4.7 Calculo de Integrales de Funciones Expresadas Como Serie de Taylor
Serie de Taylor 222
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Metodos NuméricosTema: El desarrollo de Taylor
Irene Tischer
Escuela de Ingeniería y Computación
Universidad del Valle, Cali
– Typeset by FoilTEX – 1
Métodos numéricos Tema: Desarrollo de Taylor
Contenido
1. El Teorema de Taylor
2. El desarrollo de Taylor en varios dimensiones
3. Implementación en Scilab
– Typeset by FoilTEX – 2
Métodos numéricos Tema: Desarrollo de Taylor
Contenido
1. El Teorema de Taylor
2. El desarrollo de Taylor en varios dimensiones
3. Implementación en Scilab
– Typeset by FoilTEX – 3
Métodos numéricos Tema: Desarrollo de Taylor 1. El Teorema de Taylor
Justificación
La aplicación del teorema de Taylor es central para el desarrollo de muchosmétodos numéricos. Permite aproximar una función por un polinomio y estimar elerror de truncamiento.
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Métodos numéricos Tema: Desarrollo de Taylor 1. El Teorema de Taylor
Teorema de Taylor
Sea f una función que es n + 1 veces continuamente derivable en un intervaloque contiene los puntos x0 y x. Entonces el valor de la función f en el punto xestá dado por
f(x) = f(x0) + f′(x0)(x − x0) +
f ′′(x0)
2!(x − x0)
2+
f (3)(x0)
3!(x − x0)
3+ · · ·
· · · +f (n)(x0)
n!(x − x0)
n+ Rn(x)
donde el residuo Rnestá dado por:
Rn(x) =∫ x
x0
(x − t)n
n!f (n+1)(t) dt
.
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Métodos numéricos Tema: Desarrollo de Taylor 1. El Teorema de Taylor
Representación de la función con las deriviadas enun punto
fHxL
f’HxL
f’’HxL
f’’’HxL
xo x +ho
Figura 1: El valor desconocido f(x0 + h) se aproxima por los valores conocidos en x0 def y sus derivadas.
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Métodos numéricos Tema: Desarrollo de Taylor 1. El Teorema de Taylor
Otra forma de la fórmula de TaylorUsando h = x − x0:
f(x0 + h) = f(x0) + f′(x0)h +
f ′′(x0)
2!h
2+
f (3)(x0)
3!h
3+ · · ·
· · · +f (n)(x0)
n!h
n+ Rn(x)
x0 x0+h
f
orden 0
orden 1
R0
R1
Figura 2. La función f y las aproximaciones obtenidas por la serie de Taylor de orden 0 y 1.
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Métodos numéricos Tema: Desarrollo de Taylor 1. El Teorema de Taylor
Teorema (forma de Lagrange del residuo)
Bajo las condiciones del teorema del Taylor, el residuo puede expresarse como:
Rn(x) =f (n+1)(ξx)(n + 1)!
hn+1
donde ξx es un punto en el intervalo entre x0 y x, que depende de x.
En esta forma, el residuo es más fácil de estimar, ya que sólo depende de laderivada de orden n + 1 en un (desconocido) punto.
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Métodos numéricos Tema: Desarrollo de Taylor 1. El Teorema de Taylor
Ejemplo
Para una función que es 2 veces continuamente derivable, se tiene
f(x) = f(x0) + f ′(x0)(x − x0) + R1(x);
es decir se aproxima f por una recta, ¨se linealiza la función f¨:
f(x) ≈ f(x0) + f ′(x0)(x − x0).
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Corolario
Para un polinomio p de grado n, el desarrollo de Taylor de orden n es exacto, yaque p(n+1) es contonte igual a 0 y por consecuencia , el residuo es 0.
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Definición
La serie de Taylor que usa el desarrollo en el punto 0 se llama la serie deMcLaurin.
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Métodos numéricos Tema: Desarrollo de Taylor 1. El Teorema de Taylor
Ejemplo
Sea f(x) := ex2 . Las derivadas de f son de la forma f (n)(x) =
(12
)n
ex2 .
