... gradient enakostnih pogojev; a ... gradient neenakostnih pogojev)

42Posr

edn

e n

um

erič

ne

met

od

e(n

alo

ge

z om

ejit

vam

i)


4. korak:

5. korak:- lineariziranih izrazih za CF ter pogoje in omejitve

(*, **, ***).

6. korak:Določitev vektorja premika �(�)

6. korak:

∆�;<(�) in ∆�;=

(�)

∆�;<(�)≤ ; ≤ ∆�;=

(�), i = 1 do n

22

43Posr

edn

e n

um

erič

ne

met

od

e(n

alo

ge

z om

ejit

vam

i)


7. korak:

(89 za omejitve in 8: za smer spuščanja)

8. korak (če proces ni zaustavljen v 7. koraku):

44Posr

edn

e n

um

erič

ne

met

od

e(n

alo

ge

z om

ejit

vam

i)

Zaključki o algoritmu ZLP:

• metoda ZLP: konceptualno in numerično je preprosta (tudi za naloge z omejitvami);

• uporabna pri številnih inženirskih nalogah, še posebej, kjer je veliko število KS;

• metoda naj se ne uporablja kot 'črna škatla' za vse probleme. Izbira mej pri premikih je navadno poskušanje in daje najboljši rezultat ob interaktivnem načinu dela. Meje premikov so lahko preveč restriktivne, kar ima za posledico, da ne pridemo do rešitve;

• ...

ZLP ... Algoritem zaporednega linearnega programiranja

(SLP ... Sequential linear programming algorithm)

23

45Posr

edn

e n

um

erič

ne

met

od

e(n

alo

ge

z om

ejit

vam

i)Zaključki o algoritmu ZLP:

• ...

• možno je, da metoda ne konvergira do natančnega minimuma, ker funkcija spuščanja ni opredeljena. Tudi če se ne doseže natančnega min., je metoda za prakso uporabna;

• metoda lahko ciklira med dvema točkama, če optimum ni vrh možnega območja;

• metoda ni robustna (konvergenca!). To pomanjkljivost je možno odpraviti z uporabo metode kvadratičnega

programiranja.

46Posr

edn

e n

um

erič

ne

met

od

e(n

alo

ge

z om

ejit

vam

i)

Metoda najstrmejšega spuščanja pri nalogah z omejitvami

Funkcija spuščanja (nadomestek CF):

Pri neomejitvenih optimizacijskih nalogah je bila za funkcijo spuščanja uporabljena kar CF, ki je nadzorovala napredovanje proti optimalni točki.

Pri omejitvenih optimizacijskih nalogah se funkcija spuščanja običajno zgradi z dodatkom kaznovalnega člena za kršenje

omejitev pri tekoči vrednosti konstrukcijske rešitve.

24

47Posr

edn

e n

um

erič

ne

met

od

e(n

alo

ge

z om

ejit

vam

i)


Pšenični-jeva funkcija spuščanja (FS)

je ena od zelo uspešnih FS:

48

Po

sred

ne

nu

mer

ičn

e m

eto

de

(na

log

e z

om

ejit

va

mi)


Kot primer: funkcija spuščanja pri k-ti iteraciji konstrukcijske rešitve je:

R se lahko menja tekom iteracij. Zagotoviti je potrebno, da je ta parameter ≥ vsoti vseh LLLL multiplikatorjev v k-ti iteraciji.

Velja tudi:(*#)

?6(�), A6

(�)… LLLL multiplikatorji

25

49Posr

edn

e n

um

erič

ne

met

od

e(n

alo

ge

z om

ejit

vam

i)Določitev dolžine koraka

Potrebuje se primerno dolžino koraka ��, ki jo lahko dobimo s poskušanjem v smeri smernega vektorja �(�):

Preskusimo toliko podkorakov l,

ki se razpolavljajo,

da se doseže spustni pogoj:

Kjer je g izbrana konstanta med 0 in l.

