Signali i sustavi - sis.zesoi.fer.hrsis.zesoi.fer.hr/predavanja/pdf/sis_2001_ho07.pdf · Kaskadni...

1

SignaliSignali ii sustavisustavi

Linearni diferencijalni sustavi

2

SadržajSadržaj IIModel sustava s ulazno izlaznim varijablamaKlasične metode rješavanjaVremenski stalni sustaviAmplitude vlastitog titranja sustavaPrisilni odziv sustavaTransfer funkcija lin. vremenski invarijantnog sustava dobivena Laplaceovom transformacijom

3

SadrSadržajžaj IIIITransfer funkcije složenih sustava

Paralelni spoj podsustavaKaskadni spoj podsustavaPrstenasti spoj podsustava

Ulazno izlazni model sustava s više ulaza i izlazaModel s varijablama stanja

Blok dijagram linearnog sustava

Razlaganje sustava i prijelaz u model svarijablama stanja

Direktna, iterativna i paralelna metoda

2

4

SadrSadržajžaj IIIIII

Transformacija varijabli stanjaUpravljivost i osmotrivost

5

ModelModel sustavasustava ss ulazno izlaznim ulazno izlaznim varijablamavarijablama

Diferencijalni sustavi su oni koji se daju opisati jednom ili više diferencijalnih jednadžbi.Linearni sustav s jednim ulazom i jednim izlazom:

.bbb

)(aaa

0)1(

1)(

0)1(

1)(

uuu

tfyyym

mm

m

nn

nn

+++=

==+++−

−

−−

K

K

Desna strana od f(t) − funkcija smetnje ili funkcija pobude, općenito funkcija ulaznog signala u(t) i njegovih derivacija do m − tog reda, m ≤ n.

6


Koeficijenti {ai} i {bi}:konstantni ⇒ vremenski stalan linearni sustav,funkcija vremena ⇒ vremenski promjenjiv linearni sustav,zavise od ulaznih ili izlaznih varijabli i njihovih derivacija ⇒nelinearni sustav.

Sustav je općenito opisan s više simultanih diferencijalnih jednadžbi.Često se više simultanih diferencijalnih jednadžbi svodi na jednu jednadžbu višeg reda koja veže jednu izlaznu i jednu ulaznu varijablu.

3

7


Svojstva operatora deriviranja:

Diferencijalna jednadžba napisana pomoću operatora D

( ) ( ) .bDbaDa 00 uy mm

nn ++=++ KK

( ) ( )( )

( )( ) ( )[ ] .CCDCCDCDCD

DCDCC CDDDDDD

21212

21

22112211

yy

yyyyyyy

nnn

mnnmmn

+++=++

+=+

== +

8


Skraćeni oblik zapisa:

Predstavljanje linearnog sustava pomoću operatora H(D), gdje je H(D) = B(D) / A(D)

.D ,Dsugdje)D()D( n

nn

dtydy

dtdyyuByA ≡≡=

y u H(D)

9

Klasične metode rješavanjaKlasične metode rješavanjaAko postoji funkcija smetnje ili pobude f(t),linearna diferencijalna jednadžba je nehomogena.Jednadžba postaje homogena za f(t) = 0:

0.=a +...+a 0 ydt

ydn

n

n

Homogena jednadžba n − tog reda ima nlinearno nezavisnih rješenja, pa se opće rješenje može prikazati kao linearna kombinacija pojedinačnih rješenja.

nn yyyy K...K+K= 22110 ++

4

10

Klasične metode rješavanjaKlasične metode rješavanja

Pretpostavlja se rješenje oblika: y(t) = ept, p∈C.Supstitucijom se dobije izraz:

.0)aaaa( 01)1(

1 =++++ −−

ptnn

nn eppp K

Karakteristična jednadžba gornje diferencijalne jednadžbe

.0aaaa 01)1(

1 =++++ −− ppp n

nn

n K

Opće rješenje uz n različitih karakterističnih korjena

.KKKK)(1

ppp2

p10

21 ∑=

=+++=n

i

ti

tn

tt in eeeety K

11

Vremenski stalni sustaviVremenski stalni sustavi

Opće rješenje uz k jednakih od ukupno nkorjena

.KK

KKK)(pp

1

p1p2

p10

1

111

tn

tk

tkk

tt

nk ee

etteety

+++

+++=+

+

−

K

K

Opće rješenje uz korjene višestrukosti m1, m2, ..., mn .K)(

1

1'