La aproximación de f por la serie de McLaurin (en x0 = 0) da para el puntox = x0 + h = h :
Aproximación orden residuo
f(x) ≈ f(0) 0 R0(x) = f′(ξx)h
1
f(x) ≈ f(0) + (x − 0)f ′(0) 1 R1(x) =f(2)(ξx)
2!h2
f(x) ≈ f(0) + xf ′(0) + x2
2 f(2)(0) 2 R2(x) =f(3)(ξx)
3!h3
f(x) ≈ f(0) + xf ′(0) + x2
2 f(2)(0) + x3
3!f(3)(0) 3 R3(x) =
f(4)(ξx)
4!h4
f(x) ≈ f(0) + xf ′(0) + x2
2 f(2)(0) + x3
3!f(3)(0) + ... + x10
10!f(10)(0) 10 R10(x) =
f(11)(ξx)
11!h11
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Ejemplo (continuación)
En el punto x = 1 se obtiene las siguientes aproximaciones. Comparando con elvalor exacto de la función en 1 (f(1) = 1,64872) podemos determinar el valordel residuo.
Aproximación orden residuo en x = 1
f(1) ≈ f(0) = 1 0 R0(1) = 0,64871
f(1) ≈ f(0) + 1 − 0)f ′(0) = 1 + 12 = 1,5 1 R1(1) = 0,148721
f(1) ≈ f(0) + 12f(2)(0) = 1,5 +
“
12
”2= 1,625 2 R2(1) = 0,0237213
f(1) ≈ f(0) + f ′(0) + 12f(2)(0) + 1
3!f(3)(0) = 1,64583 3 R3(1) = 0,002888794
f(1) ≈ f(0) + f ′(0) + 12f(2)(0) + 1
3!f(3)(0) + · · · + 1
10!f(10)(0) = 1,64872 10 R10(1) = 1,2 10
−11
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Ejercicio
Determinar el valor de la función f(x) = cos x en el punto x = 0,5 usando larepresentación de la función cos como serie de McLaurin. Se quiere el resultadocon un error absoluto menor que 10−4.
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Solución
Las derivadas del cos son
f (0)(x) = f(x) = cos x f (0)(0) = f(0) = cos 0 = 1f (1)(x) = − sin x f (1)(0) = 0f (2)(x) = − cos x f (2)(0) = −1f (3)(x) = sin x f (2)(0) = −1f (4)(x) = f(x) = cos x f (4)(0) = 1
Con esto se tienecos x = 1 − x2
2 + x4
4! −x6
6! · · · y por eso cos 12 = 1 − 1
2122 + 1
4!124 − 1
6!126 · · ·
Para los residuos se tiene:
Rn = f (n+1)(ξx)(n+1)!
12
n+1 =⇒ |Rn| ≤ 12n+1 =⇒ |Rn| ≤ 10−4 si 2n+1 ≤ 104,
es decir (por 214 = 16384): n ≥ 13.
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Métodos numéricos Tema: Desarrollo de Taylor 1. El Teorema de Taylor
Solución (continuación)
Esta estimación es muy gruesa, como se ve en la tabla siguiente. El residuoverdadero ( es el error verdadero!) se obtiene comparando las aproximaciones conel valor verdadero:cos 1
2 = 0,877583.
orden de la serie aproximación de cos 12 estimación del residuo residuo verdadero
0 1 0.5 -0.122417
2 0.875 0.125 0.002583
4 0.877604 0.03125 -0.000021
6 0.877582 0.0078125 0.000001
8 0.877583 0.0019531 coincide en 6 decimales
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Métodos numéricos Tema: Desarrollo de Taylor 1. El Teorema de Taylor
Nomenclatura O
Se dice que el residuo Rn de la fórmula de Taylor es de orden O(hn) o el n-ésimoresiduo converge con rapidez O(hn).
Esto significa: si (hk)k∈N es una sucesión que converge a 0, entonces la sucesión(Rn(hk)k∈N converge a 0 de tal forma que |Rn(hk)| ≤ C |(hk)
n| para k > k0.
En términos generales:Sea (αk)k∈N una sucesión que converge a α y(βk)k∈N una sucesión que converge a 0.
Se dice que (αk)k∈N converge a α con una rapidez de O(βk)si existe k0 ∈ N y una constante C, tal que |αk − α| ≤ C |βk| para k > k0.
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Métodos numéricos Tema: Desarrollo de Taylor 1. El Teorema de Taylor
Ejemplo
La sucesión (αk)k∈N definida por αk := 1 − 12k2 − k
converge a 1 con O(1k2
).
La rapidez de convergencia no es O(1k3
).
Demostración
1
2k − 1≤
1
k⇒ k ≤ 2k − 1 ⇒ k
2 ≤ 2k2 − k ⇒
⇒ |αk − 1| =˛
˛
˛
1 − 12k2−k
− 1˛
˛
˛
= 12k2−k
≤ 1k , es decir convergencia con O( 1
k2).
