Ploe su ravni povrinski nosai kod kojih optereenje djeluje okomito na njihovu srednju ravninu.Teorija ploa zasniva se na ovim pretpostavkama:Debljina ploe je mala u usporedbi sa druge dvije dimenzije to je uslovljeno odnosom krae strane lx prema debljini ploe:

Take na normali srednje povrine ostaju i nakon deformacije na pravcu okomite na deformisanu srednju ravninu;Progibi su mali u usporedbi sa debljinom ploe;Elementi srednje povrine ostaju nedeformisani.Po nainu oslanjanja ploe mogu biti oslonjene liniski ili u pojedinim takama.Liniski leajevi mogu biti zidovi ili nosai.Po obliku ploe su preteno pravougaonog oblika,ali su i trougaone,trapezne,krune i poligone.Prema statikom sistemu pravougaone ploe mogu biti liniski oslonjene na jednoj strani, na dvije suprotne strane,na dvije susjedne strane,na tri ili na sve etri strane.Ako je ploa liniski oslonjena samo na jednoj strani ili na dvije suprotne strane,proraunava se pripadajue optreenje kao liniski nosa irine 1m,kao izduene pravougaone ploe oslonjene na tri ili etiri strane kojima je odnos stranica

Meutim,i kod tih ploa pojavljuju se naponi okomito na nosivi smjer ,samo to se ne proraunavaju zbog svoje zanemarive vrijednosti.Ploe se armiraju po proraunu u smjeru raspona,a okomito na rasppon armiraju se razdjeljenom armaturom.Ploe liniski oslonjene na dvije susjedne strane,na tri ili etiri strane,ili oslonjene djelom liniski, a djelom u pojedinim takaa,nazivaju se ploama nosivim u dva smjera.Kod tih ploa u nanoenju optereenja uestvuju u oba pravca,pa se one proraunavaju kao povrinski nosai.Uproraunu ploa nosivih u dva smjera koristi se teorisko i eksperimentalno istraivanje.Ploe se mogu proraunavati po linearnoj teoriji s ogranienomp preraspdjelom,teoriji plastinosti i po ne linearnoj teoriji.Ovjde e biti prikazana prije svega linearna teorija kojok se pretpostavlja da je rije o homogenom i izotropnom materijalu bez pukotina u zoni zatezanja .Dalje se pretpostavlja da je osigurano zajedniko noenje betona i armature.Liearna nehomogena parcijalna diferencijalna jednaina etvrtog reda za elastinu povrinu koja se naziva jedacinom ploe glasi:.S uptrebom duplog Laplacova operatora e poa biti .Uspije li integracija jednaine ploa za zadano optereenje uz zadovaoljenje graninih uslova ,naeno je i tacno reenje.Izrazi za momente savijanja:,,Izraz za moment torzije bi e:,Izraz za poprene sile:

qy=K(+)=-K().Tanih rjesenja opte diferencijalne jednaineima za samo neke primjere ploa.Mnogo je ee da se rjeenja diferencijalnih jednaina dobivaju preko raznih priblinih postupaka ,najee preko jednostrukih i dvostrukih redova,diferncijalnim i integralnim postupkom.Danas se sve vie ploa proraunavaju metodom konanih elemenata.Granini uslovi na konturi mogu biti zadani po silama ili deformacijama, ili i po silam i po deformacijama istovremeno.U strunoj literaturi danas se moe naci veliki broj rjeenih ploa,ovisno o optereenju i graninim uslovima,za oblike kao to su:pravougli,trougaoni,trapezni,kruni,prstenasti i drugi,uz preiloene tablice za njihovo praktino proraunavanje.Proraun ploa po linearnij teoriji s ogranienom preraspodjelom primjenjuje se uz iste uslove kaoi proraun po linearnoj teoriji.Kod kontinuiranih ploa leini momentijedne trake,odreene po linearnoj teoriji mogu se poveati ili smanjiti 25%, s tim to se odgovarajui poveavaju ili smanjuju momenti u polju kako bi bio zadovoljen uslov ravnotee.U novije vrijeme razvila se teorija linija sloma(plastina teorija) kojom se vodi rauna o stvarnom ponasanju materijala pod optereenjem to raste do sloma,zamjenjena kriterijumom graninog stanja u kojem su sadrana tri razliita granina stanja:irine pukotina,prekomjerne deformacije i slom.Uzimajui u obzir tri osnovna uslova pojednostavljene teorije plastinosti:uslov ravnotee.uslov mehanizma sloma i uslov plastinosti,mogu se dobiti nosive sposbnosti ploa.Granino optereenje nalazi se pomou virtualnog rada.Rad vanjskih slia bi e:

Slika 1.Ploa u stanju granine nosivosti

Rad vanjskih sila bie:

Rad unutrasnji sila iznosi:

Iz uslova da je:Aq + Ai = 0Dobiva se granino optereenje ako je:

gdje je:= kada dugake ploe,= kada kvadratne ploe.Moment nosivosti Mn za pravougaoni presjek od armiranog betona moe se odrediti ako vrjedi Bernulijeva hipoteza ravnih presjeka,a uz pretpostavku deformacija i i usvojenog raunskog dijagrama pritiska, po izrazu:

Potrebna je armatura u ploi:

Priblini proraun ploa nosivih u dva smjera

Pretpostavlja se da se ploa satoji iz niza meusobno okomitih zamiljenih samostalnih nosaa ,npr. lamela 1-2-3-4,raspna ,optereenih teretom , pri emu za svaki element ploe mora biti zadovoljeno:

Pretpostavlja se da e parcijalna optereenja i ostati nepromjenjiva uzdu cijele lamele. Pri tome su maksimalni progibi za slobodno poloene nosae na dva leaja optereene jednolikim kontinuiranim optereenjem:

Ploa kojoj se uglovi slobodno odiu za lamelu 1-2-3-4; za lamelu 5-6-7-8;Svaka od lamela progiba se samostalno.Vrijednost parcijalnoh optereenja i mora biti takva da progib svih elementa bude zajednika.Izjednaeli se maksimalni progibi:te za Ix= Iy i Ex = Ey.Izlazi da je:

S tim parcijalnim optereenjem izraunavaju se momenti savijanja slobodno poloene ploe:

Za kvadratnu plou i bi e:.Ti izrazi za momente vrijede samo ako ploa slobodno nalijee i kaa se njezini krajevo mogu slobodno izdizati.Kod pridranih krajeva pojavljuju se u ploama osim momenta savijanja i znatniji moment torzije kao i za ploe upete po rubovima.Uticaji krajnjih uslova na momente savijanja u ploi mogu se uzeti u obzir Marcusovim priblinim formulama:

Gdje su koeficjenti redukcije:..

- moment savijanja trake irine u bilo kojem elemntu ploe,raspona ili s optereenjem,dobivenih iz uslova zajednikih progiba i uzevi u obzir eventualni kontinuitet.- njavei pozitivni moment savijanja trake irine ,raspona ili s optereenjem,dobivenih iz uslova zajednikih progiba i uzevi u obzir eventualni kontinuitet.- moment savijanja trake irine , uzete kao da je slobodno poloeni nosa raspona ili sa unim optereenjem. U strunoj literaturi poznate po Loserove tablice po Marcusu. Izrazi za moment savijanja u ploo imaju ovaj oblik:

Koji odgovara originalnim izrazima kada se uvedu zamjene :;;Koeficjent je funkcija ukljestenja kontinuirane ploe,a indeks ovisi o vrsti oslanjanja ploe na krajevima.

Kontinuirane pravokutne ploe poduprte po cjelom obodu mogu se proraunavati po prikazanom priblinom postupku uz prertpostavku da ploe nisu kruto vezane s podvlakama i stubovima i za jednako kontinuirani opterecenje.

Da bi se dobila maksimalni momenti u polju,potrebno je svako srugo polje opteretiti pokretnim optereenjem(sl. 21.20) Takva ema optereenja rastavlja se u dvije eme optereenja:

optereenjem raunaju se momenti savijanja samostalno i pojedinano za svako polje kontinuirane ploe ,ovisni o graninim uslovima uz pretpostavku da je ploa ukljetenja na mjestu kontinuiteta sa susjednom ploom. S pokretnim optereenjem rauna se opet samostalno i pojedinano svako polje kao ploa slobodno oslonjena po cjelom obodu. Suma momenata savijanja dobivenih po objema emama optereenja dje maksimalne momente savijanja u polju:

Ugao priklona tanente progibne linije u leajevima jednak je kao i na slobodno poloenoj gredina dva leaja istih karakteristika. Ta spoznaja omoguuje da se ploe optereene s mogu raunati kao ploe slobodno poloene po obodu.Leini momenti kontinuiranih pravouglih ploa poduprtih po cijelom obodu i optereenih jedakim kontinuiranim optereenjem, mogu se priblino raunati po izrazima:

Gdje su:

i -parcijalna optereenja u smjeru osi ,-koeficjent raspodjele optereenja ,-puno optereenje.Koeficjent ispisani su na slici 21.22 ovisno o tlocrtnom poloaju leaja kao pribline i zaokruene vrijednosti.

