Series Sumatorias
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SERIES y SUMATORIASCAPITULO II
OJOEl símbolo se llama Sigma
e indica la sumatoria desde k = 1 :hasta para k = n. donde:
k = 1 : límite inferiork = n : límite superior"k" : término genérico
Ejemplo:
Solución:
Método Práctico:
Calcular : 1 + 2 + 3 + ......... + 10
Calcular : 1 + 2 + 3 + ......... + 10 = = 55
• Calcular
A = 1x2 + 2x3 + 3x4 + ....... + 7x8
B = 1x2x3 + 2x3x4 + 3x4x5 + .... +9x10x11
10 • 112
Consecutivode "10"
Último término
k
(7k + 8) = 7(1) + 8 + 7(2) + 8 + 7(3) + 8 = 66k = 1 Para
k = 1Parak = 2
Parak = 3
3
Para poder desarrollar una sumatoria, tenemos queempezar asignando para k = 1; k = 2; k = 3; y asísucesivamente hasta k = n, al término genérico,para luego sumar todos los resultados.
"La suma está dada por la mitad de la multiplicacióndel último sumando con su consecutivo".
Solución:
Método Práctico:
A = 1x2 + 2x3 + 3x4 + ....... + 7x8 =
B = 1x2x3 + 2x3x4 + 3x4x5 + .... +9x10x11
B =
En general :
n : Número de términos
7 x 8 x 93
9 x 10 x 11 x 124
"3 factores"
Consecutivodel "8"
Último término
"La suma está dada por la multiplicación entre elúltimo término y el consecutivo al último factor delúltimo término y todo sobre la cantidad de factoresque se va a formar.
k = 1 + 2 + 3 + … + n = n(n + 1)2Para la suma de los 1ros. Números N: k
k(k + 1) = 1x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 + .... + n(n + 1)
k(k + 1)(k + 2) = 1x2x3 + 2x3x4 + .... + n(n + 1)(n + 2)
n(n + 1)(n + 2)3
n(n + 1)(n + 2)(n + 3)4
=
=
k(k + 1)(k + 2) … (k + P) =
donde :Factorial de un número
n! = 1 x 2 x 3 x … x n
(n + p + 1)!(P + 2)(n - 1)!
Suma de los 1ros. Números Pares:
Suma de los 1ros. Números Impares:
• Calcular : 2 + 4 + 6 + … + 40
• Calcular : 1 + 3 + 5 + … + 19
2 + 4 + 6 + … + 40 = 20 • 21 = 420
1 + 3 + 5 + ..... + 19 =
1 + 3 + 5 + .....
1 + 3 + 5 + ..... = 25² = 625
• Calcular :
Solución:
En general:
Solución:
Ejemplo 1:
A) 26
Total de bolas: n(n +1)2
n(n +1) = 156
n (n +1) = 12 • 13
n = 12Rpta. C∴
= 78
sea "n" el número de filas
B) 23 C) 12 D) 13 E) 263
= 100( (1 + 192
2
En general :
Solución:
Solución:
Consecutivo dela mitad de 40.
Últimotérmino
Últimotérmino
Cuadrado dela semisuma
25 términos
25 términos
Primertérmino
Pero cuando nos muestren la cantidad detérminos, la suma será igual al cuadrado dedicha cantidad de términos o sumandos.
Método Práctico:
Método Práctico:
2k
(2k - 1) = 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n - 1) = n²
(2k-1)
"La suma esta dada por la multiplicación de la mitaddel último y el consecutivo de esta mitad"
"La suma está dada por el cuadrado de la semisumadel primer y último término"
÷2
2k = 2 + 4 + 6 + … 2n = n(n + 1)
÷2
OJO
En una industria de productos para "Taco" produce78 bolas por cada minuto, las cuales lasacondicionan en forma de triángulo de modo que enla 1ª fila haya una, en la 2ª dos, en la tercera tres yasí sucesivamente. ¿Cuántas filas se formarán?
Así por ejemplo:
Solución:Solución:
Solución:
Solución:
Ejemplo 2: Ejemplo 4:
Ejemplo 5
Ejemplo 3:
A) 1240A) 1
A) 35
A) 69
D) 400D) 99
D) 38
D) 40
Si : S = 1 + 2 + 3 + … + nn Calcular :
Calcular : "x"
1 + 2 + 3 + ...... + x = aaa
1 + 2 + 3 + ...... + x = aaa
Calcular "x + y" si :
Calcular : S + S + S + … + S1 2 3 20 E = 0,01 + 0,03 + 0,05 + ...... + 19,99
E =
E =
E = = = 100
1 + 3 + 5 + 7 + ..... + x = 1962 + 4 + 6 + 8 + ..... + y = 420
Se tiene que :
Transformando los decimales :
(suma de los primeros impares)
Aplicando métodos prácticos :
Aplicando métodos prácticos :
Luego:
Luego piden :
S =n
+ + + ..... +
1 + 3 + 5 + 7 + ..... + x = 196
2 + 4 + 6 + 8 + ..... + y = 420
x + y = 27 + 40 = 67
+
=
= = 1610
+
[1x2 + 2x3 + 3x4 + … + 20x21]
[ [
+ …... +
n (n + 1)2
1100
1 + 3 + 5 + ..... + 1999100
1999 + 12 1000
1010
2( (
3100
5100
1999100
1 x 22
2 x 32
20 x 21 x 223
12
12
3 x 42
20 x 212
B) 1610B) 0,123
B) 36
B) 68
E) 210E) 100
E) 111
E) 27
C) 2000C) 80
C) 37
C) 67
1 + x2
= 1962( (
x (x + 1)2
x (x + 1) = a • 2 • 3 • 37
x = 36
= a • 111
(tanteando)
36 se deduce→
y2
y2
y2
= 20 • 21 = 20 y = 40+ 1( (
Rpta. B
Rpta. E
Rpta. BRpta. C
∴
∴
∴∴
Solución:
Solución:
Ejemplo 6:
Ejemplo 1:
A) 4525
A) S/.750.50
D) 1580
D) S/.717.50
Determinar el valor de :
S = 20 1 + 19 2 + 18 3 + ........ + 1 20. . . .
S = 21.1 + 21.2 + ... + 21.20 - (
Podemos resolver, dándole forma de la siguientemanera :
Sea "S" la suma a pagar, luego:
S = 0.25 + 1 + 2.25 + …
S =
S =
S = 717.5
S =
S =
+ 1 + + 4 + …
B) 1245
B) S/.700.50
E) 1540
E) S/.400.50
C) 3870
C) S/.350.50
Rpta. E
Rpta. D
∴
∴
Suma de los cuadrados de los 1ros.
. Calcular :
Suma de los cubos de los 1ros.
1² + 2² + 3² + .... + 20² )
• Calcular : 1³ + 2³ + 3³ + .... + n³
1² + 2² + 3² + .... + 10² =
1³ + 2³ + 3³ + .... + 10³ =
= 385
= 3025
10 • 11 • 216
14
14
1 + 4 + 9 + 16 + …4
1² + 2² + 3² + 4² + .... + (20)²4
94
20(21)(41)6
10 • 112
(10 + 11)
10 términos
20 sumandos
20 sumandos
10 términosCuadrado de la
mitad de lamultiplicación
Solución:
Solución:
Método Práctico:
Método Práctico:
En general :
En general :
donde : n : número de términos
donde : n : Número de términos
k²) )
k³) )
"La suma está dada por la multiplicación, entre elnúmero de términos, con su consecutivo y la sumadel número de términos y su consecutivo, paraluego dividir todo sobre 6".
Juan conviene en pagar un artículo cada fin desemana de la siguiente forma: la primera semanapaga S/.0.25, la segunda semana S/.1, la terceraS/.2.25, la cuarta S/.4 y así sucesivamente duranteveinte semanas. El precio del artículo es :
"La suma está dada por el cuadrado de la mitad dela multiplicación entre el número de términos y suconsecutivo".
S = (21-1).1 + (21-2).2 + (21-3).3 +.....+ (21-20).20
:
1² + 2² + 3² + .... + 10²
S = 21 . 20 (21) - 20 (21) (41)
2 6
S = 1540
___ _____
2
.
1
.
22
.333
Solución:
Solución:
Ejemplo 2: Ejemplo 4:
Ejemplo 3:Efectuar:
A) 16
A) 5525
S = 64 + 81 + 100 + 121 + 144 + ..... + 625
A) 16
C1 C2 C3 C4 .......
.......
.......
.......
.......
4444
D) 15
D) 3600
D) 15
Piden :
el artificio será :
- (1² + 2² + ...+ 5² + 6² + 7²)S = 1² + 2² + 3² + ....+ 25²n = 25 n = 7
1(1) + 2(2) + 3(3) + … + 20(20)
= 1² + 2² + 3² + .... + 20² =
Luego :
S
S
=
= 5385
-
Pero se requiere : 2 + 8 + 7 + 0 = 17= 2870
B) 17
B) 5665
B) 17
E) 19
E) 5388
E) 19
C) 18
C) 5385
C) 18
Rpta. B
Rpta. CRpta. B
∴
∴∴
20 x 21 x416
(25 • 26 • 51)6
(7 • 8 • 15)6
n (n + 1)(2n +1)6
En el triángulo numérico hallar la suma de las veinteprimeras columnas (dar como respuesta la suma decifras del resultado).