1

p0 ∑∑

=

−

=

=i

i

m

j

jij

n

i

t tety

.+= p0 yyy

Rješenje nehomogene jednadžbe dobiva sedodavanjem tzv. partikularnog rješenja yp na rješenje homogene

12

Vremenski stalni sustaviVremenski stalni sustaviRješenje homogene jednadžbe −komplementarno rješenje ili slobodni odziv sustava,

postoji i kada nema pobude za Ki ≠ 0,naziva se i vlastito gibanje ili titranje sustava jer opisuje titranje energije u sustavu bez vanjskog poticaja.Komponente slobodnog odziva titraju isključivo karakterističnim frekvencijama sustava pi, koje zavise od strukture i parametara sustava, a ne od pobude.Komplementarno rješenje prisutno je u općem rješenju nehomogene jednadžbe.

5

13

AmplitudeAmplitude vlastitog titranja vlastitog titranja sustavasustava

Opće rješenje diferencijalne jednadžbe za slučaj nejednakih korjena je:

).(K)( p1

p tyetyn

i

ti

i += ∑=

Konstante Ki određuju se iz početnih uvjeta danih preko vrijednosti funkcije i njenih derivacija u t = 0.Uzastopnom derivacijom izraza za y(t) u t = 0dobiva se sustav linearnih algebarskih jednadžbi.

14


nnn

nnnn

nn

n

pppyy

pppyy

yy

KKK)0()0(

KKK)0()0(

KKK)0()0(

12

121

11

)1(p

)1(

2211p

21p

−−−−− +++=−

++=−

+++=−

K

M

K&&

K

Van der Mond − ova determinanta sustava sastavljena od potencija korjena pi , pin − 1.

15


Partikularno rješenje označimo s yp(t). Uz konstantnu ili periodičku pobudu nazovimo ga stacionarno stanje.Komplementarno rješenje iščezava svremenom pa se naziva prijelazno iliprolazno stanje.

Prijelazno stanje sastoji se od titranja vlastitim frekvencijama pi sustava.Amplitude titranja u prijelaznom stanju određene su razlikom početnog stanja {y(i)(0)} i iznosa partikularnog rješenja {yp(i)(0)} u trenutku t = 0.

6

16


Prvi specijalni slučaj: početni uvjeti jednaki partikularnom rješenju u t = 0

.1,,2,1,0,0)0()0( )(p

)( −==− niyy ii K

Trivijalno rješenje, Ki = 0.Prijelaznog procesa nema, već stacionarno stanje kreće odmah i ima frekvenciju pobude.

Drugi specijalni slučaj: početni uvjeti jednaki 0.0)0(,,0)0(,0)0( )1( === −nyyy K&

Sustav je bez početne energije − miran sustav.

17


Treći specijalni slučaj: f(t) = 0 − nepobuđen sustav

.0)(,,0)(,0)( )1(ppp === − tytyty n

K&

Označimo s K0i konstante koje slijede iz početnih uvjeta .0)0()(

p =iy

.0)0()( =iyOznačimo s Kpi konstante koje slijede iz početnih uvjeta kada je sustav miran

18


Ukupno rješenje prikazano pomoću K0i iKpi:

).(KK)( p1

pp

1

p0 tyeety

n

i

ti

n

i

ti

ii +

+= ∑∑

==

++= ∑∑

==

)(KK)( p1

pp

1

p0 tyeety

n

i

ti

n

i

ti

ii

Dio s vlastitim titranjem frekvencijom pi [u zagradi] te prisilno titranje yp(t) frekvencijom pobude.

Odziv nepobuđenog sustava [u zagradi] te odziv mirnog sustava koji titra s pi i frekvencijom pobude.