50Posredne numerične metode (naloge z omejitvami)

Postopek najstrmejšega spuščanja

Koraki algoritma:

Enačba #1: QP ... quadratic programming

Enačba #2: <linearni pogoji in omejitve<

(*#)

(#1 in #2)

26

51


Prikaz citiranih enačb (6.38, 6.29 in 6.30):

(*#)

(#1)

(#2)

(##)

Posredne numerične metode (naloge z omejitvami)

52


Koraki algoritma:

(##)

Posredne numerične metode (naloge z omejitvami)

27

53

Neposredne numerične metode

Pri reševanju optimizacijskih nalog se uporabljajo samo CF ter pogojne enačbe in omejilne neenačbe:

Genetski algoritmi

• izhajajo iz ideje naravne selekcije v evolucijskem procesu. • Poišče se primerno št. konstrukcijskih rešitev (KR) - začetna

jata, ki izpolnjujejo vse pogojne in omejitve.

• po določenem postopku odpadajo najslabše rešitve ob hkratnem dodajanju boljših rešitev.

Nep

osr

edn

e n

um

erič

ne

met

od

e

54

Genetski algoritmi

• začetna jata* rešitev (začetna generacija (nabor) konstrukcijskih rešitev (KR) znotraj dovoljenega področja):

• poišče se jo naključno ali • sistematično (dobi se bolj enakomerno razporeditev možnih

rešitev) – (prikazano v nadaljevanju). • Število članov jate CD je poljubno, vendar navzdol omejeno - naj

bo vsaj za ena večje od števila vseh KS, bolje pa je izbrati še večje število:

* ... Začetni nabor konstrukcijskih točk je imenovan „complex“ (sestav, zložek)

– mi bomo uporabili besedo „jata“. Tako poimenovanje je upravičeno tudi

zato, ker se znotraj numeričnega postopka sestav točk premika in zgoščuje

okrog točke optimuma.

Nep

osr

edn

e n

um

erič

ne

met

od

e

28

55

• Pri inženirskih opt. nalogah: lahko dovoljeno območje KR sega vsaj proti pozitivni neskončnosti.

• Smotrno je KS z eksplicitnimi pogoji omejiti navzdol (xL,i) in navzgor (xU,i):

• Sistematično iskanje možnih začetnih rešitev: vrednosti KS v postavljenih meje (xL,i, xU,i) po pravilu:

kjer so ri,j številski faktorji, ki pri sistematičnemu iskanju dobivajo vrednosti med 0 in 1.

• Vsako sistematično ali naključno dobljeno KR se sproti preverja, če izpolnjuje vse enakostne pogoje in neenakostne omejitve.N

eposr

edn

e n

um

erič

ne

met

od

e

56

• Vse KR, ki izpolnjujejo omejilne pogoje, se oštevilči in zbere v jato z NC člani.

• S pomočjo izbrane generacije začetne jate, se prične numerični postopek iskanja minimuma CF �(��) znotraj dovoljenega območja (prostora).

• Vsaki KR se izračuna vrednost CF, da se jo primerja z vrednostmi CF pri ostalih rešitvah.

• Poišče se točko, ki ima najslabšo vrednost CF in se jo označi z ��E.

• Izračuna se tudi središče vseh KR jate po klasičnem pravilu (srednja vrednost posamezne KS po celotni jati):

Nep

osr

edn

e n

um

erič

ne

met

od

e

29

57

• konstrukcijsko rešitev ��E, ki ima najslabšo vrednost CF, se zamenja z novo po pravilu:

• Indeksi:• W ... najslabša KR v posamezni iteraciji,• N ... nova, izboljšana rešitev.

Nova KR leži na premici, ki gre skozi točko ��E z najslabšo vrednostjo CF in skozi središčno točko celotne jate ��3 .

Smatra se, da se je izvršil premik KRW v KRN.

Korekcijski faktor α, ki služi za prehod v novo točko:- se določi s poizkušanjem, - začetna vrednost je primerno majhno pozitivno število.

Nep

osr

edn

e n

um

erič

ne

met

od

e

58

Pri vsaki vmesni vrednosti αααα se določi pripadajočo KR in:- se preveri, če so pogoji in omejitve še izpolnjene;- se izračuna vrednost CF.