Es importante considerar que la fórmula de loscuadrados, específicamente está referida a la sumade los cuadrados de los primeros enteros positivos,es decir que si la suma no empieza en 1² + 2²; seránecesario un artificio previo, que consiste ensuponer que efectivamente empieza en 1², paraluego restarle los primeros términos que nocorrespondan a la suma planteada inicialmente; esdecir que siendo la suma original :
S = 64 + 81 + 100 + 121 + 144 + ..... + 625,
que se puede expresar :
S = [8² + 9² + 10² + 11² + 12² + ..... + 25²]
Este procedimiento conocido, como el QUITA yPON nos permite aplicar la fórmula dos veces,primero para los 25 primeros términos y luego en elsustraendo a los siete primeros términos,apliquemos pues :
1² + 2² + 3² + 4² + 5² + ...... + 10²2² + 3² + 4² + 5² + ...... + 10²
3² + 4² + 5² + ...... + 10²
10²
1² + 2² + 3² + 4² + 5² + ...... + 10²
1(1²) + 2(2²) + 3(3²) + ..... + 10(10²)
1³ + 2³ + 3³ + ..... + 10³ =
= 3025
10•112
2( (
2² + 3² + 4² + 5² + ...... + 10²3² + 4² + 5² + ...... + 10²
10²
Solución:
Solución:
Ejemplo 5:
A) 194736
Aplicamos un procedimiento análogo al ejemplo 4,se tendrá que falta :
Luego :
2² + 4² + 6² + 8² + … + (2n) ² = (n+1)(2n+1)
2³ + 4³ + 6³ + 8³ + … + (2n)³ = 2[n(n + 1)]²
1³ + 3³ + 5³ + 7³ + … + (2n - 1)³ = n² (2n² - 1)
1² + 3² + 5² + 7² + … + (2n - 1)² = (4n² - 1)
1³ + 2³ + 3³ + .... + 11³ =
S = - = 39744
11 • 122
20 • 212
2n3
2n3
11 • 122
² ²
(
( (
(
( (
Calcular: S = 12³ + 13³ + 14³ + .... + 20³
D) 8910B) 36191E) 11197
C) 39744
Rpta. C∴
I) Suma de los cuadrados de los "n" primerosnúmeros pares naturales.
II) Suma de los cuadrados de los "n" primerosnúmeros impares naturales.
III) Suma de los cubos de los "n" primerosnúmeros pares naturales.
IV) Suma de los cubos de los "n" primerosnúmeros impares naturales.
Suma de los términos de una ProgresiónAritmética
• Calcular : 4 + 7 + 10 + 13 + ...... + 37
Debemos tomar en cuenta los conceptos utilizadosen una progresión aritmética.
Donde:
en el problema :
na
Sn
n
a
ra
1
n
: número de términos: término enésimo: suma de los "n" primeros términos
= 4= 3= 37
S =Semisuma
de extremos( ( Númerode términos
4 + 7 + 10 + 13 + ..... + 37
1er términoa = 41
a = a + (n - 1) rn 1
último términoa = 37n
Razón aritméticar = 3 = 7 - 4
+3 +3 +3
n = + 1a - a
rn r
S =n
n =
n = 12
S =12
n
+ 1 12
= 246
a + a2
n 1
37 - 43
37 + 42
OJO
2
CONSIDERACIONES IMPORTANTES: CONSIDERACIONES IMPORTANTES:
Suma de los "n" primeros términos de unaprogresión geométrica finita
I) En toda P.A. cada término comprendido entreel primero y el último, es igual a la semisuma desus dos términos adyacentes.
II) En toda P.A. de número impar de términos,siempre se cumple que existe un único términocentral cuyo valor es la semisuma de dostérminos equidistantes.
III) En toda serie aritmética de número impar detérminos se cumple:
I) En toda P.G. cada término comprendido entreel primero y el último es igual a la raíz cuadradadel producto de sus dos términos adyacentes.
II) En toda P.G. de número impar de términos secumple siempre que existe un único términocentral, cuyo valor es la raíz cuadrada delproducto de dos términos equidistantes.
t =central 2S términos
equidistantes T =central
Ejemplo 1:
Ejemplo 2:
Solución:
Solución:
Estamos frente a una progresión geométrica finita:
donde :
multiplicando por 3
podemos expresar como :
Observamos "n" sumandos :
aplicando "S" de progresión geométrica
⇒
⇒
T = 1 ; q = 2 ; n = 20021
Calcular : Q = 1 + 2 + 2² + 2³ + 22001
Si n es un entero positivo, el valor de la suma :3 + 33 + 333 + ....... + 3 ..... 3
S = 3 + 33 + ....... + 3 ..... 3
3S = 9 + 99 + ....... + 99..... 9
3S = - n S =
3S = (10 - 1) + (10² - 1) + … + (10 - 1)n
3S = (10+10² + …+ 10 ) - (1 + 1 + ..."n" sumandos)n
n cifras
n cifras
n cifras
A)
A)
2 - 12001
D)
D)
42001
B)
B)
22001
E)
E)
1616
C)
C)
22003
PRODUCTO DE 2TÉRMINOS EQUIDISTANTES
t
t =central
IV)
Calcular : 3 + 6 + 12 + 24 + .....
3 + 6 + 12 + 24 + ......... "8 términos"
x 2 x 2 x 2
Debemos tomar en cuenta los conceptos utilizadosen una progresión geométrica.
Donde :
• Sn : suma de los "n" primeros números
• q > 1
En el problema :
S = Tn 1
S = Tn 1 Q = 1
= 2 - 12002
q - 1q - 1
n
q - 1q - 1
n
10 - 9n - 1027
n 10 - 9n - 1027
n+1 10 + 9n - 1027
n+1
10 (10 -1)10 - 1
n 10 + 9n - 1027
n+1
10 - 9n + 1027
n+1 10 - 9n + 1027
n
2 - 12 - 1
2002
2 - 12 - 1
8
T
qn
1
T
qn
1S = 3 = 3 • 127 = 3818
=
=
=
=
=
=
3 (primer término)
2 (razón geométrica)
8 (número de términos)
3
2
8
Solución:
S
TS =
S—
x
términosde lugarimpar
central
términosde lugarpar
Númerode términos
( (
Rpta. A∴
Rpta. C∴
Suma de los Infinitos términos de unaprogresión geométrica decreciente :
Suma límite :
En el problema :
Hallar "S" :
Si los radios de una sucesión de circunferencias son:
Calcular:
A)
A)
A)
La suma de sus correspondientes longitudes esigual a:
Aplicando suma infinita, donde la razón geométricaserá :
Se debe saber que la longitud de una circunferen-cia se calcula como se indica :
Luego la suma de longitudes será :
2 (1) + 2 ( ) + 2 ( ) + 2 ( ) + …π π π π
= 2π
= 2π
= 4π
1 -1
1 + + + +...((
((
D)
D)
D)B)
B)
B)
E)
E)
E)C)
C)
C)
2
π
1/49
1/4
8π
1/31
2π
7/36
0
16π
13/371/3
4π
1/2
Ejemplo 1:
Ejemplo 2:
Ejemplo 3:
Solución :
Solución :
Solución :
Donde : 0 < | q | < 1
S =∞
S =∞⇒
q =
S =
1m ;
S =
S =
7S =
6S =
6S = S =⇒
Como:
Multiplicando a "S" por 7 :
=
=
=
=
a =1
-+
+
+
+
-
++
+
+
+
-
m ; …
+
+
+
+
+ …∞
+ …∞
+ …∞
+ …
+ - …
= 2
Es decreciente ya que los términos vandisminuyendo su valor, donde el término enésimotiende a cero, cuando "n" es muy grande.
• Calcular :
Solución:
1 + + + + …
1 + + + + … a = 11
q =
por eso esdecreciente
< 1x x x
12
12
1
12
12
17
17
1
1
1
1 736
Suma límite
12
12
12
14
14
18
18
14
14
249
27²
27
17
17
18
18
3343
37³
37²
17²
42301
474
47³
17³
116
132
12
121
212
14
14
18
18
S =∞a1
1 - q
1- 12
12
14
12
32
12
13
12
11
12
1- -( (12
12
Rpta. C
Rpta. C
∴
∴
Rpta. B∴
L = 2 Rπ
m m
-
A)
A)
D)
D)B)
B)
E)
E)
Donde :
Luego la suma de todas las áreas será :
S +
S = = •
=
+ + ....... ∞S4
14
43
43
14
X
S
X
S16
S =
C)
C)
Ejemplo 4: Ejemplo 5:
Solución :
Solución :
a² 3
πR²
πR²
πR²
πR²
πR²
2 ²πR
suma infinita
πR² πR²
2 2
π π( (
(
(
( (
(
(πR²/2
R ,
Los cuales seobtienen apartir de :
Luego la suma de las áreas será :
,
+
+
+
+
+=
=
=
=
,
+ ....
+ ....
+ ....
, .....
2 ²πR
3 ²/4πR
4πR²
a² 3
a² 3
a² 3
a² 3
a² 3
a² 3
3 2
6
4
4
3Rpta. A Rpta. B∴ ∴
Se tiene un triángulo equilátero cuyo lado mide "a".Se toman los puntos medios de sus lados y alunírseles se forma otro triángulo equilátero, en estetriángulo a su vez se toman los puntos medios desus lados y se les une, formando otro triánguloequilátero y repetimos la operación infinitas veces.Calcular la suma de las áreas de todos estostriángulos formados, incluyendo el mayor.
En un círculo de Radio R se inscribe un cuadrado;en este cuadrado se inscribe un círculo; en éste,otro cuadrado y así sucesivamente (indefinidamen-te). Se quiere saber la suma de las áreas de loscírculos.
Sea "S" el área del triángulo del lado "a", luegosegún la figura se formará un triángulo cuya área esla cuarta parte de "S" y así sucesivamente.
Se puede determinar que los radios de cada círculoson respectivamente :
a² 3
R
R
R2
2
R
R
1
1
11 +
4
2
2
2 4
22
2
2 4
11 -2
2
S/4
S/4
S/4 S/4
14
1 -
R
R
o 22
A) A)
D) D)
B) B)
E) E)
Distancia de bajada :
Distancia de subida :
Distancia total = dist. bajada + dis. subida
Distancia total =
Observamos una progresión geométrica ilimitadade razón 2/3
Dist. total =
Dist. total = 5h
Dist. total = 500 m
=
+( ((((
( (
(
h + 2
h h
h
+ +
+
+ …
+ …
C) C)
Ejemplo 6: Ejemplo 7:
Solución :Solución :Considerando de 2 en 2
Calcular:
7/5
3/25
S =
S =
S =
S = =
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ .....∞
.....∞
x
1/5
19/24
19/24200m 300m 400m
500m 600m
2h
2h
4
4
3
3
9
9
h h+ + + …2h 43 9
h + 2 hh + + …2 43 9
h+ + …2h 43 9
Rpta. D
Rpta. E
∴
∴
Se deja caer una bola desde una altura de 100metros. En cada rebote la bola eleva los 2/3 de laaltura desde la que cayó por última vez. ¿Quédistancia recorre la bola hasta que queda en reposopor la resistencia del aire?
