Signali i sustavi
description
Transcript of Signali i sustavi
![Page 1: Signali i sustavi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062321/568138c7550346895da081a7/html5/thumbnails/1.jpg)
Signali i sustaviAuditorne vježbe 9.
Diskretni signali
![Page 2: Signali i sustavi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062321/568138c7550346895da081a7/html5/thumbnails/2.jpg)
2
Diskretizacija vremena
n
amplituda
1 2 3 4 5 6 7 80 9 10 11 12 13
![Page 3: Signali i sustavi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062321/568138c7550346895da081a7/html5/thumbnails/3.jpg)
3
Diskretizacija amplitude
1
2
3
4
5
6
7
8
0 t
amplituda
![Page 4: Signali i sustavi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062321/568138c7550346895da081a7/html5/thumbnails/4.jpg)
4
Diskretizacija vremena i amplitude
amplituda
1
2
3
4
5
6
7
8
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 130 n
![Page 5: Signali i sustavi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062321/568138c7550346895da081a7/html5/thumbnails/5.jpg)
5
Diskretni signali
tdiskretizacija amplitude
x[t]
ndiskretizacija vremena
(vremenskidiskretni signal)
x(n)
ndiskretizacija vremena
i amplitude(digitalni signal)
x[n]
t
x(t)
kontinuirani signal
![Page 6: Signali i sustavi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062321/568138c7550346895da081a7/html5/thumbnails/6.jpg)
6
Vremenski diskretni (VD) signali
• Uobičajena interpretacija vremenski diskretnog signala:
{u(tn) n Z}
• Ako govorimo o vremenskim signalima, nezavisnu varijablu možemo označiti sa tn.
• Nezavisna varijabla poprima diskretne vrijednosti.
• Diskretni signal je definiran samo u diskretnim trenucima tn.
![Page 7: Signali i sustavi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062321/568138c7550346895da081a7/html5/thumbnails/7.jpg)
7
Vremenski diskretni signali
• Korisno ga je interpretirati kao niz brojeva… u(t–2), u(t–1), u(t0), u(t1), u(t2) …
poredanih kako to određuje nezavisna varijabla.
• Često diskretni signali nastaju otipkavanjem kontinuiranih signala.
• Trenutna vrijednost diskretnog signala u(tn) naziva se uzorkom signala u trenutku tn.
• Uzorci ne moraju biti jednoliko raspodijeljeni na osi tn.
![Page 8: Signali i sustavi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062321/568138c7550346895da081a7/html5/thumbnails/8.jpg)
8
Primjeri diskretizacije vremenske osi
t0t–3 t–2
t–1 t1
t2 t3 t4
tn
u(t0)u(t–2)
u(t–1)
u(t–3)
u(t1)
u(t2) u(t3)
u(t4)
t0t–3 t–2
t–1 t1
t2 t3 t4
tn
u(t0)u(t–2)
u(t–1)
u(t–3)
u(t1)
u(t2)u(t3) u(t4)
proizvoljna diskretizacija vremena
ekvidistanta diskretizacija vremena
![Page 9: Signali i sustavi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062321/568138c7550346895da081a7/html5/thumbnails/9.jpg)
9
Ekvidistantni VD signali
• Radi jednostavnosti obično se koriste signali čiji su uzorci ekvidistantni.
• Tada diskretni signal označavamo sa u[n] umjesto u[tn].
• Varijablu n obično nazivamo diskretna vremenska varijabla.
• Čest je naziv i varijabla koraka, pa se kaže da je u[n] vrijednost diskretnog signala u koraku n.