S premiki se nadaljuje:- dokler so KS v dovoljenem območju;- dokler se vrednosti CF izboljšujejo.

Ko katera od gornjih zahtev ni izpolnjena:- se pomaknemo za korak nazaj;- predzadnja točka se privzame kot iskana nadomestna točka.

Za iskani korekcijski faktor običajno velja: αααα > 1,zaradi česar se faktor imenuje tudi: „faktor refleksije preko središča vseh konstrukcijskih točk“.

Nep

osr

edn

e n

um

erič

ne

met

od

e

30

59

x1, x2 ... KS � NC≥2 � npr.: NC=4 � KR 1, 2, 3 in 4;W ... najslabša KR v iteraciji (ima maks. vrednost CF),T ... središča vseh konstrukcijskih točk = težišče jate (1, 2, 3, 4),b ... razdalja med točkama W in T,αααα ... faktor refleksije preko središča vseh konstrukcijskih točkN ... nova, izboljšana KR, ki nadomesti staro ( = PREMIK).

Nep

osr

edn

e n

um

erič

ne

met

od

e

Vir osnovne slike (18.5.2016): http//legacy.earlham.edu/~pardhan/courses/general_notes/2var_graphs.html

60

Po vsaki izboljšavi (premiku) se začne ponovno iskanje točke, ki ima v spremenjeni jati najslabšo vrednost CF. Ko je ta določena, se celoten postopek ponovi.

Med izvajanjem premikov točk z najslabšo vrednostjo CF se točke jate zbližujejo in počasi potujejo proti optimalni točki.

Kot konvergenčni kriterij se lahko uporabi metoda najmanjših kvadratov po enačbi:

kjer je QQQQ povprečna vrednost CF v jati:Nep

osr

edn

e n

um

erič

ne

met

od

e

31

61

Pri tem je εεεε predhodno zahtevan konvergenčni kriterij (majhno pozitivno število).

Preohlapen konvergenčni kriterij ima lahko za posledico:- predčasno zaustavitev iterativnega procesa,- ki je predaleč od optimalne rešitve.

Preoster konvergenčni kriterij lahko močno podaljša čas računanja.

Neposredne numerične metode se uporablja predvsem tam:- kjer so pogoji in omejitve zapleteni analitični izrazi KS ali;- kjer takih analitičnih povezav sploh ni (npr. pri MKE analizi

zapletenih konstrukcijskih oblik).

Nep

osr

edn

e n

um

erič

ne

met

od

e

62

Topološka optimizacija po MKE, npr. s programom ANSYS®

GENESIS Strukturna optimizacija za ANSYS Mechanical

GSAM lahko izvaja topološko optimizacijo, kot tudi topografije, prostih oblik in velikosti.

Prednosti:• samodejno generiranje inovativnih modelov;• vmesnik je zanesljiv, robusten in enostaven za uporabo .

Nep

osr

edn

e n

um

erič

ne

met

od

e

vir (18.5.2016): http://www.vrand.com/GTAM.html

32

63

Nep

osr

edn

e n

um

erič

ne

met

od

e


64

Nep

osr

edn

e n

um

erič

ne

met

od

e


33

65

Nep

osr

edn

e n

um

erič

ne

met

od

e


66

Nep

osr

edn

e n

um

erič

ne

met

od

e


34

67

Topološka optimizacija po MKE

GENESIS Strukturni Optimization za ANSYS Mechanical

Strukturna Optimizacija Podaljšek ANSYS® strojništvo

suv_iso_log.png

GENESIS Strukturni Optimization za ANSYS® (*) Mehanski (GSAM) je integriran razširitev, ki dodaja strukturno optimizacijo za okolje ANSYS®. GSAM lahko izvaja optimizacija topologije,

Nep

osr

edn

e n

um

erič

ne

met

od

e

Optimiranje nosilnih konstrukcij -...

Documents

Transcript of Optimiranje nosilnih konstrukcij -...