1.5 Serie de Taylor (1)
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MÉTODOS NUMÉRICOSMÉTODOS NUMÉRICOS1.5 Serie de Taylor1.5 Serie de Taylor
Gustavo RochaGustavo Rocha
2005-22005-2
1.5 Serie de Taylor1.5 Serie de Taylor
1.5 Serie de Taylor1.5 Serie de Taylor
La serie de Taylor es, sin duda, el fundamento La serie de Taylor es, sin duda, el fundamento
matemático más importante para comprender, manejar y matemático más importante para comprender, manejar y
formular métodos numéricos que se basan en la formular métodos numéricos que se basan en la
aproximación de funciones por medio de polinomios. aproximación de funciones por medio de polinomios.
Aunque a veces no sea muy evidente, la mayoría de los Aunque a veces no sea muy evidente, la mayoría de los
métodos numéricos se basan en la aproximación de métodos numéricos se basan en la aproximación de
funciones por medio de polinomios.funciones por medio de polinomios.
1.5 Serie de Taylor1.5 Serie de Taylor
La expansión de Taylor de una función, es una serie infinita de potencias La expansión de Taylor de una función, es una serie infinita de potencias
que representa, de manera exacta, el comportamiento de la función en la que representa, de manera exacta, el comportamiento de la función en la
vecindad de un punto dado.vecindad de un punto dado.
Si se ignoran todos los términos de la serie de Taylor, excepto unos Si se ignoran todos los términos de la serie de Taylor, excepto unos
cuantos, se obtiene un polinomio que aproxima a la función verdadera.cuantos, se obtiene un polinomio que aproxima a la función verdadera.
El error del método numérico depende de la precisión con la que el El error del método numérico depende de la precisión con la que el
polinomio aproxima a a la función verdadera.polinomio aproxima a a la función verdadera.
Los errores por truncamiento se evalúan a través de la comparación del Los errores por truncamiento se evalúan a través de la comparación del
desarrollo polinomial de la solución numérica, con la serie de Taylor, de la desarrollo polinomial de la solución numérica, con la serie de Taylor, de la
solución exacta.solución exacta.
1.5.1 Expansión en serie de Taylor1.5.1 Expansión en serie de Taylor
Sea una función f(X) que tiene derivadas continuas hasta de orden Sea una función f(X) que tiene derivadas continuas hasta de orden nn en el punto X en el punto Xii, para el cual se conoce el valor de la función a, para el cual se conoce el valor de la función a00 y el y el de sus derivadas: ade sus derivadas: a11, a, a22, a, a33, a, a44, … a, … ann, …, …
f(x)
x
xi Xi+1
a0
f(Xi+1)
1.5.1 Expansión en serie de Taylor1.5.1 Expansión en serie de Taylor
Se trata de encontrar un polinomio de la forma:Se trata de encontrar un polinomio de la forma:
_____ (1.13)_____ (1.13)
que permita predecir el valor de la función en un punto cualquiera X, en que permita predecir el valor de la función en un punto cualquiera X, en términos de la propia función y de sus derivadas en el punto Xtérminos de la propia función y de sus derivadas en el punto X ii..
El polinomio P(X) se hace coincidir con la función f(X), y las El polinomio P(X) se hace coincidir con la función f(X), y las primeras primeras nn derivadas del polinomio se hacen coincidir con las derivadas del polinomio se hacen coincidir con las nn primeras derivadas de la función en el punto Xprimeras derivadas de la función en el punto X ii..
_____ (1.14)_____ (1.14)
i i
i
i i
(n) (n)i i
P(X ) = f(X )
P'(Xi) = f'(X )
P''(X ) = f''(X )
...
P (X ) = f (X )
32 n0 1 2 3 nP(X) = a + a X + a X + a X + ... + a X + ...
1.5.1 Expansión en serie de Taylor1.5.1 Expansión en serie de Taylor
El valor de la función en un punto cualquiera X se puede evaluar a El valor de la función en un punto cualquiera X se puede evaluar a través de un polinomio equivalente al de la expresión (1.13):través de un polinomio equivalente al de la expresión (1.13):
____ ____ (1.15)(1.15)
Desarrollando la expresión (1.15) y comparándola con la expresión Desarrollando la expresión (1.15) y comparándola con la expresión (1.13), se obtiene:(1.13), se obtiene:
_____(1.16)_____(1.16)
2 3 n0 1 i 2 i 3 i n if(X) = P(X) = b + b (X - X ) + b (X - X ) + b (X - X ) + ... + b (X - X ) + ...
2 3 40 0 1 i 2 i 3 i 4 i
2 31 1 2 i 3 i 4 i
22 2 3 4 i
n n
a = b - b X + b X - b X + b X - ...
a = b - 2b X + 3b X - 4b X + ...
a = b - 3b Xi + 6b X - ...
...
a = b - ...