7

19

Prisilni odziv sustavaPrisilni odziv sustavaPrisilni odziv sustava predstavlja partikularno rješenje nehomogene jednadžbe.

Općenito se može dobiti Lagrange − ovom metodom varijacije parametara.

Za pobudu eksponencijalnom funkcijom računanje odziva je jednostavno jer se yp(t)može predstaviti eksponencijalom (deriviranjem se mijenja samo kompleksna amplituda eksponencijale).Određivanje kompleksne amplitude temelji sena metodi neodređenih koeficijenata.

20

Prisilni odziv sustavaPrisilni odziv sustava

Opći oblik diferencijalne jednadžbe:.)bDbDb()aDaD( 0

110

11 uya m

mm

mn

nn

n +++=+++ −−

−− KK

.UU,U)( ϕjst eetu ==

Pobudni signal u(t) u obliku eksponencijale,U kompleksna amplituda (|U| amplituda, ϕ faza),s kompleksna frekvencija, s = σ + jω,

Pretpostavljeno rješenje (Y neodređeni koeficijent): .Y)( stety =

21

Uvrštavanjem i izjednačavanjem koeficijenata lijevo i desno dobiva se:

.U)(Uaa

bbY0

0 sHs

sn

n

mm =

+++

=K

K

Amplituda partikularnog rješenja Y određena je amplitudom pobude, svojstvima sustava tekompleksnom frekvencijom s. Transfer ili prijenosna funkcija sustava H(s) −veličina koja određuje odnos kompleksneamplitude prisilnog odziva Yest i kompleksneamplitude pobude Uest .


8

22

UY

aabb)(0

0 =+

++=

K

Kn

n

mm

sssH

H(s) je formalno jednak operatoru H(D) aliH(D) pridružuje vremensku funkciju y funkciji u

y = H(D)u,H(s) ima značenje faktora kojim treba množiti kompleksnu amplitudu ulaza da se dobije amplituda izlaza

Y = H(s)U.


23

Specijalni slučajevi kompleksne frekvencije pobude s:

s = 0 − prisilni odziv na pobudu konstantom

.ab)0(,UU

0

00 === Heu t

s = jω − odziv na harmonijsku (ili sinusnu) pobudu, je dan izrazom:

,)()()()()( )(ir

ωϕωωωωω jeAjHHHjH =+==


koji se naziva frekvencijska karakteristika sustava.

24

A(ω) − amplitudno frekvencijska karakteristika.ϕ(ω) − fazno frekvencijska karakteristika.Ako je yp(t) = Yest posljedica u(t) = Uest onda je yp(t) = Re{Yest} posljedica Re{Uest}.


9

25

Primjer − SIMULINKSIMULINK primjer

26

Frekvencijske karakteristikeFrekvencijske karakteristike

-3.02650.31581.8182-3.01050.40431.6162-2.98910.53721.4141-2.95850.75101.2121-2.91091.13161.0101-2.82481.92750.8081-2.61254.16420.6061-1.611012.36500.4040-0.32687.94600.202006.25000

ϕ(ω)A(ω)ω

27

TransferTransfer funkcija linearnogfunkcija linearnog,,vremenski invarijantnog sustavavremenski invarijantnog sustava

)}.({)()},({)( tysYtusU L== L

Linearne, vremenski invarijantne sustave možemo proučavati pomoću Laplaceove transformacije:

diferencijalne jednadžbe prelaze u algebarske,sustav je predstavljen u domeni kompleksne frekvencije.

Za određivanje transfer funkcije poći ćemo od Laplaceovog transformata ulazno izlaznog modela:

10

28

),0()0()( )1(1 −− −−−=

mmm

m

m

uussUsdt

udKL

).0()0()( )1(1 −− −−−=

nnn

n

n

yyssYsdt

ydKL


Transformacija derivacije ulaza i izlaza je:

( ) ( ) ).( )(b...b )(a...aa 001

1- sEsUssYss mm

nn

nn +++=+++ −

Na temelju linearnosti Laplaceove transformacije može se napisati:

29

1,...,4,3,2,1,0 za 0)0()( −== ny νν

1,...,4,3,2,1,0 za 0)0()( −== mu µµ

).()(0

0 sUasabsbsY n

n

mm

++++

=K

K


dobivamo odziv mirnog sustava:

Dobiveni izraz možemo napisati:).()()( sUsHsY =

Ako vrijedi:

30

{ }{ }

)()(

)()()(

tuty

sUsYsH

LL

== . 0< za 0=(t) tu

Ako znamo H(s), sustav možemo predstaviti kao blok:


Funkcija H(s) zove se transfer funkcija ili prijenosna funkcija sustava.Definirana je za miran sustav kao:

Y(s) U(s) H(s)

11

31

Paralelni spoj podsustava:

[ ])()()(

)()()()()()()()(

21

2121

sHsHsHsUsHsUsHsHsYsYsY

+==+=+=

TransferTransfer funkcija složenih sustavafunkcija složenih sustava

Y(s)H1(s)

H2(s)

U(s) Y(s) H(s) = H1(s) + H2(s)

U(s) =

32


)()()( )()()()()()(

12

122

sHsHsHsUsHsHsVsHsY

===

Kaskadni spoj podsustava:

Y(s)Y(s) H1(s) H2(s)

U(s) H1(s)H2(s)

U(s) =

33

Prstenasti spoj podsustava − sustav spovratnom vezom:

)()()()( 2 sYsHsUsE −=

[ ] )()()()()()()()( 211 sYsYsHsUsHsEsHsY =−==

)()())()(1)(( 121 sUsHsHsHsY =+

)()(1)()(

21

1

sHsHsHsH

+=


Y(s)H1(s)

H2(s)

U(s) Y(s)

)()(1)(

12

1

sHsHsH

+U(s) =

12

34

Jedan često korišten element sustava jeintegrator.Transfer funkcija integratora:

ssH 1)( =


Y(s) U(s) s1

35

Transformirajmo označeni dio blok dijagrama.


H1(s)

H3(s)

H2(s)

Y(s) U(s)

Korištenjem pokazanih pravila za kaskadu,prsten i paralelni spoj, složene blok dijagrame možemo sažeti i tako odrediti transfer funkciju cijelog sustava.Primjer: Odrediti transfer funkciju sustava sažimanjem blok dijagrama.

36

Dobivamo rezultat:

Nacrtajmo ponovo isti blok dijagram.


H1(s)

H3(s)

H2(s)

H1(s)

13

37

Dobivamo:

Na dobivenom blok dijagramu prepoznajemo:kaskadu,spoj s povratnom vezom.

Kaskada se može nadomjestiti blokom čija jetransfer funkcija: H1H2,


H1(s)

H3(s)

H2(s) H1(s)

38

Ranije je pokazano da za spoj s povratnom vezom vrijedi:

U našem primjeru bit će:


H1(s) Y(s)

)(11

1 sH−U(s) = Y(s)

U(s)

Y(s) H1(s)

H2(s)

U(s) Y(s)

)()(1)(

12

1

sHsHsH

+

U(s) =

39

Prema tome, naš blok dijagram možemo sažeti:

Desnu stranu blok dijagrama čini paralelni spoj podsustava pa ga možemo nadomjestit podsustavom čija je prijenosna finkcija:H1H2 + H3.


H1(s) H2(s)

H3(s)

)(11

1 sH+

14

40

Daljnjim sažimanjem dobivamo kaskadu:

Cijeli sustav prikazan jednim blokom ima oblik:


H1(s) H2(s) + H3(s)

)(11

1 sH+

)(1 )( )(

1

321

sHsΗsHsH

+)(+

41

Sustav s više ulaza i izlaza može biti opisan s:

.)D()D()D()D(

,)D()D()D()D(,)D()D()D()D(

1111

21212121

11111111

mrmrrrrr

mmrr

mmrr

uBuByAyA

uBuByAyAuBuByAyA

++=++

++=++++=++

KK

MM

KK

KK

Ako su ulaz i izlaz definirani s:[ ][ ]t

m

tr

uuu

yyy

,,,

,,,

21

21

K

K

≡

≡

u

y

Ulazno izlazniUlazno izlazni modelmodel sustavasustava ssviše ulazaviše ulaza ii izlazaizlaza

jednadžbe možemo napisati u matričnom obliku: .(D) (D) uKyL =

42

TransferTransfer matrica sustavamatrica sustava ss više više ulazaulaza ii izlazaizlaza