35
35
1925
1924
125
452
452
353
353
19625
454
454
355
1 - 125
1925
23
1 -
23
h
h = 100
.....h
x
h2/3
4/9
+ + +
+r
xq xq xq
+r +r
+ =∞....1q
1 + rq²
1 + 2rq³
1 + 3rq4
r + q - 1(q - 1)²
+ +
+3
x 7 x 7
+3
+ ........∞
=
=
17
449
7343
3 + 7 - 1(7 - 1)²
14
OBSERVACIÓN:
A)
A)
A)
D)
D)
D)
B)
B)
B)
E)
E)
E)
+
+
+
-
+
+
+ - + - + …
+ + ..... +
= = -
-
-
- -+ .... ++
+
+
+
+
+
+
+ .... +
+ .... +
+ .... +
+ .... + 3 +
C)
C)
C)
Suma de las Inversas de los ProductosConsecutivos
Calcular :
Calcular :
Factorizando el "3"
Calcular :
Ejercicio 1:
Ejercicio 3:
Ejercicio 2:
S =
S =
S = 3
S = 3
S =
S =
S =
En general :
Por ejemplo :
S =
S =
S =
S = =
=
1 -
1 -
1 -
- - -
-
( ( ( (
( ((( (
( ( ( (
( ((
Solución :
Solución :
Solución :
1
124/175
136/225
128/245
108/205
129/295
11 • 2
35 • 6
15 • 6
11
15
141
108205
11•2•3
12
12
12
13
13
14
12
13
1n
12
12
12
12
1n
13
14
1n + 1
11 • 2 • 3
3 - 11 • 2 • 3
11 • 2
11 • 2
12
1156
77312
12 • 3
12 • 3
13 • 4
112•13
111•12
12 • 3
1n + 1
1n + 1
nn + 1
1n
71120
n - 1n
77147
n - 1n + 1
7397
7771
nn + 1
77312
12 • 3
36 • 7
16 • 7
12•3•4
13 • 4
37 • 8
17 • 8
13•4•5
14 • 5
38 • 9
1n(n + 1)
340 • 41
140 • 41
111•12•13
+ + =+ … +1
1 • 21
2 • 31
3 • 41
n(n + 1)n
(n + 1)
+ + =+ … +1
1•2•31
2•3•41
3•4•51
n(n+1)(n+2)n(n + 3)
4(n+1)(n+2)
+ + -= =+ … +1
2 • 5
+3
+1 +1
( (15 • 8
18 • 11
135 • 38
13
319
12
138
P -=1
k(k + 1)(k + 2)...(k + P)
n
k = 1Σ n!
(n + P!)1P
En este tipo de situaciones se trata de descompo-ner cada término en la diferencia de 2 fracciones
Expresando todos los sumandos tal como :
Rpta. C
Rpta. C Rpta. E
∴
∴ ∴
Propiedades de las Sumatorias Suma de los "n" primeros términos de unasucesión polinomial
01)
02)
03)
Ejemplo:
Calcular :
Calcular :
Solución:
MÉTODO PRÁCTICO
En el problema :
reemplazando en "S "n
S = 10 • 5 +10
S = 117510
+ • 6
n = 10 ; T = 5 ; a = 9
m = 6 ; r = 01
(2k³ - 5k² + 7k + 4)
5 + 14 + 29 + 50 + 77 + .....
5 + 14 + 29 + 50 + 77 + .....
T + T + T + T + T + ..... + T1 2 3 4 5 n
a
m
r r
n p
b c d
10 términos
2 k³ - 5 k² + 7 k + 4
Σ
Σ Σ Σ Σ
12
12 12 12 12
k = 1
k = 1 k = 1 k = 1 k = 1
A)
D)
B)
E)
C)
Aplicando las propiedades de la sumatoria,resultará :
Solución :
8727
9192
7912
N.A.
9512
- 5 + 7 + 48( (( (= 2
= 9512
212 • 132
12 • 13 • 256
12 • 132
Rpta. C∴
+9
+6 +6 +6
+15 +21 +27DiferenciasSucesivas
+
S = T C + aC + mC + rCn 1 1 2 3 4
S = nT +n 1 +n(n - 1)a
1 • 2n(n - 1)(n - 2)m
1 • 2 • 3
n(n - 1)(n - 2)(n - 3)r1 • 2 • 3 • 4
10 • 9 • 92
10 • 9 • 86
n n n n
Ejercicio 1 :Calcular :
S = 1 • 20 +20
S = 268020
Si : T = 7n + 2n
Calcular "S " e indicar su valor para n = 50.n
Suma de términos de una sucesiónpolinomial conociendo su términoenésimo (T ).n
Solución:
Solución:
1 + 3 + 7 + 13 + 21 + .... "20 términos"
1 + 3 + 7 + 13 + .....
+2
+2 +2
+4 +6
A)
D)
B)
E)
C)4260
4440
Aplicando el método de las diferencias sucesivas
Se coloca "T " como término genérico de unasumatoria
n
S =n
S50
Luego para n = 50.
=
=
= 9025
+ 2n
+ 2(50)
7n (n + 1)2
7 • 50 • 512
n n nnT =k k + 2(7k + 2) = 7
k = 1 k = 1 k = 1k = 1Σ Σ ΣΣ
5440
8980
2680
Rpta. C∴
+20 • 19 • 2
1• 220 • 19 • 18 • 2
1 • 2 • 3
1.- 3.-
2.-
La suma de 20 enteros consecutivos es "S".¿Cuál es la suma de los 20 siguientes?
En el siguiente triángulo numérico, hallar lasuma de las diez primeras filas.
F1
=
F + F + F + ..... + F1 2 3 10
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + …
F2
=
F3
=
F4
=
= = 105
= 5565
1
1
2 3
2 3
4 5 6
4 5 6
7 8 9 10
7 8 9 10
Lucha y Pili leen una novela de Vargas Llosa;Lucha lee 10 páginas diarias y Pili lee 1 pági-na el 1er. día, 2 el 2do día, 3 el 3er. día y asísucesivamente. ¿Después de cuántos díascoincidirán si empiezan al mismo tiempo?
Solución:
Solución:
Solución:
A)
A)
A)
D)
D)
D)
B)
B)
B)
E)
E)
E)
C)
C)
C)
S + 210
13250
10
S + 20
11350
21
Sea:
Redistribuyendo en forma horizontal :
Luego nos piden :
Otro Método:
Luego piden :
1 + 2 + 3 + … + 105 =
Sea "n" : número de días
Según enunciado se planteará :
lo que piden es :
Separando adecuadamente :
S = (x + 20 + 1) + (x + 20 + 2) + (x + 20 + 3)1
S = (x + 1)+(x + 2)+(x + 3)+ … +(x + 20)+1
⇒
+ (x + 20 + 4) + … + (x + 20 + 20)
+ 20 + 20 + … + 20
S = S + 20 • 20 = S + 4001
S = (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) + … + (x + 20)
10 + 10 + 10 + … + 10 = 1 + 2 + 3 + … + n
20 enteros consecutivos
"n" días(páginas leídas por Lucha)
Coinciden
"n" días(páginas leídas por Pili)
NúmeroTriangulares
S
20 sumandos
Número detérminos : 1 + 2 + 3 + …
1 + 2 + 3 + … + 105 =
= 105
= 5565
S + 200
13255
20
S + 400
5565
42
S + 190
22155
19
Rpta. E
Rpta. E
∴
∴
⇒ 10n = n = 19n(n + 1)
2
10 x 112
105 x 1062
1 x 22
2 x 32
3 x 42
4 x 52
10 x 112
105 x 1062Rpta. D∴
4.- 5.-
6.-
Se disponen los números naturales, según elarreglo adjunto :
Hallar la suma de la fila 10 en el siguientearreglo :
En el siguiente arreglo triangular calcular lasuma de los términos de F :20
Solución:
Solución:
Solución:
A)
A)
A)
E indicar la suma de cifras del resultado.
Calcular las suma de los números de lafila 30 Fila 10 =
Fila 10 = (1 + 6 + 11 ...) - (1 + 6 + 11 ...)
Fila 10 =
Fila 10 =
Pero :
Luego :
⇒
T = 1 r = 5 T = a + (n - 1) r1 n 1
T = 1 + (46 - 1) 5 = 226T = 1 + (55 - 1) 5 = 271
46
55
x 10
x 10 = 2485
10 x 112
T + T
246 55
226 + 2712
9 x 102
= 55 términos = 45 términos
D)
D)
D)
B)
B)
B)
E)
E)
E)
C)
C)
C)
12742
2185
16
12 3
4 5 67 8 9 10
............................................
............................................
16
1611
21 2631 36 41 46
14
169
25 36
F1F2F3
F20
18645
2435
19
Hastala
Fila 29
Fila 30
Del esquema :
Hasta lafila 29
Hasta lafila 29
Hasta lafila 9
Hasta lafila 30
Hasta lafila 30
Hasta lafila 10
((
(
((
(
((
(
((
(
+ Fila 30 =
Fila 30 =
Fila 30 = (
(
1 +2 + 3 + … + 465) -
1 +2 + 3 + … + 435)
Fila 30 =
= 13515
465 x 466
2
435 x 436
2
—
—
—
13892
3140
15
13515
2485
21
18734
2355
17
Rpta. E
Rpta. E
∴
∴
= 435 términos
= 465 términos
=
=
29 x 302
30 x 312
7.-
8.-
9.-
Piden:
Piden : 1 + 0 + 4 + 5 + 2 + 4 + 0 = 16
1² + 2² + 3² + .... — 1² + 2² + 3² + ....
= = 1045240
20 x 212
210 x 211 x 4216
190 x 191 x 3816
19 x 202
= 210 Términos
—
= 190 Términos
Hallar la suma de las diez primera filas delsiguiente arreglo numérico :
Hallar la suma de los 50 primeros términosde la sucesión :
Calcular el valor de : "a + b" sabiendo que :
Rpta. A
Rpta. D
Rpta. D Rpta. B
∴
∴
∴ ∴
13
75
9 1113 15 17 19
21 23 25 27 29
11 x 4
11 • 3
12
1
42
48
44
36
24
151150
50151
1(3n - 2)(...)
