Seosed täisnurkses kolmnurgas
description
Transcript of Seosed täisnurkses kolmnurgas
Seosed täisnurkses kolmnurgas
21. aprill 2023. a
Teoreem: Täisnurkses kolmnurgas hüpotenuusile
joonestatud kõrgus jaotab selle kolmnurga kaheks kolmnurgaks, mis on sarnased esialgse kolmnurgaga ja omavahel.
AB
C
D
A
BC
D
D
A
CDB
C
Δ BDC Δ BCA (NN tunnus) Δ CDA Δ BCA (NN tunnus)
Δ BDC Δ CDAm.o.t.t.
Geomeetriline keskmine Kui a, b ja x on mittenegatiivsed
arvud, siis nimetatakse arvu x arvude a ja b
geomeetriliseks keskmiseks,
kui ta on ruutjuur nende arvude korrutisest
bax
Kaatetite projektsioonid Hüpotenuusile joonestatud kõrgus
jaotab hüpotenuusi kaheks osaks, mida nimetatakse kaatetite projektsioonideks hüpotenuusil
AB
a b
cf g
h
Cf – kaateti a projektsioon g – kaateti b projektsioon
D
Teoreem täisnurkse kolmnurga kõrgusest Täisnurkse kolmnurga hüpotenuusile
tõmmatud kõrgus on kaatetite projektsioonide geomeetriline keskmine
a b
f g
h
C
ABD
fgh
fgh
2
ehk
A
BC
D
D
A
CDB
C
a
bc
f
g
h
f
ha
h
gb
DB
C
f
ha
D
A
Ch
gb
Δ BDC Δ CDA =>
fghfgh
g
h
h
f
2
võrde põhiomadusest
m.o.t.t.
Näide 1 Täisnurkse kolmnurga ΔABC kõrgus BD on 4 cm Leia lõik CD, kui lõik AD on 2 cm
A
B
CD
4 cm
2 cm x cm
)(82:424 22
2
cmxx
fgh
Ülesanne 1 Täisnurkse kolmnurga ΔABC jaotab
hüpotenuusi AC kaheks osaks: 4 cm ja 5 cm. Leia kolmnurga ΔABC pindala.
AC
B
Eukleidese teoreem
Eukleides Vana-Kreeka matemaatik ja
filosoof sündinud umbes 325 eKr tähtsaim teos, 13 raamatust
koosnev „Elemendid” sisaldab peaaegu kogu
elementaargeomeetria 465 lauset (definitsioonid,
aksioomid, teoreemid) hõlmav tööon kirjutatud ranges loogilises järjekorras
on olnud paljude sajandite vältel peaaegu ainsaks geomeetria õpikuks
surnud umbes 265 eKr
Teoreem
Täisnurkse kolmnurga kaatet on oma projektsiooni ja hüpotenuusi geomeetriline keskmine.
a b
f g
h
C
ABD
gcbgcb
fcafca
2
2
ehk
Näide 2 Täisnurkse kolmnurga ΔABC kõrgus jaotab AC
kaheks osaks, mille pikkused on 3 cm ja 6 cm. Leia kaatetite AB ja BC pikkused.
)(3393 cmx
c = AC = AD + DC = 3 + 6 = 9 (cm)
)(6396 cmy
3 cm 6 cm
x y
A
B
CDc
Pythagorase teoreem
Pythagoras Vana-Kreeka matemaatik
ja filosoof sündis umbes 569 eKr
Samoses (Kreekas) rajas Lõuna-Itaaliasse
Krotonisse usulis-filosoofilise vennaskonna pütagoorlaste liidu
arvasid, et iga asi on arv paarituid arve loeti
halbadeks, paarisarve headeks
teadsid, et hästi kõlavad kokku vaid need pillikeeled, mille pikkused suhtuvad nagu täisarvud
suri umbes 475 eKr.
Teoreem: Täisnurkses kolmnurgas võrdub kaatetite
ruutude summa hüpotenuusi ruuduga
a b
C
ABc
222 cba
a
b c
a
b c
a
b c
a
b c
Iga sellise täisnurkse kolmnurga pindala on ½ ab
Suure ruudu pindala ühelt poolt avaldub seega:4 · ½ ab + c2
Teiselt poolt on suure ruudu pindala:(a + b)2
Seega:
222222
222
22
22
22
)(2
4
bacabbabac
babacab
bacab
m.o.t.t.
Võtame 4 võrdset täisnurkset kolmnurka ja paigutame need järgmiselt:
Pythagorase teoreemi…
… kasutatakse täisnurkse kolmnurga külje pikkuse leidmiseks kahe ülejäänud külje kaudu
hüpotenuus2 = kaatet12 + kaatet2
2
kaatet12 = hüpotenuus2 – kaatet2
2
kaatet22 = hüpotenuus2 – kaatet1
2
Näide
Sukelduja ujus vee all 20 m kivini, mis asub mere põhjas. Poi paikneb veepinnal täpselt kivi kohal, kusjuures kivi kaugus poist on 10m. Kui kaugel asub poi kohast, kus sukelduja oma sukeldumist alustas?
Tee tekkinud täisnurkse kolmnurga joonis, kanna andmed joonisele ja leia otsitav suurus.
20 m
10 m
Näide
16 m redel seisab maja seina najal. Redeli alumine serv asub maja seinast 2 m kaugusele. Kui kõrgele maja seinale redel ulatub?
Tee tekkinud täisnurkse kolmnurga joonis, kanna andmed joonisele ja leia otsitav suurus.
16 m
2 m
Näide
Täisnurkse kolmnurga kujuline puri on 30 m kõrgune. Selle laius on 10 m. Milline on purje hüpotenuusi pikkus?
Tee tekkinud täisnurkse kolmnurga joonis, kanna andmed joonisele ja leia otsitav suurus.
30 m
30 ft.10 m
Näide Mari ja Jüri lennutavad tuulelohet.
Lohe on õhus täpselt Mari kohal, paiknedes 12 m kõrgusel. Jüri hoiab lohet kinni 30 m nööri otsas. Kui kaugel on Mari Jürist?
Tee tekkinud täisnurkse kolmnurga joonis, kanna andmed joonisele ja leia otsitav suurus.
30 m
12 m
Näide
Täisnurkse kolmnurga üks külg on 45 m. Selle kolmnurga hüpotenuus on 80 m. Leia kolmnurga kolmas külg.
Tee tekkinud täisnurkse kolmnurga joonis, kanna andmed joonisele ja leia otsitav suurus.
45 m
80 m
Pythagorase kolmikud: Arve a, b ja c, kui need rahuldavad
tingimusta² + b² = c²
nimetatakse Pythagorase kolmikuteks.
Kui kolmnurga külgede pikkused moodustavad Pythagorase kolmiku, siis on see kolmnurk täisnurkne.
Pythagorase kolmikud:
a 3 5 7 8 9 11 12 13 16 20 20 28 33 3639
b 4 12 24 15 40 60 35 84 63 21 99 45 56 7780
c 5 13 25 17 41 61 37 85 65 29 101 53 65 8589
Kõige tuntumaks Pythagorase kolmikuks on arvud 3, 4 ja 5
Selliste külgedega kolmnurka nimetatakse ka Egiptuse kolmnurgaks