Sea C una constante positiva y k > 2C
⇒ k2 > C 2k > C(2k − 1) ⇒ k3 > C(2k2 − k) ⇒
⇒ |αk − 1| =˛
˛
˛
1 − 12k2−k
− 1˛
˛
˛
= 12k2−k
> C 1k3 .
Entonces la convergencia no es de O(1k3
).
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Métodos numéricos Tema: Desarrollo de Taylor
Contenido
1. El Teorema de Taylor
2. El desarrollo de Taylor en varios dimensiones
3. Implementación en Scilab
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Métodos numéricos Tema: Desarrollo de Taylor 2. El desarrollo de Taylor en varios dimensiones
El desarrollo de Taylor para funciones de variasdimensiones
Sea F : R2 → R tal que sus derivadas parciales de orden n + 1 existany sean continuas en un conjunto abierto que contenga los puntos (x0, y0) y(x, y) = (x0 + h, y0 + k). Entonces:
F (x, y) == F (x0 + h, y0 + k) =
= F (x0, y0) +n∑
i=1
1i!
(h
∂
∂x+ k
∂
∂y
)i
F (x0, y0) + Rn(x, y)
Similar al caso de una dimension, se expresa el valor de la función como expresionrelacionado con las derivadas parciales en el punto inicial (x0, y0):
1i!
(h ∂
∂x + k ∂∂y
)i
F (x0, y0) (se explica ahora)
y un residuo Rn(x, y), que depende del punto que interesa (x, y).
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Métodos numéricos Tema: Desarrollo de Taylor 2. El desarrollo de Taylor en varios dimensiones
El desarrollo de Taylor para funciones de variasdimension: el término de las derivadas
El término„
h∂
∂x+ k
∂
∂y
«i
F (x, y) se define de la siguiente manera:
i = 1 :
„
h∂
∂x+ k
∂
∂y
«1
F (x, y) =
„
h∂F
∂x+ k
∂F
∂y
«
(x, y)
i = 2 :
„
h∂
∂x+ k
∂
∂y
«2
F (x, y) =
h2∂2F
∂x2+ 2hk
∂2F
∂x∂y+ k
2∂2F
∂2y
!
(x, y)
i = 3 : aparecen las derivadas parciales combinadas de orden 3,„
h∂
∂x+ k
∂
∂y
«3
F (x, y) =
h3∂3F
∂x3+ 3h
2k
∂3F
∂x2∂y+ 3hk
2 ∂3F
∂x∂y2+ k
3∂3F
∂y3
!
(x, y)
y así sucesivamente:
el término n se construye en analogía formal al polinimio(h ∂
∂x + k ∂∂y
)n
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Métodos numéricos Tema: Desarrollo de Taylor 2. El desarrollo de Taylor en varios dimensiones
El desarrollo de Taylor para funciones de variasdimension: el residuo
El residuo en el punto (x, y) = (x0 + h, y0 + k) se obtiene como
Rn(x, y) =1
(n + 1)!
(h
∂
∂x+ k
∂
∂y
)n+1
F (x0 + αh, y0 + αk)
para un α ∈]0, 1[.
Se observa la analogía al caso de una dimsensión:x0 + αh es un punto en el interval (x0, x0 + h),y + αk es el punto en el interval (y0, y0 + k) que conserva la proporción.
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Métodos numéricos Tema: Desarrollo de Taylor 2. El desarrollo de Taylor en varios dimensiones
Ejemplo
Sea F (x, y) = x4 + x2y + y2 ysea x0 = 1; y0 = 2.
Aplique el desarrollo de Taylor en (x0, y0) de orden 1 y 2 para obtener aproxima-ciones en (x0 + h, y0 + k) para h = 0,1; k = 0,2.
Determine el residuo correspondiente y estime el error.
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Métodos numéricos Tema: Desarrollo de Taylor 2. El desarrollo de Taylor en varios dimensiones
SoluciónLas derivadas parciales de F respecto a x y y son
orden 1:∂F
∂x= 4x
3+ 2xy;
∂F
∂y= x
2+ 2y;
„
h∂
∂x+ k
∂
∂y
«1
F (x, y) = h(4x3+ 2xy) + k(x
2+ 3y
2)
orden 2:∂2F
∂x2= 12x
2+ 2y;
∂2F
∂x∂y= 2x;
∂2F
∂y2= 6y;
„
h∂
∂x+ k
∂
∂y
«2
F (x, y) = h2(12x
2+ 2y) + hk(4x) + k
2(6y)
orden 3:∂3F
∂x3= 24x;
∂3F
∂x2∂y= 2;
∂3F
∂x∂y2= 0;
∂3F
∂y3= 6.