1.5.1 Expansión en serie de Taylor1.5.1 Expansión en serie de Taylor
Las Las nn primeras derivadas del polinomio son: primeras derivadas del polinomio son:
_____ _____ (1.17)(1.17)
Evaluando el polinomio y sus derivadas en el punto XEvaluando el polinomio y sus derivadas en el punto X ii::
_____ _____ (1.18)(1.18)
2 n-11 2 i 3 i n i
n-22 3 i n i
n-33 n i
(n)
P'(X) = b + 2b (X - X ) + 3b (X - X ) + ... + nb (X - X ) + ...
P''(X) = 2b + 3 2b (X - X ) + ... + n(n-1)b (X - X ) + ...
P'''(X) = 3 2b + ... + n(n-1)(n-2)b (X-X ) + ...
...
P (X) = n(n-
n n1)(n-2) ... 3 2 1b + ... = n!b + ...
i 0 0
i 1 1
i 2 2
(n)i n
P(X ) = b 0!b
P'(X ) = b 1!b
P''(X ) = 2b = 2!b
...
P (X ) = n!b
1.5.1 Expansión en serie de Taylor1.5.1 Expansión en serie de Taylor
Considerando simultáneamente las expresiones (1.14) y (1.18):Considerando simultáneamente las expresiones (1.14) y (1.18):
______________(1.19)(1.19)
Sustituyendo los valores de los coeficientes dados en (1.19) en la expresión (1.15):Sustituyendo los valores de los coeficientes dados en (1.19) en la expresión (1.15):
_____ (1.20)_____ (1.20)
que en forma sintética se expresa:que en forma sintética se expresa:
_____ (1.20')_____ (1.20')
0 i
1 i
2 i
n i
b = f(X )
b = f'(X )/1!
b = f''(X )/2!
...
b = f(n)(X )/n!
2i i i i i
3 (n) ni i i i
f(X) = f(X ) + f'(X )(X - X ) + f''(X )(X - X ) /2!
+ f'''(X )(X - X ) /3! + ... + f (X )(X - X ) /n! + ...
ji i
j=0
f(X) = f(j)(X )(X - X ) /j!
1.5.1 Expansión en serie de Taylor1.5.1 Expansión en serie de Taylor
Las expresiones (1.20) y (1.20') son equivalentes y representan la Las expresiones (1.20) y (1.20') son equivalentes y representan la expansión en serie de Taylor que permite evaluar el valor de la función en expansión en serie de Taylor que permite evaluar el valor de la función en cualquier punto X, en términos de la propia función y de sus derivadas en el cualquier punto X, en términos de la propia función y de sus derivadas en el punto Xpunto Xii. Se pueden presentar dos casos:. Se pueden presentar dos casos:
A)A) Cuando el valor de X se encuentra a la derecha de XCuando el valor de X se encuentra a la derecha de X ii, se usa la , se usa la nomenclatura Xnomenclatura Xi+1i+1, con lo que se indica que es mayor que X, con lo que se indica que es mayor que X ii..
_____ (1.21)_____ (1.21)
donde h se denomina tamaño del paso, tratándose en este caso de un paso donde h se denomina tamaño del paso, tratándose en este caso de un paso hacia adelante.hacia adelante.
i+1 i i+1 i
(j) (j)j j
i+1 i i+1 i ij=0 j=0
X = X > X ; X - X = h > 0
f(X ) = f (X )(X - X ) /j! = f (X )h /j!
1.5.1 Expansión en serie de Taylor1.5.1 Expansión en serie de Taylor
B)B) Cuando el valor de X se encuentra a la izquierda de XCuando el valor de X se encuentra a la izquierda de X ii, se usa , se usa la nomenclatura Xla nomenclatura Xi-1i-1, con lo que se indica que es menor que X, con lo que se indica que es menor que X ii..
_____ (1.22)_____ (1.22)
_____ (1.22')_____ (1.22')
donde h es el tamaño del paso, tratándose en este caso de un paso donde h es el tamaño del paso, tratándose en este caso de un paso hacia atrás.hacia atrás.
Para cada combinación de puntos XPara cada combinación de puntos X ii, X, Xi+1i+1 en una función f(x), la serie en una función f(x), la serie de Taylor es única, es decir, no hay otra serie de potencias en h = Xde Taylor es única, es decir, no hay otra serie de potencias en h = X i+1i+1 – X– Xii , para representar a f(X) , para representar a f(X)
i-1 i i i-1
(j) (j)j ji-1 i i i-1 i i i-1
j par j impar
(j) (j)j ji-1 i i
j par j impar
X = X < X ; X - X = h > 0
f(X ) = f (X )(X - X ) /j! - f (X )(X - X ) /j!
ó f(X ) = f (X )h /j! - f (X )h /j!