![Page 10: Signali i sustavi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062321/568138c7550346895da081a7/html5/thumbnails/10.jpg)
10
Ekvidistantni VD signali
• Ovaj niz možemo prikazati kao:… u[–3] = 1, u[–2] = 2, u[–1] = –2, u[0] = 3,
u[1] = –2, u[2] = 2, u[3] = 1, u[4] = 2 …• Odnosno kao:
u[n] = {…1, 2, –2, 3, –2, 2, 1, 2 …}gdje je uzorak za n = 0 podcrtan (konvencija).
t0t–3 t–2
t–1 t1
t2 t3 t4
tn
u(t0)u(t–2)
u(t–1)
u(t–3)
u(t1)
u(t2) u(t3) u(t4)
![Page 11: Signali i sustavi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062321/568138c7550346895da081a7/html5/thumbnails/11.jpg)
11
Elementarni diskretni signali
• Jedinični impuls - Kroneckerov delta ili jedinični impuls definira se kao:
inače,0
0 za,1][
nn
[n]
n
1
43210–1–2–3–4
![Page 12: Signali i sustavi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062321/568138c7550346895da081a7/html5/thumbnails/12.jpg)
12
Elementarni diskretni signali
• Jedinična stepenica - Heavisideov niz ili jedinična stepenica definira se kao:
0 za,1
0 za,0][
n
nns
s[n]
n
1
43210–1–2–3–4
![Page 13: Signali i sustavi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062321/568138c7550346895da081a7/html5/thumbnails/13.jpg)
13
Elementarni diskretni signali
• Jedinična kosina - definira se kao:
0 za,
0 za,0][
nn
nnr
r[n]
n
1
43210–1–2–3–4
2
3
4
![Page 14: Signali i sustavi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062321/568138c7550346895da081a7/html5/thumbnails/14.jpg)
14
Otipkavanje kontinuiranih signala
• Diskretne signale možemo dobiti kao rezultat otipkavanja kontinuiranih signala.
0 za,
0 za,0][
nn
nnr
0 za,
0 za,0)(
tt
ttr
0 za,1
0 za,0)(
t
tts
0 za,1
0 za,0][
n
nns
Kontinuirana jedinična stepenica i kosina
Diskretna jedinična stepenica i kosina
![Page 15: Signali i sustavi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062321/568138c7550346895da081a7/html5/thumbnails/15.jpg)
15
Otipkavanje kontinuiranih signala
• Nezavisna varijabla t poprima bilo koju vrijednosti iz skupa R.
• Diskretizaciju signala postižemo otipkavanjem signala u trenucima t = nT.
• Pretpostavljeno je uniformno otipkavanje:– T je vremenski razmak između uzoraka,
– n Z.
• Model postupka otipkavanja može se prikazati slikom:
u(t) u[nT]
![Page 16: Signali i sustavi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062321/568138c7550346895da081a7/html5/thumbnails/16.jpg)
16
Otipkavanje jedinične stepenice
• Polazimo od kontinuirane jedinične stepenice s(t).
• Otipkamo je, točnije, promatramo njene vrijednosti s(t) samo u diskretnim trenucima t = nT.
0 za,1
0 za,0)(
t
tts
0 za,1
0 za,0][
nT
nTnTs
![Page 17: Signali i sustavi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062321/568138c7550346895da081a7/html5/thumbnails/17.jpg)
17
Otipkavanje jedinične stepenice
• Otipkavanje kontinuirane stepenice za različite vrijednosti perioda T:
–2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
t
s(t)1
–2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
s[nT]nT
T = 1 s 1
T = 0,25 s s[nT]nT
–8 –4 0 4 8 12 16 20 24 28 321 2 3
Mjerna jedinicaje sekunda!
![Page 18: Signali i sustavi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062321/568138c7550346895da081a7/html5/thumbnails/18.jpg)
18
Otipkavanje jedinične stepenice
• Radi jednostavnijeg opisivanja diskretnih signala, izostavljamo T, te se umjesto u[nT] pišemo samo u[n].
• Diskretne nizove crtamo prikazujući u[n] kao funkciju uzoraka n, a ne kao u[nT].
–2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
n1
s[n] Nisu više sekunde!
![Page 19: Signali i sustavi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062321/568138c7550346895da081a7/html5/thumbnails/19.jpg)
19
Otipkavanje jedinične stepenice
• Bez obzira na odabrani T niz s[n] možemo prikazati na slijedeće načine:
s[n] = {… 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1 …}
• Naravno, želimo li ove signale prikazati u stvarnoj vremenskoj skali, treba uzeti u obzir vrijednost T (period otipkavanja).