Najmanja debljina ploe izraena je u funkcuiji kraeg raspona ili razmaka nul-taka momenta savijanja:izuzetni za krovove 5cm .-krai raspon ili razmak nul-taka momentnog dijagrama uzdu krarg raspona; priblino se moe uzeti kod kontinuiranih i upetih ploa =0,7 za obostrano upete plou i =0,85 za jednostranu upetu plouLeini pritisak pravougaonih ploa na pdvlake kontinuirano je promjenjiv.Za potrebe prakse dovoljno je tano ako se on zamjeni trapezoidnim ili trougaonim optereenjem ploe koje je ogranieno simetralama uglova i raspolovnicom kraeg raspona(sl. 21.23).Podvlake se mogu proraunavati i sa zamjenjujuim jedakim kontinuranim optereenjem:-za krai raspon-za dui raspon Gdje je .

Sl. 21.23. Rapodjela optereenja na okline podvlake

Armiranje pravougaonih ploa nosivih u dva smjeraArmatura pravougaonih ploa rauna se iz maksimalnih momenata savijanja. Pri tome treba paziti da se donji sloj armature polae u smjeru kraeg raspona i rauna sa statikom visinom , a gornji sloj s (sl. 21.24).

Maksimalan momenti savijanja koji su raunani u polju opisanim postupkom,pojavljuju se samo u traci koja prolazi mjestom maksimlanog progiba ploe .U ostalim sporednim trakama momenti su manji. To vrijedi i za leajne momente savijanja. Zato se, radi tednje amature,ploe razdjele u srednje pojasne irine i , koji se armoraju punom armaturom.Rubni pojas irine ( krai raspon ) armarija se polovicom proraunate armature odgovarajueg srednjeg pojasa(sl. 21.25).Povijanje armature obavlja se po istom principu po kojem se povija armatura u ploama nosivim u jednom smjeru.Ploe se mogu armirati samo ravnim ipkama, pri emu je posebno pogodna zavarena mreasta armatura.Armatura u ploi treba da bude tako rasporeena da maksimalni razmak ne bude vei od dvije debljine ploe ya kontinuirano optereenje ni vei od 20 cm.Na mjestima pojavljivanja armature zbog smanjenja momenta ne smije biti vei od 40 cm.

Prije opisana Marcusova priblina metoda izraena je uz pretpostavku da su slobdni i kontinuirani leajni krajevi slobodne poduprti,to bi odgovaralo naljeganju ploe na zidovi od opeke ili na eline nosae. Takvi su primjeri u praksi veoma rjetki.Gotovo redovito se izvodi kontinuirane ploe monolitno povezane s betonskom podvlakom koje sa stupovima ine armiranobetonski kostur. U takvim okolnostima nastaju ukljetenje ploe u podvlaku ovisno o teoriskoj krutosti podvlake.Ako se eli racionalno konstruisati,valja uzeti u obzirukljetenje ploe u kostur zgrade. Tim pitanjem opseno se bavio Siess,koji je dao tablicu koeficjenata za proraun kontinuiranih pravokutno ploa uz odovarajuih upute i ograniavanje uzimajue u obzir torzijskih krutosti podvlaka.Kod ploa nosivih u dva smjera koje slobodo nalijeu a uglovi su im pridrani protiv izdizanja,nastaju u uglovima momenti torzije,koji u smjeru simetrala daju jedan negativai glavni moment savijanja = i okomito na taj smjer jedan pozitivan glavni momenat savijanja =. Ti momenti prihvaaju se armaturom prema slici 21.26.Na slici se ne vidi armatura za sidrenje kutova.Svi kutovi moraju imati gornju i donju torzisku armaturu,bilo u obliku pravokutne mree,bilo u obliku dijagonalno postavljenih ipaka.

Ploe se armiraju na tri leaja sa glavnom armaturom u dva ortogonalna smjera(sl. 21.27) i armaturom za preuzimanje momenata torzije (sl. 21.28).