1.5.1 Expansión en serie de Taylor1.5.1 Expansión en serie de Taylor
Ejemplo. En el punto XEjemplo. En el punto Xi i = 1, la función f(X) y sus derivadas toman = 1, la función f(X) y sus derivadas toman
los siguientes valores:los siguientes valores:
f(1) = 1;f(1) = 1; f'(1) = 6;f'(1) = 6; f''(1) = 2;f''(1) = 2; f'''(1) = 6.f'''(1) = 6.
A partir de estos datos y utilizando la expansión en serie de Taylor A partir de estos datos y utilizando la expansión en serie de Taylor dada en (1.21), encontrar el polinomio que permita predecir valor de dada en (1.21), encontrar el polinomio que permita predecir valor de la función para cualquier valor de X, y, en particular, el valor de la la función para cualquier valor de X, y, en particular, el valor de la función para Xfunción para Xi+1i+1 = 3. = 3.
f(X) = 1 + 6(X - 1) + 2(X - 1)f(X) = 1 + 6(X - 1) + 2(X - 1)22/2! + 6(X - 1)/2! + 6(X - 1)33/3!/3!
= 1 + 6X - 6 + X= 1 + 6X - 6 + X22 - 2X + 1 + X - 2X + 1 + X33 - 3X - 3X22 + 3X - 1 + 3X - 1
= - 5 + 7X - 2X= - 5 + 7X - 2X22 + X + X33
h = Xh = Xi+1i+1 - X - Xii = 3 - 1 = 2 = 3 - 1 = 2
f(Xf(Xi+1i+1) = f(3) = 1 + 6(2) + 2(2)) = f(3) = 1 + 6(2) + 2(2)22/2! + 6(2)/2! + 6(2)33/3!/3!
= 1 + 12 + 4 + 8 = 25= 1 + 12 + 4 + 8 = 25
1.5.1 Expansión en serie de Taylor1.5.1 Expansión en serie de Taylor
Vamos a repetir el ejercicio, pero ahora considerando la expansión Vamos a repetir el ejercicio, pero ahora considerando la expansión
en serie de Taylor dada en (1.22) y obteniendo el valor de la función en serie de Taylor dada en (1.22) y obteniendo el valor de la función
para Xpara Xi-1i-1 = 0. = 0.
f(X) = 1 - 6(1 - X) + 2(1 - X)f(X) = 1 - 6(1 - X) + 2(1 - X)22/2! - 6(1 - X)/2! - 6(1 - X)33/3!/3!
= 1 - 6 + 6X + X= 1 - 6 + 6X + X22 - 2X + 1 - 1 + 3X - 3X - 2X + 1 - 1 + 3X - 3X22 + X + X33
= - 5 + 7X - 2X= - 5 + 7X - 2X22 + X + X33
h = Xh = Xii - X - Xi-1i-1 = 1 - 0 = 1 = 1 - 0 = 1
f(Xf(Xi-1i-1) = f(0) = 1 - 6(1) + 2(1)) = f(0) = 1 - 6(1) + 2(1)22/2! - 6(1)/2! - 6(1)33/3!/3!
= 1 - 6 + 1 - 1 = - 5= 1 - 6 + 1 - 1 = - 5
1.5.1 Expansión en serie de Taylor1.5.1 Expansión en serie de Taylor
En el ejercicio anterior, el polinomio obtenido se ajusta En el ejercicio anterior, el polinomio obtenido se ajusta perfectamente a la función, porque ésta es algebraica, polinomial perfectamente a la función, porque ésta es algebraica, polinomial de tercer grado; en este caso, las derivadas de orden superior al de tercer grado; en este caso, las derivadas de orden superior al tercero se anulan, por lo que los primeros cuatro términos de la tercero se anulan, por lo que los primeros cuatro términos de la expansión en serie de Taylor son suficientes para determinar, sin expansión en serie de Taylor son suficientes para determinar, sin error alguno, el comportamiento de la función, para cualquier valor error alguno, el comportamiento de la función, para cualquier valor de X.de X.
Pero no siempre es así; cuando se trata de funciones trascendentes Pero no siempre es así; cuando se trata de funciones trascendentes o mixtas, la expansión en serie de Taylor sólo puede proporcionar o mixtas, la expansión en serie de Taylor sólo puede proporcionar una aproximación a la función de interés, porque, en ese caso, una aproximación a la función de interés, porque, en ese caso, cada uno de los términos de la serie infinita tiene un valor absoluto cada uno de los términos de la serie infinita tiene un valor absoluto diferente de cero, con el que participa, así sea de manera mínima, diferente de cero, con el que participa, así sea de manera mínima, en el valor de la función. En virtud de que no es posible considerar en el valor de la función. En virtud de que no es posible considerar un número infinito de términos, no hay más remedio que truncar la un número infinito de términos, no hay más remedio que truncar la serie y considerar únicamente los n primeros.serie y considerar únicamente los n primeros.