Laplaceova transformacija skupa jednadžbi ima oblik:

)( )()()()( sssss EUKYL +=

Ulazni vektor se množi s matricom:

koja se zove transfer matrica sustava.)()()( 1 sss KLH −=

Za mirni sustav, E(s) = 0, izlaz je jednak:

).()()()()()( 1 ssssss UHUKLY == −

gdje E(s) sadrži članove s početnim uvjetima.

15

43

Vladanje sustava opisuje vektorska dif.jednadžba: BuAxx +=&A je matrica koeficijenata (realnih ikonstantnih): { } .,...,2,1, , njiaij =

B je pobudna ili kontrolna matrica konstantnih elemenata:

{ } .,...,2,1 ;,...,2,1 , mknibik ==

Model sModel s varijablama stanja varijablama stanja linearnog sustavalinearnog sustava

44

Vektorska jednadžba:

BuAxx +=&identična je skupu linearnih dif. jednadžbi prvog reda:

. ,1,2, = ,)()()(1 1

nitubtxatxn

j

m

kkikjiji …+= ∑ ∑

= =

&

Ako je pobuda u = 0, jednadžba je homogena:

.)( )( tt xAx =&


45

Izlazna vektorska jednadžba:).()()( ttt DuCxy +=

identična je skupu linearnih algebarskih jednadžbi:

. ,1,2, = i ),()()(1 1

rtudtxctyn

j

m

kkikjiji …+= ∑ ∑

= =


16

46

Primjer sustava drugog reda s 2ulaza i 2 izlaza:

.,

2221212221212

2121112121111

ububxaxaxububxaxax

+++=+++=

&

&Blok dijagram linearnog sustavaBlok dijagram linearnog sustava

47

Izlazna jednadžba se realizira s 2 sumatora:

).()()()()(),()()()()(

2221212221212

2121112121111

tudtudtxctxctytudtudtxctxcty

+++=+++=

Blok dijagram linearnog sustavaBlok dijagram linearnog sustava

48

Kompletan sustav jednadžbi stanja i izlaznih jednadžbi prikazuje kabelski blok dijagram:

Blok dijagram linearnog sustavaBlok dijagram linearnog sustava

∫ B C

A

D

17

49

Direktna metoda:Pođimo od prijenosne funkcije:

,1a, a

b)( 0

0 =++

= nnssH

K

).(b)()a( 00 sUsYsn =++KIzdvojimo član s najvišom derivacijom:

( ) ( ),)(a1)(a1)(b)( 010 sYss

sYss

sUsYs nn

nn

n −−−= − K

.aab 0)1(

10)( yyuy n

nn −−−= −

− K

Razlaganje sustavaRazlaganje sustava ii prijelazprijelaz u u model smodel s varijablama stanjavarijablama stanja

50

Realizacija:

. aab 0)1(

10)( yyuy n

nn −−−= −

− K


∫ ∫ ∫

an-1

an-2

a0

b0

u y y(n) y(n-1) y(n-2)

51

Prijelaz u model stanja: Označimo na dijagramu izlaze integratora kao varijable stanja.Jednadžbe stanja glase:

. baaa 012110

1

32

21

uxxxxxx

xxxx

nnn

nn

+−−−−==

==

−

−

L&

&

M

&

&


Jednadžba izlaza glasi: ).()( 1 txty =

18

52

U općem slučaju, bi ≠ 0, možemo pisati:

).()()()()()( sZsB

sAsUsBsY =

=


Nakon toga napravimo linearnu kombinaciju svih izlaza integratora, prema izrazu:

( ) ).(bb)()()( 0 sZ...ssZsBsY mm ++==

Sada prvo realiziramo:

što je isto kao u prošlom primjeru.)()(

sAsUZ(s) =

53

Realizacija cijelog sustava:


∫ ∫ ∫

an-1

an-2

a0

u

y

z(n)

bn

xn xn-1 x1

bn-1 bn-2 b0

54

Istim postupkom kao u slučaju bi = 0, dobivamojednadžbe stanja:

,

10

00

aaaa1000

01000010

1

2

1

1210

1

2

1

u

xx

xx

xx

xx

n

n

nn

n

+

−−−−

=

−

−

−

MM

L

MOM

L

&

&

M

&

&

[ ] .babbabbab 2

1

111100 ub

x

xx

y n

n

nnnnn +

−−−= −−M

L


19

55

Iterativna metoda:Brojnik i nazivnik prijenosne funkcije možemo prikazati kao produkt korjenih faktora:

,)s(bbb)( 1

0 ∏ −=++=m

kmm

m sssB K

,)p(aaa)( 1

0 ∏=

−=++=n

kkn

nn sssA K

Produkt − upućuje na kaskadu podsustava.


.)p(

)s(

ab)(

1

1

∏

∏

−

−= n

k

m

k

n

m

s

ssH

56

Realizacija:

∏

∏

−

−= n

k

m

k

n

m

s

ssH

1

1

)p(

)s(

ab)(

)()()(1

sUsHsYn

k

= ∏


Yk-1(s) U(s)

1

1

ps

−−

ss

2

2

ps

−−

ss

k

k

ss

ps

−− Yk(s)

nps

−−

ss n Y(s)

H1 H2 Hk Hn

57

Sekcija s nulom i jednim polom zove sebilinearna sekcija.Bilinearna sekcija može se realizirati jednim integratorom.

ps)( 11 −− −

−== k

k

kkkk Y

ssYsHY

p

1)( 1−−= k

kk Y

ssX

)()s()( sXssY kkk −=

)(p)( 1−+= kkkk YsXssX

))((1p)( 1 ssXs

YssX kkkk += −


realizacija

20

58

Realizacija:).()s()()),((1p)( 1 sXssYssX

sYssX kkkkkkk −=+= −

pk i sk mogu biti kompleksni ⇒ neostvarivo upraksi,


∫

pk

sk

Yk-1 sXk Xk

Yk

59

Prijelaz u model stanja: Za k−tu bilinernu sekciju u kaskadi, mogu se napisati jednadžbe:

. , ,2 ,1 zas, p 1

nkxxyyxx kkkkkkkk

L

&&

=−=+= −

Uz y0 = u, eliminacijom derivacije xk iz jed. za yk:

itd. , p)sp()sp()sp(p

)sp(p

2333

1112222111222

1111111

yxxuxxyuxxx

uxyuxx

+=+−+−=+−+=

+−=+=

&

&

&

)sp()sp()sp( 111111 uxxxyy nnnnnnn +−++−+−== −−− L


60

Dobivene jednadžbe možemo prikazati matrično:

,

1

11

p)sp()sp(

0p)sp(0p

2

1

2211

211

1

2

1

u

x

xx

x

xx

nnn

+

−−

−=

MM

L

M

L

&

M

&

&

[ ] .)sp()sp()sp( 2

1

2211 u

x

xx

y

n

nn +

−−−=M

L


21

61

Kombiniranjem konjugiranih parova polova inula:

2220

2220

,p,s

*)p)(p(*)s)(s(

ωδωωδνρννρ

+=+−=+=+−=

−−−−

=jj

ssssH

k

k

kk

kkk


dobiva sebikvadratna sekcijakoeficijenti polinoma su sada realni što je bitno za realizaciju

2δ

Y

s1

20ω

2ρ

U

2ν

s1

62

Paralelna metoda:Prijenosnu funkciju bez višestrukih polova, sistim redom brojnika i nazivnika, možemo rastaviti:

, p

cdp

cps

cd)( 1

01

10 ∑ −

+=−

++−

+=n

k

k

n

n

sssH L

gdje je:,)()p(c

pkskk sHs=

−= .abd0

n

n=

Suma − upućuje na paralelni spoj podsustava


63

Realizacija:

n

n

sc

ssH

ppcd)(

1

10 −

++−

+= L


∫

pk

1p1−s

2p1

−s

...

c1

c2

cn

...

ns p1

−

d0

22

64

Svaki sustav prvog reda sa prethodne slike daje jednadžbu:

.p uxx jjj +=&

Izlaz je dan jednadžbom:

.dc1

uxyn

jj += ∑


65

Matrični opis modela stanja glasi:

,

1

11

p00

0p000p

2

1

2

1

2

1

u

x

xx

x

xx

nnn

+

=

MMO

&

M

&

&

[ ] .dccc 2

1

21 u

x

xx

y

n

n +

=M

L

Ovaj model zovemo razvezani.