0 za,1
0 za,0][
n
nns
![Page 20: Signali i sustavi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062321/568138c7550346895da081a7/html5/thumbnails/20.jpg)
20
Otipkavanje jedinične kosine
• Slično se može razmatrati i otipkavanje jedinične kosine. Za t = nT slijedi:
r(t)
1
43210–1–2–3–4
2
3
4
–5 5
t
0 za,
0 za,0][
nTnT
nTnTr
0 za,
0 za,0)(
tt
ttr
![Page 21: Signali i sustavi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062321/568138c7550346895da081a7/html5/thumbnails/21.jpg)
21
r[n]
1
43210–1–2–3–4
2
3
4
–5 5
n
T=1
r[n]
2
210–1–2
4
n
T=2
Ista kosina r(t) otipkana različitimperiodom rezultirarazličitim nizombrojeva!
![Page 22: Signali i sustavi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062321/568138c7550346895da081a7/html5/thumbnails/22.jpg)
22
Diskretna kompleksna eksponencijala
• Moguće ju je definirati kao diskretni signal dobiven otipkavanjem kontinuirane eksponencijale.
• Neka je zadana kontinuirana kompleksna eksponencijala x(t) = est gdje je s = + j kompleksna frekvencija.
• Otipkamo x(t) u trenucima t = nT:
x(t) = est = esnT = (esT)n = zn = x[n]
• Pri tome je esT zamijenjeno s z.
![Page 23: Signali i sustavi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062321/568138c7550346895da081a7/html5/thumbnails/23.jpg)
23
Diskretna kompleksna eksponencijala
• Dobiveni niz brojeva x[n] = zn je diskretna kompleksna eksponencijala.
• Uočimo da je x[nT] zamijenjeno s x[n], vodeći računa da je razmak među uzorcima jednak T sekundi, te da je radi lakšeg i preglednijeg pisanja esT zamijenjeno s z.
• Oblik diskretne eksponencijale određen je položajem kompleksne frekvencije z u kompleksnoj ravnini. Ovo ćemo kasnije ilustrirati primjerima.
![Page 24: Signali i sustavi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062321/568138c7550346895da081a7/html5/thumbnails/24.jpg)
24
Diskretna kompleksna eksponencijala
• Prikažimo kompleksnu varijablu z kaoz = ej (polarne kooridnate). Tada je:
z = esT = eT ejT = ej,pa je
= eT i = T 2k.
• Ovi izrazi definiraju vezu svakog s i svakog z, tj. definiraju preslikavanje s-kompleksne ravnine u z-kompleksnu ravninu.
![Page 25: Signali i sustavi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062321/568138c7550346895da081a7/html5/thumbnails/25.jpg)
25
Diskretna kompleksna eksponencijala
• Promotrimo preslikavanje z = esT = eT ejT.• Kompleksna eksponencijala periodična je sa
periodom od 2j, pa je eksponecijala ejT periodična je sa periodom 2/. U komplesnu ravninu s možemo ucrtati pojaseve širine 2/.
• Eksponencijala eT je uvijek pozitivna. Jednaka je jedinici za = 0, dok je za < 0 manja od jedinice, a 0 veća od jedinice.
![Page 26: Signali i sustavi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062321/568138c7550346895da081a7/html5/thumbnails/26.jpg)
26
Diskretna kompleksna eksponencijala
T
s-kompleksna ravnina
z-kompleksna ravnina
j
0
0
Svaki pojas se preslikava u kompleksnu
ravninu z.
![Page 27: Signali i sustavi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062321/568138c7550346895da081a7/html5/thumbnails/27.jpg)
27
Diskretna kompleksna eksponencijala
T
s-kompleksna ravnina
z-kompleksna ravnina
j
0
0
Lijeva poluravnina preslikava se unutar jedinične kružnice
u kompleksnoj ravnini z, a desna izvan.
1
![Page 28: Signali i sustavi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062321/568138c7550346895da081a7/html5/thumbnails/28.jpg)
28
Diskretna kompleksna eksponencijala
s-kompleksna ravninaz-kompleksna ravnina
0
Različite točke u kompleksnoj ravnini s preslikavaju se u istu točku u kompleksnoj ravnini z.