1.5.1 Expansión en serie de Taylor1.5.1 Expansión en serie de Taylor
Una función f(x) es analítica en xUna función f(x) es analítica en x ii, si se puede representar por , si se puede representar por
medio de una serie de potencias en términos de h = xmedio de una serie de potencias en términos de h = x i+ii+i – x – xii, dentro , dentro
de un radio de convergencia 0 < de un radio de convergencia 0 < xxi+ii+i - x - xii, y si todas sus derivadas , y si todas sus derivadas
son continuas en la vecindad de xson continuas en la vecindad de x ii. Los polinomios son funciones . Los polinomios son funciones
analíticas en todas partes.analíticas en todas partes.
Si la función f(x) es diferenciable en todas partes de la vecindad de Si la función f(x) es diferenciable en todas partes de la vecindad de
un punto xun punto x00, excepto en el mismo, el punto se denomina singular y , excepto en el mismo, el punto se denomina singular y
entonces la función no es analítica en xentonces la función no es analítica en x00. Algunas funciones . Algunas funciones
trascendentes tienen puntos singulares; por ejemplo, tan(x) es trascendentes tienen puntos singulares; por ejemplo, tan(x) es
analítica excepto en analítica excepto en (n + ½)(n + ½)..
1.5.1 Expansión en serie de Taylor1.5.1 Expansión en serie de Taylor
Ejemplo. Aproximar la función f(X) = cos X en 30Ejemplo. Aproximar la función f(X) = cos X en 30, conociendo los , conociendo los valores de la función y el de sus derivadas para 0 y considerando los valores de la función y el de sus derivadas para 0 y considerando los primeros siete términos de la expansión en serie de Taylor. No primeros siete términos de la expansión en serie de Taylor. No olvidemos trabajar en radianes:olvidemos trabajar en radianes:
XXii = 0 = 0 = 0 ; = 0 ; XXi+1i+1 = 30 = 30 = = /6 ;/6 ; h = Xh = Xi+1i+1 - X - Xii = = /6 - 0 = /6 - 0 = /6/6
f(X) = f(Xf(X) = f(Xii) + f'(X) + f'(Xii)h + f''(X)h + f''(Xii)h)h22/2! + f'''(X/2! + f'''(Xii)h)h33/3! + f/3! + fiviv(X(Xii)h)h44/4! + f/4! + fvv(X(Xii)h)h55/5! + f/5! + fvivi(X(Xii)h)h66/6!/6!
f(X) = cos Xf(X) = cos X f(0) = cos 0 = 1f(0) = cos 0 = 1
f'(X) = f'(X) = -- sen X sen X f'(0) = f'(0) = - - sen 0 = 0sen 0 = 0
f''(X) = f''(X) = - - cos Xcos X f''(0) = f''(0) = -- cos 0 = cos 0 = -- 1 1
f'''(X) = sen Xf'''(X) = sen X f'''(0) = sen 0 = 0f'''(0) = sen 0 = 0
ffiviv(X) = cos X(X) = cos X ffiviv(0) = cos 0 = 1(0) = cos 0 = 1
ffvv(X) = (X) = -- sen X sen X ffvv(0) = (0) = -- sen 0 = 0 sen 0 = 0
ffvivi(X) = - cos X(X) = - cos X ffvivi(0) = - cos 0 = - 1(0) = - cos 0 = - 1
1.5.1 Expansión en serie de Taylor1.5.1 Expansión en serie de Taylor
Ejemplos: Los desarrollos en serie de Taylor de eEjemplos: Los desarrollos en serie de Taylor de e-x-x y de sen x, en la y de sen x, en la
vecindad de x = 1, son respectivamente:vecindad de x = 1, son respectivamente:
El desarrollo en serie de Taylor de una función alrededor de x = 0 recibe el El desarrollo en serie de Taylor de una función alrededor de x = 0 recibe el
nombre de serie de Maclaurin; por ejemplo: enombre de serie de Maclaurin; por ejemplo: exx, cos x, y ln(x+1), cos x, y ln(x+1)
2 3 4-x -1 -1 -1 -1 -1
2 3 4
h h he = e - he + e - e + e - ...
2! 3! 4!
h h hsen(x) = sen(1) + h cos(1) sen(1) cos(1) sen(1) ...
2! 3! 4!
2 3 4x
2 4 6 8
2 3 4
x x xe = 1 + x + + + + ...
2! 3! 4!
x x x xcos(x) = 1 ...
2! 4! 6! 8!
x x xln(x 1) x + + + + ...
2 3 4
1.5.1 Expansión en serie de Taylor1.5.1 Expansión en serie de Taylor
f(f(/6) = 1 - 1(/6) = 1 - 1(/6)/6)22/2! + 1(/2! + 1(/6)/6)44/4! - 1(/4! - 1(/6)/6)66/6!/6!