66

Ako su polovi višestruki, dobivamo slijedeću j.stanja:

.

1

1

000

p

p

p001p001p

3

2

1

1

1

1

3

2

1

u

x

x

xxx

x

x

xxx

n

k

n

k

n

k

+

=

M

M

M

M

O

O

M

M

Matrica A je kvazidijagonalna, ima tzv.Jordanov blok.


23

67

Izlazna jednadžba ima oblik:

[ ] .dccc 2

1

21 u

x

xx

y

n

n +

=M

L


68

Transformacija varijabli stanjaTransformacija varijabli stanja

.DuCxyBuAxx +=+=&Isti sustav možemo prikazati i pomoću drugih varijabli stanja zi.Varijable z su linearna kombinacija varijabli x:

x = PzMatrica P ne smije biti singularna:

det P ≠ 0

Pretpostavimo da je sustav opisan pomoću varijabli stanja xi:

69

Uvrstimo:Pzx = DuCxyBuAxx +=+=&

BuAPzzP +=&

BuPAPzPz 11 −− +=&

uBzAz ** +=&

DuCPzy +=

uDzCy ** +=Nove matrice sustava imaju oblik:

.,,, DDCPCBPBAPPA **1*1* ==== −−


⋅−1P

24

70

Kako odabrati matricu P ?Tako da matrica A* bude dijagonalna (kanonski oblik).U tom slučaju P se zove modalna matrica.

Kako naći modalnu matricu ?Promatrajmo transformaciju vektora x u y:

y = AxZa koji x će y imati isti smjer u vektorskom prostoru ?

y = Ax = λx(λ je skalar)


71

Jednakost:Ax = λx

predstavlja homogen sustav jednadžbi:(λI − A)x = 0

Matrica I je jedinična matrica:

=

1000

10001

L

OM

M

L

I


72

Netrivijalno rješenje xk ≠ 0 dobiva se:det (λI − A) = 0.

Ako je matrica A dimenzija n × n, dobiva sekarakteristični polinom n−tog stupnja.Korjeni karakterističnog polinoma su vlastite vrijednosti matrice A.Rješenjem jednadžbe

(λI − A)x = 0dobivaju se vlastiti vektori.


25

73

Transformacija varijabli ne mijenja vlastite vrijedosti:

=−= )det()( *n AIP λλ

)det( =−= − APPI 1λ=−= −− )det( APPPP 11λ

=⋅−= − PAIP 1 det)det(det λ=−= − )det(detdet AIPP 1 λ

).det( AI −= λ


74

Kako dobiti modalnu matricu ?Formirajmo matricu M od vlastitih vektora matrice A:

[ ].21 nxxxM L=Odredimo produkt AM:

[ ] [ ].2121 nn AxAxAxxxxAAM LL ==

Uvrštavanjem Axk = λkxk dobivamo:

[ ].2211 nnxxxAM λλλ L=


75

Izraz: [ ]nnxxxAM λλλ L2211=možemo napisati u obliku:

[ ] MΛ

Λ

xxxAM =

=

444 3444 21

OL

n

n

λ

λλ

2

1

21

Vidimo da vrijedi:AM = MΛ → Λ = M-1 AM

Matrica M je modalna matrica.


26

76

Sustav prikazan u kanonskom obliku ima oblik:,uΛxx β+=&

[ ].,,...,,diag 21 nλλλ=ΛZa slučaj s različitim korjenima imamo jednadžbe stanja:

.p

,p,p

2211

222121222

212111111

ububxx

ububxxububxx

nnnnn ++=

++=++=

&

M

&

&

Svaka varijabla stanja može se dobiti rješavanjem jedne jednadžbe.