11 x 4
13
Método Práctico
50151
11
1151
14 x 7
1148 x 151
+ 3
+ 3 + 3
1148 x 151
150151
15150
14 x 7
13 • 5
11
1b
1123
b = 23a = 21
17 x 10
15 • 7
1a • b
1123
;
+
;
+
- = ⇒
=
; …
+ …+
F1F2
F3F4F5
Solución:
Solución:
Solución:
A)
A)
A)
Se requiere :
Hallando el término 50, para lo cual hay quededucir que :
Se deduce que a + 2 = b; y aplicando elmétodo práctico tendremos :
Luego : a + b = 44
F + F + F + … + F1 2 3 10
T =n
+
-
+ … +
= =
⇒ T =50
1 + 8 + 27 + …
1³ + 2³ + 3³ + … + 10³ =
=
= 3025
10 x 11
2
D)
D)
D)
B)
B)
B)
E)
E)
E)
C)
C)
C)
2530
3025
100
4238
1000
10.
11.
Calcular
Calcular
Rpta. C
Rpta. D
∴
∴
12 x 6
12 x 3
12 x 3
1
1
2443
307428
720
17237
1729
465934
16
16
16
12
12
30 x 312
13
15
1U - 30
13
1U
1467
465934
15
18
1U
1063
20 Sumandos
30 Sumandos
11 x 2
2021
12 x 3
13 x 4
120 x 21
1… x U
+30
1063
401948
14 x 9
13 x 5
13 x 5
16 x 12
15 x 8
15 x 8
18 x 12
18 x 12
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ ....... . +
+ …
+ …
+ …+
Solución:
Solución:
A)
A)
Dando una forma conocida :
Piden :
Cálculo de "U" para lo cual consideramos :
3 ; 5 ; 8 ; 12 .............U
Luego, la expresión a calcular será :
+ 2 + 3 + 4 + .... + 30
⇒ U = 3 + 2 + 3 + 4 + … + 30
U = 2+1 + 2 + 3 + 4 + … + 30
U = 2 + = 467
Término 30
+2
x xx x
+3 +4
+
=
=
=
=
=
-
-
-
- - -
+ + … +
D)
D)
B)
B)
E)
E)
C)
C)
12. Calcular:
E =
E =
9E = 3
8E = 3
E =
8E = 3
Rpta. A∴
13
13
333
333
3323
1532
23
19
535
535
533
233
737
737
735
235
15/321
15/1612/25
15/64
Se deduce
Suma infinita
X 9
+
+
+
+
+1 -
+
+
+
+
+
+
+
+
+ … ∞
+ … ∞
+ … ∞
+ … ∞
Solución:
A)
Multiplicando por la razón geométrica de losdenominadores, para luego restar :
D)B)E)
C)
13. Calcular el valor de :
R =
R =
R =
R =( (( (
R = + =
Rpta. C∴
212
1 + 112
1 + 112
112
112
6 + 112²
6 + 112²
612²
112²
6² + 112³
6² + 112³
6²12³
112³
7144
1766
12
112
12
112
12
112
12
112
371728
113/77
1/31/9
17/66
+
+
+
+ +
+
+
+ + +
1 - 1 -
+ + … ∞
+ … ∞
+ … ∞
+… +…∞
Solución:
A)
Dando una forma conocida :
D)B)E)
C)
14. 16.
15.
17.
Calcular el valor de : Si AB = BC = 1,calcular : BD + DE + EF + FG + ....∞
Determinar la suma de los perímetros de losinfinitos triángulos equiláteros como muestrala figura (los vértices son los puntos mediosde los lados del triángulo anterior).
En la base cuadrangular de una pirámide sehan usado 400 bolas de billar, ¿cuántas bolasse han usado en total?
17
3a2
20 x 21 x 416
472
973
1674S = + + + + … ∞
11 + 2 2
2 - 2
3 - 2
1 - 2
1 + 2
6a
2
12a 18a
9a 16a
727
1349
3771
Solución:
Solución:
Solución:
Solución:
A)A)
B)
C)
D)
E)
A)
6a + 3a +
12
12
x x
+ .... ∞
Multiplicando por 7 ambos miembros, paraluego restar :
Se deduce que :
Luego lo que se pide será :
AB BD= 2
BD DE= 2
1
BD =
DE =
+ + + … ∞
= = =
1
1
1
1
11
x
11 -
1 1 1
3
32
2
2
2
22
2
2 2 2
D)
D)
B)
B)
E)
E)
C)
C)
8270
3450
2870
2780
2370A)
D)
B)
E)
C)
S =
7S = 1
42S = 7 + 3 +
36S = 9 +
6S = 1
E =
36E = 9
= = 12a
Rpta. D
Rpta. E
Rpta. B Rpta. B
∴
∴
∴ ∴
17
472
47
37
727
27
17
12
973
97²
57
27
57²
1674
167³
77²
27²
27³
77³
x 7
x 7
+
+
+
+1 -
1 -
6a
+
+
+
+
+
+
+ +
+
+ … ∞
+ … ∞
+ … ∞
+ … ∞
+ … ∞
2a 2a
2a
- 12+ 12
A
D
F
H I
G
E
C
B
45º
45ºk
kk 2
Las bases serán cuadradas, como:
;
Total deBolas : 1 + 4 + 9 + … + 400
: 1² + 2² + 3² + … + 20² =
= = 2870
; ; … 400 Bolas
18. 20.
21.19.
Rosell está apilando las canicas que tieneformando una pirámide tetraédrica. ¿Cuántascanicas tiene Rosell como máximo sabiendoque solamente le es posible obtener unapirámide de 20 niveles?
Calcular la suma de los 25 términos de lasiguiente sucesión :
Calcular "x" :Calcular la suma total del siguiente arreglo:
20 x 21 x 223
19 x 20 x 213
Solución:
Solución:
Solución:
Solución:
146011700
25
2650
16504225
20
2760
154011050
24
2460
16458150
18
+4
+3 +3 +3
+7 +10 +13
2860
15608250
23
2660
A)A)
A)
2 ; 6 ; 13 ; 23 ; 36 ; 52 ; …
x + (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) + … + (3x) = 1640
2 + 6 + 13 + 23 + 36 + … "25 términos"
= 2C + 4C + 3C1 2 3
Número deTérminos
Suma :
⇒ x = 20
( (
= + 1 = 2x + 1
. (2x + 1) = 1640
= 2 x + 4x + 3x = 8150251
3x - x1
x + 3x2
25x241x2
25x24x231x2x3
25 25 25
A)
D)D)
D)
D)
B)B)
B)
B)
E)E)
E)
E)
C)C)
C)
C)
Rpta. B Rpta. E
Rpta. ERpta. C
∴ ∴
∴∴
Se deduce que las bases serán triángulos,como:
La suma equivalente será :1(2) + 2(3) + 3(4) + … + 19(20)
= 1x2 + 2x3 + 3x4 + … + 19x20
=
= 2660
,, , …1 x 2
2
Números Triangulares
2 x 32
3 x 42
20 x 212
Número de Canicas:
= (1x2 + 2x3 + 3x4 + … + 20x21)
= = 1540
23 + 34 + 4 + 45 + 5 + 5 + 5
20 + 20 + 20 + ........ + 20
, … 20 Bases
+ + + … +1 x 22
12
12 ( (
2 x 32
3 x 42
20 x 212
20 x 212
Canicas
22. 24.
25.
26.
23.
Fanny debe leer un libro en un númerodeterminado de días y se da cuenta que silee 13 páginas cada día logrará su cometido,pero si lee una página el primer día; tres elsegundo, cinco el tercero y así sucesivamen-
1 x 5 + 2 x 6 + 3 x 7 + … + 20 x 24
Sea "S" la siguiente serie finita:S = 1 + 2x2 + 3x2² + 4x2³ + 5x2 +…+ 100x24 99
S = 1 + 2x2 + 3x2² + 4x2³ + 5x2 +…+ 100x24 99
2S = 2x1 + 2x2² + 3x2³ +…+ 100x2100
-S = 1 + 2 + 2² + 2³ +…+ 2 - 100x299 100
-S = -99 x 2 - 1100
S = 99 x 2 + 1100
-S = - 100x2100
entonces "S" es igual a :
Calcular: +
+- -
+
-
+… ∞
… ∞
Un rollo de papel cuyo diámetro es de 30 cm.consiste de 500 vueltas de papel fuertementeenrollado en un cilindro de 10 cm. de diáme-tro. ¿Qué longitud tiene el papel?.
te, le faltarán aún 12 páginas por leer.¿Cuántas páginas tiene dicho libro?
Solución:
Solución:
Solución:
Solución:
Solución:
144
9280
90x2 -1100 98x2 +1100 99x2 +1101
2
π cm
156
1710
99x2 +1100
1/4
1000π
142
484
1
10π
124
1000
99x2 -1100
7/13
1000
165
2142
1/3
10000π
A)
A)
A)
A)
A)
Sea "n" el número de días, luego :
Expresando como sumatoria:
Descomponiendo adecuadamente los términos:
Σ Σ Σ ΣK(K + 4) =
= + 4 = 171020 x 21 x 41
6
2 - 12 - 1
99-1
11 x 2
11 x 2
11 x 2
11 x 2
11
11 x 2 x 3
11 x 2 x 3
11 x 2 x 3 x 4
11 x 2 x 3 x 4
11 x 2 x 3 x 4
20 x 213
(K² + 4K) = K² + 4 K20 20 20 20
K = 1 K = 1 K = 1 K = 1
Considerando : L = 2 R = Dπ π
13 + 13 + 13 + … + 13 = 1 + 3 + 5 + … + 12
Luego :
13n = n² + 12
1ª vuelta + … +
10 + ........... + 30π π
últimavuelta
LongitudTotal
10 + 302
π π
⇒
=
=
= 1000π
x 500
Lo que falta por leer
Longitud de unacircunferencia
"n" términos
500 términos
500 términosen progresión aritmética
"n" términos
"n" términos
Número de páginas = 13n = 13(12) = 156
D)
D)
D)
D)
D)
B)
B)
B)
B)
B)
E)
E)
E)
E)
E)
C)
C)
C)
C)
C)
Rpta. D
Rpta. D
Rpta. D
Rpta. B
Rpta. C
∴
∴
∴
∴
∴
+1
1 x 2 x 3
11 x 2 x 3
PROBLEMA RECREATIVO
n = 12
PRACTICANDO 01
25. Si:
26. Hallar "n" si:
27. Hallar "x"
11³ + 12³ + 13³ + 14³ + … + x³ = 102600
49; 64; 81; ...; n
Lasumade los términos de lasucesiónes 433.