= 1 - 0.1370778 + 0.0031317 - 0.0000286 = 0.8660252= 1 - 0.1370778 + 0.0031317 - 0.0000286 = 0.8660252
Considerando como "verdadero" el valor que ofrece una Considerando como "verdadero" el valor que ofrece una
calculadora científica de 8 dígitos, que es: cos 30calculadora científica de 8 dígitos, que es: cos 30 = 0.8660254, se = 0.8660254, se
aprecia que el truncamiento a siete términos de la serie, conduce a aprecia que el truncamiento a siete términos de la serie, conduce a
un pequeño error de 0.0000002un pequeño error de 0.0000002
1.5.21.5.2 El residuo de la serie de TaylorEl residuo de la serie de Taylor
En la sección 1.4 se esbozó lo que era un error por truncamiento, En la sección 1.4 se esbozó lo que era un error por truncamiento, pero no quedó lo suficientemente claro, porque para comprender pero no quedó lo suficientemente claro, porque para comprender este concepto, faltaba conocer a detalle el comportamiento de la este concepto, faltaba conocer a detalle el comportamiento de la expansión en serie de Taylor.expansión en serie de Taylor.
Ahora podemos entender con claridad qué es un truncamiento y Ahora podemos entender con claridad qué es un truncamiento y cómo repercute éste en un error, al aproximar el valor de una cómo repercute éste en un error, al aproximar el valor de una función para un determinado valor de la variable, considerando función para un determinado valor de la variable, considerando solamente los primeros solamente los primeros nn términos de la serie infinita. términos de la serie infinita.
Los términos de la serie que se desprecian constituyen un residuo Los términos de la serie que se desprecian constituyen un residuo cuyo valor puede tener signo positivo, en detrimento del valor de la cuyo valor puede tener signo positivo, en detrimento del valor de la función, o negativo, en profusión del valor de la función; en términos función, o negativo, en profusión del valor de la función; en términos absolutos, este residuo puede ser significativo o insignificante absolutos, este residuo puede ser significativo o insignificante (como sucedió en el ejemplo anterior), lo cual depende de dos (como sucedió en el ejemplo anterior), lo cual depende de dos factores:factores:
1.5.21.5.2 El residuo de la serie de TaylorEl residuo de la serie de Taylor
1) El valor de 1) El valor de nn, es decir, el número de términos de la serie, , es decir, el número de términos de la serie,
considerados al aproximar el valor de la función; mientras mayor considerados al aproximar el valor de la función; mientras mayor
sea el valor de sea el valor de nn, menor será el residuo y mejor será la , menor será el residuo y mejor será la
aproximación al valor de la función.aproximación al valor de la función.
2) El valor de 2) El valor de hh, es decir, el tamaño del paso o distancia entre el , es decir, el tamaño del paso o distancia entre el
valor de la variable para el cual se evalúa la función y el valor de la valor de la variable para el cual se evalúa la función y el valor de la
variable para el que se conoce el valor de la función y el de sus variable para el que se conoce el valor de la función y el de sus
derivadas; mientras menor sea el valor de derivadas; mientras menor sea el valor de hh, mayor será la cercanía , mayor será la cercanía
entre Xentre Xii y X y Xi+1i+1 y, por ende, mejor será la aproximación al valor de la y, por ende, mejor será la aproximación al valor de la
función.función.
1.5.21.5.2 El residuo de la serie de TaylorEl residuo de la serie de Taylor
En adelante, y en tanto no se indique lo contrario, usaremos únicamente la En adelante, y en tanto no se indique lo contrario, usaremos únicamente la
expansión en serie de Taylor que considera el paso hacia adelante para expansión en serie de Taylor que considera el paso hacia adelante para
aproximar f(Xaproximar f(Xi+1i+1) a partir de f(X) a partir de f(Xii) y sus derivadas, conforme a la expresión ) y sus derivadas, conforme a la expresión
(1.21), la que en forma explícita se escribe:(1.21), la que en forma explícita se escribe:
f(Xi+1) = f(Xi) + f'(Xi)h + f''(Xi)hf(Xi+1) = f(Xi) + f'(Xi)h + f''(Xi)h22/2! + f'''(Xi)h/2! + f'''(Xi)h33/3! + ... + f(n)(Xi)h/3! + ... + f(n)(Xi)hnn/n! /n! + ...__ (1.21')+ ...__ (1.21')
y en forma alternativa:y en forma alternativa:
f(Xi+1) = f(Xi) + f'(Xi)h + f''(Xi)hf(Xi+1) = f(Xi) + f'(Xi)h + f''(Xi)h22/2! /2! + f'''(Xi)h+ f'''(Xi)h33/3! + ... + f(n)(Xi)h/3! + ... + f(n)(Xi)hnn/n! /n! + Rn (1.23)+ Rn (1.23)
Esta última expresión se conoce como expansión en serie de Taylor con Esta última expresión se conoce como expansión en serie de Taylor con
residuo, y es idéntica a la expresión (1.21'), excepto porque los puntos residuo, y es idéntica a la expresión (1.21'), excepto porque los puntos
suspensivos se han sustituido por el término Rsuspensivos se han sustituido por el término Rnn, que sintetiza los términos , que sintetiza los términos
de la serie que se han despreciado y se conoce con el nombre de residuo de la serie que se han despreciado y se conoce con el nombre de residuo
de la aproximación al n-ésimo orden.de la aproximación al n-ésimo orden.