„
h∂
∂x+ k
∂
∂y
«3
F (x, y) = h3(24x) + h
2k(6) + k
3(6)
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Métodos numéricos Tema: Desarrollo de Taylor 2. El desarrollo de Taylor en varios dimensiones
Solucion (continuación)
Serie de Taylor de Orden 0
F (1,1, 2,2) ≈ F (1, 1) = 11
|R0| ≤ 0,1(4 · 1,13 + 2 · 1,1 · 2,2) + 0,2(1,12 + 3 · 2,22) = 4,1624
Serie de Taylor de Orden 1 (Linealización de F )
F (1,1, 2,2) ≈ F (1, 1) + 0,1(4 · 13 + 2 · 1 · 2) + 0,2(12 + 3 · 22) = 14,4
|R1| ≤12
(0,01(12 · 1,12 + 2 · 2,2 + 0,02 · 4 · 1,1) + 0,04 · 6 · 2,2
)= 0,4026
Serie de Taylor de Orden 2
F (1,1, 2,2) ≈ 14,4+12
(0,01 · (12 · 12 + 2 · 2) + 0,02 · 4 · 1 + 0,04 · 6 · 2
)=
14,76
|R1| ≤ 16 (0,001 · 24 · 1,1) + 0,002 · 6 + 0,008 · 6) = 0,0144.
– Typeset by FoilTEX – 25
Métodos numéricos Tema: Desarrollo de Taylor
Contenido
1. El Teorema de Taylor
2. El desarrollo de Taylor en varios dimensiones
3. Implementación en Scilab
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Métodos numéricos Tema: Desarrollo de Taylor 3. Implementación en Scilab
La serie de McLaurin para la función cos(x)usando Scilab
Se define la función factorial en Scilab:
–>function [y]=factorial(x)–>y=1–>for i=1:x, y=y*i; end;–>endfunction
También se puede usar una definición recursiva:
–>function [y]=factorialREC(x)–>if x == 1 then y=1;–>else y=factorialREC(x-1)*x; end–>endfunction
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Métodos numéricos Tema: Desarrollo de Taylor 3. Implementación en Scilab
La serie de McLaurin (serie de Taylor para x0 = 0)
Se usa el vector v que contiene el cos y sus primeras 3 derivadas. Para lasderivadas superiores se usa el cálculo modulo 4, ya que se repiten.
Los 2 parámetros de la función se refieren al punto, donde se quiere evaluar laserie de McLaurin (x) y al orden de la serie (k).
–>function [y]=TaylorCOS(x,k)–>v=[1 0 -1 0] –>y=1;–>for i=1:k, y=y+v(modulo(i,4)+1)*x^i/factorial(i); end–>endfunction
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Métodos numéricos Tema: Desarrollo de Taylor 3. Implementación en Scilab
La siguiente modificación de la función TaylorCOS estima además el residuo.
La función cos y sus derivadas son menor que 1 en valor absoluto, de manera quepara el k−ésimo residuo Rk se tiene:
|Rk| ≤|x|k+1
(k + 1)!
La mano derecha de esta ecuación se calcula en la segunda componente delparámetro y que en esta función se considera un vector.
–>function [y]=TaylorCOS1(x,k)–>v=[1 0 -1 0] –>y(1)=1;–>for i=1:k, y(1)=y(1)+v(modulo(i,4)+1)*x^i/factorial(i);end–>y(2)=x^(k+1)/factorial(k+1)–>endfunction
– Typeset by FoilTEX – 29
Métodos numéricos Tema: Desarrollo de Taylor 3. Implementación en Scilab
La siguiente función devuelve el valor del cos con una tolerancia dada, aplicandola serie de McLaurin
–>function [y]=TaylorCOS2(x,tau)–>v=[1 0 -1 0]–>y=1;–>i=1;–>e=abs(x)^(i)/factorial(i)–>while e>=tau, y=y+v(modulo(i,4)+1)*x^i/factorial(i);–>i=i+1;–>e=abs(x)^(i)/factorial(i); end–>endfunction
– Typeset by FoilTEX – 30