1
j
0
![Page 29: Signali i sustavi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062321/568138c7550346895da081a7/html5/thumbnails/29.jpg)
29
Diskretna kompleksna eksponencijala
• Različite točke u kompleksnoj ravnini s preslikavaju se u istu točku u kompleksnoj ravnini z.
• Znači da postoji više različitih kontinuiranih eksponencijala koje otipkavanjem daju isti diskretni niz!
![Page 30: Signali i sustavi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062321/568138c7550346895da081a7/html5/thumbnails/30.jpg)
30
Diskretna kompleksna eksponencijala
• Primjeri diskretne kompleksne eksponencijale:(u svim primjerima pretpostavlja se da je period otipkavanja T = 1).
• Primjer 1.
z1
z-kompleksna ravnina
0 1
Neka je z1 = 0,7 .
![Page 31: Signali i sustavi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062321/568138c7550346895da081a7/html5/thumbnails/31.jpg)
31
Diskretna kompleksna eksponencijala
• Za zadani z1 diskretna eksponencijala je
oblika: x1[n] = z1n = 0,7n.
• Ovu eksponencijalu moguće je prikazati kao niz brojeva:x1[n] = {… 0, 1, 0,7, 0,49, 0,343, 0,24, 0,168,
0,118, 0,082 …}• Grafički:
–2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
n
x1[n]1
![Page 32: Signali i sustavi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062321/568138c7550346895da081a7/html5/thumbnails/32.jpg)
32
Diskretna kompleksna eksponencijala
• Odredimo kontinuiranu eksponencijalu čijim bi se otipkavanjem dobila naša diskretna.
111
11
T
T
e t
35667,0
0
35667,07,0lnln
111
11
11
js
tttts eeetx 7,0)( 35667,035667,01
1
j
0
![Page 33: Signali i sustavi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062321/568138c7550346895da081a7/html5/thumbnails/33.jpg)
33
Diskretna kompleksna eksponencijala
• Primjer 2.
• Odgovarajuća diskretna eksponencijala je oblika:
x2[n] = z2n = (0,7ej)n = 0,7nejn =
= 0,7n cos(n) = 0,7n (–1)n = (–0,7)n
z2
z-ravnina
0 1
Neka je z2 = 0,7ej.
![Page 34: Signali i sustavi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062321/568138c7550346895da081a7/html5/thumbnails/34.jpg)
34
Diskretna kompleksna eksponencijala
• Možemo je prikazati kao skup i grafički:x2[n] = {… 1, –0,7, 0,49, –0,343, 0,24, -0,68 …}
0
1
2
3
4
5
6
7
8
n
x2[n]1
![Page 35: Signali i sustavi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062321/568138c7550346895da081a7/html5/thumbnails/35.jpg)
35
Diskretna kompleksna eksponencijala
• Primjer 3.
• U ovom je slučaju diskretna eksponencijala oblika:
6
cos2
1
2
1Re 66*
3333
neezzzx
njnjnnn
z3
z-ravnina
0 1
z3*
/6Neka je z3 = ej/6.
![Page 36: Signali i sustavi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062321/568138c7550346895da081a7/html5/thumbnails/36.jpg)
36
Diskretna kompleksna eksponencijala
• Ista eksponencijala kao niz brojeva:x3[n] = {… 1, 0,866, 0,5, 0, –0,5, –0,866, –1,
–0,866, –0,5, 0, 0,5 …}
0n
x3[n]1
Radi se o diskretnoj kosinusoidi koja je nastala otipkavanjem kontinuirane svakih /6 radijana.
![Page 37: Signali i sustavi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062321/568138c7550346895da081a7/html5/thumbnails/37.jpg)
37
Diskretna kompleksna eksponencijala
• Primjer 4.
• Neka je z4 = ej.
• x4[n] = z4n = ejn
= cos(n) = (–1)n
• x4[n] = {… 1, –1, 1, –1, 1, –1, 1, –1 …}
01
2
3
4
5
6
7
8
x4[n]n
1
–1
z4
z-ravnina
0 1
I ovdje se radi o diskretnoj kosinusoidi, a period otipkavanja je radijana.