La serie se puede truncar en cualquier punto, de manera que el subíndice La serie se puede truncar en cualquier punto, de manera que el subíndice n n
indica que sólo se han incluido en la aproximación los primeros (n+1) indica que sólo se han incluido en la aproximación los primeros (n+1)
términos de la serie.términos de la serie.
1.5.21.5.2 El residuo de la serie de TaylorEl residuo de la serie de Taylor
Por ejemplo, podemos truncar la serie a un solo término (n = 0):Por ejemplo, podemos truncar la serie a un solo término (n = 0):
f(Xf(Xi+1i+1) ) f(X f(Xii))
lo que implica suponer que la función que se va a aproximar es una lo que implica suponer que la función que se va a aproximar es una
constante: P(X) = aconstante: P(X) = a00 ; si tal suposición es cierta, la aproximación resulta ; si tal suposición es cierta, la aproximación resulta
perfecta y no hay error alguno, pero si no es así, existe un residuo Rperfecta y no hay error alguno, pero si no es así, existe un residuo R00 tal tal
que se cumple:que se cumple:
f(Xf(Xi+1i+1) = f(X) = f(Xii) + R) + R00
RR00 = f'(X = f'(Xii)h + f''(X)h + f''(Xii)h)h22/2! + f'''(X/2! + f'''(Xii)h)h33/3! +...+ f/3! +...+ f(n)(n)(X(Xii)h)hnn/n! /n! +...+... _____ (1.24)_____ (1.24)
RR00 es el residuo de orden cero y representa una serie infinita idéntica a la es el residuo de orden cero y representa una serie infinita idéntica a la
de la expresión (1.21'), excepto por la exclusión del primer término.de la expresión (1.21'), excepto por la exclusión del primer término.
Para simplificar, podríamos truncar el residuo a solo un término: RPara simplificar, podríamos truncar el residuo a solo un término: R00 f'(X f'(Xii)h, )h,
despreciando todos los demás, pero esto obviamente no es exacto. despreciando todos los demás, pero esto obviamente no es exacto.
Conviene entonces encontrar una manera más adecuada de valorar RConviene entonces encontrar una manera más adecuada de valorar R00..
1.5.21.5.2 El residuo de la serie de TaylorEl residuo de la serie de Taylor
Auxiliándonos en la siguiente figura, podemos ver fácilmente que la Auxiliándonos en la siguiente figura, podemos ver fácilmente que la recta que une los puntos [Xrecta que une los puntos [X ii, f(X, f(Xii)], [X)], [Xi+1i+1,f(X,f(Xi+1i+1)], tiene pendiente R)], tiene pendiente R00/h./h.
f(x)
xxi Xi+1
f(xi)
f(Xi+1)
f’()
h
R0 = f(Xi+1) - f(xi)
P(X) = ao
1.5.2 El residuo de la serie de Taylor1.5.2 El residuo de la serie de Taylor
Invocando el teorema del valor medio, podemos asegurar que existe un Invocando el teorema del valor medio, podemos asegurar que existe un punto , entre Xpunto , entre Xii y X y Xi+1i+1, para el cual el valor de la primera derivada f'(, para el cual el valor de la primera derivada f'(), es ), es decir, la pendiente de la tangente de la función en ese punto, es paralela a decir, la pendiente de la tangente de la función en ese punto, es paralela a la recta mencionada previamente: Rla recta mencionada previamente: R00/h = f'(/h = f'(); y entonces:); y entonces:
RR00 = f'( = f'()h)h _____ (1.25)_____ (1.25)
De manera similar, si truncamos la serie a dos términos (n=2):De manera similar, si truncamos la serie a dos términos (n=2):
f(Xi+1) f(Xf(Xi+1) f(Xii) + f'(X) + f'(Xii)h)h
estaremos suponiendo que la función que se va a aproximar es una recta: estaremos suponiendo que la función que se va a aproximar es una recta: P(X) = aP(X) = a00 + a + a11X; si la suposición es correcta, la aproximación es perfecta y X; si la suposición es correcta, la aproximación es perfecta y sin error, pero si no es así, existe un residuo Rsin error, pero si no es así, existe un residuo R11 tal que: tal que:
f(Xf(Xi+1i+1) = f(X) = f(Xii) + f'(X) + f'(Xii)h + R)h + R11
RR11 = f''(X = f''(Xii)h)h22/2! + f'''(X/2! + f'''(Xii)h)h33/3! /3! + ... + f+ ... + f(n)(n)(X(Xii)h)hnn/n! + .../n! + ...