Hallar: A - B + C
A = 1 + 3 + 5 + 7 +... + 77B = 13 + 15 + 17 + 19 + … + 27C = 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + … + 21³
20. Hallar:
21. Hallar:
22. Efectuar:
23. Hallar:
S = 1.(20) + 2.(19) + 3.(18) + … + 20.(1)
S =
S =
S =
A)
D) E)
B) C)
+
+ + +...+
+ +...+
+ + +...+1
1
1 1 1 1
17
19 19
17 15
1 1 1
17
15 16
15
1.2
2.4
6.9 9.12 12.15 30.33
57
71 61
63 62
3.8 4.12 31.124
18
24 17
23
2.3 3.4 16.171 1 1
19. Hallar:S = 1.(3) + 2.(4) + 3.(5) + … + 20.(22)
A) 3200 B) 3160 C) 3194D) 3198 E) 9431
24. Hallar "x"29 + 31 + 33 + 35 + … + x = 3525
A) 123 B) 119 C) 117D) 121 E) 125
A) 53621 B) 54722 C) 53924D) 54921 E) 54371
A) 529 B) 400 C) 576
D) 676 E) 900
A) 23 B) 24 C) 26 D) 27 E) 25
A) 1560 B) 1540 C) 1610
D) 1570 E) 1624
A)
D) E)
A) 1 C)
1
5 5
3 322
37 31
43 41A)
D) D)
B) C)
1)2)3)4)5)
6)7)8)9)
10)
26)27)
21)22)23)24)25)
16)17)18)19)20)
11)12)13)14)15)
ACEAC
CDAEB
AE
ECADB
BCBAB
BEADC
RESPUESTAS
1. Hallar x + y si: 6. Hallar "n"
7. Calcular:
8. Hallar "n"
9. Calcular:
10. La sucesión:
11. Hallar :
2. Hallar "x"
3. Calcular la suma de los números de la fila 20en el triángulo numérico:
4. A los términos de la serie:
5. Hallar: (x + y + z)², sabiendo que:
x2y x3y x4y x8y+ + + … + = 459921 + 23 + 25 + 27 + … + n = 800
S = 4 + 18 + 48 + … + 900
n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) + … + (3n) = 1640
S = S + S + S + … + S1 2 3 30
1: (2 + 3); (4 + 5 + 6); (7 + 8 + 9 +10); …
S = S + S + S + … + SSiendo : S = 1 + 2 + 3 + … + n
1 2 3 n
k
2² + 3² + 5² + 7² + … + x² = 67626
12 3
4 5 67 8 9 10
11 12 13 14 15
Fila: 12345
S = 2 + 5 + 8 +11 + 14 + ...; se le agrega 1, 2,3, 4, 5, 6, ..., de tal manera que la suma de lanueva serie sea igual a 1830. ¿Cuántostérminos tiene la serie inicial?
9² + 99² + 999² + … = ...xyz
49 términos
A)A)
A)
A)
A)
A)
A)
A)
A)
A)
A)
115
2760
18
33015
13009
n(n + 1)2
n6
(n+1)(n+1)
n3
(n+1)(n+2)
n + 12
2
53
4020
28
400
B)B)
B)
B)
B)
B)
B)
B)
B)
B)
B)
1259
2785
19
31018
12915
51
4110
29
169
C)C)
C)
C)
C)
C)
C)
C)
C)
C)
C)
1357
2890
20
33025
12975
49
4010
31
196
D)D)
D)
D)
D)
D)
D)
D)
D)
D)
D)
1447
2960
21
34015
12615
57
4220
32
900
E)E)
E)
E)
E)
E)
E) n²
E)
E)
E)
E)
1571
2972
22
34215
13019
47
4015
30
729
PRACTICANDO 02
12. Hallar la suma de los elementos de la fila 20: 16. Hallar :
17. Hallar el valor de:
18. Hallar a + b; si: S - S = 41 2
19. Hallar: x + a + b + c
20. Si:
13. Hallar el total de palitos de fósforo de:
14. Calcular S30; sabiendo que:
15. Hallar el resultado de efectuar la serie:
S = 1S = 3 + 5S = 7 + 9 + 11S = 13 + 15 + 17 + 19
1
2
3
4
S = 5 + 6 + 7 + 9 + 9 + 12 + 11 + 15 + …sabiendo que tiene 100 sumandos
11 1
2 1 23 3 3 3
4 6 6 6 45 10 10 10 10 5
6 15 15 15 15 15 6
S = 1 - 4 + 9 - 16 + 25 - …
S = a + (a + 2) + (a + 4) + … + (a + 20)
S = 1 + 3 + 5 + 7 + … + a
S = 40 + 38 + 36 + … + b1
2
x1x x2x x3x x9x abc3+ + + … + =
a + + + + + ... = 92ba aba baba ababa
Si: a = 93 - 33 n
1 2 3 28 29 30
A)
A)
A)
A)
A)
A)
A)
A)
A)
2 46
— 930
240
49
20
8
900
24000
6675
B)
B)
B)
B)
B)
B)
B)
B)
B)
3 12
— 740
263
48
21
9
920
27000
6645
C)
C)
C)
C)
C)
C)
C)
C)
C)
3 15
— 820
242
46
24
10
930
25000
6895
D)
D)
D)
D)
D)
D)
D)
D)
D)
3 16
— 910
361
47
25
11
891
24600
6915
E)
E)
E)
E)
E)
E)
E)
E)
E)
3 16
— 790
351
52
22
12
895
24900
6924
13 sumandos
1)2)3)4)5)
6)7)8)9)
10)
16)17)18)19)20)
11)12)13)14)15)
CBCEA
BCCAE
CCAEB
DDDBA
RESPUESTAS
1. 5.
6.
7.
8.
9.
2.
3.
4.
Se tiene 85 naranjas; si con ellas se formauna pirámide tetraédrica, la más grandeposible. ¿Cuántas naranjas sobrarán?
Se tiene 3 números en progresión aritmética,al aumentarlo en 4, 5 y 9 respectivamente seobtiene números proporcionales a 3, 7, 14.Determine la suma de los 20 primeros térmi-
Los números: n - 2 ; n + 2 ; n + 14 ;... sonlos tres términos de una progresión geométri-ca, halle la suma de los 20 primeros términos.
Calcule la suma de los 41 términos de lasiguiente sucesión:
1, 1, 2, 3, 3, 6, 4, 10, 5, 15, 6, …
Calcule S
Calcule S
S =
S =
+
+
+
+
+ …
+ …
1
5 x 10
1
4 x 5
8
420
205
824
7
410
210
821
6
400
215
824
8
205
204
825
9
430
211
824
1
10x15
1
5 x 7
1
15x20
1
7 x 10
1
200 x 205
nos de la progresión aritmética.
Rlta con todas las monedas que tiene, formaun arreglo triangular de la siguiente manera:en la primera fila 1 moneda, en la segundafila 2 monedas y sobre cada una de ellas unamás, en la tercera fila tres monedas y sobrecada una de ellas 2 monedas más y asísucesivamente. Si pudo formar 20 filas entotal ¿cuántas monedas tenía?
Un comerciante advierte que la demanda desu producto va en aumento por lo que decidecomprar cada día 5 unidades más respecto aldía anterior y de esa manera satisfacer alos clientes, si empezó comprando 19 unida-des y el penúltimo día compró 169 unidades,¿cuántas unidades compró en total?
En la fábrica “Nuevo Amanecer” existe 2máquinas; una produce diariamente 100unidades de un producto, mientras que lasegunda el 1º día 10, el segundo día 20, eltercer día 30 y así sucesivamente, comienzanun 22 de febrero del año 2002. ¿En qué fechael total producido por ambas será lo mismo?
A)A)
A)
A)
A)
A)
A)
A)
A) 13 de marzo
B) 12 de marzo
C) 13 de abril
D) 11 de marzo
E) 14 de marzo
1560
3 - 121
1770
2970
3005
B)B)
B)
B)
B)
B)
B)
B)
2550
3 - 240
1771
2870
3088
C)C)
C)
C)
C)
C)
C)
C)
3450
3 - 115
1760
2360
3006
D)D)
D)
D)
D)
D)
D)
D)
0460
3 - 120
1870
3620
3107
E)E)
E)
E)
E)
E)
E)
E)
4500
2 - 130
1880
5205
3012
PRACTICANDO 03
10.
11.
12.
13.
15.
17.
18.
19.
14.
16.
Halle la suma de los 50 términos de la si-guiente serie; dar como respuesta la suma decifras
En una progresión aritmética el primer térmi-no con el décimo noveno término con el déci-mo noveno término suman 462, y el segundotérmino con el duodécimo término suman468. Halle la suma de los 20 primeros térmi-
Calcule la suma de los 20 primeros términosde una progresión cuyos términos son de laforma: t = 2n² + 10nn
Halle el valor de S
Halle la suma de los 78 términos que tiene la
serie aritmética: + + … +1 1 1xy yx yx
Halle el valor de la suma de los 20 primerostérminos de la serie:
La masa de un péndulo recorre 32 cm. en laprimera oscilación. En cada una de las si-guientes, la masa recorre 3/4 de la distanciarecorrida en la oscilación anterior. Calcule elrecorrido total de la masa hasta que sedetenga.
Calcule la suma de los 20 primeros términosde la serie:
S = 2 + 3 + 6 + 11 + 18 + …
Halle S
Calcule
S = 14 + 20 + 36 + 62 + ...
S =
S =
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ …
+ …1
3
1
3
5
8
5
4
13
9
3
5
3
8
3
4
13
8
4
5
11
8
5
3
1
32
2
32
1
33
3
33
1
34
4
34
1
35
5
35
1
36
30 sumandos
nos de dicha progresión
S = 11 + 101 + 101 + 10001 + …
A)
A)
A)
A)
A)
A)
A)
A)
A)
A)
90
6450
7840
43630
40900
3120
230 cm
2 + 121
B)
B)
B)
B)
B)
B)
B)
B)
B)
B)
55
4650
8740
43530
40911
2510
250 cm
2 - 121
C)
C)
C)
C)
C)
C)
C)
C)
C)
C)
80
4560
8470
43650
40192
4510
124 cm
2 - 2120
D)
D)
D)
D)
D)
D)
D)
D)
D)
D)
60
4659
7480
43560
41920
3150
224 cm
20 - 2120
E)
E)
E)
E)
E)
E)
E)
E)
E)
E)
70
4640
9480
43470
40920
3510
120 cm
2 - 2121
20.
21.
22.
23.
