Signalbehandling og matematik (Tidsdiskrete signaler og systemer)
description
Transcript of Signalbehandling og matematik (Tidsdiskrete signaler og systemer)
Signalbehandling og matematik (Tidsdiskrete signaler og systemer)
Session 7.Analyse af lineare systemer og praktiske eksempler
Ved Samuel [email protected]
Agenda
• Amplitude og fase respons plots fortsat.• Fra poler til Fourier plots • Ideelle filtre• Matlab
3
Signaler og systemer i de 3 domænerRepetition
System OutputInput Output
Tids domænet:
][nx ][nh ][*][][ nhnxny
Fourier domænet:
)( jeX )( jeH )()()( jjj eHeXeY
)(zX )(zH )()()( zHzXzY Z-transfomation:
IIR og FIR filter
• IIR– Systemer med uendelige impuls respons har altid
mindst en betydende pol (det vil sige ikke nul poler eller ophævede poler)
• FIR – Systemer med endelige impuls respons har ingen
betydende poler (det vil sige ikke nul poler eller ophævede poler)
111)(
az
zH
11)( bzzH
M
k
kk zbzH
0
)(
M
kk knxbnh
0
][)(
General form:
Invers transformation:
Eksempel:
Repetition
ROC af differentiel funktioner
• Hvis systemet er kausalt
• Hvis systemet er stabilt og dobbelt siddet
1121 211
1)(
zzzH
Re
Im
11
2
23
Re
Im
1
1
2
23
**
**
Repetition
Stabilt system• Et stabilt system et system med en begrænset output interval såfremt
inputtet er begrænset”Bounded input Bounded output (BIBO)”
• I tids domænet:
• Vi kan se om ovenforstående gælder i z-transformatione hvis
•
• Derfor skal enhedscirkelen ligge i ROC hvis systemet er stabilt– Dermed skal polerne for et stabilt system ligge indenfor enhedcirkelen
k
khS ][
n
n
znxzX
][)( 1 nz
Amplitude og fase respons
• Amplitude output :
• Fase output :
)()()( jjj eXeHeY
)()()( jjj eXeHeY
Hvor kaldes amplitude responsen eller ”gain”)( jeH
Hvor kaldes fase responsen eller fase skiftet )( jeH
Repetition
Amplitude og fase respons: Ideelle delay system
• Ideelle delay system:
• Frekvens respons
• Amplitude respons
• Fase respons
][][ dnnnh
dnjj eeH )(
1)( jeH
dj neH )(
0 1 2 3 4 5 6 70
0.5
1
n
h[n]
Implus respons
-3 -2 -1 0 1 2 30
1
2
Radian frekvens ()
Am
plitu
de
Amplitude respons
-3 -2 -1 0 1 2 3-10
-5
0
5
10Fase respons
Radian frekvens ()
Rad
iane
r
Repetition
Group delay• Forskydning opgivet i samples (tid)
• Idelle delay:
jeH
dd
0 10 20 30 40-1
-0.5
0
0.5
1
n
=0.1
0 10 20 30 40-1
-0.5
0
0.5
1
n
InputOutput
0 5 100
0.5
1
Input OutputSystemets impus respons
Group delay
Group delay:
dj neH )(
dd nndd
)(
Repetition
Ideelt gruppe delay
• I de fleste systemer vil vi gerne have konstant gruppe delay for interessante frekvenser
• Da
• forsager en lineær fase respons et konstant gruppe delay.