![Page 38: Signali i sustavi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062321/568138c7550346895da081a7/html5/thumbnails/38.jpg)
38
Diskretna kompleksna eksponencijala
• Primjer 5.
• Neka je z5 = 1.
• x5[n] = z5n = 1n = cos(2n)
• Diskretna eksponencijala prelazi u jediničnustepenicu nastalu otipkavanjem kosinusa s periodom otipkavanja 2 radijana.
• x5[n] = {… 1, 1, 1, …}
0 1 2 3 4 5 6 7 8
x5[n]n
1
![Page 39: Signali i sustavi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062321/568138c7550346895da081a7/html5/thumbnails/39.jpg)
39
Diskretna kompleksna eksponencijala
• Primjer 6.
6cos8,08,08,0
2
1
2
1Re
66
*6666
nee
zzzx
nnj
nnj
n
nnn
z6
0 1
z6*
/6Neka je z6 = 0,8ej/6.
z-ravnina
![Page 40: Signali i sustavi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062321/568138c7550346895da081a7/html5/thumbnails/40.jpg)
40
Diskretna kompleksna eksponencijala
• Možemo je prikazati kao skup i grafički:x6[n] = {… 1, 0,6928, 0,32, 0, –0,2048, –0,284,
–0,262, –0,18, 0,083 …}
0n
x3[n]1
![Page 41: Signali i sustavi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062321/568138c7550346895da081a7/html5/thumbnails/41.jpg)
41
Osnovne operacije na nizovima
• Definirajmo osnovne binarne operacije na nizovima u[n] i v[n].
• Zbroj nizova:
• Opći član: y[n] = u[n] + v[n], n Z• Element koji obavlja ovu operaciju zove se
zbrajalo. Shematski prikaz:
+
u[n]
v[n]
y[n]
![Page 42: Signali i sustavi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062321/568138c7550346895da081a7/html5/thumbnails/42.jpg)
42
Osnovne operacije na nizovima
• Produkt nizova:
• Opći član: y[n] = u[n] · v[n], n Z• Element koji obavlja ovu operaciju zove se
množilo. Shematski prikaz:
×u[n]
v[n]
y[n]
![Page 43: Signali i sustavi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062321/568138c7550346895da081a7/html5/thumbnails/43.jpg)
43
Osnovne operacije na nizovima
• Množenje niza s konstantom:
• Opći član: y[n] = a · u[n], n Z• Element koji obavlja ovu operaciju zove se
pojačalo. Shematski prikaz:
au[n] y[n]
![Page 44: Signali i sustavi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062321/568138c7550346895da081a7/html5/thumbnails/44.jpg)
44
Operacije s pamćenjem
• Operator pomaka E:
• Pomak unaprijed ili predikcija definira se kao:
y[n] = E[ u[n] ] = u[n + 1]• Operacija pomaka niza unaprijed traži
nekauzalan sustav pa je neostvariva.• Blok dijagram:
Eu[n] y[n]
![Page 45: Signali i sustavi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062321/568138c7550346895da081a7/html5/thumbnails/45.jpg)
45
Operacije s pamćenjem
• Operator pomaka E–1:
• Pomak unazad, kašnjenje ili pamćenje definira se kao:
y[n] = E–1[ u[n] ] = u[n – 1]• Blok dijagram
E–1u[n] y[n]
![Page 46: Signali i sustavi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062321/568138c7550346895da081a7/html5/thumbnails/46.jpg)
46
Primjeri upotrebe operatora E i E–1
• Primjer 1:
y1[n] = E[[n]] = (n + 1)
• Primjer 2:
y2[n] = E–1[[n]] = (n – 1)
y1[n]
n1 2 3–1
1
y2[n]
n1 2 3– 1
1
![Page 47: Signali i sustavi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062321/568138c7550346895da081a7/html5/thumbnails/47.jpg)
47
Primjeri upotrebe operatora E i E–1
• Primjer 3:
y3[n] = E–1[s[n]] = s(n – 1)
• Primjer 4:
y4[n] = E–3[s[n]] = E–1[E–1[E–1[s[n]]]] = s(n – 3)
y3[n]
n1 2 3– 1
1
...
y4[n]
n1 2 3
1
...