UpravljivostUpravljivost ii osmotrivost sustavaosmotrivost sustava

77

Promotrimo i−tu jednadžbu:niububxx iiiii ,...,2,1 , p 2211 =++=&

Varijabla xi u svom odzivu ima istitravanje karakterističnom frekvencijom pi

Početni uvjet xi(0) istitrat će sefrekvencijom pi

Svaka varijabla stanja istitrava svojom frekvencijom


78

Sustav je upravljiv ako ulazni signali mogu pobuditi sve karakteristične frekvencije sustava.

2211

222121222

212111111

ububxpx

ububxpxububxpx

nnnnn ++=

+=++=++=

&

M

&&

&

βuΛxx

Sustav s različitim karakterističnim frekvencijama je upravljiv ako matrica β nema nultih redaka

Ako je i−ti red nul−redak, titranje frekvencijom može doći samo od početnih uvjeta, a ne pobudeVarijabla stanja koja odgovara nul−retku je neupravljiva


27

79

Primjer: Pobuda u jednoj dijagonali uravnoteženog mosta, a titrajni krug udrugoj.


80

Kad matrica A ima višestruke vlastite vrijednosti, sustav je upravljiv:

Ako ne postoje dva Jordanova bloka koja pripadaju istim vlastitim vrijednostima.Ako elementi matrice β koji odgovaraju zadnjem redu svakog Jordanovog bloka nisu jednaki nuli.Ako svi elementi svakog reda matrice β, koji pripadaju jednostrukim vlastitim vrijednostima nisu jednaki nuli.


81

Sustav je osmotriv ako se preko izlaza sustava mogu registrirati sve prirodne frekvencije sustava.

nrnrrr

nn

nn

xxxy

xxxyxxxy

γγγ

γγγγγγ

+++=

+=+++=+++=

L

M

L

L

2211

22221122

12121111

DuΓxy

Sustav s jednostrukim frekvencijama je osmotriv ako matrica Γ nema nultih stupaca

Varijabla koja odgovara nultom stupcu je neosmotriva


28

82

Primjer: Uravnotežen most


83

U slučaju višestrukih korjena, sustav je osmotriv:

Ako ne postoje dva Jordanova bloka koja pripadaju istim vlastitim vrijednostima.Ako u stupcima matrice Γ, koji pripadaju prvom redu svakog Jordanovog bloka nisu nule.Ako u stupcima matrice Γ, koji pripadaju jednostrukim vlastitim vrijednostima nisu nule.


84

U oćem slučaju, sustav možemo rastaviti na četiri podsustava:upravljiv, neupravljiv, osmotriv, neosmotriv

SUSTAV osmotriv neosmotriv

upravljiv 11111

11111

uDxΓyuβxΛx

+=+=&

0yuβxΛx

=+=

2

22222&

neupravljiv 333

333

xΓyxΛx

==&

0yxΛx

==

4

444&

Kombiniranjem jednadžbi iz tablice dolazimodo jednadžbi sustava:


29

85

+

=

2

12

1

4

3

2

1

4

3

2

1

4

3

2

1

0000

00

uuβ

β

xxxx

ΛΛ

ΛΛ

xxxx

&

&

&

&

+

=

2

11

4

3

2

1

3

1

2

1

000

000000

uuD

xxxx

ΓΓ

yy


86

Razlaganje sustava može se prikazati blok dijagramom:


su

suo

so

snn

u y

87

Primjer:

011

32

1u

+

−−

−= xx&

[ ] [ ]u0101 += xy


∫

-1

∫

-2

∫

-3

x1

x2

x3

Signali i sustavi - sis.zesoi.fer.hrsis.zesoi.fer.hr/predavanja/pdf/sis_2001_ho07.pdf · Kaskadni...

Documents

Transcript of Signali i sustavi - sis.zesoi.fer.hrsis.zesoi.fer.hr/predavanja/pdf/sis_2001_ho07.pdf · Kaskadni...