24.
26.
27.
28.
25.Edith con todas las fichas que tiene hace elsiguiente arreglo:
Calcule el valor de S
Calcule
Si el tercer término de una progresión aritmé-tica es 11 y el décimo 32, ¿cuál es la suma delos 20 primeros términos de dicha progresión?
Halle el valor de S
S = 2x5 + 3x6 + 4x7 + 5x8 + … + 100x103
Un agricultor posee 20 troncos de árbol quelos planta en línea recta, separado 2m y 7malternadamente. Halle el recorrido total a partirdel instante que muestra la figura hasta quetermina de plantar todos los árboles (sólo
Un ciclista sale de una ciudad A y recorre1km el primer día, 4km el segundo día, 7kmel tercer día; es decir, cada día 3km más queel día anterior. Después de 3 días de su parti-da, un motociclista sale a darle alcance yrecorre 17 km el primer día, 18 km el segundodía, 19 km el tercero, ..., encontrándose porprimera vez en un pueblo B y por segundavez en C. Halle la distancia entre estas dosciudades.
La suma de 81 números pares consecutivoses igual a 171 veces el primer número. Hallela suma de las cifras del término central.
Halle n en :
+ + + + … = ; 0 < < 14
n
1
n²
4
n³3
1
n4
5
7
1
n
S = 1 + (1+5) + (1+5+9) + (1+5+9+13) + …
(1 +3 + 5 + 7 + … + 19)0,1 + 0,2 + 0,3 + 0,4 + … + 111
¿Cuántas fichas tiene?
A)
A)
A)
A)
A)
A)
A)
A)
A) 5
5107
4430
10
670
338350
1760 m
82 km
8
B)
B)
B)
B)
B)
B)
B)
B)
B) 6
3048
5210
11
675
338351
1750 m
120 km
12
C)
C)
C)
C)
C)
C)
C)
C)
C) 4
3050
3150
9
676
353496
1875 m
76 km
14
D)
D)
D)
D)
D)
D)
D)
D)
D) 2
3051
5530
16
750
353498
1567 m
64 km
10
E)
E)
E)
E)
E)
E)
E)
E)
E) 3
3049
6479
25
576
353435
1630 m
90 km
16
F1
F2F3
F4
F10
F16
F17F18
F19
20 sumandos
carga uno cada vez).
2m 2m7m
29.
30.
31.
32.
Sabiendo que:
Se tiene un triángulo cualquiera cuya áreaes l ². Se toman los puntos medios de suslados y al unirlos se forma un triángulo, eneste triángulo a su vez se toman los puntosmedios de sus lados y se unen, y así repeti-mos la operación infinitas veces. Calcule lasuma de todas las áreas así formadas.
µ
Dada la sucesión aritmética creciente
Halle la suma de los 10 primeros términos deD a partir del siguiente arreglo triangular.3
aaa aa7 ac1; ; ; …
halle S = a + c + 5 + …
S = 20² + 19² + 18² + 17² + …n
Calcule S = S + S + S + … + S1 2 3 20
A)
A)
A)
A)
44100
4/3
88
917
D3
(2c + a) términos
36 3
9 9 312 18 12 3
15 30 30 15 3
B)
B)
B)
B)
38000
1/2
75
823
C)
C)
C)
C)
45600
5/6
66
800
D)
D)
D)
D)
44000
3/4
99
863
E)
E)
E)
E)
44450
8/5
78
857
"n" sumandos
1. 6.
7.
8.
9.
10.
2.
3.
4.
5.
De un libro se arrancan 61 hojas de la partefinal. Si se sabe que en la numeración deéstas (hojas arrancadas) se ha usado 365 ti-pos. Hallar la cantidad total de hojas de dicholibro.
Cuando la suma de los 10 primeros términosde una P.A. es igual a cuatro veces la sumade los cinco primeros. ¿Cuál es la razón geo-métrica entre el primer término y la diferenciacomún?
Calcular el valor de "S" :
Se deben almacenar 810 postes cilíndricosen un espacio abierto, formando así el primerlecho horizontal de 50 postes y cada lechosucesivo debe contener un poste menos queel precedente para no derrumbarse. ¿Cuántos
En el siguiente arreglo numérico hallar lasuma de los términos de la fila veinte.
Calcular la suma de:S = 7x31 + 9x29 + 11x27 + 13x25 + … + 31x7
F : 1F : 3 5F : 7
1
2
3 9 11F : 13 15 17 19F : 21 23 25 27 29
4
5
lechos pueden formarse?
S = 9 + 12 + 17 + 24 + .... + 177Hallar el valor de "S" :
Hallar la suma de los 15 primeros términos dela serie :
Calcular S en:
La suma de los terceros términos de dos P.A.cuyas razones se diferencian en 2 es 33. Ha-llar la suma de los 10 primeros términos deuna nueva P.A., que se forma al sumar térmi-nos correspondientes de las dos P.A. antesmencionadas sabiendo además que la sumade los términos anteriores al primero de lasprimeras P.A. es -3.
S =
S = 1 + 7 + 17 + 31 + …
S = 5 + 5 + 20 + 50 + 95 + .... (20 sumandos)
A) A)
A)
A)
A)
A)
A)
A)
A)
A)
120 2/3
814
81
7000
3955
1
1250
15400
550
B) B)
B)
B)
B)
B)
B)
B)
B)
B)
110 1/5
910
27
8000
3965
1/2
940
24350
620
C) C)
C)
C)
C)
C)
C)
C)
C)
C)
210 1/2
873
35
1250
3945
1/3
3500
17200
580
D) D)
D)
D)
D)
D)
D)
D)
D)
D)
240 2/7
913
44
4320
3975
1/5
2360
3540
630
E) E)
E)
E)
E)
E)
E)
E)
E)
E)
180 5/9
923
20
3560
3985
1/6
435
44320
610
+ + + + … ∞1
9
1
27
1
81
1
243
PRACTICANDO 04
11. 15.
16.
17.
18.
12.
13.
14.
Hallar la suma de:
S = 1x3 - 3x5 + 5x7 - 7x9 + …
Calcular el valor de S:
S = 3 + 10 + 29 + 66 + … + 1730
Ana va al cine durante tres días alternada-mente en una semana, y lo hace al mes entres semanas consecutivas. Si el segundo díade un cierto mes es jueves y la suma de lasfechas de los días que fue al cine ese es 198.¿Qué fecha y día será la sétima vez que fueal cine en dicho mes, si asiste siempre losmismos días?
En un torneo de fútbol de dos ruedas partici-paron 14 equipos. Al final del mismo se obser-vó que cada equipo tenía un punto de menosque el que le antecedía en la tabla de pun-tuaciones, excepto con el último que hizo ceropuntos. ¿Cuántos puntos hizo el campeón, sila puntuación por partido ganado es de 2puntos?
En una canasta hay 60 duraznos. Evelyn losva colocando por fila de la siguiente manera:en la primera fila pone un durazno; luego toma2 duraznos de la canasta y les pone en lasegunda fila y así sucesivamente hasta dondele sea posible. ¿Cuántos duraznos sobraránen la canasta?
En la siguiente sucesión :
Si:
Calcular la suma de todos los términos unidospor línea demarcada hasta la fila 20.
Hallar:
a. El término de número ordinal 20
b. La suma de los 20 primeros términos
1ab 2ab 3ab 4cd7
n1n n2n n3n n9n
+ + + … + = ; a b
+ + + … + = xyz4
Calcular: c + d + a + b + x + y + z
9ab ≠
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
f
f
f
f
f
f
f
1
2
3
4
5
6
7
.
.
.
.
.
.
1, 5, 15, 34, 65, 111, …
A)
A)
A)
A)
A)
A)
A)
A)
3280
29
1320
3215
lunes 27
72
5
4010; 22155
B)
B)
B)
B)
B)
B)
B)
B)
1570
73
3150
6108
martes 12
28
7
2050; 21215
C)
C)
C)
C)
C)
C)
C)
1250
45
5985
4320
jueves 7
34
9
D)
D)
D)
D)
D)
D)
D)
C)
E)
3500
38
4270
8250
sábado 15
57
1
315; 1510
3290; 35710
E)
E)
E)
E)
E)
E)
E)
D)
-3280
41
7250
1308
lunes 8
43
3
7050; 180
40 sumandos
19. 24.
25.
26.
20.
21.
23.
27.
22.
Anita llega al colegio con cierto retraso diaria-mente. El primer día llegó 1 minuto tarde, elsegundo día 2 minutos tarde, el tercer día 3minutos tarde y así sucesivamente; al cabode 20 días de asistencia. ¿Cuánto tiempo haperdido por las tardanzas?
Si: A = 4 + 7 + 10 + 13 + ....B = 2 + 4 + 7 + 11 + …C = 3 + 6 + 12 + 24 + …
Encontrar un número de 3 cifras divisible por11 y tal que permutando la cifra de las dece-nas con la de unidades se obtiene un númerocuyas tres cifras están en progresión aritméti-ca. Indicar la suma de las cifras de dichonúmero.
Halle
S = 3 + 33 + 333 + 3333 + … + 333 … 3
La suma de los "n" primeros términos de unaserie geométrica en donde los términos sonnúmeros enteros es 31. Luego de calcular elprimer término y "n" dar el número desoluciones.
La suma de 81 números pares consecutivoses igual a 171 veces el primer número. Hallarla suma de las cifras del término central.
Halle el valor de "x":
He repartido un total de 1900 caramelos entrelos 25 sobrinos que tengo, dándole a cadauno 3 caramelos más que al anterior. ¿Cuán-tos caramelos les di a los 10 primeros?
S = 69 + 67 + 65 + 63 + … + x = 1000
Halle "S"
S = + + + + .... ∞9
201880
36320
721280
A)
A)
A)
A)
A)
A)
A)
cada serie posee 10 sumandos.Halle A + B + C
A)
A)
2,5 h
1
5
-29
815
1/19
1250
6; 12; 18
10 - 19
n 10 - 9n27
n+1
10 - 9n - 1027
n+1
10 + 9n - 109
n+1
10 - 9n27
n
B)
B)
B)
B)
B)
B)
B)
B)
B)
8 h
2
4
39
420
5/19
2578
3; 14; 15
C)
C)
C)
C)
C)
C)
C)
C)
C)
E)
D)
5 h
3
9
47
720
3/19
3474
7; 11; 15
D)
D)
D)
D)D)
D)
D)
D)
1 h
4
7
29535
7/19
4512
9; 13; 17
E)
E)
E)
E)E)
E)
E)
E)
3,5 h
5
8
-19180
9/19
5218
7; 12; 17
"n" sumandos
28. 32.