RR11 es un residuo de primer orden que, al igual que se hizo con R es un residuo de primer orden que, al igual que se hizo con R00, pero , pero ahora considerando el teorema extendido del valor medio, también se ahora considerando el teorema extendido del valor medio, también se puede evaluar de manera exacta mediante:puede evaluar de manera exacta mediante:
R1 = f''(R1 = f''()h)h22/2!/2!Y así, sucesivamente:Y así, sucesivamente:
1.5.21.5.2 El residuo de la serie de TaylorEl residuo de la serie de Taylor
f(x)
xxi Xi+1
f(Xi+1)
h
P(X) = ao
P(X) = ao + a1x
P(X) = ao + a1x + a2x2
f(x)
ao
1.5.2 El residuo de la serie de Taylor1.5.2 El residuo de la serie de Taylor
Un truncamiento a tres términos (n = 2), supone que la función a aproximar Un truncamiento a tres términos (n = 2), supone que la función a aproximar
es una parábola P(X) = aes una parábola P(X) = a00 + a + a11X + aX + a22XX22 y un posible error dado por el y un posible error dado por el
residuo de segundo orden Rresiduo de segundo orden R22..
Un truncamiento a cuatro términos (n = 3), supone que la función a Un truncamiento a cuatro términos (n = 3), supone que la función a
aproximar es una parábola cúbica P(X) = aaproximar es una parábola cúbica P(X) = a00 + a + a11X + aX + a22XX22 + a + a33XX33 y un y un
posible error dado por el residuo de segundo orden Rposible error dado por el residuo de segundo orden R33..
En general, un truncamiento a (n+1) términos de la serie, supone un En general, un truncamiento a (n+1) términos de la serie, supone un
polinomio P(X) = apolinomio P(X) = a00 + a + a11X + aX + a22XX2 2 + a+ a33XX33 + ... + a + ... + annXXnn y un posible error dado y un posible error dado
por el residuo de n-ésimo orden, que se expresa:por el residuo de n-ésimo orden, que se expresa:
RRnn = f = f(n+1)(n+1)(()h)hn+1n+1/(n+1)!/(n+1)! _____ (1.26)_____ (1.26)
RRnn es el error por truncamiento al aproximar el valor de una función f(X es el error por truncamiento al aproximar el valor de una función f(X i+1i+1), ),
considerando solamente los (n+1) primeros términos de la expansión en considerando solamente los (n+1) primeros términos de la expansión en
serie de Taylor correspondiente a la función.serie de Taylor correspondiente a la función.
1.5.2 El residuo de la serie de Taylor1.5.2 El residuo de la serie de Taylor
Ejemplo. Obtener una aproximación al valor del número Ejemplo. Obtener una aproximación al valor del número ee, con mantisa de , con mantisa de ocho dígitos y considerando los primeros ocho términos de la expansión en ocho dígitos y considerando los primeros ocho términos de la expansión en serie de Taylor para la función f(X) = serie de Taylor para la función f(X) = eexx..Sabemos que:Sabemos que: ee00 = 1, = 1,
entonces:entonces: XXii = 0 = 0 ;; XXi+1i+1 = 1 = 1 ;; h = 1 - 0 = 1h = 1 - 0 = 1
f(0) = f(0) = ee00 = 1 = 1 f(1) = f(1) = eef(1) = f(0) + f'(0)(1) + f''(0)(1)2/2! + f'''(0)(1)3/3! + fiv(0)(1)4/4! + ...f(1) = f(0) + f'(0)(1) + f''(0)(1)2/2! + f'''(0)(1)3/3! + fiv(0)(1)4/4! + ...f'(X) = f'(X) = eexx f'(0) = 1f'(0) = 1f''(X) = f''(X) = eexx f''(0) = 1f''(0) = 1f'''(X) = f'''(X) = eexx f'''(0) = 1f'''(0) = 1
......ff'(n)'(n)(X) = (X) = eexx ff'(n)'(n)(0) = 1(0) = 1f(1) f(1) 1 + 1 + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5! + 1/6! + 1/7! 1 + 1 + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5! + 1/6! + 1/7!e e 1 + 1 + 0.5 + 0.16666667 + 0.04166667 + 0.00833333 + 1 + 1 + 0.5 + 0.16666667 + 0.04166667 + 0.00833333 +
+ 0.00138889 + 0.00019841 = + 0.00138889 + 0.00019841 = 2.718253972.71825397El valor que arroja una calculadora de 9 dígitos es: El valor que arroja una calculadora de 9 dígitos es: ee = 2.71828183 = 2.71828183
1.5.2 El residuo de la serie de Taylor1.5.2 El residuo de la serie de Taylor
El error por truncamiento es: El error por truncamiento es:
RR77 = f = fviiiviii(()(1)8/8! = f)(1)8/8! = fviiiviii(()/40320 = 0.00002786)/40320 = 0.00002786
ffviiiviii(() = ) = ee = 1.1233152 ; = 1.1233152 ; = 0.11628431 = 0.11628431
Observamos que Observamos que efectivamente se localiza entre X efectivamente se localiza entre Xii y X y Xi+1i+1: 0 < : 0 < < 1, < 1,
aunque bastante más cerca de Xaunque bastante más cerca de Xii que de X que de Xi+1i+1
Si hubiésemos truncado a solo tres términos: e Si hubiésemos truncado a solo tres términos: e 2.5, 2.5,
RR22 = f'''( = f'''()(1))(1)33/3! = f'''(/3! = f'''()/6 = 0.21828183)/6 = 0.21828183
f'''(f'''() = ) = ee = 1.30969098 ; = 1.30969098 ; = 0.26979122 = 0.26979122
Vemos también que el valor de Vemos también que el valor de es distinto para residuos de diferente es distinto para residuos de diferente
orden, pero siempre cumple con localizarse entre Xorden, pero siempre cumple con localizarse entre X ii y X y Xi+1i+1. .