jeH
dd
Repetition
Agenda
• Amplitude og fase respons plots fortsat.• Fra poler til Fourier plots • Ideelle filtre• Matlab
Frekvens respons af LTI systemer
)()()( jjj eXeHeY
)()()(
j
jj
eXeYeH
Outputtet er inputtet foldet med systemets impuls respons
][*][][ nhnxny
Foldning svare til multiplikation i frekvens domænet
Amplitude og fase respons
• Amplitude output :
• Fase output :
)()()( jjj eXeHeY
)()()( jjj eXeHeY
Hvor kaldes amplitude responsen eller ”gain”)( jeH
Hvor kaldes fase responsen eller fase skiftet )( jeH
EKG filteret med et filter med ikke linear fase
2 3 4 5 6 7 8-500
0
500
1000
1500
2000
2500EKG
2 3 4 5 6 7 8-500
0
500
1000
1500
2000Filteret EKG
tid (s)
0 10 20 30 40 500
0.5
1
1.5
Frekvens (Hz)
|H(e
j)|
Frekevns respons af system
0 10 20 30 40 50-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
Gru
ppe
dela
y (s
)
Frekvens (Hz)
0 10 20 30 40 50-100
-50
0
H
(ej
)
Frekvens (Hz)
Frekvens respons af rationelle systemer
• Ved at substituere z=ejω
N
k
kjk
M
k
kjk
j
ea
ebeH
0
0)(
N
k
kjk
M
k
kjk
j
eda
ecbeH
10
10
)1(
)1()(
Amplitude respons af rationelle systemer
N
k
jk
M
k
jk
j
ed
ec
abeH
1
1
0
0
1
1)(
Amplitude respons:
Amplitude respons: multiplikation/division af absolutte faktorer
Fase respons af rationelle systemer
N
k
jk
M
k
jk
j edecabeH
110
0 11)(
Fase respons:
Gruppe delay:
N
k
jk
M
k
jk ed
ddec
dd
11
1arg1arg)(
Addering/substrahering af absolutte faktorer
Amplitude respons i dB
• Amplitude respons i dB:
• Der med kan både Amplitude og fase respons beregne ved addering
)(log20)(log20)(log20 101010 jjj eXeHeY
)()()( jjj eXeHeY
)()()( jjj eXeHeY
Generaliseret lineær fase
jjjj eeAeH )()(
Hvor A er en reel funktion til ω
Og hvor det ekspotentielle led beskriver fasen ved den lineære funktion hvor α og β er konstanter
jj
Eksempel på Generaliseret lineær fase
ellersn
nh0
,30,1][
-5 0 5 100
0.5
1
n
h[n]
MA filter
1
43
0
3210
11)(
zzzzzzzzH
n
n
Z transform
5.14
)2/sin()2/4sin(
11)(
j
j
jj e
eeeH
FT transform
Fasen –ω1.5 og gruppe delay er 1.5 sampels
Sidste led er jævnfør bevis side 73
Symmetri af impulsresponser
][]2[ nhnh
Sikkerhed for generel lineær fase hvis
Symmetrisk impuls respons:
][]2[ nhnh
Antisymmetrisk impuls respons:
-10 -5 0 5 10 15 200
0.5
1
n
h[n]
=3
-10 -5 0 5 10 15 20-1
0
1
n
h[n]
=3
Eksempler på symmetriske FIR linear fase systemer
Type I: h[n]=h[m-n] (M Even)
Type II, h[n]=h[m-n] (M odd)
Type III, h[n]=-h[m-n] (M Even)
Type IV, h[n]=-h[m-n] (M odd)
Agenda
• Amplitude og fase respons plots fortsat.• Fra poler til Fourier plots • Ideelle filtre• Matlab
Amplitude respons fra et nul punkt i z-planet (1/2)
• Plot poler, nul punkter og som vektore i z-planet
• Fra vektor matematik ved vi:
• Og da amplitude responsen er
,,1)( 1 jk
j rezzrezH
System z-domæne:
j
jjjjj
ereeereeH
1)(System Fourier domæne
je
213 vvv jj reev 3Derfor
321)( vvvreee
reeeH jj
j
jjj
Nul vektorjev 1
jrev 2
Amplitude respons fra et nul punkt i z-planet (2/2)
09.0 jeb29.0jebjeb 9.0
Polers virkning på amplitude responsen
Et nul punkt og ingen pol:
j
jjjjj
ereeereeH
1)(
jj
j
j
jjjjj
reee
ereeere
eH
11
1)(
1)( 3
1
3 vvveH j
Ingen nul punkt og en pol
33