33.
29.
30.
34.
31.
La suma de los cuadrados de los "n" primerosnúmeros enteros positivos, es igual a la sumade los primeros "2n" números enteros positivos.Halle "n".
Augusto y Celia leen una novel de 3000 pági-nas. Augusto lee 100 páginas diarias y Celialee 10 páginas el 1er día, 20 el 2do. día, 30 eltercero y así sucesivamente. Si ambos co-mienzan el 22 de febrero de un año bisiesto.¿En qué fecha coincidirán en leer la mismapágina por primera vez, y cuántas páginashabrán leído hasta ese día?
Calcule "S + S " siendo:1 2
S : la suma de términos de D
S : la suma de términos de D
1 3
2 4
Se contrata a un obrero para cavar en buscade dos fósiles prometiéndole pagar una sumapor el primer fósil que encuentre y que luegose le irá duplicando dicha suma por cadanuevo fósil encontrado.Si encuentra 12 fósiles y recibe 12285 soles¿cuánto le pagaron por el octavo fósil halladoque encontró?
Dados:S = 10x11 + 11x12 + 12x13 + … + 20x21
S = 1x2 + 2x3 + 3x4 + … + 20x21
Hallar S ÷ S
1
2
2 1
Calcule la suma de los 20 primeros términos de:
-2 ; 0 ; 0 ; 0 ; 2 ; 8 ; ..............
La suma en el límite de los términos de unaprogresión geométrica decreciente de infinitostérminos es "m" veces la suma de sus "n"primeros términos. Hallar la razón de la P.G.
A)
A)
A)
A) B)
C) D)
E)A)
5
380
28/33
m-1m
m-1
m-12m
m+1m
m-1m+1
n n
n n
n 7730
A)B)C)D)E)
10 de febrero; 180012 de febrero; 160011 de febrero; 160010 de febrero; 190011 de febrero; 1900
B)
B)
B)
B)
9
384
25/24
7570
C)
C)
C)
C)
6
360
25/27
7700
D)
D)
D)
D)
9
400
28/25
7750
E)
E)
E)
E)
8
420
28/27
7755
A) 5985 B) 5855 C) 5900
D) 6985 E) 5585
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 19
D4 D3
19 1
35.
36.
37.
38.
Calcule:
S = 1 + + + + … (20 sumandos)56
3 x 2 - 43
3 x 2
21
20
3 x 2 - 53
3 x 2
20
19
3 x 2 - 53
3 x 2
21
20
3 x 2 - 53
3 x 2
20
18
3 x 2 - 50
3 x 2
21
20
712
924
La suma de los términos de la última fila delarreglo triangular mostrado es 9520 ¿cuántasfilas tiene el arreglo?
Calcular al suma de los "n" términos de lasucesión:
Calcular A en:
0 ; 8 ; 52 ; 156 ; 344 ; 640 ; ....
A =10 10
J = 1 K = 1[n(3n - 1)]Σ Σ
A)
E)
B)n - n + 2n4 2
D)C) n + n + 2n4 2
n + 3n4 2
n - 3n + 2n4 2
n - 3n + n4 2
A)
C)
E)
B)
D)
A) 40B) 38C) 35D) 42E) 50
FilaFila 2Fila 3Fila 4
1 48 12
12 16 2016 20 24 28
A) 3040 B) 3140 C) 3400D) 3420 E) 3410
39.
40.
Una persona debe vaciar un balde de agua acada uno de los 20 árboles que estánsembrados en fila y separados uno del otro8 m. Si la persona en cada viaje sólo puedellevar un balde con agua y el pozo dondesacará el agua está a 10 m. del primer árbol.¿Qué distancia habrá recorrido después dehaber terminado con su tarea y haber
Rebeca al ganarse el premio mayor lo reparteentre sus sobrinos de la siguiente manera: "al1º S/.100, al 2º S/.200, al 3º S/.300 y asísucesivamente en P.A. teniendo en cuentaque cuando ya no se pueda continuar con losque siguen, se continuará repartiendo de lamanera descrita anteriormente y así sucesiva-mente, hasta agotar todo el premio cuyo valorasciende a S/. 22,900. ¿Cuántos sobrinos sebeneficiaron?
devuelto el balde al pozo?
A)
A)
3420
24
B)
B)
3500
26
C)
C)
3440
28
D)
D)
3400
27
E)
E)
3600
30
C L A V E S
123456789
10
11121314151617181920
21222324252627282930
31323334353637383940
BEDCDCEEBB
EADCBACAEA
DEACACDABD
AEADEADECC
1.
2.
3.
4.
En una especie marina con "2n" miembros seobserva lo siguiente: los nacimiento son pro-ductos del azar y lo curioso fue que la primerapareja tuvo una cría, la segunda pareja tuvodos crías la tercera tuvo tres crías, y asísucesivamente, resultando con una poblacióntotal de "40n" miembros. Si abortó una hem-bra muriendo todas sus crías y disminuye asíla pobación en 1/150. ¿Cuántas crías murie-
La suma de los "n" primeros números natura-les consecutivos, pares consecutivos, imparesconsecutivos es 6(5n + 1) + n. Hallar "n"
Sabiendo que la suma de 30 números enterosconsecutivos es 1665, hallar la suma de los 30números enteros consecutivos siguientes:
Las dos últimas cifras de la suma de 53 núme-ros enteros consecutivos es 58. Entonces laúltima cifra del cuarto número consecutivo es?
ron? (Considerar n parejas).A)
A)
A)
A)
12
6
2500
3
B)
B)
B)
B)
18
8
2550
6
C)
C)
C)
C)
30
10
2565
8
D)
D)
D)
D)
24
12
2650
9
E)
E)
E)
E)
20
15
2700
0
5. Hallar "n", sí:
Además: B + C = A
A = 3 + 12 + 27 + … + n
B = 2 + 4 + 6 + … + 112
C = 1 + 3 + 5 + … + 7
A) 764 B) 768 C) 469D) 361 E) 969
7.
8.
9.
Hallar "n", si la suma de los términos de lasucesión:
Hallar "x", sí:
La suma de la última fila del arreglo es 2380,¿cuántas filas se tienen?
M = 5 + 10 + 15 + … + xN = 1 + 4 + 9 + … + 1600P = 1 + 8 + 27 + … + 3375Q = 2 + 4 + 6 + … + (x + 10)Además: N = M + P + Q + 1950
1
2 + 3
3 + 4 + 5
4 + 5 + 6 + 7
es igual a 79,600
4 ; 10 ; 13 ; 28 ; ...; n
A)
A)
A)
3940
10
39
B)
B)
B)
3120
25
42
C)
C)
C)
3195
28
40
D)
D)
D)
3910
30
46
E)
E)
E)
3780
20
48
6. Efectuar:
S = + + + … + 201 2 312
16
112
1420
A) 208,7 B) 207,8 C) 209,4D) 210,9 E) 207,4
PRACTICANDO 05
10.
11.
12.
13.
14.
15.
Si: S = 1 + 2 + 3 + … + (x + 1)
calcular: S = S + S + S + … + Sx
1 2 3 20
Hallar a + b; si:
La suma de 23 números impares consecutivoses un número que está comprendido entre760 y 850. Entonces el término central es unnúmero:
Timo debe recorrer 3275 m, y lo hace de lasiguiente manera, en el primer minuto recorre"a" m, en el 2º minuto "2a" m, y retrocede 10 men el 3er. minuto recorre "3a" m, y retrocede10 m, y así sucesivamente. Llegando a lameta en 21 min. exactamente. Hallar "a".
Un camionero lleva ladrillos de un depósito asu casa; lleva la 1ª vez 28, pero se le caen 7,entonces decide aumentar 16 ladrillos por viajecon respecto a cada viaje anterior, pero lascaídas aumentan de viaje en viaje en 4 ladri-llos. Si desea llevar 3150 ladrillos ¿cuántos
Hallar x + y, si:
viajes debe hacer?
1 (5) + 2 (6) + 3 (7) + … + x (y) = 3710
1b 2b 3b abb+ + + … + = 12631
A)
A)
A) Mayor que 50B) Menor que 30C) Primo
D) Múltiplo de 5E) Múltiplo de 3
12
10
B)
B)
18
11
C)
C)
30
12
D)
D)
24
13
E)
E)
20
14
A) 10 B) 15 C) 18D) 20 E) 16
A) 10 B) 12 C) 15D) 16 E) 20
A) 44 B) 46 C) 42D) 45 E) 48
17.
18.
19.
20.
21.
Calcular la suma de cifras de "n"Si: 4 +10 + 18 + 28 + … + n = 3500
Si:
La suma de los "n" primeros números conse-tivos es igual a . Hallar "M".MMM
Si se agrega al número 42 la suma de 25 nú-meros impares consecutivos es igual a .Hallar "M".
MMM
Si: a1a a2a a3a a9a xyz419bc 18bc wmn77
+ + + … + =+ + … + =
1² + 3² + 5² + … + m² = 5456hallar: x + y + b + w + z + m
1bc
1a 2a 3a 7a bb6+ + + … + =1 + 4 + 9 + … + c = 429251 + 1.1 + 1.2 + 1.3 + … + d = 42hallar a + b + c + d
16. Hallar "M"
M =[1.3 + 3.5 + 5.7 + ...n términos] + n
1² + 2² + 3² + 4² + ...n términos
A)
A)
A)
A)
A)
A)
4
12
2518
1
2
57
1)2)3)4)5)
6)7)8)9)10)
11)12)13)14)15)
16)17)18)19)20)
21)EDCAB
DEECA
CDBCA
ABDDE
E
B)
B)
B)
B)
B)
B)
3
10
2513
2
6
58
C)
C)
C)
C)
C)
C)
2
11
2314
3
8
59
D)
D)
D)
D)
D)
D)
1
13
2514
6
9
61
E)
E)
E)
E)
E)
E)
0
14
2128
7
7
55
1.
2.
3.
4.
5.
6.
C
B
C
C
C
C
1.
2.
3.
4.
Calcular
Calcular
Sea a el último dígito del número:n
Calcular la suma de todos los términos delsiguiente arreglo y dar como respuesta lasuma de cifras del resultado.