1.5.2 El residuo de la serie de Taylor1.5.2 El residuo de la serie de Taylor
Los valores dados en la siguiente tabla, referidos a este ejemplo, Los valores dados en la siguiente tabla, referidos a este ejemplo, pueden verificarse fácilmente:pueden verificarse fácilmente:
nn e e Rn Rn f(n+1)( f(n+1)())
00 1 1 1.71828183 1.71828183 1.718281831.71828183 0.54132486 0.54132486
11 2 2 0.71828183 0.71828183 1.436563661.43656366 0.36225391 0.36225391
22 2.5 2.5 0.21828183 0.21828183 1.309690981.30969098 0.26979172 0.26979172
33 2.666666672.66666667 0.05161516 0.05161516 1.238763841.23876384 0.21411398 0.21411398
44 2.708333342.70833334 0.00994849 0.00994849 1.193818801.19381880 0.17715724 0.17715724
55 2.716666672.71666667 0.00161516 0.00161516 1.162915201.16291520 0.15092996 0.15092996
66 2.718055562.71805556 0.00022627 0.00022627 1.140400801.14040080 0.13137978 0.13137978
77 2.718253972.71825397 0.00002786 0.00002786 1.123315201.12331520 0.11628431 0.11628431
1.5.2 El residuo de la serie de Taylor1.5.2 El residuo de la serie de Taylor
En este ejemplo, tuvimos manera de consultar el valor "exacto" de En este ejemplo, tuvimos manera de consultar el valor "exacto" de ee, echando mano , echando mano de una calculadora, igual que lo pudimos haber consultado en un libro; el número de una calculadora, igual que lo pudimos haber consultado en un libro; el número ee es conocido por toda la comunidad científica, por eso su valor es accesible a es conocido por toda la comunidad científica, por eso su valor es accesible a cualquiera.cualquiera.
Pero no ocurre lo mismo cuando estamos estimando el valor de una función Pero no ocurre lo mismo cuando estamos estimando el valor de una función complicada, ligada a un experimento en el que apenas tenemos idea de su complicada, ligada a un experimento en el que apenas tenemos idea de su comportamiento y del orden de magnitud que puede tomar la función, para cada comportamiento y del orden de magnitud que puede tomar la función, para cada determinado valor de la variable. En tal caso, no hay manera de calcular con determinado valor de la variable. En tal caso, no hay manera de calcular con exactitud los residuos y solo habrá que conformarse con una estimación burda de exactitud los residuos y solo habrá que conformarse con una estimación burda de ellos.ellos.
Para el efecto, y siempre que sea factible derivar analíticamente la función de Para el efecto, y siempre que sea factible derivar analíticamente la función de interés, se sugiere considerar como valor estimado de el punto medio entre Xinterés, se sugiere considerar como valor estimado de el punto medio entre X ii y X y Xi+1i+1, ,
es decir:es decir:
* = (X* = (Xii + X + Xi+1i+1)/2)/2 _____ (1.27)_____ (1.27)
con la seguridad de que los residuos estimados a partir de este valor y, por ende, los con la seguridad de que los residuos estimados a partir de este valor y, por ende, los errores asociados a ellos, siempre serán superiores a los verdaderos.errores asociados a ellos, siempre serán superiores a los verdaderos.
RRnn = f = f(n+1)(n+1)((*)h*)hn+1n+1/(n+1)!/(n+1)! _____ (1.26')_____ (1.26')