Ploe oslonjene na dva susjedna leaja,ovisno o graninim uslovima,armiraju se prema slikama 21.29 i 21.30.Crtkana linija predouje gornju armaturu, a puna donju armaturu. Razdjelna armatura nije crtana. Gornja Armatura treba dobro usidriti u leaj ploe (sl. 21.29).

sl.21.30. Ploa upeta u dva susjedna leajaKod plooa upetih u dva susjedna leaja gornja nosiva armatura sidri se u zid duinu sidrenja.Konzolna ploa oko ugla objekata za svaki se smjer armira proraunatom armaturom za konzolu,s tim to se na irini 0,5*l dvostruko pojaa(sl. 21.30).

Sl.21.31. Armiranje konzolne ploe oko ugla objekata(jedan smjer)

Krune i prstenaste ploeKrune ploe poduprte po cjelom obodu ili u pojedinim takama konstrukciski su elementi koji se proraunavaju i armiraju po pravilu povrinskih nosaa. Nosiva armatura u ploi je radijalna i prstenasta . U zoni gdje se radijalna armatura kria formira se rotilj krine armature,koja s lepezasto u radijlnom pravcu vodi do mjesta potrebnog za prekid(sl. 21.23).

Kruna ploa manjih raspona i optereenja mogu se priblino proraunavati kao kvadratne ploe,ime se i armiranje pojednostavljuje.Proraunski raspon zamjenjujui kvadratne ploe bit e:.Ploama kod kojih valja sprjeiti otvaranje pukotina moe se na krinim plohama postaviti dijagonalna armatura(sl. 21.33)Okomito na radijlni tlak pizazvan zakrivljenou ipke naprezane silom Fa, pojavljuju se naponi zatezanja koji mogu otkinuti zatitni sloj betona prema slici 21.34.sl.21.33 Pojednostavljeno armiranje krunih ploa

Naponi zatezanja se .-vrstoa na zatezanje-koeficjent sigurnosti Da se ne bi prekoraili doputeni naponi napona zatezanja ,potrebno je prstenastu armaturu staviti u drugi sloj od slobodnog ruba kako bi se poveao zatitni sloj betona.Ako je pri tome radijus zakrivljenosti prstenaste ipke r manji od treba staviti spone prema slici 21.35. Vrjednost za dobija se iz prethodne jednaine.

Ploe optereene koncetrisanom silomKoncentrisanom silom ,ako djeluje na dugaku plou ne izaziva deformacije samo u traci ispod sile vei u susjednim djelovima ploa. Uz pretpostavku da ploa ostaje i nakon deformacije monolitna ,nee silu prenositi samo traka ispod sile ve i susjedne trake. Sudjelujua irina ovisi o rasponu i krutosti ploe posredo o koliini razdjelne armature Taan raunsudjelujue irine mogao bi se provesti pomou teorije elastinosti,ali je seo postupak dug i ne obuhvaa uticajne faktore kao pto du pukotine ,nehomogenost,neizotropnost i puzanje betona.Zbog toga se esto racijonalnije koristi podacima dobivenim eksperimentima.

Koncentrisano se opteeenje rasprostire na veu irinu ,razliito kroz rastresite materijale i monolitne materijale, do polovice visine ploe.(sl.21.37).irine rasprostinjanja:

Sudjelujua irina priblino se proraunava po izrazu:

-povrina presjeka glavne armature na jedinici irine-povrina presjeka razdjelne armature na jedinici duine

Preporuuje se ispod koncentrisane sile na irini i duini staviti jau armaturuiznosi 20% do 30% glavne armature.Vea koncentrisana optereenja mogu probiti ploe .Takav proboj u rasponu ne nastaje nikada direktnim probijanjem,nego prekoraenjem vrstoe zatezanja nego prekoraenjem vlastite vrstoe betona.Ako je dodirna povrina sile pravougaonika onda je .

Pravougaone ploe nosive u dva smjera optereene po teoriji elastinosti uz pretpostavke koje vrjede i za kontinuirano optereenje.Za koncentrisano optereenje pretpostavlja se da djeluje na rini rasprostiranja u oba pravca.U praksi je vrlo pogodno upotrebljavati tablice za proraun momenata savijanja uzrokovanih koncentrisanm optereenjem koje je sastavio B.G. Galjorkin.Uslov za njihovo koritenje je da poloaj optereenja bude uvjek simetrian u odnosu prema centru ploe.

Momenti savijanja po jedinicama irine ploe se raunaju po izrazima:

Proraun po ovim tablicama daje momente savijanja koji odgovaraju momentima savijanja za plou slobodno oslonjenu po obodu.Ploa upetima po obdu momenti se savijanja i mnoe koeficjentima:-za momente u sredini raspona ;-za momente na leaju .