1 + 2 + 3 + ....... + n ; n∀ ∈N
5.
6.
Calcular:
Calcular:
1 +
2 6 12
1 + 1 +
+
+
+
+
+ … ∞
+ …
+
+ + + … + 110
+ ++ + +...
11x4
12
12
2005
21001
2001 x 4003
7270
2001 x 4007
4850 3720
9007
4001
13
4006
11 11
701
2003
21001
2003
21001
1213
1118
12x5
32²
13x6
52³
2001
21001
12²
12
16
112
1110
13²
14²
13²
14²
15²
A)
A)
2001
2258
784
B)
B)
C)
C)
E)
E)
2003D)
D)
A)
A)
A)
A)
1
2 x 32002
2000
8
1357
21
3579
23
57911
…
…
…
...
...
...
...
...
...
...
...
2123…...
…
3 + 22001
7000
12
3 -
4000
10
3 -
9000
13
3 -
5050
9
2
B)
B)
B)
B)
C)
C)
C)
C)
D)
D)
D)
D)
E)
E)
E)
E)
AUTOEVALUACIÓN
07. Calcular:
a) 1410 b) 1510 c) 1328d) 1420 e) 5250
08. Calcular:
a) 9512 b) 9731 c) 9615d) 9475 e) 9820
09. Hallar: P +A+ T +A+ S
Si:
a) 29 b) 31 c) 28d) 30 e) 31
10. Hallar:
a) 2 (n !) - 1 b) (n - 1)! - 1c) (n - 1)! + 1 d) (n + 1)! - 1e) (n - 2)! - 2
11. Calcular:
a) 7,35 b) 9,45 c) 8,05d) 8,50 e) 8,25
( )2a² + a - 1 = PATASa=14
50
∑
x . x!x=1
n
∑
01. Hallar el valor de:
a) 728 b) 764 c) 777d) 782 e) N.A.
02. Hallar “n” en:
a) 62 b) 60 c) 68d) 64 e) 61
03. Calcular:
a) 518 b) 513 c) 418d) 712 e) 716
04. Calcular:
a) 460 b) 525 c) 843d) 715 e) 462
05. Calcular:
a) 4960 b) 4230 c) 4980d) 4970 e) 4860
06. Hallar:
a) 1938 b) 1921 c) 1916d) 1871 e) 1891
PRACTICANDO 06
k( )2 + 2k + 1k = 5
12
∑ x² + ( )2y + 1x=12 y=8
22 44
∑ ∑
( )2n³ - 5n² + 7n + 4n=1
12
∑2 = 128a = 3n + 4n
3n + 5 n - 5
2
2
∑
3xx = 1
18
∑
x + xx=1 x=1
30 27
∑ ∑
xa=1 x=1
30 a
∑ ∑
x.yx=1y=2
x=18y=17
∑
12 + 4 + — + …
24 + 12 + 6 + …
43
x+17
38
∑
12. Si:
Calcular el valor numérico de:
a) 6 b) 10 c) 4d) 14 e) 6
13. Sabiendo que:
Calcular:
14. Determinar el valor de:
a) b) c)
d) e)
15. Simplificar:
a) a + a b) a a c) a + ad) a - a e) N.A.
0 5 5 0 6 0
6 0
16. Hallar:
a) 67 b) 69 c) 77d) 87 e) 97
17. Hallar:
a) 35 b) 30 c) 35d) 63 e) 71
18. Hallar el valor de:
a) 319 b) 310 c) 300d) 320 e) N.A.
19. Calcular:
a) 62409 b) 67782 c) 63784d) 64009 e) N.A.
20. Calcular:
a) 2460 b) 4260c) 2640 d) 2767e) 3420
x = - 4 yi x² = 10i
i=1 i=1
6 6
∑ ∑
x = (x - 1)i i
i=1
6
∑
7k=17
27
∑
2i - 1i=10
20
∑
k³k=6
22
∑
k³ - k²k=1
10
∑
(2k - 1)Ra =k=1
a
∑
Raa=1
a=n
∑
a) n (n + 1) (2 n + 1)6
b) n (n + 1)4
c) n d) n (n + 1) e)
2 2
2 n(n-2)
E =i=1
k=1k
1——in
∑∑
k=1
a -k k-1a( )6
∑
n———n + 1
n(n + 1)————2(n + 2)
n(n - 1)————2(n + 2)
n - 1———n + 1
2n———n + 1
k² - (k + 1)²k=1
7
∑
01. Calcular:S = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2 n + 3)
a) (n 2) b) n c) (n 1)d) (n + 1) e) (n + 2)
02. Calcular:
E = 26 + 27 + 28 + ... + 62
a) 1 626 b) 1 628 c) 1 632d) 1 723 e) 1 821
03. Calcular:
S = 1 + 4 + 9 + 16 + ... + 841
a) 8 555 b) 8 325 c) 4 335d) 7 214 e) 8 655
04. Calcular:
S = 8 + 27 + 64 + 125 + ... + 8000
a) 44 099 b) 44 039 c) 43 099d) 46 039 e) 48 039
05. Calcular:
S = 8 + 11 + 16 + 23 + ... + 1376
a) 16 842 b) 16 372 c) 17 941d) 17 834 e) 17 931
06. Calcular:S = 1 (8) + 2 (9) + 3 (10) + ... + 15 (22)
a) 2 060 b) 2 080 c) 2 010d) 2 720 e) 2 780
07. Calcular la suma de los siguientes númerosimpares consecutivos:
S = 32 + 34 + 36 + 41 + 43 + ... + 335
a) 7 446 b) 7 448 c) 7 443d) 7 459 e) 7 643
2 2 2
2 2
(n) (n) (n) (n) (n) (n)
08. Calcular la suma de los 90 términos de:
S = 4 + 5 + 7 + 3 + 6 + 5 + 9 + 3 + ...
a) 1 346 b) 1 391 c) 1 367d) 1 361 e) 1 395
09. Calcular “S” si tiene 45 términos:
S = 1 4 + 9 16 + 25 36 + ...
a) 2 400 b) 1 225 c) 1 035d) 625 e) 3 150
10. Calcular:
S = 3 + 8 + 15 + 24 + ... + 1 680
a) 23 700 b) 23 740 c) 23 780d) 23 880 e) 25 000
11. Efectuar:
a) 5 b) 5 2 c) 3 2
d) 2 2 e) 3
12. Calcular la suma de todos los números de laforma (3 k + 2) para: k = 1, 2, 3, ... , n.
13. Hallar la suma de los 30 primeros múltiplospositivos de 3 más los 20 primeros múltiplospositivos de 5.
a) 3n + 2 b) ——(3n+7) c) ——(2n + 5)
d) 3n - 2 e) 3n - 4
a) 2 445 b) 1 395 c) 1 050d) 2 454 e) 2 654
AUTOEVALUACIÓN
22(1 + 3 + 5 + … + 99)0,1 + 0,2 + … + 1
n2
n3
14. Hallar “S” si tiene “n” términos:
S = (x + 1) + (x + 3) + (x + 5) + (x + 7) + ...
a) n (x n) b) n (x + n)c) n (x 1) d) n (x + 1)e) x (n 1)
15. Si en una caja coloco 2 caramelos, en otracuatro, en otra seis y así sucesivamente.¿Cuántas cajas tengo en total si sólo tengo380 caramelos?.
a) 16 b) 17 c) 18d) 20 e) 19
16. Calcular (a + b + c) si:
2 + 8 + … + 236 + 242 =
a) 9 b) 11 c) 7d) 12 e) 6
17. Hallar la suma de los siguientes 40 númerosimpares consecutivos:
16 + 18 + 21 + 23 + ...
(Dar la respuesta en base 10)
a) 2 160 b) 1 560c) 2 520 d) 2 750e) 1 900
18. Una progresión aritmética comienza en 25 ytermina en 85, la suma de sus términos es1155. ¿Cuál es la suma de los 11 primerostérminos de dicha progresión?.
a) 400 b) 420 c) 360d) 440 e) 480
19. Hallar la suma de las cifras del resultado desumar:
3 + 15 + 35 + 63 + 99 + .... (50 sumandos)
a) 18 b) 21 c) 27d) 20 e) 24
2 2
2
abbc
(n) (n) (n) (n)
20. Hallar (a + b) si:(1) (5) + (2) (6) + (3) (7) + ... + (a) (b) = 3 710
a) 46 b) 48 c) 44d) 50 e) 52
21.
a) 15 b) 18 c) 20d) 12 e) 25
22.
a) 12 b) 10 c) 25d) 15 e) 20
23.
a) S/. 32 b) S/. 64 c) S/. 96d) S/. 60 e) S/. 48
24.
a) 1 296 m b) 1 944 m c) 2 592 md) 1 620 m e) 810 m
Una persona debe recorrer 3 275 m. y lo hace de lasiguiente manera, en el primer minuto recorre “a” m,en el segundo minuto recorre “2a” m y retrocede 10m, en el tercer minuto recorre “3 a” m y retrocede 10m, en el cuarto minuto recorre “4 a” m y retrocede 10m y así sucesivamente. Llegando a la meta en 21minutos exactamente. Hallar “a”.
Un camionero lleva ladrillos de un depósito a sucasa, lleva la primera vez 28 pero se le caen 7,entonces decide aumentar 16 ladrillos por viaje conrespecto a cada viaje anterior, pero las caídasaumentan de viaje en viaje en 4 ladrillos, si deseallevar 750 ladrillos. ¿Cuántos viajes debe hacer?.
Se contrata a un obrero para cavar en busca defósiles prometiéndole pagar una suma por el primerfósil que encuentre y que luego se le irá duplicandodicha suma por cada nuevo fósil encontrado. Siencuentra 12 fósiles y recibe 12285 soles. ¿Cuántole pagaron por el quinto fósil hallado?.
Desde el momento en que el tripulante de un globoarrojó una bomba hasta el instante en que oyó ladetonación producida por la explosión, al chocarcontra el suelo, transcurrieron 23 segundos.Sabiendo que la bomba al caer recorrió 5 m en elprimer segundo, 15 m en el segundo, 25 m en eltercer segundo, 35 m en el cuarto segundo y asísucesivamente y que el sonido recorre 324 m porsegundo. ¿Cuál es la altura en que se hallaba elglobo, suponiendo que permaneció inmóvil durantelos 23 segundos?.