1 1)(vv
veH j
Så derfor jo mindre v3 (pole vektor) og jo større amplitude
Fase respons fra z-planet nul punkt
• Husk faser fra flere systemer skal adderes:
• Derfor er
• Da
• Er
,,1)( 1 jk
j rezzrezH
System z-domæne:
j
jjjjj
ereeereeH
1)(System Fourier domæne
jjj
j
jjj eree
ereeeH
)(
)()()( jjj eXeHeY
jj reev 3jev 1
313)( vveH j
Fase respons fra et nul punkt i z-planet (2/2)
09.0 jeb29.0jebjeb 9.0
Agenda
• Amplitude og fase respons plots fortsat.• Fra poler til Fourier plots • Ideelle filtre• Matlab
Ideelle filtre
Fjerner uønskede signalerPåvirker ikke det ønskede signal
Implusrespond for ideellet lavpas filter
nnnh c
sin][
Poler og nulpunkter
Fra lavpas til højpas filtere)()( lphp HH
][)1(][][ )( nhnhenh lpn
lpnj
lp
Invers Fourier
M
kk
kN
kk
k knxbknyany11
][)1(][)1(][
Differrens funktion
Digital resonator
• Poler tæt på enhedscirklen
Notch Filter
• Nul punkter tæt på enhedscirklen
o Re
Im
1
1
2
2
3
o
o
All-pass filter
1
1
1*)(
zazzHF.eks.
Agenda
• Amplitude og fase respons plots fortsat.• Fra poler til Fourier plots • Ideelle filtre• Matlab
Test af digitalt system (A)
• Find impuls responsen af system2.m
Test af digitalt system (A)
• Er systemet lineært?• Er det tidsinvariant?• Er det kausalt?• Er det stabilt?• Er det et IR eller FIR system?
Lineært system
Defineret ud fra superposition
][][][][ 2121 nxTbnxTanxbnxaT
Tidsinvariante systemer• Et tidsinvariant system er uafhængigt af eksplicit tid
(Koefficienterne er uafhængig af tid)
• Det vil sige hvis x2[n]=x1[n-n0] så er y2[n]=y1[n-n0]
Det samme i går, i dag, i morgen og om 1000 år
70 år45 år20 årIkke tidsinvariant system
Kausalitet
• Et kausalt system kun afhængig af input fra fortid og nutid.
• y[n1] er kun afhængig af x[n] hvor nn1
Stabilitet
• Et stabilt system et system med en begrænset output interval såfremt inputtet er begrænset
• Bounded input Bounded output (BIBO)
• Hvilket kan sikres hvis impulsresponsen kan summers til en endelig værdi
nallfornx ,][ nallforny ,][ Givet
n
nh ][
FIR systemer
• Finite impulse response (FIR)– Endelig antal nonzero samples i
impulsresponsen– Altid stabilt så længe værdierne i
impuls responsen er endelige
-2 0 2 4 60
0.5
1
n
h[n]
M1=1 M2=1
IIR systemer
• Infinite impulse response (IIR)– Uendelig antal nonzero samples i
impulsresponsen– Kan være både stabilt og ustabilt– Eksempel på et stabilt system
-2 0 2 40
0.5
1
n
h[n]
aaSn
k 11
0
1],[][ anuanh n
Test af digitalt system (A)
• Er systemet lineært? Ja• Er det tidsinvariant? Ja• Er det kausalt? Ja• Er det stabilt? Ja• Er det et IR eller FIR system? FIR
Test af digitalt system (B)systemB.m
• System respons
• Bestem poler og nul punkter• Find frekvensen responsen H(ej) analytisk• Find frekvensen responsen H(ej) i fra impuls
responsen
2-1-
-2-1
z 0.6414 z 1.5610- 1.0000z 0.0201 z 0.0402 0.0201)(
zH
Output af system
• Bestem output hvis inputtet er
• Bestem y[n] med ved hjælp af systemet• Bestem y[n] med foldning i mellem• Bestem y[n] med Fourier transform • Bestem y[n] med input output funktion
(Differentiel funktion)
)sin()sin(][ 508 nnnx
2]-y[n 0.6414 -1]-y[n 1.56102]- x[n0.0201 1]- x[n0.0402 x[n]0.0201y[n]